誤差傳播定律02課件

§5.3誤差傳播定律

在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測(cè)，而需要由另一些直接觀測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)，這時(shí)函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差必定有一定的關(guān)系。闡述這種關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。

倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)函數(shù)形式§5.3誤差傳播定律倍數(shù)函數(shù)函數(shù)形式1 在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)到的，而是間接觀測(cè)到的，即觀測(cè)其它未知量，并通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算求得的。非線性函數(shù) 表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)

誤差傳播定律： 在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)到的，而是間2設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測(cè)值；為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。

求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：一、一般函數(shù)3函數(shù)的真誤差和獨(dú)立觀測(cè)值的真誤差之間的關(guān)系式。函數(shù)的真誤差和獨(dú)立觀測(cè)值的真誤差之間的關(guān)系式。4假如對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)值觀測(cè)了n次，則可列出n個(gè)真誤差關(guān)系式：………………假如對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)值觀測(cè)了n次，則可列出n個(gè)真誤差關(guān)系式：……5以上等式兩邊平方后相加：對(duì)n個(gè)式取總和：以上等式兩邊平方后相加：對(duì)n個(gè)式取總和：6上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項(xiàng)為0，則：<<前面各項(xiàng)上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項(xiàng)為07所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關(guān)系式：考慮所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關(guān)系式：考慮8求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關(guān)系式，對(duì)函數(shù)進(jìn)行全微分：3、寫出中誤差的關(guān)系式：1、列出獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)式：求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關(guān)系式，對(duì)函數(shù)進(jìn)9[例]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式2.全微分3.求中誤差

[例]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α101.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度=168.5mm0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差例：量得地形112.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：2.線性函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)式例：設(shè)有某線性函12

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

●對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。函數(shù)式3.算術(shù)平均值的中誤差式由于等精度觀134.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：例：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：例：測(cè)定A14觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總15例1：測(cè)得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，求周長(zhǎng)及周長(zhǎng)中誤差。返回例1：測(cè)得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，16

▓

觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)▓用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值的中誤差(即:白塞爾公式)▓算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差

第四節(jié)等（同）精度直接觀測(cè)平差▓觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)第四節(jié)等（同）精度17一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號(hào)兩邊分別相加得和：L=一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)證明算術(shù)平18當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀19精度評(píng)定比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評(píng)定——用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：精度評(píng)定比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的即在20證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平21證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差白塞爾22解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)例：對(duì)某水平23

例5-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。測(cè)次

觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv

計(jì)算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回例5-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如24第五節(jié)誤差傳播定律的應(yīng)用用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問(wèn)用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？

?=(1+2+3)-180解：由題意：最大閉合差即2m=15,則m=7.5每個(gè)角的測(cè)角中誤差：由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：第五節(jié)誤差傳播定律的應(yīng)用用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形25誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。解:(1)測(cè)量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度26誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。解:(2)測(cè)量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度27作業(yè):1．用20m鋼尺進(jìn)行距離丈量，已知一整尺段之中誤差為±0.005m，今用該尺測(cè)量直線AB，其D往=99.972m，D返=99.988m，求其平均距離D之中誤差。2．用J2經(jīng)緯儀對(duì)一個(gè)角測(cè)量了6個(gè)測(cè)回，其結(jié)果為：53°49′15″（11″，22″，16″，18″，14″），求算術(shù)平均值、觀測(cè)值的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差。3．在等精度觀測(cè)中，對(duì)一個(gè)角度測(cè)了4個(gè)測(cè)回，得其平均值之中誤差為±15″，若使平均值中誤差小于±10″，則至少應(yīng)觀測(cè)多少個(gè)測(cè)回？4.設(shè)有函數(shù)Z=L*cosA式中L=121.11m±0.06mm,A=78°49′18″±20.5

″,試求Z的中誤差.作業(yè):1．用20m鋼尺進(jìn)行距離丈量，已知一整尺段之中誤差為±28§5.3誤差傳播定律

在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測(cè)，而需要由另一些直接觀測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)，這時(shí)函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差必定有一定的關(guān)系。闡述這種關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。

倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)函數(shù)形式§5.3誤差傳播定律倍數(shù)函數(shù)函數(shù)形式29 在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)到的，而是間接觀測(cè)到的，即觀測(cè)其它未知量，并通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算求得的。非線性函數(shù) 表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)

誤差傳播定律： 在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)到的，而是間30設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測(cè)值；為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。

求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：一、一般函數(shù)31函數(shù)的真誤差和獨(dú)立觀測(cè)值的真誤差之間的關(guān)系式。函數(shù)的真誤差和獨(dú)立觀測(cè)值的真誤差之間的關(guān)系式。32假如對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)值觀測(cè)了n次，則可列出n個(gè)真誤差關(guān)系式：………………假如對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)值觀測(cè)了n次，則可列出n個(gè)真誤差關(guān)系式：……33以上等式兩邊平方后相加：對(duì)n個(gè)式取總和：以上等式兩邊平方后相加：對(duì)n個(gè)式取總和：34上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項(xiàng)為0，則：<<前面各項(xiàng)上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項(xiàng)為035所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關(guān)系式：考慮所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關(guān)系式：考慮36求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關(guān)系式，對(duì)函數(shù)進(jìn)行全微分：3、寫出中誤差的關(guān)系式：1、列出獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)式：求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關(guān)系式，對(duì)函數(shù)進(jìn)37[例]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式2.全微分3.求中誤差

[例]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α381.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度=168.5mm0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差例：量得地形392.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：2.線性函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)式例：設(shè)有某線性函40

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

●對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。函數(shù)式3.算術(shù)平均值的中誤差式由于等精度觀414.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：例：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：例：測(cè)定A42觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總43例1：測(cè)得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，求周長(zhǎng)及周長(zhǎng)中誤差。返回例1：測(cè)得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，44

▓

觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)▓用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值的中誤差(即:白塞爾公式)▓算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差

第四節(jié)等（同）精度直接觀測(cè)平差▓觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)第四節(jié)等（同）精度45一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號(hào)兩邊分別相加得和：L=一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)證明算術(shù)平46當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀47精度評(píng)定比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評(píng)定——用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：精度評(píng)定比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的即在48證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平49證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差白塞爾50解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)例：對(duì)某水平51

例5-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。測(cè)次

觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv

計(jì)算123456平均148.643148.590