微分幾何彭家貴課后題答案

可編輯修改可編輯修改精選doc精選doc習題一（P13）設a(t是向量值函數(shù)，證明：a常數(shù)當且僅當a(t),a(t)0；（2）a(t的方向不變當且僅當a(ta(t0。證明：a常數(shù)a2常數(shù)a(t),a(t)常數(shù)a(t),a(t)a(t),a(t)0 2a(ta(t)0a(ta(t0。a(t)0，所以a(t)的方向不變單位向量e(t)

a(t)a(t)a(t)若單位向量

e(t)

常向量，則e(t)0e(t)e(t)0。a(t)a(t)反之，設e(t為單位向量，若e(te(t0，則e(t/a(t)a(t)由e(t為單位向量e(te(t1e(te(t0e(te(t。e(t)//e(t)e(t)0e(t)從而，由e(t)e(t)a(t)

e(t)

常向量。a(a(t)a(t)所以，

的方向不變

單位向量

常向量e(t)e(t)0

d( 1 )a(t)0a(t)a(t)a(a(t)a(t)a(t)a(t) a(t)2 1 a(t)a(a(t)2

d1a(t)dt1a(t)

1 a(t)a(t)0a(t)a(t)a(t)a(t)a(t)的方向不變當且僅當a(t)a(t)0。補充：定理r(t)平行于固定平面的充要條件是r(t),r(t),r(t)0。證明：""：若r(t)平行于固定平面，設n是平面的法向量，為一常向量。于是，r(t),n0r(t),n0,r(t),n0r(t),r(t),r(t)共面r(t),r(t),r(t)0。"：若r(tr(tr(t)0，則r(tr(tr(t)共面。若r(tr(t0r(t方向固定，從而平行于固定平面。r(tr(t)0，則r(tr(tr(t。令n(t)r(tr(t則n(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)r(t)(t)n(t)n(t)n(t)0，又n(t)0n(t)有固定的方向，又n(t)r(t)r(t)平行于固定平面。1.1。性質1.（

(x,x,x),v

(y,y,y),v (z,z,z),v

(w,w,w)，1則i j k

1 2 3 2y y y

1 2 3 3 1 2 3 2 3y y y

1 2 3vv y y y 2

3, 3 1, 1

2

w,w,w2 3 1 2 3 zz z z 2

z z z z3 3 1

z2

1 2 31wyzy

2z,w

3yzyz,w

yzyz,1 2

32 2

31 13

12 21i j k

x x x x x =v(vv)x x x 2

3, 3 1, 1 21 2 3

1 2 3 ww w w 21 2 3

w w w w w3 3 1 1 2233231131221xwxw,xwxw,xwxw233231131221 212213311332332112211311322332x[yzyz]x[yzyz],x[yzyz]x[yzyz],x[yzyz]x[yzyz]212213311332332112211311322332 22331223313311[xzxz]y[xyxy]z,[xzxz]y[xyxy]z,[xzxz]y[xyxy]z22331223313311 2 33

11 2 11

22 3

11 22 2233133112112232233[xzxz]y,[xzxz]y,[xzxz]y [xyxy]z,[x2233133112112232233

xy]z,[xyxy]z 133

11 2 11

22 3[xzxzxz]y,[xzxzxz]y,[xzxzxz]y22 33 11 1 33 11 22 2 11 22 33 3 [xyxyxy]z,[xyxyxy]z,[xyxyxy]z22 33 1

1 33 11

22

11

22

33 3[xzxz

xz]y,y,

[xyxy

xy]z,z,z11 2

33 1 2

22 3

11 1 2 3v,vvv,vv右1 3 2 1 2 3證明：設

(x,

,x),v

(y,

,y),

(z,z

,z),v

(w,

,w)，則1 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3i j k

x x x

x vv x x x 2

3, 3 1, 1

2

X,X,X1 2 1 2 3 yy y y 21 2 3

y y y y3 3 1

y2

1 2 3X xy1 2

xy,X3 2

xy31

xy,X13

xy1

xy.21ivv z

j k zz z 2

z z z z,3 3 1, 1,

z2 ,Y,Y3 4 1 2 3 ww w w 1 2 3

w w w w w3 3 1 1 2

1 2 3Yzwzw,Y z

zw,Yzwzw.1 2

3 2

3 1 1 3

1 2 2 1=vv,vv XYXYXY1 2 3 4 11 22 33(xyxy)(zwzw)(xyxy)(zw

z

)(xy xy)(zwzw)2 3 3 2 2 3 3

31 13 3 1 1

12 21 1 2 2 1[xzyw22 3

ywxz2 23

ywxz1 13

xzyw113

xzyw112

ywxz]1 122[xwyz

yzx

yzx

xzy

xwy

xwyz yzxw]2 2 3

223

113

113

1 13

1 12

112 2[(xyzwx

yzw

xyzw)xzy

ywx

ywx

xzy

xzy

ywxz]111

2 22

333

22 3

2 23

1 13

113

112

1 122[(xyzwx

yzw

xyzw)xwy

yzx

yzx

xwy

xwy

yzxw]111

2 22

333

2 2 3

223

113

1 13

1 12

112 2(xzxz

xz)(ywywy

)(xwx

xw)(yzyz yz)11 2

33 1 1 2 2 3

1 1 2

3 3 11 22 33=v,v vv v,v v

右1 3 2 4 1 4 2 3證明：設

(x,

,x),v

(y,

,y),

(z,z

z，則1 1 2 3

1 2 3

1 2 3i j k

x x x

x vv x x1 2 1 2y y1 2

x 23 yy 23

3, 3y y3 3

1, 1y y1 1

2y2

X,X,X1 2 3X x1

yx

y,X2

xy31

xy,X13

xy1

xy21v,v,

v,v

z

z

zX3z(x

1 2yx

3 1 )z(xy

1x

1)

2 2(xy

3 3xy)1 2 3 3

2 31 1

3 12 21(zxy12

yzx123

xyz12

)(zyx123

xzy12

yxz)123同理，i

j k z

z z z z

z vvz z

z 2

3, 3

1, 1

2

Y,Y,Y3 1 1x1Yzx

2x2z

3 xx 23,Y zx

x x3 3zx,Y

x x x1 1 2zxzx

1 2 31 2332 2

31 13 3

12 21v,v,

v,vvyYyY

yY2 3

2 3

11 22 33y(zxz

)y(zxzx)y(zx zx)1 23 32(

2 31 13 )

3 12 21

), , zxy12

yzx123

xyz12

(zyx123

xzy12

yxz123

v v v3 1 2i j k

y y y

y vv y y2 3 1 2

y 23 z

3, 3z z

1, 1z z

2z

Z,Z,Z1 2 3z z z 21 2 3

3 3 1 1 2Z yzyz,Z yzyz,Z yz yz1 2 32 2 31 13 3

12 21v,v,v v,vv xZx

xZ1 2

1 2

1 1 2 2 3 3x(yzyz

)x(y

yz)x(yz yz)1 23 32 2(

31 13

3 12 21

), , zxy12

yzx123

xyz)123

(zyx123

xzy12

yxz123

v v v3 1 2所以，vv

,v,

vv。1 2 3性質1.2

3 1 2

2 3 1（1）f)(

,

jixfxkzixfxkzfzfy f yz

fzy

f,zx,

fxz

f,xy,

fyx

2

2f

2f

2f

2f

2f (0,0,0)0.yz zy zx yxiixP證明（2）,F,

,RQ,PR,QPkzRRkzR

PR

yQQP

2R2Q2P2R2Q2

0.yz yx zx zy設

,e是正交標架，是1,2,3的一個置換，證明：1 2 3;e ,e ,e

是正交標架；(1) (2) (3);e,e,e與;e ,e

e 定向相同當且僅當是一個偶置換。1 2

(1)

(3)（1）證明：當ij時，(i) (j)e(i)當ij時，(i)(je

,e(j,e

0；1，(i) (j)所以，O;e(1)

,e

,e

是正交標架。（2）證明：A)當(12)(1)2,(2)(3)30 1 0 0 1 0,e ,e ,e,e,e,e1 0 0,det1 0 01;(1)

2 1

1 2

0 0 1 B)當(13)(1)3,(2)2,(3)10 0 1 0 0 1,e ,e ,e,e,e,e0 1 0,det0 1 01;(1)

3 2

1 2

1 0 0 C)當(23)(2)3,(3)2,(1)11 0 0 1 0 0,e ,e ,e,e,e,e0 0 1,det0 0 11;(1)

1 3

1 2

0 1 0 D)當(1)(12)(12)，此時，;e ,

,e e,

,e；(1)

1 2 3E)當(123)(12)(13)(1)2,(2)3,(3)1,0 0 1 0 0 1,e ,e ,e,e,e,e1 0 0,det1 0 01;(1)

2 3

1 2

0 1 0 F)當(132)(13)(12)(1)3,(3)2,(2)1,0 1 0 0 0 1,e ,e ,e,e,e,e0 0 1,det1 0 01.(1)

3 1

1 2

1 0 0 所以e,e,e與e ,

e 定向相同當且僅當是一個偶置換。1 2 3習題二（P28）

(1)

(2)

(3)求下列曲線的弧長與曲率：（1）yax2解：r(x)(x,ax2)r(x)(12ax)l(x)x解：0

rt)dtx0

14a2t2dt14a2t2令2|a|t14a2t214a2t2dt=

1sec3d2a

1I2|a|I sec3(sectan2sec)tandsecsectansecse3sectansecIsecdI1[tansecln|sectan|]C21414a2t214a2t2 2|a|2所以，

ln2|a|t C 1 14a2t214a2t214a2t2= sec3d I 2|a|14a2t214a2t2

ln2|a|t Cx x 1 14a2x214a2x2l(x)r(t)dt14a2x214a2x20 0

4|a|

2|a|x

ln2|a|x設曲線r(t)x(t),y(t，證明它的曲率為(t)x(t)y(t)x(t)y(t). 3(x)2(y)2 2證明：r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))t(s)drr(t)dt(x(t),y(t))dtds ds dsn(s)(y(t),x(t))dtdst(s)

d2r

dr(t)dtr(t)dt2r(t)d2t ds2

ds ds

ds

ds2t(s)(s)n(s) r(t)dt2r(t)d2t

(s)(y(t),x(t))dtds

ds2 ds x(t)dt2x(t)d2

(s)y(t)dt ds

ds2 ds y(t)dt2y(t)d2t(s)x(t)dt ds

ds2 ds x(t)dt2x(t)d2t y(t)dt2y (s)

dsy(t)dt

ds2

dsx(t)dt

ds2ds dsx(t)y(t)dt2x(t)y(t)dt2ds

ds

x(t)y(t)x(t)y(t)

ds(y)2(x)2ds(x(x)2(y)2

(y)2(x)2dt由 r(t)|dt(s)

x(t)y(t)x(t)y(t),即(y)2(x)2 23(t)x(t)y(t)x(t)y(t)。3 3(y)2(x)2 2設曲線C在極坐標下的表示為rf，證明曲線C的曲率表達式為ddf2 d2d)

f2)2

f3

d2.

22f2)d xrcosf)cos,yrsinf)sinr()(f)cos,f)sin))(f)cosf)sin,f)sinf)cos)r)(f)cosf)sin,f)sinf)cos)(f)cos2f)sinf)cos,f()sin2f()cosf()sin)xf)cosf)sinyf)sinf)cos；xf)cos2f)sinf)cos；yf)sin2f)cosf)sin。因此，xyxyf)cosf)sinf)sin2f)cosf)sinf)sinf)cosf)cos2f)sinf)cosf2)2f)2f)f)(y)2(x)2f)cosf)sin2f)sinf)cos2f)2f)2df2

d2f)y)x))

f2)2

f)d 2) 3

.3(x)2(y)2

df22f2()d求下列曲線的曲率與撓率：（4）r(t)(at, 2alnt,a)(a0)t

2 2ar(t)a2 2a

,a),r(t)(0, ,2a),r(t)(0,

,6a)；2a2at t2 t2 t32a2ai j k

t3 t4r(t)r(t)at

a 2a2a22a2a2t2 t

,2a2, 2a2t3 t2 2a20 2a t2 t3

2a2 2a2 r(t)r(t)

2a42a44a42a4t8t6t4a22a2a22a2t2a2t4

12t2t4t4

t21r(t)

t21t2r,r,r

2a2

,2a2,

2a2),(0,

2 2a,6a)

2 2a3。t4 t3 t2 t3 t4 t6所以，

2a2

2a2 (t) t4

t21

t4

t21

2t2 ；r(t)rr(t)r(t)

a

a3

at212t2

t21

t21t62a22 2a3t6r,r2a22 2a3t6

2r(t)r(r(t)r(t)2

t

t21 。at2at222r(t)r(t)r(t)r(t)rr2(t)

r(t)3

，(t) 。dr證明：

drdt

t(s)r(s)r(t)dtds dtds ds t(s)r(t)dt2r(t)d2t ds

ds2t(s)r(t)dt3(t)dtd2tr(t)d3t ds dsds2 ds3 根據(jù)弗雷內特標架運動方程t

0tdn

0 n，得：ds

b

0b t(s)(s)n(s)n(s) 1 t(s)b(s)t(s)n(s) 1 t(s)t(s)(s (s 1 r(t)dtr(t)dt2r(t)d2t(s) ds

ds

ds2 1 dt3r(t)r(t) (s) ds1

1 dt

r(t)r(t)(s)dsr(r(t)r(t)ds(s)dtds

r(t)r(t)

ds

r(t)rr(t)r(t)dtt(s)(s)n(s)t(s)(s)n(s)(s)n(s)由(s)t(s)(s)b(s)t(s)(s)n(s)(s)(s)t(s)(s)b(s)(s)n(s)2(s)t(s)(s)(s)b(s)t(s),b(s)(s)(s) 因為t(s),b(s)r(t)dt33r(t)dtd

r(t)d3t

1 dt3r(t)r(t) = 1 dt6r,rrrrrr2(s ds

ds

dsds2

ds3

(s)ds()()=

1 dt6

r,rrdt6 r,rr所以， s s

r r r

(s)=

。(s)ds證明：曲線 3 3

2(s)

dsr(s)(1s)2

,(1s)2,

s (1s1)2 3 3 2 以s為弧長參數(shù)，并求出它的曲率，撓率與Frenet標架。 1 1 證明：1）r(s)(1s)2

,(1s)2

1(1s1)2 2 2 2所以，r(s)

(1s)(1s)1(1s)(1s)1442(1s)1 (1s)1 t(s)r(s) 2, 2,0(1s1) 4 4 (s)

1(1s)1(1s)1(1s)11616 1 1 n(s)t(s)(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0 i j1b(s)t(s)n(s) (1s)21212(1s)(1s)21

(1s)212112(1s)(1s)21k120 1 1 1k120 2(1s)(1s)2, 2(1s)(1s)2,4(1s2)2 13s1s13s1sn(s

1s, ,0及 1 1 1b(s) 2(1s)(1s)2 2(1s)(1s)2,4(1s2)2得 (s)n(s),b(s) 13s 13s

1 1 11s1s , ,0, 2(1s)(1s)2, 2(1s)(1s)2,4(1s2)1s1s11 111s11s

2(1s)(1s)2

1

2(1s)(1s)21s1 2(13s)(1s2)21s11所以，1

2(13s)(1s2)

2 2(1s2)22）(s)

111118(1s2)

,(1s1)；(s2 2(1s22(1s1)。3）所求Frenet標架是r(s);t(sn(s),b(s)，其中 1 1 t(s)(1s)2

,(1s)2

1 (1s1)，2 2 2 2 ),2(1 )n(s)2(1s)(1s1 s)(1s1 (1s),2(1 ) 2 2 ， 1 1 1b(s) 2(1s)(1s)2 2(1s)(1s)2,4(1s2)2(1s1)。 10.設XXTPE3detT1。r(tE3中的正則曲線。求曲線r

r與曲線r的弧長參數(shù)、曲率、撓率之間的關系。St)

r)

d( r)0d0

d(rTP)d

rT

)S(t)0 0 0 0可見，r r與曲線r除相差一個常數(shù)外，有相同的弧長參數(shù)。（2）(t)

r(t)r(t) r(t)3

r(t)Tr(t)Tr(t)T3可見，r

sgn(detT)r(sgn(detT)r(t)r(t)Tr與曲線r有相同的曲率。

r(t)r(t)r(t)

(t)（3）(t)

r,rrr(t)r(t)2

,r,rr(t)Tr(t)T,sgn(det,sgn(detT)(rrr(t)r(t)2,sgn(detT)(rrr(t)r(t)2

rT,rTrTr(t)r(t)2r(t)r(t)2sgn(detTr(t)r(t)2r(t)r(t)2r(t)r(r(t)r(t)2r(t)r(t)2

sgn(detT)r,(rr)r(t)r(tr(t)r(t)2sgn(detT)可見，r

(t)r與曲線r的曲率相差一個符號。13.（1）求曲率(s)

aa2s2

（s是弧長參數(shù)）的平面曲線r(s。解：設所求平面曲線r(s)x(s),y(s)因為s是弧長參數(shù)，所以|r(s)1x(s)2y(s)2

1可設x(s)cos,x(s)sin，由曲率的定義，知d(s)

a d

a ds

a dsarctansds a2s2 a2s2 a2s2 acos(arctan sin(arctan x(s) s x(s) scos(arctan sin(arctan a ax(s)

scos(arctan a

ds 1 ds1tan2(arctans)1tan2(arctans)a1s2a2

dsa 1

dsaln(s a2s2)a2s2y(a2s2

sin(arctan )ds1cos2(arctan s s

2ds1

a a1 ds1 1s

s dssec2(arctan )2a

1tan2(arctan )2aa2s2a2a2s2a2s2 所以，所求平面曲線r(s)aln(s a2s2), a2s2)。證明：曲線r(t)(t 3sint,2cost, sint)與曲線t tr(t(2cos ,2sin t是合同的。2 2對曲線Crr(t作參數(shù)變換t，則r(2cosu,2sinu2uC是圓柱螺線a2,b2)，它的曲率和撓率分別為4

，1。4因此，只要證明曲線C:rr(t)的曲率14

，撓率1，從而根據(jù)曲4線論基本定理，它們可以通過剛體運動彼此重合。2）下面計算曲線C的曲率與撓率。32由r(t)(1 3cost,2sint, cost)|r(t)|2 ，32進而r(t)( 3sint, 2cost, sint)3r(t)r(t)(23

cost2,4sint,2

2cost)2(1 3cost,2sint,

cost)33|r(t)r(t)|433

1。242r(t 3cost,2sintcostr(tr(tr(t)81。44.44.4設(s)0是連續(xù)可微函數(shù)，則E2的曲線r(s，它以s(s為曲率；證明：先證明1，為此考慮下面的一階微分方程組 dr ds

e(s)1(1.1)

de (s)e

(s)11de

2(s)e(s)2ds 1r0e0e0，其中e0e0

E2中的一個與自然標架定向相同的正交標架，以及1 2 1 2s(a,b)，則由微分方程組理論得，(1.1)有唯一一組解r(s);e0

(s),e2

(s)滿足初始條件：

r(s);e(s),e(s)| r0;e0e0 。1 2 ss0 1 2r(s為所求曲線，則1

(s),e2

(s)必是它的Frenet標架。因此，我們首先證明(s),e1 2

(a,b)均是與自然定向相同的正交標架。將微分方程組(1.1)改寫成(1.2)其中

de 2idsj1

aeij

(s),i1,2

0 (s) ij22

(s) 0 是一個反對稱矩陣，即aaij ji

0i,j令(1.3) gij

(s)e(s),ei

(s)(gij

) i,j對(1.3)求導，并利用(1.2)有：(1.4) dgds

(s)

de(s),eds i

(s)

de(s),eds i

(s)e(s),i

deds

(s)ek

(s),ej

(s)e(s),2ik1

a ejkk

(s)2

e(s),e

(s)2

e(s),e(s)ikk12aikk1

k e(s),ek

jkk1(s)2ajkk1

i ke(s),e(s)k i2

agik

(s)ajk

g (s) i,j1,2.ki(1.4)

k1gij

(s)i,j

是微分方程組(1.5)(1.5)的解。

d fds

(s)2k1

fik

(s)ajk

f (s)i,j1,2.ki定義ij

1,ij;0,0,ij.

i1,2.則dds

0,

ij1,2.且 2

(a1k

a1k

)a a11

0, ij12

k2

(a 2k k

a 2k k

)a a22

0, ij2a a

k1k1

ik kj

jk ki

2k

(a1k k

a 2k

)a a12

0, i1,j22k1

(a 2k

a1k k

)a a21

0, i2,j1即 dds

2k1

ik

a jk

i,j1,2.

i1,2.是微分方程組(1.5)的解。ijij

(s0 i,j

ij

i,j

，所以ij

(s)i,j

是微分方程組(1.5)滿足初始條件ij

(s0 i,j

ij

i,j

的唯一解。從而g(s) ,i,jij ij所以，e1

(s),e2

(s) (a,b)

均是正交標架。F(s1

(s),e2

(s),e1

(s)e2

(s)

(a,b)sF(s)或-1。故由F(s0

)1

(s),e0

(s),e0

(s)e0

(s)=1知，0F(s)1

(s),e2

(s),e1

(s)e2

(s)=1，s(a,b)?？梢?，e1

(s),e2

(s) (a,b)

均是與自然定向相同的正交標架。于是由微分方程組(1.1)有：drdse(s)=1sdrdrds

e(s)推出t(s)e(s)是1de

ds 1 1de1dsde1ds單位切向量。由 1ds

(s)e2

(s)推出

(s) t(s)是r(s)由de

1 1 de1 (s)e

(s)推出由n(s)

t(s)

1e

(s)，即e

(s)是單位正法向量。ds 2

(s) (s)ds 2 2可見，微分方程組(1.1)的滿足初始條件： r(s);e(s),e(s)| r0;e0,e01 2 ss0 1 2唯一一組r(s);e1

(s),e2

(s)的確表明：存在平面E2的曲線r(s)，它以s為弧長參數(shù)，(s)為曲率，當(s)是連續(xù)可微函數(shù)時。再證明（2r(s)與r(s)E2s為弧長參數(shù)的曲線，且定義在1 2同一個參數(shù)區(qū)間(ab1

(s)2

(s)0

s(a,b)。則存在剛體運動(X)XTP把曲線r(s)變?yōu)閞(s)，即r r。2 1 1 2證明開始：設0(ab，考慮兩條曲線在s0Frenet標架(0);t(0),n與(0);t(0),n。1 1 1 2 2 2則存在平面E2中一個剛體運把第二個標架變?yōu)榈谝粋€標架即r與 r1 2

s0處的Frenet標架重合。因此我們只須證明當曲線r2

(s與r(s在s0Frenet標架重合1r2

r。1曲線Frenet標架的標架運動方程為 dr ds

t(s)(1.6)dt

(s)n(s)dsdnds

(s)t(s)r,tn的常微分方程。r2

(s)的Frenet標架與r(s的1Frenet標架都是微分方程組(1.6)的解。它們在s0處重合就意味著這兩組解在s0的初值相等，由解對初值的唯一性定理立即得到r2

r。定理證明完成。1習題三（P68）2（1）r(uvv),b(uv),4uv是什么曲面？xa(uv)yb(uv z

x2y2a2 b2

z馬鞍面4.證明：曲面F(y,z)0的切平面過原點。x x證明：無妨假定方程

y zF( , x x

0

zf(x,y)

的隱函數(shù)，于是 y f

yFzFF( )F[( )

]0 f 1 2y z 1 x2 2 x2 x x

x xFF( , )0 1 1

2x x FF( )F(

)

f 1 1 x 2 x

y F2設r(xyxy,f(xy)，則

i jr1,0,fx

1,0,

1 2xF

zF F kyF1 xF2F1F22 rr kyF1 xF2F1F2

2,

,1 F

x y

xF F r 0,1,f 0,1,1 2 201y y F012所以，P(x,y,z)處的切平面為 yFzF F: 1 xF2

(Xx)1(Yy)(Zz)0F2易見，當X,YZ(0,0,0)時，有：yFzF

F yF

yFzF左= 1 2(0x)1(0y)(0z) 1 2- 1

=0=右xF F F F2 2 2 2所以結論為真。證明：曲面SP點的切平面TP

S等于曲面上過P點的曲線在P點的切向量的全體。證明：設曲面S的參數(shù)方程為rr(u,v),(u,v)D，P r(u,v),(u,v)D。令0 0 0 0(u(tv(tD中過(uvr(t)r(u(tv(tP點0 0的曲線。于是drdtr(u,vdrdtP u 0 0

r(u,v)dudtdvdtP v dudtdvdtr(tr(u(tv(tP點的切向量

rdrdtP drdt

(u,v0

)rv

(u,v0

)線性表drdtPdrdt

都在過P點的切平面上。另一方面，對于任意切向量Pwru

(u,v0

)rv

(u,v0

)TS，P在參數(shù)區(qū)域D中取過(u0,v0)且方向為l(,)的參數(shù)曲線(u(t),v(t))(u0t,v0t)則此時，r(t)r(u(t),v(t))r(u t,v t)0 0dtdrdt從而 rP u

(u,v0

)rv

(u,v0

)w。這表明：在P點的切平面TP

S中每一個向量都是過P點的某一曲線的位于P點的切向量。于是：曲面SP點的切平面TP

S等于曲面上過P點的曲線在P點的切向量的全體。25.求雙曲拋物面r(uv)a(uvb(uv4uvGaussKH，主曲率,1 2

和它們所對應的主方向.解：由ru

(a,b,4v)，rv

(a,b,4u)Ea2b216v2，F(xiàn)a2b216uvGa2b216u2。rru

22b(uv),2a(uv),ab，n

2 2b(uv),2a(uv),ab，EGF2其中EGF28[2b2(uv)22a2(uv)2a2EGF2由r 0，ruu

(0,0,4)，rvv

0LN0, M

8abEGEGF2于是Gauss曲率K：KLNM2

64a2b2

a2b2 ，EGF2H：

EGF22

b2uv)22a2(uv)2a2b22H MFEGF

8ab(a2b216uv)(EGF2)3/2

ab(a2b216uv) 。b2uv)24a2(uv)22a2b23/2因為M0，所以H2KM EGM2F2(LNM2)(EGF2H2KM EGH2K

0 ，所以主曲率：1

EGF22

EGF22 EGF2H2KM(F EGH2K H1

EGF2ab(a2b216uv) (a2b216u2)(a2b216v2) .b2uv)24a2uv)22a2b23/2對應的主方向為du:dv(1其中

FM):1

EL)(1

FM):E，1FM

MF(F EG)M(EGF2)

MF EGMEG1 EGF2 EGF2 .M EG(F EGEGF2所以

EG.1Gdu:dv :G同理，另一個主曲率 ：2H2K H2K2

: 。Ea2b24u2a2b2Ea2b24u2a2b24v2EGF2ab(a2b216uv) (a2b216u2)(a2b216v2)， b2uv)24a2uv)22a2b23/2對應的主方向為GEa2b24u2a2bGEa2b24u2a2b24v2注：設W:TP

STP

S為外恩格爾登變換，則uWu

n

br

a cub Wub

n

ucr

v

Wru

,Wrv

,ru

v v u vWdurdvduW

dvW,W

duv u

u

dv,ru

b d a cb d Wdurdvdurdv,r

duu v u v

u v dv r,r

a cdu,

dua cduduu v b ddv

u v dv b ddv

dv a cdu du a

c du 0

b ddv dv

d dv 0 EGF2

MGNF EGF2 du 0

ME

NEMF dv

0 EGF2

EGF2

(LGMF)(EGF2)

MGNF

du 0 MELF NEMF(EGF2)dv 0 (LE)GF(MF)

MGNF

du 0ME

LF (N

G)EF(M

F)dv 0 G FLE MFdu

F EM

F N

Gdv 01 G FLE MFdu 0 EGF

dv dv 0

F EM

F N

E F1LE MFdu 0 F G

M

F N Gdv 0EL FMdu 0

FM GNdv dudvFMELNM。補充：定理函數(shù)是主曲率的充要條件是EL FM0。FM GNddu:dv是主方向的充要條件是EduFdv LduMdvFduGdv Mdu

0 。（1）設du:dv是對應的主方向，則有Wdrdr，即ndundvr