2022年內(nèi)蒙古集寧市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．集合的子集的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．83．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則（）A． B． C． D．4．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．36．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．7．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A． B．C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米11．已知函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)，則的圖象的對稱中心為（）A． B．C． D．12．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）14．已知，(，)，則＝_______．15．在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．16．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線繞著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，并在所得射線上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).18．（12分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，且，證明：.19．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若函數(shù)，若對于任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.22．（10分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.2、D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù)，再得子集個數(shù)．【詳解】由題意，有三個元素，其子集有8個．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查子集的個數(shù)問題，含有個元素的集合其子集有個，其中真子集有個．3、B【解析】

求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時的，通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，故當(dāng)時，，所以，而，所以，又當(dāng)時，的極大值為1，所以當(dāng)時，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.7、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D．8、A【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積?！驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A。【點(diǎn)睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】

求出復(fù)數(shù)，得出其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定所在象限．【詳解】由題意,對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實(shí)際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由值域?yàn)榇_定的值，得，利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)?，又依題意知的值域?yàn)?，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對稱中心為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對稱中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯點(diǎn)是對稱中心縱坐標(biāo)錯寫為012、C【解析】，令解得當(dāng)，的圖像如下圖當(dāng)，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計(jì)算即可。【詳解】“任取兩個數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個，所以任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。14、【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得，平方可得.【詳解】∵，∴，則，平方可得．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、【解析】

設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解：設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.16、【解析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因?yàn)椋裕?，所?又因?yàn)?，所?因?yàn)椋?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可?！驹斀狻浚?）當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當(dāng)時，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù)，則，解得，檢驗(yàn)符合；②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識，利用所學(xué)知識分析解決新定義問題。18、（1）極大值為；極小值為；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;（2）構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.（2）證明:由（1）知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因?yàn)?所以,又,則,因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對值三角不等式，求得的取值范圍，根據(jù)分段函數(shù)解析式，求得的取值范圍，結(jié)合題意列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1），由得或或；解得.故所求解集為.（2），即.由（1）知，所以，即.∴，∴.【點(diǎn)睛】本小題考查了絕對值不等式，絕對值三角不等式和函數(shù)最值問題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想.20、（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項(xiàng)，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，得出是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項(xiàng)；（2）由（1）可知，，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，，，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得，以及其前n項(xiàng)和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面，所以面的法向量可取，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，設(shè)面的法向量，所以，取，二面角的平面角為，則為銳角.所以【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，在做此類題時，一定要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo).22、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時，令，得.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)