2022年安徽省安慶一中安師大附中銅陵一中馬鞍山二中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．2．已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A． B． C． D．4．在中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．95．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元7．設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A．1 B．2 C．3 D．48．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知橢圓，直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．10．為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．6411．《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．1512．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為_(kāi)_____________.14．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.15．設(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____16．下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求證：.18．（12分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時(shí)，恒有，求的最大值.20．（12分）表示，中的最大值，如，己知函數(shù)，.（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).22．（10分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2且與底面垂直，因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體外接球就是該三棱柱的外接球，長(zhǎng)方體對(duì)角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.3、D【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語(yǔ)句性質(zhì)，然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系，最終得出選項(xiàng)．【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語(yǔ)句，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，此時(shí)退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語(yǔ)句，，故選D．【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可．4、B【解析】

根據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.5、B【解析】

，將,代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.6、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直線在y軸的截距加上1，根據(jù)圖像知，當(dāng)x+y=2時(shí)，且x∈-13,1時(shí)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.9、A【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出，判斷出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式，化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn)，所以.直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí)，則有種不同的方案；當(dāng)按照進(jìn)行分配，則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.11、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+1×24=1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識(shí)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式可得.【詳解】解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知與的關(guān)系求，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.15、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)為零的根，結(jié)合根的分布求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令得，因?yàn)楹瘮?shù)有大于0的極值點(diǎn)，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.16、32【解析】

由已知可得抽取的比例，計(jì)算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，解得答案，并由其都是正項(xiàng)數(shù)列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案；②由已知關(guān)系，表示并相減即可表示遞推關(guān)系，顯然當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，表示，由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因?yàn)椋?，且，解?（2）①因?yàn)?，所以，兩式相減，得，即.因?yàn)?，所以，?而當(dāng)時(shí)，，可得，故，所以對(duì)任意的正整數(shù)都成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②因?yàn)椋?，兩式相減，得，即，所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.令，而當(dāng)時(shí)，顯然成立，所以當(dāng)，時(shí)，，所以，即，所以，得證.【點(diǎn)睛】本題考查由前n項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮證明不等式，屬于難題.18、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，在四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，四邊形為正方形，，，則，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，由得：，令，則，，由得：，令，則，，，，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法，易錯(cuò)點(diǎn)是求得法向量夾角余弦值后，未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角，造成余弦值符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.19、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過(guò)推導(dǎo)出來(lái)證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.要證，即證.不妨設(shè)，則，，下證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故結(jié)論成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減...令，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得最大值，即.因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.20、（1）個(gè)；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)，及最小值，從而得到的解析式，進(jìn)一步求值域即可；（1）分別對(duì)和兩種情況進(jìn)行討論，得到的解析式，進(jìn)一步構(gòu)造，通過(guò)求導(dǎo)得到最值，得到滿足條件的的范圍．試題解析：（1）設(shè)，．．．．．．．．．．．．．1分令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分設(shè)，結(jié)合與在上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程在上有兩根可得）（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，則，對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①設(shè)，令，得遞增；令，得遞減，∴，當(dāng)即時(shí)，，∴，∵，∴4．故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分當(dāng)即時(shí)，在上遞減，∴．∵，∴，故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若對(duì)恒成立，則，∴．．．．．．．．．．．11分由①及②得，．故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，且的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.【思路點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求最值；屬于難題．本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問(wèn)題就