歷年考研數(shù)學(xué)三真題(2021)word打印版

26/26歷年考研數(shù)學(xué)三真題(2021)word打印版2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題:1～8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項

符合

題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙．．．指定位置上.1.設(shè){kx}是數(shù)列，下列命題中不正確的是（）(A)若limkkxa→∞

=，則221limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==.

(B)若221limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==，則limkkxa→∞

=

(C)若limkkxa→∞

=，則321limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==

(D)若331limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==，則limkkxa→∞

=

2.設(shè)函數(shù)()fx在(,)-∞+∞連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)()fx''的圖形如右圖所示，則曲線()yfx=的拐點個數(shù)為（）

（A）0(B)1(C)2(D)3

3.設(shè){}

2222(,)2,2Dxyxyxxyy=+≤+≤，函數(shù)(,)fxyD上連續(xù)，則(,)D

fxydxdy??=

（）

2cos2sin420

004

2sin2cos42000

4

10

110

()(cos,sin)(cos,sin)()(cos,sin)(cos,sin)()2(,)()2(,)x

X

Adfrrrdrdfrrrdr

Bdfrrrdrdfrrrdr

Cdxfxydy

Ddxfxydy

π

π

θ

θ

πππ

θ

θ

πθθθθθθθθθθθθ++??

??

??

??

??

?

4.下列級數(shù)中發(fā)散的是（）

（A）13nnn∞

=∑

(B)11)nn∞=+(C)2(1)1lnnnn∞=-+∑(D)1!

nnnn

∞

=∑

5.設(shè)矩陣22111112,,14Aabdad????

??

==????????

若集合(1,2)Ω=，則線性方程組Axb=有無窮多解的

充分必要條件為（）

(),Aad?Ω?Ω(),Bad?Ω∈Ω(),Cad∈Ω?Ω(),Dad∈Ω∈Ω

6.設(shè)二次型1,23(,)fxxx在正交變換xpy=下的標準形為222

1232yyy+-，其中

123(,,)peee=，若132(,,),Qeee=-則123(,,)xxx在正交變換xQy=下的標準形為（）

（A）2221232yyy-+(B)2221232yyy+-(C)2221232yyy--(D)222

1232yyy++

7.設(shè)A,B為任意兩個隨機事件，則（）

（A）()()()PABPAPB≤(B)()()()PABPAPB≥

(C)()()()2PAPBPAB+≤(D)()()

()2

PAPBPAB+≥

8.設(shè)總體(,)X

Bmθ，12,,nxxx為來自該總體的簡單隨機樣本，X為樣本均值，則

21()niiExX=??

-=????

∑（）（A）(1)(1)mnθθ--(B)(1)(1)mnθθ--(C)(1)(1)(1)mnθθ(D)(1)mnθθ-

二、填空題：9～14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙．．．指定位置上.92

ln(cos)

lim

xxx→∞=。

10設(shè)函數(shù)()fx連續(xù)，2

()()xxxft?=

?

，若(1)?1=，'(1)5?=，則(1)f=

11若函數(shù)z=(,)zxy由方程

2+3z

1xyexyz++=確定，則(0,0)dz=12設(shè)函數(shù)()yyx=是微分方程'''

20yyy+-=的解，且在x=0處()yx取得極值3，則()yx=13設(shè)3階矩陣A的特征值為2，-2,1，2

BAAE=-+,其中E為3階單位矩陣，則行列式B=14設(shè)二維隨機變量(,)XY服從正態(tài)分布(1,0;1,1;0)N,則(0)PXYY-＜=

三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙．．．指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15、（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)3

()ln(1)sin,(),fxxxbxxgxkxα=+++?=若()fx與()gx在0x→時是等價無窮小，求a,b,k的值。16、（本題滿分10分）計算二重積分

()D

xxydxdy+??，其中{}2

22(,)2,Dxyx

yyx=+≤≥

17、（本題滿分10分）

為了實現(xiàn)利潤最大化，廠商需要對某商品確定其定價模型，設(shè)Q為該商品的需求量，p為價格，MC為邊際成本，η為需求彈性（η＞0）（i）證明定價模型為11MC

pη

=

-

（ii）若該商品的成本函數(shù)為2

()1600CQQ=+，需求函數(shù)為40Qp=-，試由（1）中的定價模型確定此商品的價格。18、（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)()fx在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的0xI∈，曲線()yfx=在點

()00,()xfx處的切線與直線0xx=及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且(0)2f=，求()

fx的表達式。19、（本題滿分10分）

（i）設(shè)函數(shù)()ux，()vx可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明[]'

'

'

()()()()()()uxvxuxvxuxvx=+

（ii）設(shè)函數(shù)12*(),(),,()uxuxKux可導(dǎo)，12*()()()()fxuxuxKux=，寫出()fx的求導(dǎo)公式。

20（本題滿分11分）

（20）設(shè)矩陣101101aAaa???=-????

,且3

0A=.

（i）求a的值；

（ii）若矩陣X滿足2

2

XXAAXAXAE--+=,其中E為3階單位矩陣，求X.

21（本題滿分11分）

設(shè)矩陣02313312Aa-???=--??-??，相似于矩陣12000031Bb-???

=????

，

（i）求a,b的值（ii）求可逆矩陣P，使1

PAP-為對角矩陣。22（本題滿分11分）

設(shè)隨機變量X的概率密度為2ln2,0,

()0,0

xxfxx-?=?≤?＞

對X進行獨立重復(fù)的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記Y為觀測次數(shù)。

（1）求Y的概率分布；（2）求EY。23（本題滿分11分）設(shè)總體X的概率密度為

1

1(:)10,xfxθθθ

?≤≤?

=-???，其他

其中θ為未知參數(shù)，12,,RXXLX，為來自該總體的簡單隨機樣本。、

（1）求θ的矩估計量；

（2）求θ的最大似然估計量

2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙．．．指定位置上.（1）設(shè)lim,naa=且0,a≠則當n充分大時有（）（A）2

na

a>

（B）2na

a-

（D）1

naan

0,

B.I2>0,

C.I3>0,B.I4>04.設(shè)｛an｝為正項數(shù)列，下列選項正確的是A.若an>an+1,則11(1)nnna∞

-=-∑收斂

B.若11(1)nnna∞

-=-∑收斂，則an>an+1

C.若1

nna∞

=∑收斂，則存在常數(shù)p>1，使limn→∞

npan存在

D.若存在常數(shù)p>1，使limn→∞

np

an存在,則1

nna∞

=∑收斂

5.設(shè)A,B,C均為n階短陣，若AB=C,且B可逆，則A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價B.矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價C.矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價D.矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價

6.矩陣1111aabaa???????與20000000b???

????

相似的充分必要條件為（）

A.a=0,b=2

B.a=0,b為任意常數(shù)

C.a=2,b=0

D.a=2,b為任意常數(shù)

7.設(shè)x1,x2,x3是隨機變量，且x1~N(0,1),x2~N(0,22),x3~N(5,32),Pj=P{-2≤xj≤2}(j=1,2,3),則A.P1>P2>P3B.P2>P1>P3C.P3>P1>P2D.P1>P3>P2

X和Y的概率分布分別為A.112

B.18

C.16

D.12

9.設(shè)曲線y=f(x)與y=x2-x在點（1，0）處有公共切線，則limn→∞nf2nn??

?+??

=.10.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程（z+y）x=xy確定，則

(1,2)

z

x??=.11.2

1

ln(1)x

dxx+∞

+?

=.

12.微分方程1

04

yyy'''-+

=的通解為y=.13.設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣，｜A｜為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式，若aij+Aij=0(i，j=1,2,3)，則｜A｜=.

14.設(shè)隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），則E(2XXe)=.三、解答題

15.當0x→時，1cos,cos2,cos3xxx-與nax為等價無窮小，求n與a的值。16.設(shè)D是由曲線1

3

yx=，直線(0)xaa=>及x軸所圍成的平面圖形，,xyVV分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若10yxVV=，求a的值。17.設(shè)平面區(qū)域D由直線3,3xyyx==及8xy+=圍成，計算2D

xdxdy??。

18.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價格函數(shù)為

601000

Q

P=-

,(P是單價，單位：元，Q是銷量，單位：件)，已知產(chǎn)銷平衡，求：（1）該商品的邊際利潤；

（2）當P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義；（3）使得利潤最大的定價P。19.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,)+∞上可導(dǎo)，(0)0f=，且lim()2xfx→∞

=，證明

（1）存在0a>，使得()1fa=；

（2）對（1）中的a，存在(0,)aξ∈，使得1()fa

ξ'=

。20.設(shè)101,101aABb????

==??????，當a,b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B,并

求所有矩陣C。

21.設(shè)二次型22123112233112233(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx=+++++，記123aaaα??

?

=????，

123bbbβ???

=????

。

（1）證明二次型f對應(yīng)的矩陣為2TTααββ+；

（2）若,αβ正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標準形為22

122yy+。

22.設(shè)（X,Y）是二維隨機變量，X的邊緣概率密度為33,01,()0,Xxxfx?.

23.設(shè)總體X的概率密度為23,0,

(;)0,xexfxxθ

θθ-?>?=???

其他其中θ為未知參數(shù)且大于

零，12,,nXXX，為來自總體X的簡單隨機樣本。（1）求θ的矩估計量；

（2）求θ的最大似然估計量。

2012考研試題

1)

曲

線

22

1

xxyx+=-漸近線的條數(shù)

()

(A)0(B)1(C)2(D)3(2)設(shè)函數(shù)2()(1)(2)()xxnxyxeeen=--

-,其中

n為正整數(shù),則(0)y'=()

(A)1

(1)

(1)!nn(B)(1)(1)!nn--(C)1(1)!nn--(D)

(1)!nn-

(3)如果函數(shù)(,)fxy在(0,0)處連續(xù),那么下列命題正確的是()

(A)若極限0

(,)

lim

xyfxyxy

→→+存在,則(,)fxy在(0,0)處可微

(B)若極限22

00

(,)

lim

xyfxyxy→→+存在,則(,)fxy在(0,0)處可微

(C)若(,)fxy在(0,0)處可微,則極限00

(,)

lim

xyfxyxy→→+存在

(D)若(,)fxy在(0,0)處可微,則極限22

00

(,)

lim

xyfxyxy

→→+存在(4)設(shè)2

sin(1,2,3)kxKexdxkπ

==?I則有()

(A)123III。設(shè).ZXY=-(1)求Z的概率密度2(,);fzσ（2）設(shè)12,,

,nzzz為來自總體Z的簡單隨機樣本，求2σ的最大似然估計量2σ

（3）證明2σ為2σ的無偏估計量

2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。

(1)已知當0x→時，函數(shù)()3sinsin3fxxx=-與是kcx等價無窮小，則

(A)1,4kc==(B)1,4kc==-(C)3,4kc==(D)3,4kc==-

(2)已知()fx在0x=處可導(dǎo)，且(0)0f=,則2330()2()

limxxfxfxx

→-=(A)'

2(0)f-(B)'

(0)f-(C)'

(0)f(D)0(3)設(shè){}nu是數(shù)列，則下列命題正確的是

(A)若

1n

nu

∞

=∑收斂，則

21

21

()nnnu

u∞

-=+∑收斂

(B)若

21

21()nnnu

u∞

-=+∑收斂，則1

nnu∞

=∑收斂

(C)若

1n

nu

∞

=∑收斂，則

21

21

()nnnu

u∞

-=-∑收斂

(D)若

21

21

()nnnu

u∞

-=-∑收斂，則1

nnu∞

=∑收斂

(4)設(shè)40

ln(sin)Ixdxπ

=?

,40

ln(cot)Jxdxπ

=?,40

ln(cos)Kxdxπ

=?則I,J,K的大

小關(guān)系是

(A)IJK的泊松分布，11,,

(2)nXXXn≥為來自總體的簡

單隨即樣本，則對應(yīng)的統(tǒng)計量11

1niiTXn==∑，12111

1ni

niTXXnn-==+-∑(A)1212,ETETDTDT>>(B)1212,ETETDTDT>(D)1212,ETETDTDT（C）"()0fa

(4)設(shè)10

()lnfxx=，()gxx=,10

()xhxe=,則當x充分大時有（）（A）()()()gxhxfx（C）若向量組Ⅱ線性無關(guān)，則rs≤（D）若向量組Ⅱ線性相關(guān)，則rs>

(6)設(shè)A為4階實對稱矩陣，且2

0AA+=,若A的秩為3，則A相似于

（A）1110?????

???????（B）1110????

????-??

??

（C）1110????-????-????（D）1110-????-????-??

??(7)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)0

1()01211

xxFxxe

x->?

>?為概率密度，則,ab應(yīng)滿足

（A）234ab+=（B）324ab+=（C）1ab+=（D）2ab+=

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)設(shè)可導(dǎo)函數(shù)()yyx=由方程

2

20

sinxy

x

tedtxtdt+-=?

?確定，則

xdy

dx==______.(10)

設(shè)位于曲線)yex=

≤的簡單隨機樣本，記統(tǒng)計量

2

1

1niiTXn==∑，則ET=______.

三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)求極限11lnlim(1)

x

x

xx→+∞

-

(16)(本題滿分10分)計算二重積分

3()D

xydxdy+??，其中D

由曲線x=

與直線0x+=

及0x-=圍成。

(17)(本題滿分10分)

求函數(shù)2uxyyz=+在約束條件2

2

2

10xyz++=下的最大值和最小值(18)(本題滿分10分)（Ⅰ）比較

[]1

lnln(1)n

ttdt+?

與1

0lnn

ttdt?(1,2,)n=的大小，說明理由

（Ⅱ）設(shè)[]1

lnln(1)n

nuttdt=

+?

(1,2,)n=，求極限limnnu→∞

(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)()fx在

[]

0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2

2(0)()(2)+(3)ffxdxff==?，

（Ⅰ）證明：存在(0,2)η∈，使()(0)ffη=（Ⅱ）證明：存在(0,3)ξ∈，使"

()0fξ=(20)(本題滿分11分)

設(shè)1101011Aλλλ????=-??????，11ab????=??????

已知線性方程組Axb=存在2個不同的解（Ⅰ）求λ，a

（Ⅱ）求方程組Axb=的通解(21)(本題滿分11分)

設(shè)

014

13

40

Aa

a

-

??

??

=-??

??

??

，正交矩陣Q使得T

QAQ為對角矩陣，若Q的第1列

為2,1)T,求a，Q

(22)(本題滿分11分)

設(shè)二維隨機變量()

XY

，的概率密度為22

22

()xxyy

fxyAe-+-

=

，，x

-∞

?成立的x的范圍是

(A)(0,1).(B)(1,

)2π

.(C)(,)2

π

π.

(D)(,)π+∞.

（4）設(shè)函數(shù)()yfx=在區(qū)間[]1,3-上的圖形為

則函數(shù)()()0

x

Fxftdt=

?的圖形為

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）設(shè),AB均為2階矩陣，*

,AB*

分別為,AB的伴隨矩陣，若||2,||3AB==，則分

塊矩陣OABO??

???

的伴隨矩陣為

(A)**32OBAO?????

.

(B)**

23O

BA

O??

???

.

(C)**32OAB

O?????.

(D)**

23O

ABO??

???

.（6）設(shè),AP均為3階矩陣，TP為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且100010002T

PAP???=????

，

若1231223(,,),(,,)PQααααααα==+，則T

QAQ為

(A)210110002??

?????.

(B)110120002??

?

????.

(C)200010002???????

.

(D)100020002???

????

.

（7）設(shè)事件A與事件B互不相容，則(A)()0PAB=.

(B)()()()PABPAPB=.

(C)()1()PAPB=-.

(D)()1PAB?=.

（8）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X服從標準正態(tài)分布(0,1)N，Y的概率分布為

1

{0}{1}2

PYPY====

，記()zFZ為隨機變量ZXY=的分布函數(shù)，則函數(shù)()ZFz的間斷點個數(shù)為

(A)0.

(B)1.(C)2.(D)3.

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9

）cosxx→=.

（10）設(shè)()yx

zxe=+，則

(1,0)

z

x?=?.（11）冪級數(shù)2

1

(1)nnn

nexn∞

=--∑的收斂半徑為.（12）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為()QQP=,其對應(yīng)價格P的彈性0.2pξ=，則當需求量為10000件時，價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加元.

（13）設(shè)(1,1,1)Tα=,(1,0,)T

kβ=，若矩陣Tαβ相似于300000000???????

，則k=.

(14)設(shè)1X，2X,…,mX為來自二項分布總體(,)Bnp的簡單隨機樣本，X和2

S分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計量2

TXS=-，則ET=.

三、解答題：15～23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分9分）

求二元函數(shù)()

22(,)2lnfxyxyyy=++的極值.（16）（本題滿分10分）

計算不定積分ln(1dx+

?

(0)x>.（17）（本題滿分10分）計算二重積分

()D

xydxdy-??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}Dxyxyyx=-+-≤≥.（18）（本題滿分11分）

（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)()fx在[],ab上連續(xù)，在(),ab上可導(dǎo)，則

(),abξ∈，得證()'()()()fbfafbaξ-=-.

（Ⅱ）證明：若函數(shù)()fx在0x=處連續(xù)，在()0,

,(0)σσ>內(nèi)可導(dǎo)，且

'

lim()xfxA+

→=，則'(0)f+存在，且'(0)fA+=.（19）（本題滿分10分）

設(shè)曲線()yfx=，其中()fx是可導(dǎo)函數(shù)，且()0fx>.已知曲線()yfx=與直線

0,1yx==及(1)xtt=>所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯

形面積值的tπ倍，求該曲線的方程.

（20）（本題滿分11分）設(shè)

111A=111042--???-??--??,1112ξ-???=??-??

.

（Ⅰ）求滿足21Aξξ=，231Aξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）對（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，證明1ξ,2ξ,3ξ線性無關(guān).（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型

2221231231323(,,)(1)22fxxxaxaxaxxxxx=++-+-.

（Ⅰ）求二次型f的矩陣的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的規(guī)范形為2212yy+，求a的值.（22）（本題滿分11分）

設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率密度為

0(,)0

xeyxfxy-???

在(,)-∞+∞內(nèi)連續(xù)，則c=.

（10）設(shè)3

4

1()1xxfxxx++=+

，則2()______fxdx=?.

（11）設(shè)22{(,)1}Dxyxy=+≤，則

2

()D

x

ydxdy-=??.

（12）微分方程0xyy'+=滿足條件(1)1y=的解是y=.

（13）設(shè)3階矩陣A的特征值為1，2，2，E為3階單位矩陣，則14_____AE--=.

（14）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則{}

2PXEX==.三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)（本題滿分10分）求極限20

1sinlim

ln

xx

xx

→.(16)（本題滿分10分）

設(shè)(,)zzxy=是由方程()2

2

xyzxyz?+-=++所確定的函數(shù)，其中?具有2階導(dǎo)數(shù)

且1?'≠-時.

（Ⅰ）求dz（Ⅱ）記()1,zzuxyxyxy????=

-?

-????

，求u

x??.(17)（本題滿分11分）計算

max(,1),D

xydxdy??其中{(,)02,02}Dxyxy=≤≤≤≤.

(18)（本題滿分10分）設(shè)()fx是周期為2的連續(xù)函數(shù)，（Ⅰ）證明對任意的實數(shù)t，有()()2

2

tt

fxdxfxdx+=?

?；

（Ⅱ）證明()()()20

2x

ttGxftfsdsdt+??=

-????

?

?是周期為2的周期函數(shù)．

(19)（本題滿分10分）

設(shè)銀行存款的年利率為0.05r=，并依年復(fù)利計算，某基金會希望通過存款A(yù)萬元，實現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，…，第n年提?。?0+9n）萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問A至少應(yīng)為多少萬元？

(20)（本題滿分12分）設(shè)n元線性方程組Axb=，其中

2

221

212nnaaaAaa???

??=?

???，12nxxxx??????=??????

，100b??????=????

??

（Ⅰ）求證行列式()1n

Ana=+;

（Ⅱ）a為何值時，該方程組有唯一解，并求1x；（Ⅲ）a為何值時，方程組有無窮多解，并求通解。（21）（本題滿分10分）

設(shè)A為3階矩陣，12,aa為A的分別屬于特征值1,1-的特征向量，向量3a滿足

323Aaaa=+，

（Ⅰ）證明123,,aaa線性無關(guān)；（Ⅱ）令()123,,Paaa=，求1

PAP-.

（22）（本題滿分11分）

設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為{}()1

1,0,13

PXii==

=-，Y的概率密度為()101

0Yyfy≤≤?=??

其它，記ZXY=+

（Ⅰ）求102PZX??

≤

=????

；（Ⅱ）求Z的概率密度()Zfz．（23）（本題滿分11分）設(shè)12,,

,nXXX是總體為2

(,)Nμσ的簡單隨機樣本.記1

1n

iiXXn==∑，

2

2

11()1ni

iSXXn==--∑，221TXSn=-.（Ⅰ）證明T是2

μ的無偏估計量.（Ⅱ）當0,1μσ==時，求DT.

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上

(1)當0x+→等價的無窮小量是（）

（A）1-（B）ln(1+（C1（D）1-

(2)設(shè)函數(shù)()fx在0x=處連續(xù)，下列命題錯誤的是（）

（A）若0()

lim

xfxx

→存在，則(0)0f=

（B）若0()()

limxfxfxx

→+-存在，則(0)0f=

（C）若0()

limxfxx

→存在，則'(0)f存在

（D）若0()()

limxfxfxx

→--存在，則'(0)f存在

(3)如圖，連續(xù)函數(shù)()yfx=在區(qū)間[][]3,2,2,3--上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[][]2,0,0,2-上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)0

()(),

x

Fxftdt=?

則下列結(jié)論正確的是（）

（A）3(3)(2)4

FF=-

-（B）5

(3)(2)4FF=

（C）3(3)(2)4FF-=（D）5

(3)(2)4

FF-=--

(4)設(shè)函數(shù)(,)fxy連續(xù)，則二次積分1

sin2

(,)x

dxfxydyπ

π

??

等于（）

（A）1

0arcsin(,)y

dyfxydxπ

π+?

?

（B）1

0arcsin(,)y

dyfxydxπ

π-??

（C）

1

arcsin0

2

(,)y

dyfxydxππ

+?

?（D）1arcsin0

2

(,)y

dyfxydxππ

-??

(5)設(shè)某商品的需求函數(shù)為1602Qρ=-，其中Q，ρ分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（）

（A）10（B）20（C）30（D）40

(6)曲線1

ln(1),xyex

=

++漸近線的條數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）3(7)設(shè)向量組1α,2α,3α線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）

（A）12αα-，23αα-，31αα-(B)12+αα，23+αα，31+αα（C）1223312,2,2αααααα(D)1223312,2,2αααααα+++

(8)設(shè)矩陣211121112A--????=--????--??，100010000B????

=??????

，則A與B（）

（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似

(9)某人向同一目標獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為（）

（A）2

3(1)pp-(B)2

6(1)pp-(C)2

2

3(1)pp-(D)2

2

6(1)pp-

(10)設(shè)隨機變量(,)XY服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，(),()xyfxfy分別表示X,Y的概率密度，則在Yy=條件下，X的條件概率密度()XYfxy為（）

（A）()Xfx(B)()Yfy(C)()()XYfxfy(D)

()

()

XYfxfy二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上

(11)323

1

lim

(sincos)________2xxxxxxx→∞+++=+.(12)設(shè)函數(shù)123

yx=

+，則()

(0)_________ny=.(13)設(shè)(,)fuv是二元可微函數(shù)，(,),yxzfxy=則zz

x

yxy

??-??________.(14)微分方程

3

1()2dyyydxxx

=-滿足1

1xy==的特解為y=__________.

(15)設(shè)距陣01000

010,00010000A??

?

?

=?

???

則3A的秩為_______.

(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于

1

2

的概率為________.三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（17）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)()yyx=由方程ln0yyxy-+=確定，試判斷曲線()yyx=在點（1，1）附近的凹凸性。

（18）（本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)

2.

1.(,)1

2.

xxyfxyxy?+≤?

=≤+≤

計算二重積分

(,).D

fxydσ??其中{}

(,)

2Dxyxy=+≤。

（19）（本題滿分11分）

設(shè)函數(shù)()fx，()gx在[],ab上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又()fa＝()ga，

()fb＝()gb，證明：

（Ⅰ）存在(,),abη∈使得()()fgηη=；（Ⅱ）存在(,),abξ∈使得''()''()fgξξ=。（20）（本題滿分10分）將函數(shù)2

1

()34

fxxx=

--展開成1x-的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。（21）（本題滿分11分）

設(shè)線性方程組

1231232

123020(1)40

xxxxxaxxxax?++=?

++=??++=?

與方程

12321

(2)xxxa++=-

有公共解，求a的值及所有公共解。

（22）（本題滿分11分）

設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A的屬于1λ的一個特征向量。記534BAAE=-+，其中E為3階單位矩陣。

（Ⅰ）驗證1α是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B。（23）（本題滿分11分）

設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率密度為

2,01,01.

(,)0,xyxyfxy--；

（Ⅱ）求ZXY=+的概率密度()Zfz。（24）（本題滿分11分）設(shè)總體X的概率密度為

1

0,21(;),1,

2(1)0xfxxθθθθθ?>，x?為自變量x在點0x處的增量，dyy?與分別為()fx在點0x處對應(yīng)的增量與微分，若0x?>，則（）

(A)0dyy0a）。

（Ⅰ）求L的方程；

（Ⅱ）當L與直線yax=所圍成平面圖形的面積為8

3

時，確定a的值。（19）（本題滿分10分）

求冪級數(shù)()()1

211

121nnnxnn-+∞

=--∑的收斂域及和函數(shù)()sx。（20）（本題滿分13分）

設(shè)4維向量組()()()T

T

T

12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaαααα=+=+=+=

()

T

4,4,4,4a+問a為何值時1234,,,αααα線性相關(guān)？當1234,,,αααα線性相關(guān)時，求其一

個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出。

（21）（本題滿分13分）

設(shè)3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量()()T

T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是線性方程組0Ax=的兩個解。

（Ⅰ）求A的特征值與特征向量；

（Ⅱ）求正交矩陣Q和對角矩陣Λ,使得T

QAQ=Λ；

（Ⅲ）求A及6

32AE?

?-??

?，其中E為3階單位矩陣。

（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X的概率密度為

()1

,1021

,024

0,Xxfxx?->（B）123III>>（C）213III>>（D）312III>>(9)設(shè)0,1,2,

,nan>=若1

nna∞=∑發(fā)散，()

1

1

1nnna∞

-=-∑收斂，則下列結(jié)論正確的是

（A）

21

1nna

∞

-=∑收斂，

21

n

na

∞

=∑發(fā)散（B）

21n

na

∞

=∑收斂，

21

1

nna

∞

-=∑發(fā)散

（C）

()21

21

nnna

a∞

-=+∑收斂（D）()2121

nnnaa∞

-=-∑收斂

(10)設(shè)()sincosfxxxx=+，下列命題中正確的是（A）()0f是極大值，2fπ??

???

是極小值（B）()0f是極小值，2fπ??

???

是極大值（C）()0f是極大值，2fπ??

???

也是極大值（D）()0f是極小值，2fπ??

???

也是極小值(11)以下四個命題中，正確的是

（A）若()fx'在()0,1內(nèi)連續(xù)，則()fx在()0,1內(nèi)有界（B）若()fx在()0,1內(nèi)連續(xù)，則()fx在()0,1內(nèi)有界（C）若()fx'在()0,1內(nèi)有界，則()fx在()0,1內(nèi)有界（D）若()fx在()0,1內(nèi)有界，則()fx'在()0,1內(nèi)有界

(12)設(shè)矩陣()

33

ij

Aa?=滿足*TAA=，其中*A為A的伴隨矩陣，TA為A的轉(zhuǎn)置矩陣.

若111213,,aaa為三個相等的正數(shù)，則11a為

（A

（B）3（C）1

3

（D

(13)設(shè)12,λλ是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為12,αα，則

()112,Aααα+線性無關(guān)的充分必要條件是

（A）10λ=（B）20λ=（C）10λ≠（D）20λ≠(14)（注：該題已經(jīng)不在數(shù)三考綱范圍內(nèi)）

三、解答題：本題共9小題，滿分94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分8分）求011lim1xxxex-→+??

-

?-?

?.

（16）（本題滿分8分）

設(shè)()fu具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(),yxgxyfyf

xy????=+????

??

，求22

2222

ggxyxy??-??.（17）（本題滿分9分）計算二重積分

221D

xydσ+-??

，其中(){},01,01Dxyxy=≤≤≤≤.

（18）（本題滿分9分）求冪級數(shù)

211121n

nxn∞

=??-?+?

?∑在區(qū)間()1,1-內(nèi)的和函數(shù)()Sx.（19）（本題滿分8分）

設(shè)()(),fxgx在[]0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且()()()00,0,0ffxgx''=≥≥.證明：對任何[]0,1α∈，有

()()()()()()1

1agxfxdxfxgxdxfag''+≥??

（20）（本題滿分13分）

已知齊次線性方程組

（?。?2312312

3230,

2350,0,xxxxxxxxax++=??++=??++=?和（ⅱ）()1232

1230,

210,

xbxcxxbxcx++=???+++=??同解，求,,abc的值.

（21）（本題滿分13分）設(shè)TA

CDCB??

=???

為正定矩陣，其中,AB分別為m階，n階對稱矩陣，C為mn?階矩陣.

（Ⅰ）計算TPDP，其中1m

nE

ACPO

E-??

-=???

；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果判斷矩陣1TBCAC--是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.

（22）（本題滿分13分）

設(shè)二維隨機變量(),XY的概率密度為

()0,01,02,

,1,

xyxfxy為來自總體()20,Nσ的簡單隨機樣本，其樣本均值為X，

記,1,2,

,iiYXXin=-=.

（Ⅰ）求iY的方差,1,2,

,iDYin=；

（Ⅱ）求1Y與nY的協(xié)方差()1,nCovYY；

（Ⅲ）若()2

1ncYY+是2

σ的無偏估計量，求常數(shù)c.

2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、填空題：本題