計(jì)算方法自動(dòng)化-數(shù)值誤差

0緒論理、計(jì)算力學(xué)、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。本課僅限介紹最常用的數(shù)學(xué)模型的最基本的數(shù)值分析方法。前言隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值分析方法已深入到計(jì)算物實(shí)際問(wèn)題物理模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值方法計(jì)算機(jī)求結(jié)果計(jì)算方法是一種研究并解決數(shù) 學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似解方法在各個(gè)領(lǐng)域里面的測(cè)算最終都要通過(guò)計(jì)算平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。理論上可行的方法在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中可能出現(xiàn)：誤差大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等特點(diǎn)，降低了方法的可行性。如何在達(dá)到同樣目的的情況下降低誤差和計(jì)算量，就是計(jì)算方法的根本目標(biāo)0緒論問(wèn)題數(shù)學(xué)模型算法模型數(shù)值方法計(jì)算機(jī)求結(jié)果價(jià)格； 價(jià)格；電力系統(tǒng)的負(fù)荷；天氣；總統(tǒng)

選票機(jī)器學(xué)習(xí)模型：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練方法：優(yōu)化法（展開二級(jí)）矩陣求逆（高數(shù)中的Hessian矩陣）0緒論評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)60%考試30%作業(yè)10%出勤1.1誤差–來(lái)源誤差來(lái)源原始誤差－模型誤差（忽略次要因素，如空氣阻力）物理模型，數(shù)學(xué)模型觀測(cè)誤差－獲取模型參數(shù)的觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)過(guò)程中帶來(lái)的誤差方法誤差－截?cái)嗾`差（算法本身引起）計(jì)算誤差－舍入誤差（計(jì)算機(jī)表示數(shù)據(jù)引起）1.1誤差–來(lái)源模型長(zhǎng)乘以寬求面積測(cè)量尺子近似表達(dá)虛線取值四舍五入絕對(duì)誤差設(shè)x*

為精確值，x為近似值，e

x*

x為誤差或絕對(duì)誤差例如：f

(x)

ln(x

1)作Taylor展開，, 0

1xin

i1(1)i

1(1)n

xn1i(n

1)(1x)n1舍棄，即為誤差1.2誤差–分類綱量？1.2誤差–分類例如：150分滿考139，100分滿考90，兩者的絕對(duì)誤差分別為11和10，優(yōu)劣如何？前者相對(duì)誤差(150－139)/150=0.073，后者相對(duì)誤差(100-90)/100=0.100綱量？相對(duì)誤差x

*

x

*ex

*

xer

稱為相對(duì)誤差1.3誤差–誤差限一般情況下絕對(duì)準(zhǔn)確的x較難求出，從而也不能算出絕對(duì)誤差的準(zhǔn)確值，但可以根據(jù)測(cè)量工具或計(jì)算的情況估計(jì)出它的取值范圍，即估計(jì)出絕對(duì)值的一個(gè)上界。1.3誤差–誤差限四舍五入的誤差限是多少？經(jīng)過(guò)四舍五入的數(shù)，其誤差必定不超過(guò)被保留的最后數(shù)位上的半個(gè)單位。1.4誤差–有效數(shù)字定義：有效數(shù)字設(shè)x為準(zhǔn)確值，x*為x的一個(gè)近似值，如果x*的誤差絕對(duì)值不超過(guò)它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x*左起第一個(gè)非零數(shù)字到該數(shù)位共有n位，則稱這n個(gè)數(shù)字為x*的有效數(shù)字。K則為有效數(shù)字1.4誤差–有效數(shù)字K=5K=41.4誤差–通過(guò)簡(jiǎn)化計(jì)算步驟減少運(yùn)算次數(shù)方法一：取前n項(xiàng)，截?cái)嗾`差為1/(n+1)。如果要求誤差<10-5，大約需要10萬(wàn)項(xiàng)。方法二：取前5項(xiàng)，截?cái)嗾`差已經(jīng)小于10-5

。1.5誤差–避免兩個(gè)相近的數(shù)相減方法一：方法二：1.6誤差–避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值除數(shù)減小，絕對(duì)誤差增大1.7誤差–防止大數(shù)吃小數(shù)求根1.7誤差–防止大數(shù)吃小數(shù)如果用8位數(shù)計(jì)算機(jī)：錯(cuò)誤結(jié)果：正確結(jié)果：1.8誤差–盡量采用數(shù)值穩(wěn)定性好的方法方法一：迭代正向計(jì)算方法二：取中數(shù)反向計(jì)算1.8誤差–盡量采用數(shù)值穩(wěn)定性好的方法為什么？1.8誤差–盡量采用數(shù)值穩(wěn)定性好的方法方法一：迭代方法二：取中數(shù)反向計(jì)算反向計(jì)算誤差降低，方法一可否反向計(jì)算？1.9誤差–小知識(shí)1.