高三數(shù)學(xué) 離散型隨機(jī)變量的期望與方差(第二課時(shí))大綱選修

(第二課時(shí))§1.2.2離散型隨機(jī)變量的方差1.離散型隨機(jī)變量的方差(Dξ)的概念,標(biāo)準(zhǔn)差(σξ)的概念.2.離散型隨機(jī)變量η=aξ+b(其中ξ為隨機(jī)變量)的方差D(aξ+b)=a2·Dξ3.服從二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量ξ(即ξ~B(n,p))的方差Dξ=npq.二、才能訓(xùn)練要求投影儀或者者實(shí)物投影儀.幻燈片§1.2.2(二)A例3：有兩種鋼筋,從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)如下：aPbPB兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好？教學(xué)過程x1,x2,…,xn中,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的n［師］假設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ所有可能取的值是x1,x2,…,xn,…,且取這些值的概率分別是［生］(稍過片刻后)因?yàn)棣蔚钠谕欠从沉穗x散型隨機(jī)變量取值的平均程度,這與我們初中所學(xué)過1n一組數(shù)據(jù)：x1,x2,…,xn平均值x期望Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…；12nn1方差s2=n［師］剛剛這位同學(xué)的類比是否合理呢？這是完全正確的.(開始板書以下內(nèi)容)把叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差,記作σξ.“σ〞讀作［′sigm］(國(guó)際音標(biāo)),這就是隨機(jī)變量ξ［生］這兩個(gè)數(shù)學(xué)量都是反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.(板書)［師］在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望時(shí),我們證明E(aξ+b)=aEξ+b,你們能猜想出D(aξ+b)的式子嗎？［生］D(aξ+b)也是滿足線性關(guān)系,即D(aξ+b)=aDξ+b.［師］這僅僅是猜想,你能證明嗎？［生］可以,利用定義直接推導(dǎo).(該生走上講臺(tái),在黑板上寫道)∵E(aξ+b)=aEξ+b,P(η=axi+b)=P(ξ=xi)(i=1,2,3,…,n,…),=a2［(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…］=a2Dξ.［師］原來你的猜想是D(aξ+b)=aDξ+b,而證明的結(jié)果是D(aξ+b)=a2Dξ,你是相信哪一個(gè)呢？［生］(齊聲說)相信證明的結(jié)果.(學(xué)生躍躍欲試,拿起筆在草紙上飛速書寫或者者互相討論)［生］我愿意到黑板上推導(dǎo)試試看.∵ξ~B(n,p),∴Eξ=np,Dξ=E(ξ-Eξ)2=E=Eξ2-2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2.［CnnCCCCkkkkCCCnnnCCC0C0C.0C1C2C2］p3qn-3+…+［n(n-1)］pkqn-k+…+［n(n-1)C0C1Cpn·q0=n(n-1)p2C0C1C2Cn1∴Dξ=Eξ2-(Eξ)2=n(n-1)p2+np-(np)2=np-np2=np(1-p)=npq(q=1-p),即Dξ=npq.［生］我看太繁,沒有敢往下寫,也不知道如何化簡(jiǎn)(*)式,我沒有他的那種毅力.kCnCk1k2Ck［生］對(duì)于k我知道運(yùn)用,但對(duì)于,我就不知道該如何化簡(jiǎn)了.他在黑板上寫的是nn1nkCnCk1,然后再來運(yùn)用(k-1)·k1=(n-1)k2.這是證明此題的核CC拆項(xiàng)(即添項(xiàng)去項(xiàng)),構(gòu)造出knn1n1n2心所在.他的代數(shù)推理才能太棒了,我要向他學(xué)習(xí).［師］這兩位同學(xué)都說出了真心話,他們對(duì)黑板上的同學(xué)的證明給予了充分的肯定.從這里也看出了我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要有恒心,要有信心,要有堅(jiān)忍不拔的毅力和堅(jiān)強(qiáng)的意志,見到困難不能低頭,只有這樣才能把自己的工作和學(xué)習(xí)做得更加出色.(學(xué)生們一起鼓掌)(這種寬松和諧氣氛的營(yíng)造不是教師一個(gè)人去說教的,而是靠師生一一共同去創(chuàng)造的,教師的寬厚待人、謙虛務(wù)實(shí)、嚴(yán)而有愛、學(xué)識(shí)廣博,往往是喚醒沉睡的課堂的關(guān)鍵,教師的精湛的教學(xué)藝術(shù)又是活潑課堂研討氣氛的調(diào)和劑,教師的作用是組織者、籌劃者,而學(xué)生才是真正的主人)2.課本例題［例1］(原課本例6)離散型隨機(jī)變量ξ1和ξ2的概率分布為1121314151617177777772P411717171717177求這兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1與ξ2的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.(教師簡(jiǎn)要地把表寫在黑板上,請(qǐng)同學(xué)來編題,設(shè)計(jì)問題)［師］按黑板上表格中的有關(guān)數(shù)據(jù),哪位同學(xué)答復(fù)可以求什么問題？［生］可以求隨機(jī)變量ξ1、ξ2的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.［師］對(duì),那我們就一起來求解吧！［師］我們先計(jì)算出ξ1、ξ2的期望,再利用方差的定義求解.11111解：Eξ1=1×+2×+3×+4×+5×+6×+7×111=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,7777777711111Dξ1=(1-4)2×+(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×+(7-4)2×=(1177777771132+22+12+02+12+22+32)×=2×14×=4,77＝42,D∴1111111Eξ2=×+×+×+4×+×+×+×11777777717=×(+++4+++)17(3.74.3)84,72211111Dξ2=(-4)2×+(-4)2×+(-4)2×+(4-4)2×+(-4)2×+(-4)2×+(-4)2×=(0.32+011777777711141.22+0.12+02+0.12+0.22+0.32)×=×2×14×===0.04.7100710025115∴0.2D.22［師］此題中Eξ1=Eξ2,但Dξ1≠Dξ2,ξ1和ξ2都是以相等的概率取各個(gè)不同的數(shù)值,ξ1取較為分散的數(shù)值：1,2,3,4,5,6,7,ξ2取較為集中的數(shù)值：,,,4,,,.Eξ1=Eξ2=4,Dξ1=4,Dξ2=0.04.方差比較清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中,由σξ1=2,σξ2=0.2可以看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的偏向,這個(gè)偏向甚至可以讓學(xué)生從隨機(jī)變量的分布列通過猜想得到.［例2］(原課本P14例7)甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)展射擊,分布列如下表：射手甲89P射手乙89P用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊程度.(教師先在黑板上列出兩張表格,請(qǐng)學(xué)生命題,但又不同于上題)［師］請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)編擬一道試題.［生］甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)展射擊,各有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示,求甲、乙兩名射手的擊中環(huán)數(shù)的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.［生解］Eξa=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125.Eξb=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.Dξb=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.因?yàn)镈ξb>Dξa,所以B種鋼筋的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)與其平均值偏向很大,即取值較分散.所以盡管它們中有的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)很大,但不合格的數(shù)量比A種的要多.故可以認(rèn)為A種鋼筋比B種鋼筋質(zhì)量要好.［師］這個(gè)例子說明,在實(shí)際問題中僅靠期望值還不能完善地說明隨機(jī)變量的分布特征,還必須研究其偏離平均值的離散程度即離散型隨機(jī)變量的方差.請(qǐng)同學(xué)們注意搜集整理這些信息,一定能有更大的收獲.［例4］(2021年全國(guó)高考課程卷,20)A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)展乒乓球?qū)官?每隊(duì)三名隊(duì)員.A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3,B隊(duì)隊(duì)員是B1、B2、B3.按以往屢次比賽的統(tǒng)計(jì),對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)A13255現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng),每場(chǎng)勝隊(duì)得1分,負(fù)隊(duì)得0分.設(shè)A隊(duì)最后所得總分分別為ξ、η.(1)求ξ、η的概率分布；(2)求Eξ、Eη的值.［生解］(1)ξ、η的可能取值分別為3,2,1,0.2228P,3557522312223228P2),355355355752331231322P,35535535551333P0);35525根據(jù)題意知ξ+η=3,所以85325ξ38228127575ξ082557575322828232107575532283210［師］此題是體育比賽中常見的問題,同學(xué)們應(yīng)學(xué)以致用.同時(shí)也應(yīng)看到高考試題與我們?nèi)粘Ｉ钣卸啵劾?］一次測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成,每一小題選對(duì)得40分,滿分是是100分.答案：A［例2］某出租車的起步價(jià)為6元,行駛路程不超過3km時(shí),租車費(fèi)為6元;假設(shè)行駛路程超過3km,那么按每超出1km(缺乏1km也按1km計(jì)程)收費(fèi)3元計(jì)費(fèi).設(shè)出租車一天行駛的路程數(shù)ξ(按整千米數(shù)計(jì)算,缺乏1km的自動(dòng)計(jì)為1η也是一個(gè)隨機(jī)變量.一個(gè)司機(jī)在某個(gè)月中每次出車都超過了3km,且一天的總路程數(shù)可能的取值是概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.(1)求作這一個(gè)月中一天行駛路程ξ的分布列,并求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差;(2)求這一個(gè)月中一天所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望和方差.解：(1)由概率分布的性質(zhì)0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1,∴100a2+7a=0.3.∴1000a2+70a-3=0.31∴a或者者a(舍),即a=0.03.10010∴100a2+3a=0.18,4a=0.12.∴ξ的分布列為PEξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km),Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964.(2)由η=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-