北理工信號與系統(tǒng)作業(yè)參考答案市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第二章作業(yè)參考答案:

P70.2.3已知系統(tǒng)微分方程和初始狀態(tài)以下，求其系統(tǒng)全響應(yīng)。 (a).(D2+5D+6)y(t)=u(t)，y(0)=0，y(1)(0)=1(b).(D2+4D+3)y(t)=e-2tu(t)，y(0)=y(1)(0)=0 解:(a)特征方程為

λ2+5λ+6=0 得λ1=-2，λ2=-3。 則yh(t)=c1e-λ1t+c2e-λ2t=c1e-2t+c2e-3t 令yp(t)=A,代入原方程，得A=1/6. 全響應(yīng)為y(t)=yh(t)+yp(t)=c1e-2t+c2e-3t+1/6, 應(yīng)用初始條件y(0)=0，y(1)(0)=1，解得c1=1/2，c2=-2/3， ∴y(t)=（1/2)e-2t–(2/3)e-3t+1/6t>0第1頁 解:(b)特征方程為

λ2+4λ+3=0 得λ1=-3，λ2=-1。 則yh(t)=c1e-λ1t+c2e-λ2t=c1e-3t+c2e-t 令yp(t)=c3e-2t,代入原方程，得c3=-1.∴yp(t)=-e-2t, 全響應(yīng)為y(t)=yh(t)+yp(t)=c1e-3t+c2e-t-e-2t, 應(yīng)用初始條件y(0)=0，y(1)(0)=0，解得c1=c2=1/2， ∴y(t)=（1/2)e-3t+(1/2)e-t-e-2t.t>02.7已知描述系統(tǒng)微分方程以下求其系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)h(t).(a).(D2+3D+2)y(t)=x(t)(b).(D2+6D+8)y(t)=Dx(t)第2頁

(c).(D2+4D+3)y(t)=(D+1)x(t)(d).(D2+4D+3)y(t)=x(t)(e).(D2+4D+4)y(t)=(D+3)x(t)(f).(D2+2D+2)y(t)=Dx(t)解:(a)特征方程為

λ2+3λ+2=0 得λ1=-2，λ2=-1。 則h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-2t+c2e-t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-2c1e-2t-c2e-t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-2c1-c2)δ(t)+(4c1e-2t+c2e-t)u(t)將x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得： c1+c2=0 c1+2c2=1，得c1=-1,c2=1，所以h(t)=(-e-2t+e-t)u(t)第3頁解:(b)特征方程為

λ2+6λ+8=0 得λ1=-2，λ2=-4。 則h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-2t+c2e-4t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-2c1e-2t-4c2e-4t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-2c1-4c2)δ(t)+(4c1e-2t+8c2e-4t)u(t)將x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：(c1+c2)δ`(t)+(4c1+2c2)δ(t)=δ`(t) c1+c2=1 4c1+2c2=0，得c1=-1,c2=2，所以h(t)=(-e-2t+2e-4t)u(t)解:(c)特征方程為

λ2+4λ+3=0 得λ1=-3，λ2=-1。

第4頁則h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-3t+c2e-t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-3c1e-3t-c2e-t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-3c1-c2)δ(t)+(9c1e-3t+c2e-t)u(t)將x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：

(c1+c2)δ`(t)+(c1+3c2)δ(t)=δ`(t)+δ(t) c1+c2=1 c1+3c2=1，得c1=1,c2=0，所以h(t)=e-3tu(t)解:(d)特征方程為

λ2+4λ+3=0 得λ1=-3，λ2=-1。 則h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-3t+c2e-t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-3c1e-3t-c2e-t)u(t)第5頁 h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-3c1-c2)δ(t)+(9c1e-3t+c2e-t)u(t)將x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得： c1+c2=0 c1+3c2=1，得c1=-1/2,c2=1/2，所以h(t)=(-e-3t+e-t)u(t)/2解:(e)特征方程為

λ2+4λ+4=0 得λ1=-2，λ2=-2。 則h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-3t+c2e-2t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-3c1e-3t-2c2e-2t)u(t)h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-3c1-2c2)δ(t)+(9c1e-3t+4c2e-2t)u(t)將x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：第6頁 c2δ`(t)+(c1+2c2)δ(t)=δ`(t)+３δ(t) c1＝1， c2=１，所以h(t)=(t+1)e-2tu(t)解:(f)特征方程為

λ2+2λ+2=0 得λ1=-1+j，λ2=-1-j。 則h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-tcost+c2e-tsint)u(t) 求出h`(t),h``(t),和x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得： c1=1, c1+c2=0，得c1=1,c2=-1，所以h(t)=e-t(cost–sint)u(t)=21/2e-tcos(t+π/4)u(t)第7頁2.18見P376答案。第8頁2.20圖P2.20（a)所表示電路圖輸入信號如圖(b)所表示矩形脈沖，其輸出為i2(t).(a)求單位沖激響應(yīng)h(t)(b)用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)i2(t).解:(a)

0TtEe(t)e(t)±R1=1Ω,R2=3ΩL=2Hi2(t)i1i3第9頁(b)解一：利用卷積微、積分性質(zhì)解第10頁解二：圖解法0tτE(t-τ)h(τ)T>t>0E(t-τ)h(τ)t>T0t-Ttτ第11頁2.22某LTI系統(tǒng)輸入信號x(t)和其零狀態(tài)響應(yīng)yx(t)波形如圖P2.22所表示。(a)求該系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t),(b)用積分器，加法器和延時(shí)器(T=1s)組成該系統(tǒng)。解:(a)01234t1yx(t)012tx(t)第12頁1h(t)012t第13頁有從而有1h(t)012tx(t)∫∫Dy1(t)∫∫