新課標(biāo)人教A版數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》教案

選修4_5 不等式選講課題:第01課時(shí) 不等式的基本性質(zhì)ー、引入:不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系?！读凶?湯問(wèn)》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠(yuǎn)者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”,就從側(cè)面表明了現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的廣泛存在;日常生活中息息相關(guān)的問(wèn)題,如“自來(lái)水管的宜截面為什么做成圓的,而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺(tái)上方怎樣的高度最亮?”、“用ー塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去ー個(gè)小正方形,制成一個(gè)無(wú)蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形?”等,都屬于不等關(guān)系的問(wèn)題，需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重耍的作用。本專題將介紹ー些重要的不等式(含有絕對(duì)值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的,而相等則是局部的、相對(duì)的。還可從引言中實(shí)際問(wèn)題出發(fā),說(shuō)明本章知識(shí)的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了,為什么?分析:起初的糖水濃度為巳,加入m克糖后的糖水濃度為セニ”,只要證ニニ竺>ク即可。a 。+機(jī) a-\-ma怎么證呢?二、不等式的基本性質(zhì):1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系:數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù),從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知:a>b<^>a-h>0a=b<^a-b=0a<ba-b<0得出結(jié)論:要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號(hào)即可。2、不等式的基本性質(zhì):①、如果①b,那么bくa,如果bくa,那么a〉b。(對(duì)稱性)②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c=>a>c0③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>b=>a+c>b+c。推論:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.即a>b,c>d=>a+c>b+d.④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且cく〇,那么acくbe.⑤、如果a>b>0,那么イ>グ(n$N,且n>l)⑥、如果a>b>0,那么れ〉標(biāo)(neN,且n>l)。三、典型例題:例1、已知a>b,c<d,求證:a-c>b-d.例2已知a>b>0,c<0,求證:—>—ab°選修4_5 不等式選講課題:第02課時(shí) 含有絕對(duì)值的不等式的解法ー、引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的ー些基本知識(shí)有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上,本節(jié)討論含有絕對(duì)值的不等式。關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題,主要包括兩類:ー類是解不等式,另ー類是證明不等式。下面分別就這兩類問(wèn)題展開探討。1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的意義.請(qǐng)同學(xué)們回憶ー下絕對(duì)值的意義。x,如果尤>0在數(shù)軸匕ー個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。即|メ=（（）,如果x=o。-x,如果x<02、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類型。第一種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義,不等式忖<。的解集是{x\-a<x<a],它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開區(qū)間（—a,a）,如圖所示。-a 圖1-1 a如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。第二種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式兇>。的解集是{xlx>a或x<-a}它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開區(qū)間（2〇,一。）,（a,8）的并集。如圖1-2所示。-a a圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類型,就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。二、典型例題:例1、解不等式|3x-l|<x+2。例2、解不等式|3スーリ>2ーズ。方法1：分域討論★方法2:依題意，3Xー1>2ース或3ズー1<ズー2,（為什么可以這么解?）例3、解不等式|2x+1+|3x-2|25。例4、解不等式トー2|+トーリ25。解本題可以按照例3的方法解,但更簡(jiǎn)單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點(diǎn)x到1,2的距離的和大于等于5。因?yàn)?,2的距離為1,所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（=（5-1）+2）:或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說(shuō)，xN4或xW—l.例5、不等式\x-]\+\x+3\>a,對(duì)一切實(shí)數(shù)尤都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、練習(xí):解不等式四、練習(xí):解不等式1、2|2x—1|>1.|3—2メ《x+4.5、卜2-2x-4|<17ヽ|x|4-|x-2|4|x|+|x+l|<2選修42、4|l-3x|-l<04、,+リN2-ス.6、,?-1|>x+2.8、|x-1|+|x4-3|6.||x|-|x-4||>2.5 不等式選講課題:第03課時(shí) 含有絕對(duì)值的不等式的證明ー、引入:證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立,除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外,經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì):(2)同一例《k+4(3)時(shí)(3)時(shí)?網(wǎng)?4⑷.Iれ。)請(qǐng)同學(xué)們思考一下,是否可以用絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)明上述性質(zhì)存在的道理?實(shí)際上,性質(zhì)冋?實(shí)際上,性質(zhì)冋?網(wǎng)=|a?和討=H0)可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出;而絕對(duì)值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此,只要能夠證明冋+ル|耳。+q對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們討論ー個(gè)問(wèn)題:設(shè)。為實(shí)數(shù),a和冋哪個(gè)大?顯然冋ンa,當(dāng)且僅當(dāng)a20時(shí)等號(hào)成立(即在。ン0時(shí)，等號(hào)成立。在。<0時(shí),等號(hào)不成立)。同樣,時(shí)?ー。.當(dāng)且僅當(dāng)。W0時(shí)，等號(hào)成立。含有絕對(duì)值的不等式的證明中，常常利用|。|2+。、|。住一。及絕対值的和的性質(zhì)。二、典型例題:例1、證明⑴|。|+網(wǎng)N|。+b|, (2)|a+b|>|a|—|ft!〇證明(1)如果。+b20,那么|。+4=。+b.所以］。|+網(wǎng)2。+b=|。+4如果。+b<0,那么|。+4=一(。+b).所以冋+例>-a+(一b)=—(a+b)=\a+b\(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，有|。+4+|-421。+b-4,就是，|。+,+網(wǎng)2冋。

所以,卜+可ン同一例。例2、證明\a\-\b\<\a-b\<\a\+\b\.例3、證明|a-h|<|a—c|+|&—c|〇思考:如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋?(設(shè)A,B,C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn),分別表示數(shù)a,b,c,則線段484AC+CB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A,B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特別的,取c=0(即C為原點(diǎn))，就得到例2的后半部分。)探究:試?yán)媒^對(duì)值的幾何意義,給出不等式時(shí)+悶2卜+サ的幾何解釋?含有絕對(duì)值的不等式常常相加減,得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1,例2和例3的結(jié)果來(lái)證明。例4、例4、已知|x-a|<-|,|y-fe|<-|,求證|(x+y)-(。+ム)|<c.證明|(x+y)—(a+b)|=I(x—a)+(y-Z>)|W-4 (1)/.|x-+—/?|<—4"—=c (2)由(1),(2)得:|(x+y)—(a+()|〈c例5、已知求證:|2スー3乂<〃。證明?.?.<?」ホト,.,.網(wǎng)<裂3メ、,由例1及上式,レー3メ引2耳+的|<|+3=4。注意:在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在ー起寫。但這種寫法,只能用于不等號(hào)方向相同的不等式。四、練習(xí)：1、已知|A—4<￡,忸ー可<￡.求證:|(A-8)—(aーめ|<c。2、已知2、已知ドーイI苦,レーq .求證:|2x—3y—2a+3H<c〇鏈接:不等式的圖形借助圖形的直觀性來(lái)研究不等式的問(wèn)題,是學(xué)習(xí)不等式的一個(gè)重要方法,特別是利用絕對(duì)值和絕對(duì)值不等式的幾何意義來(lái)解不等式或者證明不等式,往往能使問(wèn)題變得直觀明了,幫助我們迅速而準(zhǔn)確地尋找到問(wèn)題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí),能否準(zhǔn)確地把握不等式的圖形,從而有效地解決問(wèn)題。我們?cè)賮?lái)通過(guò)幾個(gè)具體問(wèn)題體會(huì)不等式圖形的作用。1.解不等式|尤ー1|+トー2|4卜+1|。題意即是在數(shù)軸上找出到う=1與虞=2的距離之和不大于到點(diǎn)或=ー1的距離的所有流動(dòng)點(diǎn)X〇首先在數(shù)軸上找到點(diǎn)う=1,ち=2,女=一1（如圖）。 ?-1 0 1 2 3從圖上判斷，在う與纟之間的一切點(diǎn)顯示都合乎要求。事實(shí)上,這種點(diǎn)到。與あ的距離和正好是!,而到統(tǒng)的距離是2+（無(wú)一l）=l+x（l《xW2）?，F(xiàn)在讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)。向左移動(dòng)，這樣它到點(diǎn)。（的距離變，而到點(diǎn)。與ち的距離增大,顯然，合乎要求的點(diǎn)只能是介于ぐ3=-1與。=1之間的某一個(gè)點(diǎn)再。由（1一再）+（2ー/）く再ー（—1）,可得あN§.再讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)あ向右移動(dòng),雖然這種點(diǎn)到る與乙的距離的和及到よ的距離和都在增加,但兩相比較,到う與あ的距離的和增加的要快。所以,要使這種點(diǎn)合乎要求,也只能流動(dòng)到某ー點(diǎn)x2而止。由（ちー1）+（ム-2）<x2-（-1）,可得も<4,從而不等式的解為ーエス《4.2.畫出不等式W+|y|《l的圖形，并指出其解的范圍。先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價(jià)于:x>0 ,y>0,x+y<1.其圖形是由第?象限中直線y=l-x下方的點(diǎn)所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式|x|+|y|Wl的圖形是以原點(diǎn)〇為中心,四個(gè)等點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸 a上的正方形。不等式解的范圍一目了然。

探究:利用不等式的圖形解不等式||x+1|—|x—1||<1; 2.兇+2レ|41.A組.解下列不等式:|2一3が; (2)l<|3x+4|<7|2x-4|<x+1 (4)|x|(4+8+C)-(a+b+c)|<s；(2)レ+|(4+8+C)-(a+b+c)|<s；(2)レ+8-C)-(a+人ーc)|<s.6.已知忖vム\聞<&.求證:\xy\<a..解不等式: (1)|2x-1|<トー1] (2)-->1.解不等式:(1)|x+1|+|x+2|>3 (2)|x+2|—|x—1|+3>0..利用絕對(duì)值的幾何意義,解決問(wèn)題：要使不等式卜-4|+卜-3|<。有解,。要滿足什么條件?5.已知5.已知\A-aトキ忸一同7.已知國(guó)< >c>0.求證:*****8.求證レ+0エl+|a+i>|lalI\b\i+同ス+B「*****9.已知冋<1,同<1.求證:["十ノ<1.10.若a,タ為任意實(shí)數(shù),c為正數(shù)，求證:卜+ガ|匕（1+琳ザ+（1+丄）期2.（"+ガ可ザ+財(cái)+2（"+ガ可ザ+財(cái)+2同川，而同夕（=財(cái)+丄|ガ

C2選修4_5 不等式選講課題:第03課時(shí) 指數(shù)不等式的解法二、典型例題:例1、解不等式2/ユー3<(丄)3(1)解:原不等式可化為:2rユー3<2-3UT) ?.?底數(shù)2>1x~-2,x—3<-3(x—1) 整理得:x~+x_6<0解之,不等式的解集為｛xl-3<r<2｝例2、解不等式3"1+18?3ぺ>29。解：原不等式可化為：3-32x-29-3r+18>0即：(3x-9)(3-3J-2)>0 解之:3X>9或3'<(ハ, 2.,.x>2或x<log3—.,.不等式的解集為｛ホ>2或x<logs-)例3、解不等式:ax2_2x>ax+4,(a>〇且aヰ1)(當(dāng)”>1時(shí)スw(—oo,—l)(4,+〇〇)當(dāng)〇<”vl時(shí)xe(—1,4))例4、解不等式:(g)x>>牛， (-l<r<3)選修4_5不等式選講課題：第04課時(shí) 對(duì)數(shù)不等式的解法二、典型例題:例1、解不等式log.3(X-1)22。ド-1>0 lx-1>0解:原不等式等價(jià)于b-3>l或{〇<x—3vl 解之得:4。W5[x—1(x—3)" [x—l《(x-3廠???原不等式的解集為34bく5}例2、解關(guān)于x的不等式:log^(44-3x-x2)-logw(2x-1)>log,2,(。>0,。エ1)解:原不等式可化為logfl(4+3x-x2)>log.2(2x-1)

f2x-l>0當(dāng)〃>1時(shí)有《4+3スー尸>04+3xー廠>2(2x—1) —3<え<2(其實(shí)中冋ー個(gè)不等式可省)2x-l>0當(dāng)0<4〈1時(shí)有44+3ズース2>0 =><-1<x<4 =>2<x<44+3x-x2<2(2x-1) x<-3或x>2.??當(dāng)。>1時(shí)不等式的解集為「丄〈尤<2];當(dāng)0<?<!時(shí)不等式的解集為｛x|2<x<4｝。例3、解關(guān)于x的不等式15-log“x>l+log〃x。解:原不等式等價(jià)于5-logflx>0logqx+1<0[l+logux>0 (5-logux>(l+logu5-logflx>0logqx+1<05—log”x>0解I：-1<Iogqx<1解H：logux<-l/.logflx<1當(dāng)a>\時(shí)有0<x<a 當(dāng)〇<”1時(shí)有x>a原不等式的解集為30ova, ｝或｛xloq0v7V1｝例4、解不等式x*，>y土。(T解:兩邊取以。為底的對(duì)數(shù):當(dāng)〇<avl時(shí)原不等式化為:(log,,x)~<—log"x-2:.(log“x-4)(21og"x-l)<0gvlog,,xv4當(dāng)a>\時(shí)原不等式化為:(log"x)2>—log"x-2???(log"x-4)(2log"x-l)>0

...log...log“尤>4或log“x<gX>パ或〇<x<y[a...原不等式的解集為｛xIa4<x<y[a,0<a<1｝或｛xIx>メ或。<x<y[a,a>1｝四、練習(xí):解下列不等式log)(x2-3x-4)>log](2x+10) (-2<x<l或4<r<7)當(dāng)。<a<l,求不等式:logq(log”x)>0 (awvl)a>l,0<b<l,求證:。唸(21)>14.14-r4.log.-->0,(a>0,a^l)1-x5.a>\時(shí)解關(guān)于x的不等式log。[か，一23+2川)+1]>0(a>2,x>log02；I<a<2,x<log2；a=2,xg2 2選修4_5不等式選講課題:第05課時(shí) 無(wú)理不等式的解法ー、引入:1、無(wú)理不等式的類型:卜(x)叫宀①、"(x)>Jg(x)型0 g(x)20j一疋乂レ(X)>g(x)fg(X)>0r〇②、"(x)>g(x)型=。(x)N0 或deレ(x)>[g(ザンニf/U)>0③、イ/(X)<g(x)型0，g(x)>0J(x)<[g(尤)]2二、典型例題:例1、解不等式A/3x-4ームー3>0解：?.?根式有意義解：?.?根式有意義.??必須有:3x-4>0

x-3>0=>x>3又有;原不等式可化為“3x—4>おー3兩邊平方得:3x-4>x-3解之:x>-2/.{xIx>3}n{xIX>—}={xIx>3}例2、解不等式イス2+3x-2>4-3xTOC\o"1-5"\h\z解：原不等式等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組得解集的并集：f4-3x>0 ,,I:4ーX?+3x-2>0 II：\[-x2+3x-2>(4-3x)2 [4—3x<3 6 4 4解I：U<x<2=>-<x<-解H：-<x<26 3 5 3 3-<x<-[5 2.??原不等式的解集為{xl1<x<2}例3、解不等式V2x~-"6x+4<x+2f2x2—6x+4>0解：原不等式等價(jià)于{x+2>0[2x2-6x+4<(x+2)2fx>2bJcx<1=>sx>-2 =>{xI2<x<lOfiJcO<x<1}[o<x<lO特別提醒注意：取等號(hào)的情況例4、解不等式“2x+1>4+1-1解：要使不等式有意義必須:2x+l>0_x+1N0x>-T2原不等式可變形為ノ2x+l+l>Jx+l因?yàn)閮蛇吘鶠榉秦?fù)/.(>/2x+1+1)2>(Vx+T)2即2j2x+l>-(x+l)Vx+1^0 .?.不等式的解為2x+lユ〇即x>ーー2例5、解不等式“x?+l-”41（。>0）例6、解不等式ソ2-X+-J~x-1>1解:定義域x-120xNl原不等式可化為:ムー1一1>ッスー2兩邊立方并整理得:(x+2)?—l>4(x—l)在此條件下兩邊再平方,整理得：(x-l)(x-2)(x-10)>0解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為{xll<x<2或x>10}四、練習(xí):解下列不等式y(tǒng)p2x—3+y/3x—5>V5x—6 (x>2)3x—3+-Jx+3<3x+y/x+3 (x>-3)[4-^1'-x>べ2-x ( <xV1)s(x-1)7x~~x—2>0 (xN2或x——1)a/2—X—y/~X+1>1 (-1くスW———)選修4_5不等式選講課題:第06課時(shí) 含有參數(shù)不等式的解法ー、引入：二、典型例題:例1、解關(guān)于x的不等式log-x<log-a解：原不等式等價(jià)于!og^x<—!—即：?！?,+D(i°冕1-D<0log“x log"x工log”x<一1或〇<log"x<1若4>1 O<x<—flKl<X<a,若〇<avl x>—<x<1〇a例2、解關(guān)于x的不等式23x-2X<m(2x-2-x)即:（22x—l）（22x一帆）＜0s71當(dāng)m>\時(shí)1V2ハ<m 0<x<—log?m當(dāng)m=l時(shí)(22"-1)2<0 .,?記0當(dāng)0<m<I時(shí)m<22x<1 /.丄log?m<x<0當(dāng)かW0時(shí) x<0例3、解關(guān)于x的不等式42—4/nx+4〃/>m+3解:原不等式等價(jià)于1スー2加1>m+3當(dāng)m+3>0即加>一3時(shí) X-2m>m+3或ズ-2m<-(m+3)，x>3m3或ス<m—3當(dāng)m+3=0即ル=-3時(shí)lx+6l>0 Ax^-6當(dāng)m+3<0即m<—3時(shí) xgRo例4、解關(guān)于x的不等式(cot。)—“らー2〈[，(〇〈"馬解:當(dāng)cot6>1即%(0,—)時(shí)—x~+3x—2<0 1メ>2或xvl4當(dāng)cot0=1KPO=—時(shí)xe04當(dāng)cotOe(〇』)即時(shí)一ス2+3*—2>0Al<r<242例5、滿足3-xNjx-l的x的集合為A;滿足ギー(a+l)x+a?0的x的集合為8。ド、若求a的取值范圍2。、若4コ8求a的取值范圍3。、若4r18為僅含ー個(gè)元素的集合,求a的值。解:A=[l,2] B={xl(x-a)(x-l)W0}當(dāng)aWl時(shí)B=[a,\] 當(dāng)a>l時(shí)8=[l,a]當(dāng)a>2時(shí)AuB當(dāng)1Waく2時(shí)AコB當(dāng)〃く1時(shí)4c5僅含ー個(gè)元素

例6、方程asii?x+丄cosx+丄ー。=0,(0＜。＜1,04ス4カ)有相異兩實(shí)根,求。的取值范圍。解:原不等式可化為2acos?x-cosx-1=0,令:t=cosx貝リre[-1,1]設(shè)ー，一1又?.7＞()A=1+A=1+8a>0ハー1)=2a20/(l)=2a-2>0,1,-1<—<14a=><1a>——8a>0a>\1-1a>ー或。<——=>a>1五、作業(yè):2 1log,x—(a+—)logjx+1<0當(dāng)a>1或ー1<a<〇時(shí)(丄)。<x<(丄ゆ當(dāng)〇<a<1或a<-2 2當(dāng)〇<a<1或a<-a<x<(一)"A={xI3-x>y/x-l}B={xIIx—11> >0}若AcB=歐(心1)求a(心1)yja2-3x2>x+a,(a>0)xl08°x+,>a2x,(a>0)(當(dāng)〇<av1時(shí)a、歷<x<cT広,當(dāng)a>1時(shí)x>〃の或0vx<a一変)當(dāng)〃在什么范圍內(nèi)方程:x2一(logz4-4)x+—log；Q-l=0有兩個(gè)4不同的負(fù)根若方程x?+(m-2)x+5-m=0的兩根都對(duì)于2,求實(shí)數(shù)m的范圍。((-5,4])選修4_5不等式選講課題:第07課時(shí) 不等式的證明方法之一:比較法ー、引入：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號(hào)即可,即利用不等式的性質(zhì)：a>h<^>a-b>0a=b=a-b=Qa<ba-b<Q二、典型例題:例1、設(shè)求證:a2+?>b2>2b(a+b).例2、若實(shí)數(shù)xHl,求證:3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.證明:采用差值比較法:3(1+x2+x4)-(l+x+x2)2=3+3x"+3x4—1—X"—x4—2x-2x2—2x=2(x4-x3—x+1)=2(x-l)2(x2+x+l)=2(x-l)-[(^+—)'???xキ1,從而(xーピ〉0,且(x+-)2+->0,二2(x—1)[(x+—)+—]>0,3(l+x~+x4)>(1+x+x")".討論:若題設(shè)中去掉XHl這ー限制條件,要求證的結(jié)論如何變換?例3、已知a,beR+,求證廢ザNa%".本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于スわ對(duì)稱,不妨設(shè)a2b>0.a-b>0,hhhhh,從而原不等式得證。aabb-abba=メピ(a"“-ba'b)>02)商值比較法：設(shè)a2み>0,21.故原不等式得證。注:比較法是證明不等式的ー種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是:作差(或作商)、變形、判斷符號(hào)。例4、甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度〃行走:乙有一半路程以速度〃7行走,另一半路程以速度〃行走。如果Z〃?！?，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)。分析:設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為ん,ら。要回答題H中的問(wèn)題,只要比較ム,ス的大小就可以了。解:設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為ム,ち,ユ七ム人0ss__ 25 S(m+n)TOC\o"1-5"\h\z根據(jù)題忌有一/nH—n=S, 1 =ち，可得ム= ,ち= ，2 22m2n m+n 2mn__ 25 S(m+n) S[4加〃ー(m+〃)“ 5(w-n)2從而-t2= = =一二 ，m^n2nm2(m^-n)mn 2(m+n)mn其中5,Z〃,〃都是正數(shù),且〃?H〃。于是ムーん<0,即ムくら。從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。討論：如果m=〃,甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)?例5、設(shè)/(幻=2ゼ+1,「ワ>0,〃+4=1.求證;對(duì)任意實(shí)數(shù)a力,恒有pf(a)+qf(b)>f{pa+qb). (1)證明考慮(1)式兩邊的差。Pf(a)+qfib)-f(pa+qb).=p(2a2+1)+式2パ+1)—[2(pa+m)2+1]=2P(1—p)a2+2q(l—q)b2—4pqab+p+q-\. (2)???p+q=l,pq>0,/.(2)=2pqa1+2pqb~-4pqab=2Pq(a-b))>0.即(1)成立。五、作業(yè)：.比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)ズ與ズーx+1；(2)プ+x+l與(x+ピ..已知aHl.求證：(1)a2>2a-l; (2) -<1.1+aa+fr+c.若aNb2c>0,求證。?%,N(。ん)~..比較a4-b4與4a3(a-b)的大小.解:a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-（a-b）2I缶+￡）+そぎ。（當(dāng)且僅當(dāng)d=b時(shí)取等號(hào)）/.a4-b4>4a3（a-b）..比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a*4）的大小..已知xWO,比較*+1）2與x4+x^+l的大小..如果x>0,比較（4一日與い+1，的大小..已知aWO,比較（1+0a+1卜-0a+1）與（庁+a+ユーa+1）的大小..設(shè)xNl,比較x3與x2-x+l的大小.說(shuō)明:“變形”是解題的關(guān)鍵,是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。閱讀材料:琴生不等式例5中的不等式川（の+ガ（ム）2/（pa+ヮの有著重要的數(shù)學(xué)背景,它與高等數(shù)學(xué)中的ー類凸函數(shù)有著密切的關(guān)系,也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在!905年給出了一個(gè)定義:設(shè)函數(shù)ハx）的定義域?yàn)椋踑,b］,如果對(duì)于［a,b］內(nèi)任意兩數(shù)匹,ち，都有ィー+ち）<“再）+/*2） （1）則稱/は）為［a,b］上的凸函數(shù)。若把（1）式的不等號(hào)反向,則稱這樣的f（無(wú)）為［a,b］上的凹函數(shù)。凸函數(shù)的幾何意義是：過(guò)y=/（x）曲線上任意兩點(diǎn)作弦，則弦的中點(diǎn)必在該曲線的上方或在曲線上。其推廣形式是：若函數(shù)/（x）的是［a,b］上的凸函數(shù),則對(duì)［a,b］內(nèi)的任意數(shù)七,ム,…尤"，都有イ?+ち+…+工“］</（尤|）+/（ム）+…+/*“） （2）I〃丿 n當(dāng)且僅當(dāng)る=ち=-=ム時(shí)等號(hào)成立。一般稱（2）式為琴生不等式。更為一般的情況是:設(shè)ハX）是定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)，如果對(duì)于［a,b］上的任意兩點(diǎn)る,ち，有ガ（再）+ザ（め）之，（「再+g），其中p,qe/T,p+q=l,則稱/（幻是區(qū)間［a,b］上的凸函數(shù)。如果不等式反向，即有pf(x{)+qf(x2)</(pX)+qx2),則稱『(x)是［a,b］上的凹函數(shù)。其推廣形式,設(shè)グ,生，…國(guó)“eR+，/+り2+…+/1=1，/（幻是［a,b］上的凸函數(shù),則對(duì)任意和ち,…,居e［a向,有/（%X1+みム+…+り"ム）"ノ（ス|）+み，（ム）+…+り”/（招），當(dāng)且僅當(dāng)る=ち=…=ム時(shí)等號(hào)成立。若/（X）是凹函數(shù),則上述不等式反向。該不等式稱為琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式應(yīng)用于ー些具體的函數(shù)，可以推出許多著名不等式。選修4_5 不等式選講課題:第08課時(shí) 不等式的證明方法之ニ:綜合法與分析法ー、引入:綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法,也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性,這里將其放在ー起加以認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí),以便于對(duì)比研究?jī)煞N思路方法的特點(diǎn)。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過(guò)來(lái)尋找原因,直至原因成為明顯的或者在已知中。前ー種是“由因及果”,后ー種是“執(zhí)果索因”。打一個(gè)比方:張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是‘‘綜合法”;而張三自己找路,直至回到駐地,這是“分析法”。以前得到的結(jié)論，可以作為證明的根據(jù)。特別的,A2+B2>2AB是常常要用到的ー個(gè)重要不等式。二、典型例題:例1、a,わ都是正數(shù)。求證:-+->2.ba證明:由重要不等式ん2+822248可得本例的證明是綜合法。例2、設(shè)a>0,6>0,求證イ+ガ2。％+。ん?證法一分析法要證メ+ガとメル+加成立只需證（a+み）（グ-ab+b2）>ab（a+b）成立,又因。+/?>0,只需證a2-ab-^b1>ab成立,又需證メー2ab+ガN0成立,即需證（aー〃）2N0成立.而（。ーう）2>o顯然成立.山此命題得證。

證法二綜合法(a—b)~20=a~-2ab+/?'>0=u~—ab+/?~2ab注意到a>0力>0,即a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),從而メ+63>a2b+ab2成立。議一議:根據(jù)上面的例證,你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎?TOC\o"1-5"\h\z例3、已知a,b,m都是正數(shù),并且。く反求證:a+m>￡. (1)b+mb證法一要證(1),只需證わ(a+m)>a(b+m) (2)要證(2),只需證かn>a/n (3)要證(3),只需證わ〉。 (4)已知(4)成立,所以(1)成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二因?yàn)椁铩怠?，”是正數(shù)，所以か”>。，”兩邊同時(shí)加上。ZJ得ル(。+，”)〉a(b+m)兩邊同時(shí)除以正數(shù)b(b+m)得(1)?讀ー讀:如果用P=。或。<=P表示命題P可以推出命題Q(命題Q可以由命題P推出)，那么采用分析法的證法一就是(1)<=(2)u(3)u(4).而采用綜合法的證法二就是 (4)n(3)=>(2)=(1).如果命題P可以推出命題Q,命題Q也可以推出命題P,即同時(shí)有P=>Q,Q=>P,那么我們就說(shuō)命題P與命題Q等價(jià)，并記為P=Q.在例2中，由于わ,m,b+，n都是正數(shù)，實(shí)際上(1)0⑵〇(3)〇(4).例4、證明:通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí),如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析:當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長(zhǎng)為厶，則周長(zhǎng)為厶的圓的半徑為ム,截面積為)ム〕;周長(zhǎng)為厶的正方形為丄,截面積為(丄1〇所以2た (2%丿 4 14丿本題只需證明萬(wàn)後

本題只需證明萬(wàn)後證明:設(shè)截面的周長(zhǎng)為厶,則截面是圓的水管的截面面積為刀證明:設(shè)截面的周長(zhǎng)為厶,則截面是圓的水管的截面面積為刀I截面是正方形的水管的為了證明上式成立,只需證明や?>

4ガ1?16兩邊同乘以正數(shù),得:一>—137t4因此,只需證明4>71〇上式顯然成立,所以た後)>も)。這就證明了:通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí),如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明:Q2+みユ+ぺ之。b+bc+c〃。證法一因?yàn)閍證法一因?yàn)閍2+b2>2ab(2)(3)Z?24-c2>2bc(3)TOC\o"1-5"\h\zc2+a2>2ca (4)所以三式相加得2(。2+/?2+c2)>2(ab+bc+ca) (5)兩邊同時(shí)除以2即得(Do證法二因?yàn)楗?b2+c2-(ab+bc+ca)=-(a-b)2+-(b-c)2+-(c-a)2>0,所以(1)成立。例6、證明：(°2+ル2)(。2+d2)N(ac+bd)2 (1)證明(1)Q(グ+ガ)(じ2+イ2)一(ac+〃)220 (2)=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2-(a2c2+2abcd+b2d2)>0(3)=b2c2+a2d2-2abcd>0 (4)<=>(be—ad)2>0 (5)(5)顯然成立。因此(1)成立。例7、已知。,んc都是正數(shù),求證メ+ガ+￠3と3。ん.并指出等號(hào)在什么時(shí)候成立?分析：本題可以考慮利用因式分解公式か+ガ+c3-3abc=(。+6+c)(q2+h2+c2-ab-bc-cd)著手。證明:か+ガ+c3-3abc=(〃+/?+c)(a“+b?+c?—ub—be—cu)=5(a+/7+c)[(a-ガー+(/?—c)?+(c—a)?].由于。,一c都是正數(shù),所以。+b+c>0.而(a-/?)?+(/?-c)2+(c-q)2>0,可知ザ+ガ+じ3-3abeNO即メ+ガ+じ323a》c(等號(hào)在。=b=c時(shí)成立)探究:如果將不等式。S+ガ+じ3N3。ん中的。S,ガ,￠3分別用〃也。來(lái)代替,并在兩邊同除以3,會(huì)得到怎樣的不等式?并利用得到的結(jié)果證明不等式:(l+a+b)(l+b+c)(l+c+c)>27,其中。,み,c是互不相等的正數(shù),且。わc=l.三、小結(jié):解不等式時(shí),在不等式的兩邊分別作恒等變形,在不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)一個(gè)數(shù)或代數(shù)式,移項(xiàng),在不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)ー個(gè)正數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式,得到的不等式都和原來(lái)的不等式等價(jià)。這些方法,也是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。四、練習(xí):1、已知ス>0,求證:x+—>2.X11 42、已知x>0,y>0,xWy,求證一H■—> .xyx+y3、已知。>/?>0,求證ぐ。ーわ>\[a-yjb.4、已知。>0ヵ>0.求證:(。+6)(。7+げ)N4.(。+Z?)(。?+/?“)(。ー*+ガ)28。リ3.5、已知。,瓦c,d都是正數(shù)。求證:’.、。+/2+。+イ、［—7I~~ ハ、。+。+ヒ+［、4(1) >yjab4-veJ;(2) >\abed2 46、已知。,み,c都是互不相等的正數(shù),求證(。+み+c)(。み+みc+c。)>9。みc.選修4_5不等式選講課題:第09課時(shí) 不等式的證明方法之三:反證法ー、引入:前面所講的幾種方法,屬于不等式的直接證法。也就是說(shuō),直接從題設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理,證明不等式成立。但對(duì)于ー些較復(fù)雜的不等式,有時(shí)很難直接入手求證,這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假,或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中,反證法是間接證明的?種基本方法。反證法在于表明:若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若p則q”,而是先肯定命題的條件p,并否定命題的結(jié)論q,然后通過(guò)合理的邏輯推理,而得到矛盾,從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式,一?般有下面幾個(gè)步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論:第二步作出與所證不等式相反的假定;第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果;第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知。＞シ＞0,求證:泥＞加(〃6^^且"＞1)例1、設(shè)<?+ガ=2,求證a+b42.證明：假設(shè)a+b>2,則有a>2-b,從而グ>8-12シ+6バーガ,a3+b3>6ザー126+8=6(6-1)2+2.因?yàn)?(6—1)2+222,所以。S+ガ＞2,這與題設(shè)條件。3+ガ=2矛盾，所以，原不等式。+/?V2成立。例2、設(shè)二次函數(shù)/(x)=/+px+q,求證:け⑴け(2)|,け(3)|中至少有一個(gè)不小于;.證明:假設(shè)け⑴レけ⑵巾(3)|都小于!,則|/(1)|+2|/(2)|+|/(3)|＜2. (1)另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有|/(1)|+2|/(2)|+1/(3)|＞|/(1)-2/(2)+/(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+g)|=2(1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立,原來(lái)的結(jié)論正確。注意:諸如本例中的問(wèn)題,當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中,至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)?例3、設(shè)0<a,瓦c<L求證:(1-a)ん(1-b)c,(1-c)a,不可能同時(shí)大于丄4TOC\o"1-5"\h\z、ヤ“1 1 1證:設(shè)(1-a池〉一,(1-b)c>—,(1-c)a>—,4 4 4則三式相乘:ab<{\-d)b*{\-b)c*(\-c)a<— ①64- -n2又?.,〇<a,んc<1 /.0<(l-a)a<^l~a^+a=丄.2J 4同理:(l-b)b<-,(l-c)c<-4 4以上三式相乘:(1 -わ)カ?(1-C)Cく與①矛盾64???原式成立例4、已知〃+b+c>0,ah+he+ca>0,abc>0?求證:a,b,c>0證:設(shè)4v0, ,:abc>0, be<0又由。+み+c>0,貝リO+c=-a>0Aab+be+ca=a(b+c)+be<0 與題設(shè)矛盾又:若〃=0,則與〃ん>0矛盾,??.必有〃>0同理可證:/?>0?〇〇四、練習(xí):1、利用反證法證明:若已知a,b,m都是正數(shù),并且貝リ >上?み+h2、設(shè)0〈〃,匕,cv2,求證:(2ー〃)c,(2-/?)〃,(2-c)。,不可能同時(shí)大于13、若x,y>0,且x+y>2,則上と和匕二中至少有一個(gè)小于2。xy[+Y]+X提示:反設(shè)一->2,——22 Vx,y>0,可得ス+yく2與ス+y>2矛盾。選修4_5 不等式選講課題:第10課時(shí) 不等式的證明方法之四:放縮法與貝努利不等式ー、引入:所謂放縮法,即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s小）,使之得出明顯的不等量關(guān)系后,再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用處更為廣泛。下面我們通過(guò)ー些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。二、典型例題:例1、若〃是自然數(shù),求證と+與+-V+…+ム＜2.I22232n2證明:~彳< = ,k—2,3,4,.k2k(k-l)k-lk11111111

+~~H——+…+——<-H H +???H l22232n211-22-3 (〃ー1)〃注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明!+」r+[+-+17＜2的過(guò)程中，已經(jīng)得到ー個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論I22232n24"+二+』+…+ム＜2-丄，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。I22232n2nTOC\o"1-5"\h\z例2、求證:1+-+—!—4-——!——+???+ ! <3.厶,,お是大于厶,,お是大于2的自然數(shù)）證明:由 < Ix2x3x???x41,2,2 2得1+丄+丄+—1—+???+ 1 11x21x2x3 Ix2x3x???x〃1一<1+1+丄+1+1+…! <1+1+丄+1+1+…+ー7=1+—與=3一一ー-<3.<\n-\ ] 2〃ー1例3例3、若a,"c,deR+,求證:1< + + 1

a+h+d人+c+qc+d+bd+〃+ca+b+dみ+c+ac+d+bd+〃+c*/a,b,c,deR+TOC\o"1-5"\h\za b c d,tn> 1 1 1 =1a+b+c+da+b+c+ac+d+a+みd+a+/?+cm< 1 1 1 =2a+ba+bc+dd+c/.1<m<2 即原式成立。例4、當(dāng)n>2時(shí),求證:log“(〃一l)log“(〃+1)<1證:Vn>2 /.logn(n-l)>0,logrt(n+l)>0log,,(“一1)log,,(“+1)くヤ"-l)；log"("+l)1=ヤ;ニ。<log""=1

2.?.”>2時(shí),log,,(〃ー1)10gz,(〃+1)<1四、練習(xí):1、設(shè)〃為大于1的自然數(shù),求證—1一+ +—^―+???+-->n4-1〃+2〃+32n22、設(shè)〃為自然數(shù),求證(2ー丄)(2ー9)(2—*)…(2ーユ二!ON丄.nnn nn!五、作業(yè):A組1、對(duì)于任何實(shí)數(shù)ス,求證:ク 3 9 1(1)スー—x+lN—；(2)\—x—x~1—.4 42、設(shè)。エ/?,求證:(1)a2+?>b2>2b(a+b)；(2)a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).3、證明不等式ガ+ガNd"加4、若a,4c都是正數(shù),求證:(a+わ+。)(グ+ガ+。3)2(メ+ガ+。2)25,若a>b>c>0,求證a2ab2bc2c>ab+cba+lca+b.6、如果。ル同號(hào),且均不為〇.求證:-+->2（并指出等號(hào)成立的條件.ba、八, n「丁53厶人.“亠、ヤb+c—ac+a—ba+b-cハ7、設(shè)。カ,c是互不相等的正數(shù),求證: + + >3.abc8、已知三個(gè)正數(shù)。,Ac的和是1,求證這三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的和必不小于9.9,若〇<。くエ,則IvsinJ+cos。<血.210、設(shè)るye屋,且ス+y=l,求證:（1+-）（1+-）>9.xycI r2-1-311、已知xHO,求證:（1）x2+——>1；（2）, >2.ゼ+1 厶2+Z12、設(shè)a,b是互不相等的正數(shù)，求證:| 1 —I—丫—I—]>8.I。bab丿I。b）13、已知。ノ都是正數(shù),求證:（1）（1+。+6）（1+。ー+/?~）>9。/?;（2）（。―/?+。+/?~）（。Z?~+。ー+み）>9。ウー.14、已知。ユ+/?2+。2=1,ス2+了2+て2=1,求證:ax^by^cz<\,15、已知。ユ+/?2=1,ザ+メ=],求證:如+如く1.16、已知。,/?,c,d都是正數(shù),且有ス=〃2+/,y=厶ユ+d*求證:xy>ポac+bd）（aa+/?c）17、已知。],。2,。3,…。〃都是正數(shù),且。1,。2。。3 %=1，求證:（1+。]）（1+。2）（1+。3）???（1+?！ǎ?2”18、設(shè)A48C的三條邊為。,瓦c,求證。Z?+/?c+c。エ。2+/?24-c2<2（。Z?+/?￠+￠。）.19、已知。,Z?,x,y都是正數(shù),設(shè)。+/?=1,〃=。ズ+/?了,リニZ?ス+。ド求證:uv>xy.20、設(shè)〃是自然數(shù)，利用放縮法證明不等式ー匚+―1—+」ー+…+丄〈2.n+1〃+2n4-33n21、若〃是大于1的自然數(shù)，試證 <——4——4-4——<1 .2714-12232n2nハコ公厶 旬日/妬ロス,メ,^+、〒ス’x+y+ZjZ22、已知a,0,c,x,y,z都是正數(shù),且一V一＜一,求證:一＜ ＜一?abcaa+b+ccハ^、皿 fへ、上e—、ー、ふ、ー??。sinx+bー厶レ人ヤa—b1ーQ+わ亠0r23＞設(shè)試用反證法證明一: 不能介于 與 之間。asinx—b a+ba-b24、若〃是自然數(shù),求證fH——H—十…H——<—.I22232n24鏈接:放縮法與貝努利不等式在用放縮法證明不等式時(shí),有時(shí)需要“舍掉幾個(gè)正項(xiàng)”以便達(dá)到目的。就是說(shuō),如果在和式a+b+c+d+e里d和e都是正數(shù),可以舍掉d和e,從而得到ー個(gè)明顯成立的不等式a+0+c+d+€＞a+/?+c.例如,對(duì)于任何ス＞0和任何正整數(shù)〃,山牛頓二項(xiàng)式定理可得n(nn(n-1)2

1x2I〃(〃ー1)("2)ピ

1x2x3舍掉等式右邊第三項(xiàng)及其以后的各項(xiàng),可以得到不等式:（l+x）"＞l+〃x.在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們將會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明這ー不等式的正確性。該不等式不僅當(dāng)〃是正整數(shù)的時(shí)候成立,而且當(dāng)〃是任何大于1的有理數(shù)的時(shí)候也成立。這就是著名的貝努利不等式。在今后的學(xué)習(xí)中，可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式:設(shè)尤＞-1,則在a＞1或。＜0時(shí),（1+x）“N1+（XX,在OWaVl時(shí),（l+x）=《l+cxx.選修4_5不等式選講課題：第”課時(shí) 幾個(gè)著名的不等式之一:柯西不等式ー、引入：除了前面己經(jīng)介紹的貝努利不等式外，本節(jié)還將討論柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。這些不等式不僅形式優(yōu)美、應(yīng)用廣泛,而且也是進(jìn)ー步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。1、什么是柯西不等式:定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)a,仇c,イ均為實(shí)數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）＞（ac+bd）2,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad=ん時(shí)成立。證明：幾何意義：設(shè)a,ガ為平面上以原點(diǎn)〇為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量,它們的終點(diǎn)分別為A（スク）,B（c,J）,那么它們的數(shù)量積為。?ガ=ac+bd,而lal=イメ+從,\p\=4c2+d2,所以柯西不等式的幾何意義就是：丨a丨?丨タ閆a?ガ丨，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)a,と為平面上的兩個(gè)向量，則lai//INIa?タ丨，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。3、定理3：（三角形不等式）設(shè)再,必,め,力，必，當(dāng)為任意實(shí)數(shù)，則:4（X|ーち廠+（弘一為）’+ハス2ース3丿+（カーあ）.N4（再ーち廠+（%ー乃）.分析:思考:三角形不等式中等號(hào)成立的條件是什么?4、定理4：（柯西不等式的推廣形式）:設(shè)〃為大于1的自然數(shù),も,也3=1,2,…，n）為n n n 力Z7 h任意實(shí)數(shù),貝リ:￡。』2ム22（24也）2,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ー1.=，.=…=上時(shí)成立（當(dāng)と=0?=1 1=1 i=l 41a2 an時(shí),約定り=0，/=1,2,???,n）〇證明:構(gòu)造二次函數(shù):f（x）=（a^x-bj2+（a2x-b2）2+---+（anx-bn）2TOC\o"1-5"\h\z即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù):八ス）=（ナすな2_2（ナ。也い+ナガ?=1 1=1 /=!由于對(duì)任意實(shí)數(shù)え,，は）20恒成立,則其△《0,即：△=4（%也）2一4這グ）這ガ）40,<=1/=11=1即:（￡幽）2M（￡ガ）（ル2）,<=1 1=1 1=1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)〃]Xー4=a2x—b3=???=anx—bn=0,bb b即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)~~~~=…=——時(shí)成立（當(dāng)の=0時(shí)，約定〇=0,/=1,2,,,,,n）〇?2 へ如果生全為〇,結(jié)論顯然成立?？挛鞑坏仁接袃蓚€(gè)很好的變式：“a2（Ya/變式1設(shè)a,e凡ん>0（i=l,2,…,〃）,『ナN ,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)bj=Aai（1<z<n）變式2設(shè)a,E同號(hào)且不為0（i=l,2,-,n）?則：y^>（^a，）,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)川b1エ。也仿=b2=…=ル。二、典型例題：例1、已知。2+ザ=1,ス2+ア2=1,求證:lax+byl《l。例2、設(shè)a,b,c,dwR,求證:7a?+b2+拒+d?N&+c），+（b+df0例3、設(shè)a,ア為平面上的向量,貝”a-￡l+lターア閆a-W。例4、已知a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=l,求證:一+—+丄と9。abc方法1：方法2：（應(yīng)用柯西不等式）例5:已知。］,a2,???, 為實(shí)數(shù),求證:シ…（EけO(jiān)/1=1〃Z=1分析:推論:在〃個(gè)實(shí)數(shù)外,め，…，明的和為定值為S時(shí),它們的平方和不小于丄S2,當(dāng)且僅當(dāng)n%=。2=3=。〃時(shí),平方和取最小值丄Sユ。四、練習(xí):1、設(shè)お,x2,…，xn>o,則x,=>i=iJ1ー九］ Vn—12、設(shè)スjWR(i=l,2,0,,,n)且と=1求證: 工xixj./=11+ス『 i=l l<i<j<n3、設(shè)〃為實(shí)常數(shù),試求函數(shù)，（x）=卜inx（a+cosx）|Q￡R）的最大值.4、求函數(shù)，（ス）=。?"sinx+/?Jcosス在（0,歩上的最大值,其中〃,b為正常數(shù).五、作業(yè):1、已知:6f2+/?2=1,m2+ガ=2,證明:ー血《。か+か2〈行。提示:本題可用三角換元、柯西不等式等方法來(lái)證明。2、若x,y,zeR,且ス+y+zニ〃,x2+y2+z2=—a22、若x,y,zeR,且ス+y+zニ〃,于ー〃的非負(fù)實(shí)數(shù)。3證明:由z=〃ースーy代入尤ユ+y2+z2=g〃可得2x2-2(〃—y)x+(a—y)2—a2=0

VxwR即4(a-ツデー8y2+(a-y)2-;グ>VxwR化簡(jiǎn)可得:3y2-2ayWO:a>0 ：.0<y<-a同理可得:OWxW-a,0<z<-a3 3由此可見(jiàn),在平常的解題中,?些證明定理、公理、不等式的方法都可以為我們所用;只要能靈活運(yùn)用,就能收到事半功倍的效果。3、設(shè)a”為不相等的正數(shù),試證:（a+かけ+ガ）>（/+め2.4、設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),且x+y+z=10,求—F一"F—的最小值。xyz5、設(shè)x,y,zeR,求/x+y-Z 的最大值。7x2+2y2+z26、△ABC之三邊長(zhǎng)為4,5,6,P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)P,P到三邊的距離分別為x,y,z,求x'yZ+zユ的最小值。AABC面積={s(s-a)(s-b)(s-c)=マ—X—X—X KAABC=APAB+APBC+APAC=>——=—(4x+5y+6z)n4x+5y+6z=山柯西不等式(4x+5y+6z)2>(x2+y2+z2)(42+52+62)>(x2+y2+z>(x2+y2+z2)x774=>x7、設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)4力,C滿足（メ+け+。2）2>2（ガ+ガ+ぺ）,求證:a,b,C一定是某三角形的三邊長(zhǎng)。8、求證れ（〃と3）個(gè)正實(shí)數(shù)。"の，…，斯?jié)M足(aJ+q,+…+〃〃”廠>(n—1)(〃/+め+3+?「)9、已知9、已知ス,y,z￡/?+,且〉、'=1

=2+工七、エス丄y丄［、1求址: 1 +—>1。2+x2+y2+z10、設(shè)x,y,ZeR+,求證:一t———+テー——+テニ——>1。y+z+yzz-+x+zxx+廠+孫11、設(shè)ズ,y,z￡夕+,且エ+2y+3z=36,求—I 1—的最小值.%yz選修4_5不等式選講課題:第12課時(shí) 幾個(gè)著名的不等式之ニ:排序不等式ー、引入:1、問(wèn)題:若某網(wǎng)吧的3臺(tái)電腦同時(shí)出現(xiàn)了故障,對(duì)其維修分別需要45min,25min和30min,每臺(tái)電腦耽誤1min,網(wǎng)吧就會(huì)損失0.05元。在只能逐臺(tái)維修的條件下,按怎么樣的順序維修,才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最小?分析:二、排序不等式：1、基本概念:?般地,設(shè)有兩組數(shù)：aWkへ,仇我們考察這兩組數(shù)兩兩對(duì)應(yīng)之積的和,利用排列組合的知識(shí),我們知道共有6個(gè)不同的和數(shù),它們是：對(duì)應(yīng)關(guān)系和備注（も,a2,%）（仇,b2,b3）S{=axbx+a2b2+a3b3同序和（ax,a2?生）（仇,b3,b2）S2=a[bx+。也+a3b2亂序和（〃],Cl2,03）（み2,ム，わ3）S3=a]b2+a2b]+a3b3亂序和（ax,a2,a3）（b2,b3,ム）54=axb2+a2b3+a3b]亂序和（ax,a2,a3）（b3,仇,b2）S5=axby+a2b1+a3b?亂序和（ax,a2,%）（み3,%,bx）56=a]b3+a2b2+a3b]反序和根據(jù)上面的猜想，在這6個(gè)不同的和數(shù)中，應(yīng)有結(jié)論:同序和4]仇+a2b2+ちわ3最大,反序和“ル3+42,2+%仇最小。2、對(duì)引例的驗(yàn)證:對(duì)應(yīng)關(guān)系和備注(1,2,3)(25,30,45)Sl=aM】+a2b2+a3bコ=220同序和(1,2,3)(25,45,30)S2=a}b]+a2b3+a3b2=205亂序和(1,2,3)(30,25,45)S3=a[b2+〃2ム+。3。3=215亂序和(1,2,3)(30,45,25)S4=aめ2+a2b3+%ム=195亂序和(1,2,3)(45,25,30)S5=a}b3+a2b}4-a3b2=185亂序和(1,2,3)(45,30,25)S6=aめ3+a2b2+a3bl=180反序和3、類似的問(wèn)題:5個(gè)人各拿ー只水桶到水龍頭接水,如果水龍頭注滿這5個(gè)人的水桶需要的時(shí)間分別是4分鐘,8分鐘,6分鐘,10分鐘,5分鐘。那么如何安排這5個(gè)人接水的順序,才能使他們等待的總時(shí)間最少?分析:4、排序不等式的一般情形:一般地,設(shè)有兩組實(shí)數(shù):%,め，?，…，。“與仇，み2，打，…，乳,且它們滿足:a.\Ma、Wa、W…，ムWみ2W/W…Wみ”，若C],c2,Q,…，C”是仇，b2,打，…，6”的任意ー1k排列,則和數(shù)4]C[+a2c2-1 1■明，,在%,a2,a3,,,,,ム與4,b2,b3,—,わ“同序時(shí)最大,反序時(shí)最小,即：岫+a2b2+---+anbn>a|C,+a2c2+---+ancn>atbn+a2bn_1+…+a也,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=。2=…=4“或仇=るユー=”,時(shí)成立。分析：用逐步調(diào)整法三、典型例題:2j2 722 2 2例1、己知",んc為正數(shù),求證: >abc〇a+b+c例2、設(shè),。2，。3，…，為正數(shù),求證:1F???d-1-2〃]+。2+…+〃〃。ム。3 anai六、作業(yè):1、求證:a2-^-b2+c2+d2>ab+bc-\-cd+dao2、在2^ABC中,ha,hbfhc為邊長(zhǎng)a,んc上的高,求證:asinA+bsinB+csinC>ha+hb+hc.3、若3、若a>0,b>0,nd+パ h2+h2則 > 4、在△ABC中,求證:?！?+cー。）+/?2（。+。-人）+。2（。+Z?-c）く .（IMO）5、若“/,匕,…,an為兩兩不等的正整數(shù),求證:y^T>y-.a=iyk6、6、若，,尢2，…，X會(huì)。，X]+X2+…+XnW—?jiǎng)t（1一不）（1ーち〉“（1ーム）2;.選修4_5不等式選講課題:第13課時(shí)幾個(gè)著名的不等式之三:平均不等式ー、引入:1、定理1：如果那么メ+ザン2"（當(dāng)且僅當(dāng)。=わ時(shí)取‘'="）證明:a2+b2-lab-(a-b)2>=>a2+b~>2ab當(dāng)a=わ時(shí),>=>a2+b~>2ab當(dāng)aHル時(shí),(a—レ)2>01.指出定理適用范圍：a,beR強(qiáng)調(diào)取“=”的條件。=わ。2、定理2：如果。,わ是正數(shù)，那么空クと旅（當(dāng)且僅當(dāng)a=わ時(shí)取"』’）

2證明:V（Va）2+（7わ）2>27。わ :.a+b>2jab即:aキレ>>[ab 當(dāng)且僅當(dāng)。=わ時(shí)"=7。わ2 2注意：1.這個(gè)定理適用的范圍：aeR+；2.語(yǔ)言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3、定理3：如果。,わ,CWR+,那么。3+わ3+￠323。わc（當(dāng)且僅當(dāng)。=わ=。時(shí)取"=”）證明:a3+ガ+ピー3abe-(a+b)3+メ-3a2b-3ab?-3abe=(a+/?+c)[(a+b)2-((2+h)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+/?+c)[〃2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab]=(a+O+eXa?+b2+c2-ab-bc-cd)

=か""')[("け+3ー庁+(”け]?：a,b,cwR*???上式ユ0AifiJa3+h3+c3>3abc指出:這里?,んceR+：a+b+cv0就不能保證。推論:如果。,んceR+,那么"+"土。果ルわ。。（當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c時(shí)取“=”）3證明:西）コ+証ヅ+師）3で跖,冊(cè).雙=〃+み+cと3\[ahcn^t￡之隊(duì)34、算術(shù)一幾何平均不等式:/7—/7—I-???-^?〃①,如果4,即,???,%wR+,〃>l且れwN+貝リ:ニー= 叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù),勺仿]め…明叫做這n個(gè)正數(shù)的兒何平均數(shù);.基本不等式: 0+生+…+%?1.め...4（〃eN*,a”R+,lWiく〃）n -這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法,二項(xiàng)式定理證明（這里從略）語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。.”クとノ拓的幾何解釋:2以a+シ為直徑作圓,在直徑AB上取一點(diǎn)C,過(guò)C作弦DD，1AB則CO?=CA?C8=ab,仄而CD=Tab,而半徑空ク之。。=疝"。2二、典型例題:例1、已知。,んc為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.c2+a2>2ca證:Va2+b2>2abbc2+a2>2ca以上三式相加:2(。2+ダ4-c2)>2ah+2hc+2caa2+b24-c2>ab+bc+ca例2、設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:（次?+。+/?+1）（次?+ac+》c+c2）216〃人c。例3、設(shè)%,a2,a3,…,?！盀檎龜?shù),證明: = >— —n 1 1 1—4-——+…+——《 。2 an例4、若 '設(shè)Q(x,y)=『廠A(x,y)=モテエG(x,y)=^xyH(x,y)=-一求證:。(須y),A(x,y)>G(x,y)>H(x,y)-4--Xア加權(quán)平均;算術(shù)平均;幾何平均;調(diào)和平均T..バ+yゝ2x2+y2+2xyx2+y2+x2+y2x24-yUe：?( )= S = 2 4 4 2: N苫"即:Q(x,y)>A(x,y)(俗稱幕平均不等式)由平均不等式A（x,y）2G（x,y）H(x,y)=—<2工=國(guó)=G(x,y)即:G(x,y)>H(x,y)x+y2g綜上所述:Q(x,y)>A(x,y)>G(x,y)>H(x,y)五、作業(yè):1、若a+b=l,a,bwR+求證(a+—)2+(/?+—)22—ab2/ 1厶いTOC\o"1-5"\h\zI I (〃?< わ+1)證:由基平均不等式:(Q+—)2+(/?+ー/2—— にab 2(3+'+が

2ゝ(3+2(3+'+が

2ゝ(3+2尸25〉 = 2 2(1+——+廠5選修4_5 不等式選講課題:第14課時(shí)利用平均不等式求最大（?。┲旦`、引入：

1、重要的結(jié)論:己知X,y都是正數(shù),則:(1)、如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值2Jア;(2)、如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值丄Sユ。4二、典型例題:例1、當(dāng)尤取什么值時(shí)，函數(shù))，=4r+テ有最小值?最小值是多少?例2、求函數(shù)y=_ざー(x>0)的最小值。例3、小寧在某電腦城配置了一臺(tái)總費(fèi)用為6400元的電腦。假定在電腦的使用過(guò)程中,每年的維修費(fèi)用約為:第一年為200元，第二年400元，第三年600元,…，按等差數(shù)列遞增。這臺(tái)電腦使用多少年報(bào)廢最合算?分析:例4、如圖,電燈掛在圓桌的正中央上方。假定它與桌面上A點(diǎn)的水平距離是。,那么電燈距離桌面的高度/1等于多少時(shí),A點(diǎn)處最亮?(亮度公式:/=與sin。，這里％為常數(shù)，r是電燈到照射點(diǎn)的距離,6是照射到某點(diǎn)的光線與水平面所成的角)分析：例5、求函數(shù)y=2/+巳,(ス>())的最大值,下列解法是否正確?為什么?x解ー:y=2x2+—=2x2+—4-->3キ2x2?——=3^4xxxvxx?ゝメmin=3^4解二:y=2x24-->2^2x2?—=2y/6x當(dāng)2/=ユ即工=>時(shí)xvx x2為山=2卜.半=2,3玳2=2痂答:以上兩種解法均有錯(cuò)誤。解ー錯(cuò)在取不到“ゴ’,即不存在x使得2デ=上=';解二錯(cuò)在XX

2而不是定值（常數(shù)）ヱ=3ヱ=3港―兩正確的解法是:y=2x2+-=2x2+—+—>332x2--x 2x2x v2x2x, 3當(dāng)且僅當(dāng)2/=—B|JX=2x例6例6、若-4<x<l,求 的最值。2x—2解:x~—2x4-2 1U-l)2+l2x-2解:x~—2x4-2 1U-l)2+l2x-2x-1=-[(x-l)