人教數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及通過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》

人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題例12017年北京市中考第29題在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義以下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP＋CP′＝2r，則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)．如圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的表示圖．特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′＝0．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①分別判斷點(diǎn)M(2,1)，N(3,0)，T(1,3)關(guān)于⊙O的反2稱點(diǎn)可否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②點(diǎn)P在直線y＝－x＋2上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；圖1（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y33與x軸、y軸分別交于x23點(diǎn)A、B，若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．例22017年福州市中考第22題如圖1，拋物線y1(x3)21與x軸交于2A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，極點(diǎn)為D．1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；2）聯(lián)系CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，聯(lián)系A(chǔ)E、AD．求證：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫(huà)圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．圖11人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》例32017年南京市中考第26題已知二次函數(shù)y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m為常數(shù)，且a≠0）．（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；2）設(shè)該函數(shù)的圖像的極點(diǎn)為C，與x軸訂交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值．剖析例12017年北京市中考第29題在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義以下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP＋CP′＝2r，則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)．如圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的表示圖．特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′＝0．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①分別判斷點(diǎn)M(2,1)，N(3,0)，T(1,3)關(guān)于⊙O的反2稱點(diǎn)可否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②點(diǎn)P在直線y＝－x＋2上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；圖1（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y3x23與x軸、y軸分別交于3點(diǎn)A、B，若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“15北京29”，拖動(dòng)點(diǎn)圓心C在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P′在圓內(nèi)時(shí)，CP的變化范圍是1＜CP≤2．思路點(diǎn)撥1．反稱點(diǎn)P′可否存在，就是看CP′可否大于或等于0．2．第（2）題反稱點(diǎn)P′在圓內(nèi)，就是0≤CP′＜1，進(jìn)一步轉(zhuǎn)變成0≤2－CP＜1．滿分解答（1）①關(guān)于M(2,1)，OM＝5．由于OM′＝25＜0，因此點(diǎn)M不存在反稱點(diǎn)（如圖2）．2人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》如圖3，關(guān)于N(3,0)，ON＝3．由于ON′＝231，因此點(diǎn)N′的坐標(biāo)為(1,0)．22222如圖4，關(guān)于T(1,3)，OT＝2．由于OT′＝0，因此點(diǎn)T關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)T′是(0,0)．圖2圖3圖4②如圖5，若是點(diǎn)P′存在，那么OP′＝2－OP≥0．因此OP≤2．設(shè)直線y＝－x＋2與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，那么OA＝OB＝2．若是點(diǎn)P在線段AB上，那么OP≤2．因此滿足OP≤2且點(diǎn)P′不在x軸上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是0≤x＜2．（2）由y3x23，得A(6,0)，B(0,23)．因此tan∠A＝OB3．3OA3因此∠A＝30°．由于點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，因此0≤CP′＜1．解不等式組0≤2－CP＜1，得1＜CP≤2．過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，那么CP＝1AC．因此2＜AC≤4．2因此2≤OC＜4．因此圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是2≤x＜4（如圖6，圖7所示）．圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展第（2）題若是把條件“反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部”改為“反稱點(diǎn)P′存在”，那么圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是什么呢？若是點(diǎn)P′存在，那么CP′≥0．解不等式2－CP≥0，得CP≤2．因此AC≤4．因此圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是2≤x＜6．3人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》例22017年福州市中考第22題12與x軸交于如圖1，拋物線y(x3)12A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，極點(diǎn)為D．1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；2）聯(lián)系CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，聯(lián)系A(chǔ)E、AD．求證：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫(huà)圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14福州22”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)PE最小時(shí)，PQ也最?。悸伏c(diǎn)撥1．計(jì)算點(diǎn)E的坐標(biāo)是要點(diǎn)的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等．2．求PE的最小值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，若是把PE2表示為x的四次函數(shù)，運(yùn)算很麻煩．若是把PE2轉(zhuǎn)變成y的二次函數(shù)就比較簡(jiǎn)略了．滿分解答（1）由y1(x211x27，得D(3,1)，C(0,7)．3)3x2222由y121[(x22]132)(x32)，(x3)13)(x222得A(32,0)，B(32,0)．（2）設(shè)CD與AE交于點(diǎn)F，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于N．如圖2，由D(3,1)，C(0,7)，得DN＝3，CN9．因此tanDCNDN2．22CN3如圖3，由OE⊥CD，得∠EOM＝∠DCN．因此tanEOMEM2．OM3因此EM＝2，E(3,2)．由A(32,0)，M(3,0)，得AM2．因此tanAEMAM2，tanDAMDM12．EM2AM22因此∠AEM＝∠DAM．于是可得∠AED＝90°．4人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》如圖4，在Rt△EHF與Rt△DAF中，由于∠EFH＝∠DFA，因此∠HEF＝∠ADF，即∠AEO＝∠ADC．圖2圖3圖4（3）如圖5，在Rt△EPQ中，EQ為定值，因此當(dāng)PE最小時(shí)，PQ也最小．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，那么PE2＝(x－3)2＋(y－2)2．已知y1(x3)21，因此(x3)22y2．2因此PE2(2y2)(y2)2y22y6．因此當(dāng)y＝1時(shí)，PE獲取最小值．解方程1(x211，得x＝5，或x＝1（在對(duì)稱軸左側(cè)，舍去）．3)2因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,1)．此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,1)或(19,13)（如圖6所示）．55圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展第（3）題可以這樣求點(diǎn)Q的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n)．由E(3,2)、P(5,1)，可得PE2＝5．又已知EQ2＝1，因此PQ2＝4．22m19,(m3)(n2)1,m13,25列方程組(m5)2(n1)2解得n11,134,n2.5還可以如圖7那樣求點(diǎn)Q的坐標(biāo)：關(guān)于Q(m,n)，依照兩個(gè)陰影三角形相似，可以列方程組m3n21．n15m2同樣地，關(guān)于Q′(m,n)，可以列方程組m32n1．1n5m25人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》例32017年南京市中考第26題已知二次函數(shù)y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m為常數(shù)，且a≠0）．（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；2）設(shè)該函數(shù)的圖像的極點(diǎn)為C，與x軸訂交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值．動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13南京26”，拖動(dòng)y軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)可以改變a的值，拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變m的值．分別點(diǎn)擊按鈕“m1”、“m2”、“m3”，再改變實(shí)數(shù)a，可以體驗(yàn)到，這3種狀況下，點(diǎn)C、D到x軸的距離相等．請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13南京26”，拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變m的值，豎直拖動(dòng)點(diǎn)C可以改變a的值．分別點(diǎn)擊按鈕，可獲取△ABC的面積與△ABD的面積相等的三種狀況。思路點(diǎn)撥1．第（1）題判斷拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，簡(jiǎn)單想到用鑒識(shí)式．事實(shí)上，拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(m,0)、(m＋1,0)，AB＝1．2．當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，點(diǎn)C到x軸的距離為2．3．當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，C、D到x軸的距離相等．4．本題大量的工作是代入計(jì)算，運(yùn)算比較繁瑣，必然要仔細(xì)．滿分解答1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)(x－m－1)，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(m,0)、B(m＋1,0)．因此不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m)a(xm1)21a，24得拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)為C(m1,1a)．24由于AB＝1，S△ABC＝1AB1a1，因此a＝±8．24②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D到x軸的距離相等．第一種狀況：如圖1，C、D重合，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)可以表示為(0,1a)，4將D(0,1a)代入ya(xm1)21a，得1aa(m1)21a．424424解得m1．26人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《代數(shù)計(jì)算及經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題》圖1第二種狀況：如圖2，圖3，C、D在x軸兩側(cè)，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)可以表示為(0,1a)，4將D(0,1a)代入ya(xm1)21a，得1aa(m1)21a．424424解得m12．2圖2圖3考點(diǎn)伸展第（1）題也可以這樣說(shuō)理：由于由ya(xm1)21a，拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)為C(m1,1a)．2424當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線的張口向上，而極點(diǎn)在x軸