概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題及答案

.z.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題一1．略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示以下事件：〔1〕A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；〔2〕A與B發(fā)生，C不發(fā)生；〔3〕A，B，C都發(fā)生；〔4〕A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；〔5〕A，B，C都不發(fā)生；〔6〕A，B，C不都發(fā)生；〔7〕A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生；〔8〕A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】〔1〕A〔2〕AB〔3〕ABC〔4〕A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.A，B為隨機(jī)事件，且P〔A〕=0.7,P(AB)=0.3，求P〔〕.【解】P〔〕=1P〔AB〕=1[P(A)P(AB)]=1A，B是兩事件，且P〔A〕=0.6,P(B)=0.7,求：〔1〕在什么條件下P〔AB〕取到最大值？〔2〕在什么條件下P〔AB〕取到最小值？【解】〔1〕當(dāng)AB=A時(shí)，P〔AB〕取到最大值為0.6.〔2〕當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，P〔AB〕取到最小值為0.3.A，B，C為三事件，且P〔A〕=P〔B〕=1/4，P〔C〕=1/3且P〔AB〕=P〔BC〕=0，P〔AC〕=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】P〔A∪B∪C〕=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問(wèn)有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】p=8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問(wèn)題：〔1〕求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；〔2〕求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；〔3〕求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】〔1〕設(shè)A1={五個(gè)人的生日都在星期日}，根本領(lǐng)件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故P〔A1〕==〔〕5〔亦可用獨(dú)立性求解，下同〕〔2〕設(shè)A2={五個(gè)人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故P〔A2〕==()5(3)設(shè)A3={五個(gè)人的生日不都在星期日}P〔A3〕=1P(A1)=1()59.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.N件，其中Mn件〔n<N〕.試求其中恰有m件〔m≤M〕正品〔記為A〕的概率.如果：〔1〕n件是同時(shí)取出的；〔2〕n件是無(wú)放回逐件取出的；〔3〕n件是有放回逐件取出的.【解】〔1〕P〔A〕=種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對(duì)于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為種，故P〔A〕=由于無(wú)放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P〔A〕=可以看出，用第二種方法簡(jiǎn)便得多.〔3〕由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對(duì)于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取得次品，每次都有NM種取法，共有〔NM〕nm種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.12.50只鉚釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件上，其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱.每個(gè)部件用3只鉚釘.假設(shè)將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A={發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱}13.一個(gè)袋內(nèi)裝有大小一樣的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.【解】設(shè)Ai={恰有i個(gè)白球}〔i=2,3〕，顯然A2與A3互斥.故14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：〔1〕兩粒都發(fā)芽的概率；〔2〕至少有一粒發(fā)芽的概率；〔3〕恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，〔i=1,2〕(1)(2)(3)15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停頓.〔1〕問(wèn)正好在第6次停頓的概率；〔2〕問(wèn)正好在第6次停頓的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】〔1〕(2)16.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai={甲進(jìn)i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,則17．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】18.*地*天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：〔1〕在下雨條件下下雪的概率；〔2〕這天下雨或下雪的概率.【解】設(shè)A={下雨}，B={下雪}.〔1〕〔2〕19.一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率〔小孩為男為女是等可能的〕.【解】設(shè)A={其中一個(gè)為女孩}，B={至少有一個(gè)男孩}，樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問(wèn)此人是男人的概率〔假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半〕.【解】設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率.題21圖題22圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為*,y,則0≤*,y≤"一人要等另一人半小時(shí)以上〞等價(jià)于|*y|>30.如圖陰影局部所示.22.從〔0，1〕中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：〔1〕兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；〔2〕兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】設(shè)兩數(shù)為*,y，則0<*,y<1.〔1〕*+y<.(2)*y=<.23.設(shè)P〔〕=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P〔B｜A∪〕【解】24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】設(shè)Ai={第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式，有25.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問(wèn)：〔1〕考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？〔2〕考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P〔A〕=0.8，P〔〕=0.2，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P〔B|A〕=0.9，P〔|〕=0.9，故由貝葉斯公式知〔1〕即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2)即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來(lái)，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B(niǎo)被誤收作AA與B傳遞的頻繁程度為2∶A，試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}由貝葉斯公式，得27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，假設(shè)發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊颍嚽笙渥又性幸话浊虻母怕省蚕渲性惺裁辞蚴堑瓤赡艿念伾挥泻?、白兩種〕【解】設(shè)Ai={箱中原有i個(gè)白球}〔i=0,1,2〕，由題設(shè)條件知P〔Ai〕=,iB={抽出一球?yàn)榘浊騷.由貝葉斯公式知28.*工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得29.*保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類："慎重的〞，"一般的〞，"冒失的〞.統(tǒng)計(jì)資料說(shuō)明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果"慎重的〞被保險(xiǎn)人占20%，"一般的〞占50%，"冒失的〞占30%，現(xiàn)知*被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是"慎重的〞的概率是多少？【解】設(shè)A={該客戶是"慎重的〞}，B={該客戶是"一般的〞}，C={該客戶是"冒失的〞}，D={該客戶在一年內(nèi)出了事故}則由貝葉斯公式得30.加工*一零件需要經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來(lái)的零件的次品率.【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}〔i=1,2,3,4〕.31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問(wèn)至少必須進(jìn)展多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9"【解】設(shè)必須進(jìn)展n次獨(dú)立射擊.即為故n≥11至少必須進(jìn)展11次獨(dú)立射擊.32.證明：假設(shè)P〔A｜B〕=P(A｜)，則A，B相互獨(dú)立.【證】即亦即因此故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，，，求將此密碼破譯出的概率.【解】設(shè)Ai={第i人能破譯}〔i=1,2,3〕，則34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，假設(shè)只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；假設(shè)有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；假設(shè)三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A={飛機(jī)被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機(jī)}，i=0,1,2,3由全概率公式，得××××××0.7)0.2+××××××××35.*種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定假設(shè)10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無(wú)效，求：〔1〕雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過(guò)試驗(yàn)被否認(rèn)的概率.〔2〕新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】〔1〕(2)36.一架升降機(jī)開(kāi)場(chǎng)時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求以下事件的概率：〔1〕A="*指定的一層有兩位乘客離開(kāi)〞；〔2〕B="沒(méi)有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開(kāi)〞；〔3〕C="恰有兩位乘客在同一層離開(kāi)〞；〔4〕D="至少有兩位乘客在同一層離開(kāi)〞.【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開(kāi)，故所有可能結(jié)果為106種.〔1〕，也可由6重貝努里模型：〔2〕6個(gè)人在十層中任意六層離開(kāi)，故〔3〕由于沒(méi)有規(guī)定在哪一層離開(kāi)，故可在十層中的任一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開(kāi)，有種離開(kāi)方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開(kāi)的情況，因此可包含以下三種離開(kāi)方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開(kāi)，另一人在其余8層中任一層離開(kāi)，共有種可能結(jié)果；②4人同時(shí)離開(kāi)，有種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，故〔4〕D=.故37.n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求以下事件的概率：〔1〕甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；〔2〕甲、乙、丙三人坐在一起的概率；〔3〕如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率.【解】〔1〕(2)(3)38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】設(shè)這三段長(zhǎng)分別為*,y,a*y.則根本領(lǐng)件集為由0<*<a,0<y<a,0<a*y<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影局部所示，故所求概率為.39.*人有n把鑰匙，其中只有一把能開(kāi)他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_(kāi)〔抽樣是無(wú)放回的〕.證明試開(kāi)k次〔k=1,2,…,n〕才能把門翻開(kāi)的概率與k無(wú)關(guān).【證】40.把一個(gè)外表涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P〔Ai〕〔i=0,1,2,3〕.【解】設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3.在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上〔除去八個(gè)角外〕的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12×8=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上〔除去棱〕的小立方體是一面涂色的，共有8×8×〔8+96+384〕=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無(wú)色的，故所求概率為,.A，B，C，試證P〔AB〕+P〔AC〕P〔BC〕≤P(A).【證】42.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】設(shè)={杯中球的最大個(gè)數(shù)為i},i=1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故因此或43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.可用對(duì)稱性來(lái)解決.由于硬幣是均勻的，故P〔A〕=P〔B〕.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為故44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對(duì)稱性知P〔A〕=P〔B〕〔1〕當(dāng)nP〔A〕+P〔B〕=1得P〔A〕=P〔B(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=〔甲正≤乙正〕=〔n+1甲反≤n乙反〕=〔甲反≥1+乙反〕=〔甲反>乙反〕由對(duì)稱性知P〔甲正>乙正〕=P〔甲反>乙反〕因此P(甲正>乙正)=46.證明"確定的原則〞〔Surething〕：假設(shè)P〔A|C〕≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P〔A〕≥P(B).【證】由P〔A|C〕≥P(B|C),得即有同理由得故n節(jié)車廂，有k(k≥n)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，〔i=1,…,n〕,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是故所求概率為48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，*一事件A出現(xiàn)的概率為ε>0.試證明：不管ε>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為m只正品硬幣，n只次品硬幣〔次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽〕.在袋中任取一只，將它投擲r次，每次都得到國(guó)徽.試問(wèn)這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}B={這只硬幣為正品}由題知?jiǎng)t由貝葉斯公式知50.巴拿赫〔Banach〕火柴盒問(wèn)題：*數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有Nr根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)〔不是發(fā)現(xiàn)空〕而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.〔1〕發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說(shuō)明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒〔已空〕，nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性〔即也可以是B2盒先取空〕.〔2〕前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率為51.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為假設(shè)要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{〔+B〕〔A+B〕〔+〕〔A+〕}的值.【解】因?yàn)椤睞∪B〕∩〔∪〕=A∪B〔∪B〕∩〔A∪〕=AB∪所求故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P〔A∪B∪C〕=9/16，求P〔A〕.【解】由故或,按題設(shè)P〔A〕<,故P〔A〕=.A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P〔A〕.【解】①②故故③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有故故或〔舍去〕即P〔A〕=.55.隨機(jī)地向半圓0<y<(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與*軸的夾角小于π/4的概率為多少？【解】利用幾何概率來(lái)求，圖中半圓面積為πa2.陰影局部面積為故所求概率為56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}57.設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份.〔1〕求先抽到的一份是女生表的概率p；〔2〕后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】設(shè)Ai={報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3.Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.則(1)(2)而故58.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P〔B〕>0,P(A|B)=1,試比擬P(A∪B)與P(A)的大小.(2006研考)解：因?yàn)樗?習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以*表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量*的分布律.【解】故所求分布律為*345P2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以*表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：〔1〕*的分布律；〔2〕*的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故*的分布律為*012P〔2〕當(dāng)*<0時(shí)，F(xiàn)〔*〕=P〔*≤*〕=0當(dāng)0≤*<1時(shí)，F(xiàn)〔*〕=P〔*≤*〕=P(*=0)=當(dāng)1≤*<2時(shí)，F(xiàn)〔*〕=P〔*≤*〕=P(*=0)+P(*=1)=當(dāng)*≥2時(shí)，F(xiàn)〔*〕=P〔*≤*〕=1故*的分布函數(shù)(3)3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)展了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)**=0，1，2，3.故*的分布律為*0123P分布函數(shù)4.〔1〕設(shè)隨機(jī)變量*的分布律為P{*=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.〔2〕設(shè)隨機(jī)變量*的分布律為P{*=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】〔1〕由分布律的性質(zhì)知故(2)由分布律的性質(zhì)知即.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：〔1〕兩人投中次數(shù)相等的概率;〔2〕甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令*、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則*~b〔3，0.6〕,Y~b(3,0.7)(1)+(2)6.設(shè)*機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在*一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證*一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)*為*一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則*~b(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道，則有即利用泊松近似查表得N≥9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過(guò)，設(shè)每輛車在一天的*時(shí)段出事故的概率為0.0001,在*天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少〔利用泊松定理〕？【解】設(shè)*表示出事故的次數(shù)，則*~b〕*滿足P{*=1}=P{*=2}，求概率P{*=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故所以.A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，〔1〕進(jìn)展了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；〔2〕進(jìn)展了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】〔1〕設(shè)*表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則*~6〔5，0.3〕(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b〕t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)*服從參數(shù)為〔1/2〕t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)〔時(shí)間以小時(shí)計(jì)〕.〔1〕求*一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；〔2〕求*一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】〔1〕(2)P{*=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量*，Y的概率分布，如果P{*≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因?yàn)?，?而故得即從而12.*教科書出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令*為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則*~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,得13.進(jìn)展*種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以*表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出*的分布律，并計(jì)算*取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：〔1〕保險(xiǎn)公司賠本的概率;〔2〕保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以"年〞為單位來(lái)考慮.〔1〕在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為*，則*~b(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P〔保險(xiǎn)公司獲利不少于20000〕即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%*的密度函數(shù)為f(*)=Ae|*|,∞<*<+∞,求：〔1〕A值；〔2〕P{0<*<1};(3)F(*).【解】〔1〕由得故.(2)(3)當(dāng)*<0時(shí)，當(dāng)*≥0時(shí)，故16.設(shè)*種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命*的密度函數(shù)為f(*)=求：〔1〕在開(kāi)場(chǎng)150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；〔2〕在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；〔3〕F〔*〕.【解】〔1〕(2)(3)當(dāng)*<100時(shí)F〔*〕=0當(dāng)*≥100時(shí)故17.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以*表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求*的分布函數(shù).【解】由題意知*~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)*<0時(shí)F〔*〕=0當(dāng)0≤*≤a時(shí)當(dāng)*>a時(shí)，F(xiàn)〔*〕=1即分布函數(shù)**進(jìn)展三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】*~U[2,5]，即故所求概率為*〔以分鐘計(jì)〕服從指數(shù)分布.*顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到效勞而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到效勞而離開(kāi)的概率為,即其分布律為20.*人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間*服從N〔40，102〕；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間*服從N〔50，42〕.〔1〕假設(shè)動(dòng)身時(shí)離火車開(kāi)車只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？〔2〕又假設(shè)離火車開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】〔1〕假設(shè)走第一條路，*~N〔40，102〕，則假設(shè)走第二條路，*~N〔50，42〕，則++故走第二條路乘上火車的把握大些.〔2〕假設(shè)*~N〔40，102〕，則假設(shè)*~N〔50，42〕，則故走第一條路乘上火車的把握大些.*~N〔3，22〕，〔1〕求P{2<*≤5}，P{4<*≤10}，P{｜*｜＞2}，P{*＞3};〔2〕確定c使P{*＞c}=P{*≤c}.【解】〔1〕(2)c=322.由*機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度〔cm〕*~N2±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】*〔小時(shí)〕服從正態(tài)分布N〔160，σ2〕，假設(shè)要求P{120＜*≤200}≥0.8，允許σ最大不超過(guò)多少？【解】故*分布函數(shù)為F〔*〕=〔1〕求常數(shù)A，B；〔2〕求P{*≤2}，P{*＞3}；〔3〕求分布密度f(wàn)〔*〕.【解】〔1〕由得〔2〕(3)*的概率密度為f〔*〕=求*的分布函數(shù)F〔*〕，并畫出f〔*〕及F〔*〕.【解】當(dāng)*<0時(shí)F〔*〕=0當(dāng)0≤*<1時(shí)當(dāng)1≤*<2時(shí)當(dāng)*≥2時(shí)故*的密度函數(shù)為〔1〕f(*)=ae|*|,λ>0;(2)f(*)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F〔*〕.【解】〔1〕由知故即密度函數(shù)為當(dāng)*≤0時(shí)當(dāng)*>0時(shí)故其分布函數(shù)(2)由得b=1即*的密度函數(shù)為當(dāng)*≤0時(shí)F〔*〕=0當(dāng)0<*<1時(shí)當(dāng)1≤*<2時(shí)當(dāng)*≥2時(shí)F〔*〕=1故其分布函數(shù)為分位點(diǎn)，〔1〕=0.01，求;〔2〕=0.003，求，.【解】〔1〕即即故〔2〕由得即查表得由得即查表得*的分布律為*21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=*2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/30P{*=k}=()k,k=1,2,…,令求隨機(jī)變量*的函數(shù)Y的分布律.【解】*~N〔0，1〕.〔1〕求Y=e*的概率密度；〔2〕求Y=2*2+1的概率密度；〔3〕求Y=｜*｜的概率密度.【解】〔1〕當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)y>0時(shí)，故(2)當(dāng)y≤1時(shí)當(dāng)y>1時(shí)故(3)當(dāng)y≤0時(shí)當(dāng)y>0時(shí)故*~U〔0,1〕，試求：〔1〕Y=e*的分布函數(shù)及密度函數(shù)；〔2〕Z=2ln*的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】〔1〕故當(dāng)時(shí)當(dāng)1<y<e時(shí)當(dāng)y≥e時(shí)即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為〔2〕由P〔0<*<1〕=1知當(dāng)z≤0時(shí)，當(dāng)z>0時(shí)，即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為*的密度函數(shù)為f(*)=試求Y=sin*的密度函數(shù).【解】當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)0<y<1時(shí)，當(dāng)y≥1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為*的分布函數(shù)如下：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知②填1。由右連續(xù)性知，故①為0。從而③亦為0。即34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)*的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}?！瞚=1,2〕,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。則故拋擲次數(shù)*服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9"【解】令*為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則*~b(n,0.1)即得n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.F〔*〕=則F〔*〕是〔〕隨機(jī)變量的分布函數(shù).〔A〕連續(xù)型；〔B〕離散型；〔C〕非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕〔*〕在〔∞,+∞〕上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F〔*〕是一個(gè)分布函數(shù)。但是F〔*〕在*=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F〔*〕是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選〔C〕37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機(jī)變量*的密度函數(shù)為f(*)=sin*，而在[a,b]外，f(*)=0，則區(qū)間[a,b]等于〔〕(A)[0,π/2];(B)[0,π];(C)[π/2,0];(D)[0,].【解】在上sin*≥0，且.故f(*)是密度函數(shù)。在上.故f(*)不是密度函數(shù)。在上，故f(*)不是密度函數(shù)。在上，當(dāng)時(shí)，sin*<0，f(*)也不是密度函數(shù)。應(yīng)選〔A〕。*~N〔0，σ2〕，問(wèn)：當(dāng)σ取何值時(shí)，*落入?yún)^(qū)間〔1，3〕的概率最大？【解】因?yàn)槔梦⒎e分中求極值的方法，有得,則又故為極大值點(diǎn)且惟一。故當(dāng)時(shí)*落入?yún)^(qū)間〔1，3〕的概率最大。*服從泊松分布P〔λ〕，每個(gè)顧客購(gòu)置*種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)置該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)置這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購(gòu)置*種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)*=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)置這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.*服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1e2*在區(qū)間〔0，1〕上服從均勻分布.【證】*的密度函數(shù)為由于P〔*>0〕=1，故0<1e2*<1，即P〔0<Y<1〕=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y〔y〕=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y〔y〕=1當(dāng)0<y<1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即Y~U〔0，1〕*的密度函數(shù)為f(*)=假設(shè)k使得P{*≥k}=2/3，求k的取值范圍.(2000研考)【解】由P〔*≥k〕=知P〔*<k〕=假設(shè)k<0,P(*<k)=0假設(shè)0≤k≤1,P(*<k)=當(dāng)k=1時(shí)P〔*<k〕=假設(shè)1≤k≤3時(shí)P〔*<k〕=假設(shè)3<k≤6，則P〔*<k〕=假設(shè)k>6,則P〔*<k〕=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)滿足P〔*≥k〕=.*的分布函數(shù)為F(*)=求*的概率分布.〔1991研考〕【解】由離散型隨機(jī)變量*分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知*的概率分布為*113P43.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件AA至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令*為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，假設(shè)設(shè)P〔A〕=p,則*~b(3,p)由P〔*≥1〕=知P〔*=0〕=〔1p〕3=故p=*在〔1，6〕上服從均勻分布，則方程y2+*y+1=0有實(shí)根的概率是多少？【解】*~N〔2，σ2〕，且P{2<*<4}=0.3，則P{*<0}=.【解】故因此n(n≥2)臺(tái)儀器〔假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立〕.求〔1〕全部能出廠的概率α；〔2〕其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；〔3〕其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ.【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令*為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則*~6〔n〕,故47.*地抽樣調(diào)查結(jié)果說(shuō)明，考生的外語(yǔ)成績(jī)〔百分制〕近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)*為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則*~N〔72，σ2〕故查表知,即σ=12從而*~N〔72，122〕故48.在電源電壓不超過(guò)200V、200V~240V和超過(guò)240V三種情形下，*種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2〔假設(shè)電源電壓*服從正態(tài)分布N〔220，252〕〕.試求：〔1〕該電子元件損壞的概率α;(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不超過(guò)200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過(guò)240V}，B={元件損壞}。由*~N〔220，252〕知由全概率公式有由貝葉斯公式有*在區(qū)間〔1，2〕上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2*的概率密度f(wàn)Y(y).【解】因?yàn)镻〔1<*<2〕=1,故P〔e2<Y<e4〕=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY〔y〕=P(Y≤y)=0.當(dāng)e2<y<e4時(shí)，當(dāng)y≥e4時(shí)，即故*的密度函數(shù)為f*(*)=求隨機(jī)變量Y=e*的密度函數(shù)fY(y).(1995研考)【解】P〔Y≥1〕=1當(dāng)y≤1時(shí)，當(dāng)y>1時(shí)，即故*的密度函數(shù)為f*(*)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y).【解】故t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N〔t〕服從參數(shù)為λt的泊松分布.〔1〕求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；〔2〕求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.〔1993研考〕【解】〔1〕當(dāng)t<0時(shí)，當(dāng)t≥0時(shí)，事件{T>t}與{N(t)=0}等價(jià)，有即即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布?！?〕*的絕對(duì)值不大于1，P{*=1}=1/8，P{*=1}=1/4.在事件{1<*<1}出現(xiàn)的條件下，*在{1，1}內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比，試求*的分布函數(shù)F〔*〕=P{*≤*}.(1997研考)【解】顯然當(dāng)*<1時(shí)F〔*〕=0；而*≥1時(shí)F〔*〕=1由題知當(dāng)1<*<1時(shí)，此時(shí)當(dāng)*=1時(shí)，故*的分布函數(shù)54.設(shè)隨機(jī)變量*服從正態(tài)分N〔μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|*-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，試比擬σ1與σ2的大小.(2006研考)解：依題意，，則，.因?yàn)?，即，所以有，?習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以*表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y*和Y的聯(lián)合分布律.【解】*和Y的聯(lián)合分布律如表：**Y01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以*表示取到黑球的只數(shù)，以Y*和Y的聯(lián)合分布律.【解】*和Y的聯(lián)合分布律如表：**Y0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的聯(lián)合分布函數(shù)為F〔*，y〕=求二維隨機(jī)變量〔*，Y〕在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.【解】如圖題3圖說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕的分布密度f(wàn)〔*，y〕=求：〔1〕常數(shù)A；〔2〕隨機(jī)變量〔*，Y〕的分布函數(shù)；〔3〕P{0≤*<1，0≤Y<2}.【解】〔1〕由得A=12〔2〕由定義，有(3)5.設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=〔1〕確定常數(shù)k；〔2〕求P{*＜1，Y＜3}；〔3〕求P{*<1.5}；〔4〕求P{*+Y≤4}.【解】〔1〕由性質(zhì)有故〔2〕(3)(4)題5圖*和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，*在〔0，0.2〕上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY〔y〕=求：〔1〕*與Y的聯(lián)合分布密度；〔2〕P{Y≤*}.題6圖【解】〔1〕因*在〔0，0.2〕上服從均勻分布，所以*的密度函數(shù)為而所以(2)7.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的聯(lián)合分布函數(shù)為F〔*，y〕=求〔*，Y〕的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=求邊緣概率密度.【解】題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=求邊緣概率密度.【解】題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=〔1〕試確定常數(shù)c；〔2〕求邊緣概率密度.【解】〔1〕得.(2)11.設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=求條件概率密度f(wàn)Y｜*〔y｜*〕，f*｜Y〔*｜y〕.題11圖【解】所以12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為*，最大的號(hào)碼為Y.〔1〕求*與Y的聯(lián)合概率分布；〔2〕*與Y是否相互獨(dú)立？【解】〔1〕*與Y的聯(lián)合分布律如下表YY*345120300(2)因故*與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的聯(lián)合分布律為**Y258〔1〕求關(guān)于*和關(guān)于Y的邊緣分布；〔2〕*與Y是否相互獨(dú)立？【解】〔1〕*和Y的邊緣分布如下表**Y258P{Y=yi}(2)因故*與Y不獨(dú)立.*和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，*在〔0，1〕上服從均勻分布，Y的概率密度為fY〔y〕=〔1〕求*和Y的聯(lián)合概率密度；〔2〕設(shè)含有a的二次方程為a2+2*a+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】〔1〕因故題14圖(2)方程有實(shí)根的條件是故*2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為：*和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命〔以小時(shí)計(jì)〕，并設(shè)*和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f〔*〕=求Z=*/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1)當(dāng)z≤0時(shí)，〔2〕當(dāng)0<z<1時(shí)，〔這時(shí)當(dāng)*=1000時(shí),y=〕(如圖a)題15圖(3)當(dāng)z≥1時(shí)，〔這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，*=103z〕〔如圖b〕即故16.設(shè)*種型號(hào)的電子管的壽命〔以小時(shí)計(jì)〕近似地服從N〔160，202〕分布.隨機(jī)地選取4只，求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為*i(i=1,2,3,4)，則*i~N〔160，202〕，從而*，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{*=k}=p〔k〕，k=0，1，2，…，P{Y=r}=q〔r〕，r=0，1，2，….證明隨機(jī)變量Z=*+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因*和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是*，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，pZ=*+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：*+Y可能取值為0，1，2，…，2n.方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布〔參數(shù)為p〕，則*=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,*+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，*+Y服從參數(shù)為〔2n,p)的二項(xiàng)分布.19.設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕的分布律為**Y0123450123(1)求P{*=2｜Y=2}，P{Y=3｜*=0}；〔2〕求V=ma*〔*，Y〕的分布律；〔3〕求U=min〔*，Y〕的分布律；〔4〕求W=*+Y的分布律.【解】〔1〕〔2〕所以V的分布律為V=ma*(*,Y)012345P0(3)于是U=min(*,Y)0123P(4)類似上述過(guò)程，有W=*+Y012345678P0R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)〔*，Y〕在屏幕上服從均勻分布.〔1〕求P{Y＞0｜Y＞*}；〔2〕設(shè)M=ma*{*，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因〔*，Y〕的聯(lián)合概率密度為〔1〕(2)D由曲線y=1/*及直線y=0，*=1,*=e2所圍成，二維隨機(jī)變量〔*，Y〕在區(qū)域D上服從均勻分布，求〔*，Y〕關(guān)于*的邊緣概率密度在*=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為〔*,Y〕的聯(lián)合密度函數(shù)為〔*，Y〕關(guān)于*的邊緣密度函數(shù)為所以*和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量〔*，Y〕聯(lián)合分布律及關(guān)于*和Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.*Y*Yy1y2y3P{*=*i}=pi*1*21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而*與Y獨(dú)立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YY*1*服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p〔0<p<1〕，且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：〔1〕在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；〔2〕二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率分布.【解】(1).(2)*和Y獨(dú)立，其中*的概率分布為*~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=*+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F〔y〕是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=*+Y的分布函數(shù)為由于*和Y獨(dú)立，可見(jiàn)由此，得U的概率密度為25.25.設(shè)隨機(jī)變量*與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{ma*{*,Y}≤1}.解：因?yàn)殡S即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有因?yàn)?，Y相互獨(dú)立，所以推得.26.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率分布為**Y101101a0.1b00.1其中a,b,c為常數(shù)，且*的數(shù)學(xué)期望E(*)=0.2,P{Y≤0|*≤0}=0.5，記Z=*+Y.求：〔1〕a,b,c的值；〔2〕Z的概率分布；〔3〕P{*=Z}.解(1)由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由，可得.再由,得.解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得.(2)Z的可能取值為2，1，0，1，2，，，，，，即Z的概率分布為Z21012P(3).習(xí)題四*的分布律為*1012P1/81/21/81/4求E〔*〕，E〔*2〕，E〔2*+3〕.【解】(1)(2)(3)2.100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為*，則*的分布律為*012345P故*的分布律為*101Pp1p2p3且E〔*〕=0.1,E(*2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得N只球，其中的白球數(shù)*為一隨機(jī)變量，E〔*〕=n，問(wèn)從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？【解】記A={從袋中任取1球?yàn)榘浊騷，則*的概率密度為f〔*〕=求E〔*〕，D〔*〕.【解】故*，Y，Z相互獨(dú)立，且E〔*〕=5，E〔Y〕=11，E〔Z〕=8，求以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.〔1〕U=2*+3Y+1；〔2〕V=YZ4*.【解】(1)(2)*，Y相互獨(dú)立，且E〔*〕=E〔Y〕=3，D〔*〕=12，D〔Y〕=16，求E〔3*2Y〕，D〔2*3Y〕.【解】(1)(2)8.設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=試確定常數(shù)k，并求E〔*Y〕.【解】因故k=2.*，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為f*〔*〕=fY〔y〕=求E〔*Y〕.【解】方法一：先求*與Y的均值由*與Y的獨(dú)立性，得*與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是*，Y的概率密度分別為f*〔*〕=fY〔y〕=求〔1〕E〔*+Y〕;〔2〕E〔2*3Y2〕.【解】從而(1)(2)*的概率密度為f〔*〕=求〔1〕系數(shù)c;〔2〕E〔*〕;〔3〕D〔*〕.【解】(1)由得.(2)(3)故12.袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出〔取出后不放回〕，設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量*，求E〔*〕和D〔*〕.【解】設(shè)隨機(jī)變量*表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則*的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知于是，得到*的概率分布表如下：*0123P由此可得*〔以年計(jì)〕服從指數(shù)分布，概率密度為f〔*〕=為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備假設(shè)在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.假設(shè)售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和200元故(元).*1，*2，…，*n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E〔*i〕=μ，D〔*i〕=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.〔1〕驗(yàn)證=μ，=；〔2〕驗(yàn)證S2=；〔3〕驗(yàn)證E〔S2〕=σ2.【證】(1)(2)因故.(3)因,故同理因,故.從而*和Y，D〔*〕=2，D〔Y〕=3，Cov(*,Y)=1,計(jì)算：Cov〔3*2Y+1，*+4Y3〕.【解】(因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(*,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=試驗(yàn)證*和Y是不相關(guān)的，但*和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè).同理E(Y)=0.而,由此得,故*與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|*|≤1時(shí)，當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故*和Y不是相互獨(dú)立的.17.設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕的分布律為**Y1011011/81/81/81/801/81/81/81/8驗(yàn)證*和Y是不相關(guān)的，但*和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，*與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得*，Y及*Y的分布律，其分布律如下表-.z.*101PY101P*Y101P-.z.由期望定義易得E〔*〕=E〔Y〕=E〔*Y〕=0.從而E(*Y)=E(*)·E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρ*Y=0,即*與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而*和Y是不相關(guān)的.又從而*與Y不是相互獨(dú)立的.18.設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕在以〔0，0〕，〔0，1〕，〔1，0〕為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov〔*，Y〕，ρ*Y.【解】如圖，SD=，故〔*，Y〕的概率密度為題18圖從而同理而所以.從而19.設(shè)〔*，Y〕的概率密度為f〔*，y〕=求協(xié)方差Cov〔*，Y〕和相關(guān)系數(shù)ρ*Y.【解】從而同理又故20.二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=*2Y和Z2=2*Y的相關(guān)系數(shù).【解】由知：D(*)=1,D(Y)=4,Cov(*,Y)=1.從而故V，W，假設(shè)E〔V2〕，E〔W2〕存在，證明：［E〔VW〕］2≤E〔V2〕E〔W2〕.這一不等式稱為柯西許瓦茲〔CouchySchwarz〕不等式.【證】令顯然可見(jiàn)此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0，即故*服從參數(shù)λY的分布函數(shù)F〔y〕.【解】設(shè)Y表示每次開(kāi)機(jī)后無(wú)故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間*~E(λ),E(*)==5.依題意Y=min(*,2).對(duì)于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.對(duì)于y≥2,F(y)=P(*≤y)=1.對(duì)于0≤y<2,當(dāng)*≥0時(shí)，在(0,*)內(nèi)無(wú)故障的概率分布為P{*≤*}=1eλ*,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(*,2)≤y}=P{*≤y}=1ey/5.23.甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：〔1〕乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；〔2〕從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.【解】〔1〕Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為,Z=k0123Pk因此，(2)設(shè)A表示事件"從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品〞，根據(jù)全概率公式有*〔毫米〕服從正態(tài)分布N〔μ,1〕，內(nèi)徑小于10或大于12