2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)新城中學(xué)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．斜坡坡角等于，一個(gè)人沿著斜坡由到向上走了米，下列結(jié)論①斜坡的坡度是；

②這個(gè)人水平位移大約米；③這個(gè)人豎直升高米；

④由看的俯角為．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下列運(yùn)算中，正確的是（）．A． B． C． D．3．一元二次方程的兩個(gè)根為，則的值是（）A．10 B．9 C．8 D．74．如圖所示的幾何體為圓臺(tái)，其俯視圖正確的是A． B． C． D．5．對(duì)于二次函數(shù)y＝－(x＋1)2＋3，下列結(jié)論：①其圖象開口向下；②其圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1；③其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，3)；④當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．46．已知關(guān)于的一元二次方程兩實(shí)數(shù)根為、，則（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣17．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC中點(diǎn)，點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上，△DMN為等邊三角形，且EN經(jīng)過(guò)F點(diǎn).下列結(jié)論：①EN=MF②MB=FN③MP·DP=NP·FP④MB·BP=PF·FC，正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．已知x=﹣2是一元二次方程x2+mx+4=0的一個(gè)解，則m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．0或49．如圖，過(guò)反比例函數(shù)的圖像上一點(diǎn)A作AB⊥軸于點(diǎn)B，連接AO，若S△AOB=2，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．510．關(guān)于拋物線y＝x2﹣4x+4，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．開口向上B．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)C．對(duì)稱軸是直線線x＝2D．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大11．關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是A． B． C． D．12．下列算式正確的是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)之間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則“勒洛三角形”的面積為_________．14．一元二次方程的兩根為,,則的值為____________.15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°,若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長(zhǎng)為___________．16．如圖，某水壩的坡比為,坡長(zhǎng)為米，則該水壩的高度為__________米．17．如圖，△ABC是不等邊三角形，DE＝BC，以D，E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出______個(gè)．18．如果x：y＝1：2，那么＝_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊.如圖1，若求等邊的邊長(zhǎng);如圖2，點(diǎn)在邊上移動(dòng)過(guò)程中，連接，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).①求證:；②如圖3，將沿翻折得，連接，直接寫出的最小值.20．（8分）如圖，為等腰三角形，，是底邊的中點(diǎn)，與腰相切于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）已知，，求的半徑．21．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱這個(gè)三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長(zhǎng)度叫“和諧距離”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”的點(diǎn)是，“和諧距離”是；（2）連接BD，點(diǎn)M，N是BD上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N不重合），點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△EMN是以MN為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，請(qǐng)描述出點(diǎn)Q所在位置．22．（10分）用一根長(zhǎng)12的鐵絲能否圍成面積是7的矩形？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.23．（10分）如圖，是的角平分線，延長(zhǎng)到，使.（1）求證：.（2）若，，，求的長(zhǎng).24．（10分）如圖1，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，．將沿翻折得到，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接分別交、于點(diǎn)、．若，探究與之間的數(shù)量關(guān)系．25．（12分）如圖，一個(gè)圓形水池的中央垂直于水面安裝了一個(gè)柱形噴水裝置OA，頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系式可以用表示，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C；（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并確定噴水裝置OA的高度；（2）噴出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？26．實(shí)行垃圾分類和垃圾資源化利用，關(guān)系廣大人民群眾生活環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源，也是社會(huì)文明水平的一個(gè)重要體現(xiàn).某環(huán)保公司研發(fā)了甲、乙兩種智能設(shè)備，可利用最新技術(shù)將干垃圾進(jìn)行分選破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此變身新型清潔燃料.某垃圾處理廠從環(huán)保公司購(gòu)入以上兩種智能設(shè)備若干，已知購(gòu)買甲型智能設(shè)備花費(fèi)萬(wàn)元，購(gòu)買乙型智能設(shè)備花費(fèi)萬(wàn)元，購(gòu)買的兩種設(shè)備數(shù)量相同，且兩種智能設(shè)備的單價(jià)和為萬(wàn)元.求甲、乙兩種智能設(shè)備單價(jià)；垃圾處理廠利用智能設(shè)備生產(chǎn)燃料棒，并將產(chǎn)品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物資成本兩部分組成，其中物資成本占總成本的，且生產(chǎn)每噸燃料棒所需人力成本比物資成本的倍還多元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若燃料棒售價(jià)為每噸元，平均每天可售出噸，而當(dāng)銷售價(jià)每降低元，平均每天可多售出噸.垃圾處理廠想使這種燃料棒的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到元，且保證售價(jià)在每噸元基礎(chǔ)上降價(jià)幅度不超過(guò)，求每噸燃料棒售價(jià)應(yīng)為多少元？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】由題意對(duì)每個(gè)結(jié)論一一分析即可得出其中正確的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖，斜坡的坡度為tan30°==1：，正確．

②AB=20米，這個(gè)人水平位移是AC，

AC=AB?cos30°=20×≈17.3（米），正確．

③這個(gè)人豎直升高的距離是BC，

BC=AB?sin30°=20×=10（米），正確．

④由平行線的性質(zhì)可得由B看A的俯角為30°．所以由B看A的俯角為60°不正確．

所以①②③正確．

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角-仰角俯角問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)概念．2、C【解析】試題分析：3a和2b不是同類項(xiàng)，不能合并，A錯(cuò)誤；和不是同類項(xiàng)，不能合并，B錯(cuò)誤；，C正確；，D錯(cuò)誤，故選C．考點(diǎn)：合并同類項(xiàng)．3、D【分析】利用方程根的定義可求得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】為一元二次方程的根，，．根據(jù)題意得，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系以及求代數(shù)式的值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】試題分析：俯視圖是從物體上面看，所得到的圖形．從幾何體的上面看所得到的圖形是兩個(gè)同心圓.故選C．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖5、C【解析】由拋物線解析式可確定其開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷①②③，再利用增減性可判斷④，可求得答案．【詳解】∵∴拋物線開口向上,對(duì)稱軸為直線x=?1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,3)，故②不正確，①③正確，∵拋物線開口向上，且對(duì)稱軸為x=?1，∴當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大，故④正確，∴正確的結(jié)論有3個(gè)，故選:C.【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】∵關(guān)于的一元二次方程兩實(shí)數(shù)根為、，∴.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：、是方程的兩根時(shí)，，．7、C【分析】①連接DE、DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠MDF=∠NDE，證明△DMF≌△DNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②根據(jù)①的結(jié)論結(jié)合點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC中點(diǎn)，即可得證；③根據(jù)題目中的條件易證得，即可得證；④根據(jù)題目中的條件易證得，再則等量代換，即可得證．【詳解】連接，

∵和為等邊三角形，

∴，，

∵點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，

∴是等邊三角形，∴，，

∵∴，

在和中，，

∴，

∴，故①正確；∵點(diǎn)分別為等邊三角形三邊的中點(diǎn)，

∴四邊形為菱形，∴，∵，∴，故②正確；∵點(diǎn)分別為等邊三角形三邊的中點(diǎn)，∴∥，∴，∵為等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵點(diǎn)分別為等邊三角形三邊的中點(diǎn)，∴∥，，∴，∴，由②得，∴，∴，故④正確；綜上：①②④共3個(gè)正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合等量代換是解題的關(guān)鍵．8、B【分析】直接把x=﹣2代入已知方程就得到關(guān)于m的方程，再解此方程即可．【詳解】∵x=﹣2是一元二次方程x2+mx+4=0的一個(gè)解，

∴4?2m+4=0，

∴m=4.

故選B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=﹣2代入已知方程.9、C【解析】試題分析：觀察圖象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得k=4，故答案選C.考點(diǎn)：反比例函數(shù)k的幾何意義.10、B【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，逐項(xiàng)判斷即可得出答案．【詳解】∵y=x2﹣4x+4=(x﹣2)2，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=2，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，∴選項(xiàng)A、C、D說(shuō)法正確；令y=0可得(x﹣1)2=0，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，∴B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答本題的關(guān)鍵，即在y=a(x﹣h)2+k中，其對(duì)稱軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)．11、A【解析】試題分析：根據(jù)一元二次方程的意義，可知a≠0，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式，可由有實(shí)數(shù)根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范圍為a≤且a≠0.點(diǎn)睛：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)判斷△=b2-4ac的值即可.注意：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的十?dāng)?shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.12、B【解析】根據(jù)有理數(shù)的減法、絕對(duì)值的意義、相反數(shù)的意義解答即可.【詳解】A.，故不正確；B.，正確；C.，故不正確；D.，故不正確；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的減法法則、絕對(duì)值的意義、相反數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】圖中勒洛三角形是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積三塊扇形的面積相加，再減去兩個(gè)等邊三角形的面積，分別求出即可．【詳解】解：過(guò)作于，∵是等邊三角形，，，，，，的面積為，，勒洛三角形的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算，能根據(jù)圖形得出勒洛三角形的面積三塊扇形的面積相加、再減去兩個(gè)等邊三角形的面積是解此題的關(guān)鍵．14、2【解析】根據(jù)一元二次方程根的意義可得+2=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得=2，把相關(guān)數(shù)值代入所求的代數(shù)式即可得.【詳解】由題意得：+2=0，=2，∴=-2，=4，∴=-2+4=2，故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的意義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.15、.【解析】⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°，；因?yàn)镺B、OC是⊙O的半徑，所以O(shè)B=OC，所以=，在中，若⊙O的半徑OC為2，OB=OC=2，在中，BC="2"=【點(diǎn)睛】本題考查圓周角與圓心角、弦心距，要求考生熟悉圓周角與圓心角的關(guān)系，會(huì)求弦心距和弦長(zhǎng)16、【分析】根據(jù)坡度的定義，可得，從而得∠A=30°，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵水壩的坡比為，∠C=90°，∴，即：tan∠A=∴∠A=30°，∵為米，∴為1米．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查坡度的定義和三角函數(shù)的定義，掌握坡度的定義，是解題的關(guān)鍵．17、4【解析】試題分析：如圖，能畫4個(gè),分別是:以D為圓心,AB為半徑畫圓;以C為圓心,CA為半徑畫圓．兩圓相交于兩點(diǎn)（DE上下各一個(gè)）,分別于D、E連接后,可得到兩個(gè)三角形；以D為圓心,AC為半徑畫圓;以E為圓心,AB為半徑畫圓．兩圓相交于兩點(diǎn)（DE上下各一個(gè)）,分別于D、E連接后,可得到兩個(gè)三角形．因此最多能畫出4個(gè)考點(diǎn)：作圖題．18、【分析】根據(jù)合比性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：，即．故答案為．【點(diǎn)睛】考查了比例的性質(zhì)，利用了和比性質(zhì)：．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）證明見解析；（3）最小值為【分析】(1)過(guò)C做CF⊥AB，垂足為F，由題意可得∠B=30°，用正切函數(shù)可求CF的長(zhǎng)，再用正弦函數(shù)即可求解；(2)如圖（2）1：延長(zhǎng)BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再證DG=AD，得CF=DG，可得四邊形DGFC是矩形即可；（3）如圖（2）2：設(shè)ED與AC相交于G，連接FG,先證△EDF≌△FD'B得BD'=DE，當(dāng)DE最大時(shí)最小，然后求解即可；【詳解】解：（1）如圖：過(guò)C做CF⊥AB，垂足為F，∵，∴∠A=∠B=30°，BF=3∵tan∠B=∴CF=又∵sin∠CDB=sin45°=∴DC=∴等邊的邊長(zhǎng)為；①如圖（2）1：延長(zhǎng)BC到G使CG=BC∵∠ACB=120°∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°又∵∠ACB=60°∴∠GCE=∠ACD又∵CE=CD∴△CGE≌△CAD（SAS）∴∠G=∠A=30°，GE=AD又∵EF=FB∴GE∥FC,GE=FC,∴∠BCF=∠G=30°∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°∴CF∥DG∵∠A=30°∴GD=AD,∴CF=DG∴四邊形DGFC是平行四邊形，又∵∠ACF=90°∴四邊形DGFC是矩形，∴②）如圖（2）2：設(shè)ED與AC相交于G，連接FG由題意得：EF=BF,∠EFD=∠D'FB∴△EDF≌△FD'B∴BD'=DE∴BD'=CD∴當(dāng)BD'取最小值時(shí)，有最小值當(dāng)CD⊥AB時(shí)，BD'min=AC,設(shè)CDmin=a，則AC=BC=2a，AB=2a的最小值為；【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；但本題知識(shí)點(diǎn)比較隱蔽，正確做出輔助線，發(fā)現(xiàn)所考查的知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.20、（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為．【分析】（1）欲證AC與圓O相切，只要證明圓心O到AC的距離等于圓的半徑即可，即連接OD,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E點(diǎn)，證明OE=OD.（2）根據(jù)已知可求OA的長(zhǎng)，再由等積關(guān)系求出OD的長(zhǎng)．【詳解】證明：（1）連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵切于，∴，∴，又∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，即是的半徑，∴與相切．（2）連接，則，又為BC的中點(diǎn)，∴，∴在中，，∴由等積關(guān)系得：，∴，即O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)和判定，欲證切線，作垂直O(jiān)E⊥AC于E,證半徑OE=OD；還考查了利用面積相等來(lái)求OD．21、（1）A,B；；（2）；（3）點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，4為半徑的圓上；或在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上．【分析】（1）由題意利用“和諧三角形”以及“和諧距離”的定義進(jìn)行分析求解；（2）由題意可知以BD的中點(diǎn)為圓心，以BD為直徑作圓此時(shí)可求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）根據(jù)題意△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，畫出圖像進(jìn)行分析.【詳解】解：（1）由題意可知當(dāng)A（2,0），B（0,4）與O構(gòu)成三角形時(shí)滿足圓周角定理即能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”，此時(shí)“和諧距離”為；（2）根據(jù)題意作圖，以BD的中點(diǎn)為圓心，以BD為直徑作圓，可知當(dāng)E在如圖位置時(shí)求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍，解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍為；（3）如圖當(dāng)PQ為“和諧邊”時(shí)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上；當(dāng)OQ為“和諧邊”時(shí)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，4為半徑的圓上.【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)以及理解題干定義是解題關(guān)鍵.22、用一根長(zhǎng)12的鐵絲能圍成面積是7的矩形，理由見解析【分析】設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為，然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程，并解方程即可．【詳解】解：設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為．根據(jù)題意，得解這個(gè)方程，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，答：用一根長(zhǎng)12鐵絲能圍成面積是7的矩形．【點(diǎn)睛】此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，掌握利用矩形的面積公式列方程是解決此題的關(guān)鍵．23、（1）見解析，（2）BC=3.【分析】（1）由AD是角平分線可得∠BAD=∠CAD，根據(jù)AC=CE可得∠CAD=∠E即可證明∠BAD=∠E，又因?yàn)閷?duì)頂角相等，即可證明△ABD∽△ECD；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BC的長(zhǎng).【詳解】（1）∵是的角平分線，∴.∵，∴.∴.又∵∠ADB=∠CDE∴.（2）∵，∴.∵，∴.∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.24、（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)矩形的判定可得四邊形和四邊形是矩形，從而得出，，，然后證出，列出比例式，再利用等量代換即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，先證出，可得，然后證出，可得，即可求出EF和AC的關(guān)系，從而求出與之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1所示：則四