高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：特點(diǎn)是解法多樣

5/5高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：特點(diǎn)是解法多樣實(shí)驗(yàn)中學(xué)王連笑數(shù)學(xué)考試的第四個(gè)學(xué)科特點(diǎn)是解法多樣。教育部考試中心在解讀全國高考(Q吧)數(shù)學(xué)考試大綱的說明中指出“一般數(shù)學(xué)試題的結(jié)果雖確定唯一,但解法卻多種多樣,有利于考生發(fā)揮各自的特點(diǎn),靈活解答,真正顯現(xiàn)其水平。〞在各套試卷的各題型中,都有不少試題能夠一題多解?！纠?】(2019年天津卷,理10)設(shè)兩個(gè)向量-=(+2,2-cos2)和-=(m,-+sin),其中,m,為實(shí)數(shù)。假設(shè)-=2-,那么-的取值范圍是()。(A)[-6,1](B)[4,8](C)[-∞,1](D)[-1,6]【解】此題給出兩個(gè)共線向量和三個(gè)參數(shù),m,,需要確定-的取值范圍,這種題目也不太常見,因?yàn)槭沁x擇題,我們可以從不同的角度用不同的方法來解決。解法1:可以根據(jù)選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù),用逆向化策略和特殊化策略,通過選取特殊值進(jìn)行排除。-設(shè)-=4,那么4m+2=2m,m=-1,=-4。由第二個(gè)等式得16-cos2=-1+2sin,即17=cos2+2sin這是不可能的,因而排除(B),(D)。再設(shè)-=-8,那么-8m+2=2m,m=-,=--,由第二個(gè)等式--cos2=-+2sin,即-=cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2這同樣是不可能的。因而排除(C)。應(yīng)選A。解法2：如果-是一個(gè)整體,那么可以對(duì)和m分別求出取值范圍,再進(jìn)行整合。由解法1,有消去得4m2-9m+4=cos2+2sin,由于-2≤cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2,那么有-2≤4m2-9m+4≤2,解得-≤m≤2(m≠0)。由=2m-2得--≤≤2,進(jìn)而可求得-6≤-≤1,應(yīng)選A。以上兩個(gè)解法運(yùn)用了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想(解法1),函數(shù)與方程思想和分解與組合的思維方法(解法2)?！纠?】(2019年全國Ⅰ卷,理22)數(shù)列{an}中a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,…(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列{bn}中b1=2,bn+1=-,n=1,2,3…,證明：-【解】(Ⅰ)an的通項(xiàng)公式為an=-[(--1)n+1],n=1,2,3…。解：用數(shù)學(xué)歸納法證明。(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),因-2,b1=a1=2,所以-(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即-當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1--==-0又--=3-2-所以bk-1--(3-2-)2(bk--)≤(--1)4(a4k-3--)=a4k+1--。也就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立。根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知-【例3】(2019年遼寧卷,理22)函數(shù)f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=-f'(x)。(I)證明：當(dāng)t2-時(shí),g(x)在R上是增函數(shù);(II)對(duì)于給定的閉區(qū)間[a,b],試說明存在實(shí)數(shù)k,tk時(shí),g(x)在閉區(qū)間[a,b]上是減函數(shù);(III)證明：f(x)≥-。【解】(I)f'(x)=2e2x-2t(ex+1)+2x,g(x)=-f'(x)=e2x-t(ex+1)+x,g'(x)=2e2x-tex+1=2(ex--)2+1--,因?yàn)閠2-,那么1--0,所以,g'(x)0,所以,當(dāng)t2-時(shí),g(x)在R上是增函數(shù)。(II)此題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)k,當(dāng)tk時(shí),在閉區(qū)間[a,b]上g'(x)由g'(x)=2e2x-tex+10,t2ex+e-x令h(x)=2ex+e-x,由于h(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),所以,h(x)一定有最大值,設(shè)該最大值為k,那么必有tk,于是,當(dāng)tk=(2ex+e-x)max時(shí),有g(shù)'(x)0,即g(x)在閉區(qū)間[a,b]上是減函數(shù);(III)證明：把f(x)看作t的函數(shù),設(shè)F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1,那么F(t)=2(t--)2+-(ex-x)2+1≥-(ex-x)2+1。設(shè)H(x)=ex-x那么H'(x)=ex-1所以,H(x)的最小值為1,從而H(x)=ex-x≥1于是,F(t)=-(ex-x)2+1≥-,即f(x)≥-。【例4】(2019年重慶卷,理,文)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S11,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N。(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(--1)=1并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,求證：3Tn+1log2(an+3),n∈N?！窘狻?I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,由假設(shè)a1=S11,因此a1=2,又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2),得(an+1+an)(an+1-an-3)=0,即an+1-an-3=0或an+1=-an,因an0,故an+1=-an不成立,舍去。因此an+1-an=3,從而{an}是公差為3,首項(xiàng)為2的等差數(shù)列,故{an}的通項(xiàng)為an=3n-1。(II)證明：用比擬法。由an(--1)=1可解得bn=log2(1+-)=log2-;從而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。令f(n)=(-·■……-)3·■,那么-=-·(-)3=-。因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+70,故f(n+1)f(n)。特別地f(n)≥f(1)=-1,從而3Tn+1-