高中 高一 數(shù)學(xué) 平面幾何中的向量方法

.4.1平面幾何中的向量方法（第一課時）(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第六章)深圳市翠園中學(xué)韓蕓一、教學(xué)目標(biāo)1.能用向量方法解決簡單的平面幾何問題；2.體會向量在解決數(shù)學(xué)問題中的作用；3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).二、教學(xué)重難點(diǎn)1.用向量方法解決幾何問題的基本方法；2.將幾何問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題.三、教學(xué)過程1.向量方法解決幾何問題的思路形成1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考【數(shù)學(xué)情境】由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.因此，平面幾何中的許多問題都可以用向量運(yùn)算的方法加以解決.問題1：平面幾何問題與平面向量之間的對應(yīng)關(guān)系如何？完成下表. 幾何元素及其表示向量及其運(yùn)算平行垂直長度夾角 【預(yù)設(shè)的答案】幾何元素及其表示向量及其運(yùn)算平行直線垂直直線長度的長度夾角【設(shè)計意圖】從向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有的幾何背景出發(fā)，建立平面幾何元素與平面向量之間的對應(yīng)關(guān)系.【數(shù)學(xué)情境】如圖，是的中位線，用向量方法證明：.【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，通過線段（直線）平行與向量共線關(guān)系的實(shí)例，讓學(xué)生感受在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，利用平面向量研究平面幾何中平行關(guān)系這一類問題.問題2：如果兩個向量共線，那么向量所在直線的位置關(guān)系是怎樣的？如何利用平面向量證明線段（直線）平行？【活動預(yù)設(shè)】啟發(fā)學(xué)生初步感知用平面向量表示幾何圖形中的元素，并借助向量運(yùn)算研究圖形中的幾何元素之間的關(guān)系.1.2探究典例，形成思路活動：用向量方法證明：.【活動預(yù)設(shè)】感受在證明的過程中，如果直接建立兩個所求向量之間的關(guān)系不好表示，那么需要考慮聯(lián)系這兩個向量的橋梁：基底！因此可以選取一組基底，用分別表示,就建立了二者的關(guān)系，從而證明.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感受利用向量解決平面幾何問題的思路，用基底法表示所求向量是向量表示的一種方法.1.3具體感知，理性分析問題3：如何用向量方法證明三點(diǎn)共線呢？【活動預(yù)設(shè)】（1）向量共線與線段平行、重合的關(guān)系是什么？（2）類比：向量共線證明線段平行的方法，先證，再說明沒有公共點(diǎn).【設(shè)計意圖】從引例中的具體問題入手，進(jìn)一步讓學(xué)生體會用向量運(yùn)算研究圖形中的幾何元素之間的關(guān)系.問題4：用向量方法解決平面幾何問題的基本思路和步驟是什么？【預(yù)設(shè)的答案】幾何圖形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算向量到幾何關(guān)系【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中歸納總結(jié)用向量方法解決平面幾何問題的基本思路.2.初步應(yīng)用，理解方法例1如圖，已知平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)對角線和的長度與兩條鄰邊和的長度之間的關(guān)系嗎？【預(yù)設(shè)的答案】.【設(shè)計意圖】利用向量方法探究平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系，意圖之一仍是體會基底思想，用基底建立的聯(lián)系，意圖之二是體會涉及兩個向量的和或差的模的問題時，只需對向量的和或差的模平方.例2如圖所示，在正方形中，，分別是,的中點(diǎn)，求證：.【預(yù)設(shè)的答案】方法一：基底法，.方法二：坐標(biāo)法，.【設(shè)計意圖】體會利用向量的方法解決直線垂直關(guān)系的問題.例3如圖，在中，,,點(diǎn)在線段上，且.求：（1）的長；（2）的大小.【預(yù)設(shè)的答案】（1）；（2）.【設(shè)計意圖】體會利用向量的方法解決長度和角度的問題.3.歸納小結(jié)，文化滲透思考：用向量方法解決幾何問題的思路是什么？【設(shè)計意圖】（1）梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：用向量方法解決幾何問題的思路；（2）進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，鼓勵學(xué)生積極攀登知識高峰，進(jìn)一步體會用向量方法解決幾何問題的必要性.四、課外作業(yè)1．已知平面內(nèi)四邊形和點(diǎn)，若，，，，且，則四邊形為()A．菱形B．梯形C．矩形 D．平行四邊形2．在中，，邊上的中線，，則的長為()A．1B．2C．3 D．43．(多選)在中，下列命題正確的是()A.B.C．若,則為等腰三角形D．若，則為銳角三角形4．在平行四邊形中，,，為的中點(diǎn)，若，則的長為()5.已知的外接圓半徑為1，圓心為，且，則的值為()A．B.C． D.6．在矩形中，，.邊上的動點(diǎn)(包含點(diǎn)，)與延長線上