概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

機電工程學院機電所

楊東武

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學大綱

課程編號：SC1112005

課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 英文名稱：ProbabilityandStatistics

學時：46 學分：3

課程類型：必修 課程性質(zhì)：公共基礎課

適用專業(yè)：工科類專業(yè) 先修課程：高等數(shù)學

開課學期：第2學期 開課院系：理學院數(shù)學系

一、課程的教學目標與任務

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是我校工科各專業(yè)的共同必修課。它是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學學科，理論嚴謹、應用廣泛，是數(shù)學的一個重要分支，也是現(xiàn)代科技人才必須掌握的工具技術(shù)課之一。通過該課程的學習，要使學生系統(tǒng)地獲得概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本知識，必要的基礎理論；要求學生掌握常用的分析方法；同時為學習隨機過程，信號處理等后繼課程奠定基礎。

二、本課程與其它課程的聯(lián)系和分工

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的入門課程，是現(xiàn)代科技人才必須掌握的工具技術(shù)課之一，也是學習隨機過程、信號處理等后繼課程的主要數(shù)學工具。

三、課程內(nèi)容及基本要求

(一)概率論的基本概念(8學時)

內(nèi)容：隨機實驗；樣本空間，隨機事件；頻率概率；古典概型；條件概率與獨立性。

1．基本要求

(1)理解樣本空間，隨機事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運算。能熟練運用事件的和、積、差運算表示未知的事件。

(2)了解概率的公理化體系，掌握概率的基本性質(zhì)。熟練掌握概率的加法公式。會計算古典概型問題的概率。

(3)了解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式和Bayes公式。

(4)了解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算。

2.重點、難點

重點：樣本空間，隨機事件；事件的關(guān)系及運算；概率的基本性質(zhì)；條件概率，概率的乘法公式、全概公式和Bayes公式；獨立性的概念。

難點：古典概型問題的概率。

3.說明

幾何概型可以選講。

(二)隨機變量及其分布(6學時)

內(nèi)容：隨機變量；離散型隨機變量的概率分布；隨機變量的分布函數(shù)；連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)；隨機變量的函數(shù)的分布。

1.基本要求

(1)理解隨機變量，離散型隨機變量的概念，理解獨立重復試驗的概念。掌握計算有關(guān)事件概率的方法。掌握0-1分布，掌握Poisson分布及其應用，掌握二項分布及其應用。

(2)了解分布函數(shù)的概念，理解連續(xù)性隨機變量及其概率密度的概念。掌握概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系，分布函數(shù)與密度函數(shù)的性質(zhì)，掌握均勻分布和指數(shù)分布及其應用。

(3)掌握正態(tài)分布及其應用，會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布。

2.重點、難點

重點：隨機變量的概念；離散型隨機變量的分布律，常見的離散型隨機變量二項分布，Poisson分布，Bernoulli概型；分布函數(shù)的概念及性質(zhì)；概率密度函數(shù)的性質(zhì)，常見的連續(xù)型隨機變量，均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布；隨機變量函數(shù)的分布。

難點：隨機變量的概念；分布函數(shù)的概念。

(三)多維隨機變量及其分布(8學時)

內(nèi)容：二維隨機變量；邊際分布；條件分布；相互獨立的隨機變量；兩個隨機變量的函數(shù)的分布。

1.基本要求

(1)了解二維隨機變量的概念，理解二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及性質(zhì)，二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)及性質(zhì)，會利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率。

(2)了解邊緣分布，條件分布。理解邊緣密度，條件密度。會求二維離散型隨機變量的邊緣分布，邊緣分布律。會求二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布，邊緣密度。

(3)理解隨機變量獨立性的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機變量獨立性的條件。

(4)掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。

(5)會求兩個隨機變量的簡單函數(shù)的分布。

2.重點、難點

重點：二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)的概念，二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律，二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)；邊際分布，二維離散型隨機變量的邊際分布律，二維連續(xù)型隨機變量的邊際密度函數(shù)；離散型隨機變量相互獨立的充要條件，連續(xù)型隨機變量相互獨立的充要條件。

難點：離散型隨機變量的條件分布律，連續(xù)型隨機變量的條件密度函數(shù)；兩個隨機變量和的密度函數(shù)，兩個隨機變量商的密度函數(shù)。

(四)隨機變量的數(shù)字特征(6學時)

內(nèi)容：數(shù)學期望；方差；幾種重要隨機變量的數(shù)學期望和方差；協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)；矩、協(xié)方差矩陣。

1.基本要求

(1)理解隨機變量的數(shù)字特征(數(shù)學期望、方差、標準差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù))的概念，并會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布的數(shù)字特征。

(2)會根據(jù)隨機變量X的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)g(X)的數(shù)學期望E[g(X)]；會根據(jù)隨機變量X和Y的概率分布求其函數(shù)g(X，Y)的數(shù)學期望E[g(X，Y)]。

(3)根據(jù)隨機變量X和Y的概率分布求其相關(guān)系數(shù)，理解相關(guān)系數(shù)取特殊值的概率含義。了解切比雪夫不等式。

2.重點、難點

重點：離散型隨機變量的數(shù)學期望，連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望，隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，數(shù)學期望的性質(zhì)，幾種重要隨機變量的數(shù)學期望；方差的概念，方差的性質(zhì)，幾種重要隨機變量的方差；協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)。

3.說明

矩、協(xié)方差矩陣的概念可以略講。

(五)大數(shù)定律及中心極限定理(2學時)

內(nèi)容：大數(shù)定律；中心極限定理。

1．基本要求

(1)了解切比雪夫大數(shù)定律、貝努利大數(shù)定律和辛鋅大數(shù)定律(獨立同分布隨機變量的大數(shù)定律)成立的條件和結(jié)論。

(2)了解獨立同分布的中心極限定理，德莫佛—拉普拉斯中心極限定理(二項分布以正態(tài)分布為極限分布的定理)的應用條件和結(jié)論，并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機事件的

概率。

2.重點、難點

重點：獨立同分布的中心極限定理；德莫佛—拉普拉斯中心極限定理。

難點：概率收斂的概念；切比雪夫大數(shù)定律、貝努利大數(shù)定律、辛鋅大數(shù)定律。

3．說明

該章大數(shù)定理部分可以略講。

(六)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念(3學時)

內(nèi)容：隨機樣本；抽樣分布。

1.基本要求

(1)了解總體、個體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念。了解x2分布、t分布和F分布的定義及性質(zhì)、了解分位數(shù)的概念并會查表計算。

(2)了解正態(tài)總體的常用抽樣分布。

2.重點

總體、個體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念；正態(tài)總體的常用抽樣分布。

3．說明

x2分布、t分布和F分布的定義及性質(zhì)可略講。

(七)參數(shù)的點估計與區(qū)間估計(7學時)

內(nèi)容：參數(shù)的點估計；估計量的評價標準；區(qū)間估計；正態(tài)總體均值和方差的置信

區(qū)間；(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計；單側(cè)置信區(qū)間。

1．基本要求

(1)理解參數(shù)的估計、估計量、點估計的概念。掌握矩估計法(一，二階矩)和極大似然估計法。

(2)了解估計量的無偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并會驗證估計量的無偏性。

(3)了解區(qū)間估計，置信區(qū)間的概念。會求單個正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間。會求兩個正態(tài)總體均值差和方差比的置信區(qū)間。

(4)了解(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計，單側(cè)置信區(qū)間的概念。

2.重點、難點

重點：矩估計法和極大似然估計法；估計量的評價標準——無偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)；單個正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間，兩個正態(tài)總體均值差和方差比的置信區(qū)間。

難點：區(qū)間估計的思想。

(八)假釋檢驗(6學時)

內(nèi)容：假釋檢驗；正態(tài)總體均值的假釋檢驗；正態(tài)總體方差的假釋檢驗。

1．基本要求

(1)了解顯著性假釋檢驗的基本思想，掌握假釋檢驗的基本步驟，了解假釋檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤。

(2)掌握單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假釋檢驗。

2.重點、難點

重點：單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假釋檢驗。

難點：假釋檢驗的基本思想。

3．說明

本章第三節(jié)后不講。

四、教學安排及方式

總學時46學時，講課40學時，習題課6學時。

教學環(huán)節(jié)

教學時數(shù)

課程內(nèi)容

講課

實驗

習題課

討論課

上機

參觀或看錄像

小計

概率論的基本概念

6

2

6＋2

隨機變量及其分布

6

6

多維隨機變量及其分布

6

2

6＋2

隨機變量的數(shù)字特征

5

1

5＋1

大數(shù)定律及中心極限定理

2

2

數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

3

3

參數(shù)的點估計與區(qū)間估計

6

1

6＋1

假釋檢驗

6

6

合計

40

6

40＋6

五、考核方式

筆試閉卷。

各教學環(huán)節(jié)占總分的比例：平時測驗及作業(yè)10%，期末考試90%。

六、推薦教材與參考資料

教材：

盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計.北京：高等教育出版社，1989

參考資料：

[1]復旦大學.概率論.北京：人民教育出版社，1979

[2]復旦大學.數(shù)理統(tǒng)計.北京：人民教育出版社，1979

[3]王梓坤.概率論及其應用.北京：科學出版社，1979

(執(zhí)筆人：宋月審核人：于力)

第一講隨機事件與概率

1．概率論是研究什么的？

研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的科學。

隨機現(xiàn)象：是在個別試驗中結(jié)果呈現(xiàn)不確定性，但在大量重復試驗中結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。

2.隨機試驗（E）：具有以下特點的試驗稱為隨機試驗。

特點：

（1）.可在相同條件下重復進行；

（2）.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果;

（3）.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。

例１：

E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;

E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；

E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);

E4:擲一顆骰子時出現(xiàn)的點數(shù)；

E5:記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)；

E6:在一批燈泡中任取一只，測試其壽命;

E7:記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論的基本概念

§1隨機試驗

自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的，有一類現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。

向空中拋一物體必然落向地面；

水加熱到100℃必然沸騰；

異性電荷相吸引；

放射性元素發(fā)生蛻變；

……

還有一類為隨機現(xiàn)象：在試驗或觀察前無法預知出現(xiàn)什么結(jié)果。

拋一枚硬幣結(jié)果可能正面(或反面)朝上；

向同一目標射擊,各次彈著點都不相同；

某地區(qū)的日平均氣溫；

擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)；

……

統(tǒng)計規(guī)律性：

多次重復拋一枚硬幣得到正面朝上的結(jié)果大致有一半；

同一門大炮射擊同一目標的著彈點大致在目標附近且按照一定的規(guī)律分布；

3.樣本空間（S）：隨機試驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合。樣本空間的元素，即試驗E的每個結(jié)果，稱為樣本點（e）。

例２：給出E1~E7的樣本空間：

S1：｛H，T｝；

S2：｛HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT｝；

S3：｛0，1，2，3｝；

S4：｛1，2，3，4，5，6｝；

S5：｛0，1，2，3，…｝；

S6：｛t|｝；

S7：｛(x,y)|｝。

4.隨機事件：試驗E的樣本空間S中滿足某些條件的樣本點所組成的集合，簡稱事件。

任何事件均可表示為樣本空間的某個子集。

由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。

兩個特殊事件:

必然事件：樣本空間S。

不可能事件：空集。

事件的表示：文字表述或樣本空間的子集。

例３：

（1）E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；

事件A：“第一次出現(xiàn)的是H(正面)”

｛HHH，HHT，HTH，HTT｝

事件B：“三次出現(xiàn)同一面”｛HHH，TTT｝

事件C：“恰好出現(xiàn)一次正面”

｛HTT，THT，TTH｝

（2）E6:在一批燈泡中任取一只，測試其壽命;

事件D1：“壽命小于1000小時”

｛t|｝

（3）E7:記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度。

事件D2：“最高溫度與最低溫度相差10攝氏度”

｛（x,y）|y-x=10,｝

§2樣本空間、隨機事件

電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)的上限未知

燈泡壽命上限未知

分別表示最低和最高溫度，分別表示該地區(qū)的溫度下限和上限。

事件是樣本空間的子集。在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生。

思考：

事件A與B是否會同時發(fā)生？事件B與C是否會同時發(fā)生？為什么？

同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗E2，當試驗的結(jié)果是HHH時，可以說事件A(至少出現(xiàn)一個正面)和B(三次出現(xiàn)同一面)同時發(fā)生了；但事件B和C(恰好出現(xiàn)一次正面)在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述。

(課間休息)

5.事件之間的關(guān)系

設試驗E的樣本空間為S，事件A，B，是S的子集。

包含關(guān)系：

事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生。

若且，則。

和事件：

當且僅當事件A,B中至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生。

類似地，稱為n個事件的和事件。

積事件：

當且僅當事件A,B同時發(fā)生時，事件發(fā)生，簡記為AB。

類似地，稱為n個事件的積事件。

差事件：A-B=

當且僅當事件A發(fā)生、B不發(fā)生時，事件A-B發(fā)生。

互斥的或互不相容的事件：

事件A與事件B不能同時發(fā)生。

逆事件或?qū)α⑹录?/p>

對每次試驗而言，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。

事件A的對立事件記為，。

6.事件的運算

設試驗E的樣本空間為S，事件A，B，是S的子集。

（1）交換律：AB＝BA，AB＝BA

（2）結(jié)合律：

（3）分配律：

（4）德?摩根律：

，

若，則稱事件A與事件B相等。

事件稱為事件A與事件B的和事件。

事件稱為事件A與事件B的積事件。

事件A-B稱為事件A與事件B的差事件。

基本事件是兩兩互不相容的。

稱事件A與事件B互為對立事件或互為逆事件。

例４：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：

特別地，由于，

因此，

7.概率的統(tǒng)計定義

如何描述事件A出現(xiàn)的可能性的大小(概率)？

在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率，并記為。

例５：蒲豐曾投擲硬幣4040次，得正面2048次，得到正面的頻率為0.5069；

皮爾遜曾投擲硬幣12000次，得正面6019次，得到正面的頻率為0.5016；投擲24000次，得正面12012次，得到正面的頻率為0.5005。

事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定中心P(A)稱為事件A發(fā)生的概率。概率的這種定義稱為統(tǒng)計定義．

注1：頻率與試驗有關(guān)，但概率是該事件的客觀屬性。

注2：穩(wěn)定中心不是極限。

注3：給出了一個求概率的方法。

注4：理論依據(jù)。

（靈活掌握內(nèi)容，概率的性質(zhì)主要在下一節(jié)課講解）

從概率的統(tǒng)計定義立即可以看出，概率具有下述三個基本性質(zhì)：

1．非負性：對于每一個事件A，有;

2．規(guī)范性：對于必然事件S，有;

3．可列可加性：設A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，即對于，，，則有

頻率一般與試驗次數(shù)N有關(guān)；并且在N固定時,作若干組N次試驗，各組頻率一般也不相同．但當N很大時，頻率卻呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性，即在某常數(shù)附近擺動；且當N無限增大時，一般說來，頻率會“趨向”這個常數(shù)．這種規(guī)律稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律．很自然，把頻率所穩(wěn)定到的那個常數(shù)表示事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，稱作概率(probability),記為P(A)．

從數(shù)據(jù)結(jié)果惡意看出：拋硬幣次數(shù)n增大時，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，即總是在0.5附近擺動，并逐漸穩(wěn)定于0.5。

雖然我們并不能由概率的統(tǒng)計定義確切地定出一個事件的概率，但是它提供了一種估計概率的方法．頻率與概率的關(guān)系就像物體長度的測量值與該長度之間的關(guān)系：物體的長度是客觀存在的，是該物體的固有屬性，測量值是它的某種程度的近似值．同樣，隨機事件發(fā)生的可能性的大小——概率是隨機事件的客觀屬性，多次隨機試驗所得的頻率則是它的某種程度的近似．

第二講等可能概型的概率

1．概率的公理化定義：若對隨機試驗E所對應的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：

(1)P(A)≥0；

(2)P(S)＝1；

(3)可列可加性：設A1，A2，…,是兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P()＝P(A1)+P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。

2.概率的性質(zhì)

（1）；

（2）有限可加性：設A1，A2，…，An，是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

（3）單調(diào)不減性：若事件AB，則

P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)P(A)

A

B

S

（4）差事件概率：對于任意兩事件A和B，

A

B

S

且

B

A

S

（5）對于任一事件A，P(A)1

（6）互補性（逆事件的概率）：對于任一事件A，有P()=1-P(A)

（7）加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形。例如，

3.古典概型

若某試驗E滿足

1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};

2.等可能性（公認）：P({e1})=P({e2})=…=P(｛en｝).

則稱E為古典概型，也叫等可能概型。

由概率的規(guī)范性知，P(S)=nP({ei})=1，

因此，P({ei})=1/n

古典概型中的概率:

設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數(shù)，則有

例１：有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等，則至少有一個男孩的概率是多少?

解法1:設事件A表示“至少有一個男孩”，以H表示男孩，T表示女孩，則

S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}，

A={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH}，

P(A)=

解法2:設事件A表示“至少有一個男孩”，則事件表示三個孩子均為女孩；以H表示男孩，T表示女孩，則

S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}，

={TTT}，

P(A)=1-P()=1-

4.基本原理

乘法原理：設完成一件事需分兩步，

第一步有n1種方法，第二步有n2種方法，

則完成這件事共有n1n2種方法。

加法原理：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。

例２：將n只球隨機放入N(N)個盒子中去，試求每個盒子至多有一只球的概率（設盒子的數(shù)量不限）。

解：設事件B表示“每個盒子之多有一只球的放法”，則

式中，為從N個不同元素中取出n個元素的排列數(shù)（高中內(nèi)容）。

§3頻率與概率

概率的統(tǒng)計定義：

把頻率所穩(wěn)定到的那個常數(shù)表示事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，稱作概率(probability),記為P(A)．

概率性質(zhì)的證明：

（1）P()=P()

=P()+P()+…=nP()

（3）由知，

B=A(B-A),且A(B-A)=,

由概率的有限可加性得

P(B)=P(A)+P(B-A)

（5）

（6）

且

一般，對于任意n個事件A1,A2,…,An,有

§4古典概型

試驗的樣本空間只包含有限個元素；

試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相等。

思考：該題中的樣本空間S為什么不是{HHH,TTT,HTT,THH}?(非等概率)

另外，當樣本空間的元素較多時，我們一般不再將S中的元素一一列出，而只需分別求出S中與事件A中包含的元素個數(shù)（即基本事件的個數(shù)）即可。

分析：將n只球放入N個盒子中去，每一種放法是一基本事件。易知，這是古典概型問題。因每一只都可以放入N個合資中的任意一個盒子，故共有種不同的放法，而每個盒子中最多放一只球共有

種放法。

（課間休息）

5.放回抽樣與不放回抽樣

例３：一只口袋裝有六只球，其中四只白球，兩只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機地取一只?？紤]兩種取球方式：（a）第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。這種取球方式叫做放回抽樣。（b）第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。這種取球方式叫做不放回抽樣。試分別就上面兩種情況求：

取到的兩只球都是白球的概率；

取到的兩只球顏色相同的概率；

取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。

解：以A，B，C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的兩只球中至少有一只是白球”。易知，“取到兩只顏色相同的球”這一事件即為，而。

（a）放回抽樣的情況

P(A)=

P(B)=

由于，得

（選講內(nèi)容）

以A1，A2分別表示事件“第一次取到的是白球”，“第二次取到的是白球”，則事件為“兩次取到的球都是白球”，事件為“取到的兩只球中至少有一只是白球”。

，，

（b）不放回抽樣的情況

P(A)=

P(B)=

由于，得

例４：設有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n件，問其中恰有件次品的概率是多少？

解：從N件產(chǎn)品中抽取n件（不放回抽樣），所有可能的取法共有種。從D件次品中選取件的取法共有種；從N-D件正品中選取件的取法共有種，由乘法原理知，在N件產(chǎn)品中抽取n件，其中恰有件次品的取法共有種，于是所求概率為

例５：袋中有只白球和b只紅球，個人依次在袋中取一只球，（1）做放回抽樣；（2）做不放回抽樣，求第i(i=1,2,…,k)人取到白球（記為事件B）的概率（k）。

解：（1）放回抽樣的情況，顯然有

（2）不放回抽樣的情況。

例６：在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

解：設A為事件“取到的整數(shù)能被6整除”，B為事件“取到的整數(shù)能被8整除”，則所求概率為

由于，

故得。

由于，故得。

又事件AB即“取到的數(shù)既能被6整除，又能被8整除”，等價于“取到的數(shù)既能被24整除”，因此，由，得。

于是所求概率為

例７：某接待站在某一周內(nèi)接待過12次來訪，已知所有這12次來訪都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

解：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，各來訪者在一周內(nèi)的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都是在周二和周四的概率為

人們在長期實踐中總結(jié)得到：“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設的正確性，接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。

例８：將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：（1）每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？（2）3名優(yōu)秀生分配到同一班級的概率是多少？

解：將15名新生平均分配到三個班級中的分法共有種，每一種分配辦法為一基本事件，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，是古典概型問題。

（1）將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，且每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有種，于是所求概率為

（2）將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，且3名優(yōu)秀生分配到同一班級的分法共有中，于是所求概率為

分析：以放回抽樣問題為例，試驗E中樣本點的總數(shù)實際上就是取兩只球總共有多少中取法的問題。由于每次從袋中取球都有6中取法，共取2次，由乘法原理知，共有種取法，即樣本空間中元素的總數(shù)為36。

對于事件（1）而言，由于每次取球都有4只白球可供抽取，共取兩次，因而共有種取法，即事件（1）中包含16個元素。

對于事件（2）而言，“取到的兩只球要求顏色相同”，即“取到的兩只球都是白球”或“取到的兩只球都是紅球”，顯然是一個和事件問題。由于取到的兩只球都是白球的概率已經(jīng)計算過，因此只需計算取到的兩只球都是紅球的概率

對于事件（3）而言，“取到的兩只球中至少有一只是白球”則可以理解為是事件“第一次取到的是白球”和事件“第二次取到的是白球”

的和事件。然而這兩個事件又存在積事件“兩次取到的球都是白球”，求解似乎比較麻煩。因此，考慮由事件（3）的逆事件概率來計算其概率，其逆事件為“取到的兩只球都是紅球”。該事件的概率計算在事件（2）的概率計算中已經(jīng)用到，問題得解。

（a）放回抽樣的情況

在袋中依次取兩只球，每一種取法為一基本事件，顯然此時樣本空間中僅包含有限個元素。且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，因而屬于古典概型。

每次從袋中取球都有6中取法，共取2次，由乘法原理知，共有種取法，即樣本空間中元素的總數(shù)為36。對于事件A，由于每次取球都有4只白球可供抽取，共取兩次，因而共有種取法，即A中包含16個元素。

同理，B中包含個元素。

（b）放回抽樣的情況

第一次從袋中取球有6中取法，第二次有5種取法，共取2次，由乘法原理知，共有種取法，即樣本空間中元素的總數(shù)為30。

對于事件A，由于第一次取球有4只白球可供抽取，第二次則只有3只白球可供抽取，共取兩次，因而共有種取法，即A中包含12個元素。

同理，B中包含個元素。

分析：在N件產(chǎn)品中抽取n件（不放回抽樣），由于被選中產(chǎn)品的排列次序?qū)Y(jié)果無影響，因此，可以作為組合問題處理。當作為組合問題處理時，所有可能的取法共有種，每一種取法為一基本事件且由于對稱性知每個事件發(fā)生的可能性相同，是古典概型。

將選取n件產(chǎn)品的過程分為兩步，第一步從D件次品中選取件，第二步從N-D件正品中選取件。（對組合問題而言以上兩步的次序也是可以調(diào)換的。）該問題完全符合乘法原理。

（例4作為排列問題的解法見附錄）

不放回抽樣情況的分析：k個人從+b只球中各取一只，每種取法是一個基本事件，共有種取法，且每種取法的可能性相同，是古典概型問題。

假設第k個人取到的是第一只白球，則其他人的取球方法共有種，這是完成這件事的一種途徑。類似地，第k個人取到第二只白球的情況、取到第三只白球的情況…構(gòu)成完成這件事的其他途徑，且共有中類似途徑。由加法原理知，當事件B發(fā)生時，共有中取法。

啟示：在購買福利彩票時，各人得獎的概率是相同的。

分析：將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，分配過程可分為三步，第一步，第一個班級從15名學生中挑取5名；第二步，第二個班級從剩余的10名學生中挑取5名；第三步，第三個班級領取剩余的5名學生。

（1）將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，且每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分配過程可大致分為如下三步：

=1\*GB3

①

第一個班級從3名優(yōu)秀生中挑選1名，并從12名普通生中挑選4名；

=2\*GB3

②

第二個班級從剩余的2名優(yōu)秀生中挑選1名，并從剩余的8名普通生中挑選4名；

=3\*GB3

③

第三個班級領取剩余的5名學生。

（2）將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，且3名優(yōu)秀生分配到同一班級的分配過程可大致分為如下三步：

=1\*GB3

①

從3個班中選擇一個班作為優(yōu)秀生所在的班，并從12名普通生中挑選2名組成一個班的成員；

=2\*GB3

②

在剩余的兩個班級中，第一個班從剩余的10名優(yōu)秀生中挑選5名；

=3\*GB3

③

最后一個班領取剩余的5名學生。

思考：在（2）中

=2\*GB3

②

為什么不再進行一次班級的選擇？

答：考慮將2名學生分配到2個班中的分法，答案肯定是只有兩種分法；若分為兩步：

=1\*GB3

①

在兩個班中選一個班；

=2\*GB3

②

由選中的班再由兩名學生中選1名學生，另外一個班領取剩余的1名學生。則會出現(xiàn)有四種分法的錯誤結(jié)論，因此，在計算過程中，選擇方與被選擇方總有一方是有序的。

（例８作為排列問題的解法見附錄）

附錄

例４：設有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n件，問其中恰有件次品的概率是多少？

（作為排列問題解法）

解：從N件產(chǎn)品中任取n件，若以產(chǎn)品抽取的次序?qū)件產(chǎn)品排序則構(gòu)成的排列共有種（產(chǎn)品有序），易知獲得每種排列的可能性相等，是古典概型問題。從N-D件正品中任取n-k件構(gòu)成的排列共有種（產(chǎn)品有序），從D件次品中任取k件構(gòu)成的排列共有種（產(chǎn)品有序）。為將k件次品與n-k件正品進行混合排序，可將k件次品插入到n-k件正品當中，若k件次品本身有序且不能改變次序（若改變次序則存在重復計數(shù)），則問題變得比較復雜。

因此，考慮從N-D件正品中任取n-k件時構(gòu)成排列（種），而從D件次品中任取k件時不考慮次品的排列，只計其構(gòu)成的組合數(shù)（種）。隨后，在將k件次品插入到n-k件正品當中時，第一件次品的插入位置有中選擇，第二件次品的插入位置有中選擇，…，第k件次品的插入位置有中選擇。于是，從N件產(chǎn)品中任取n件，其中恰有件次品時所構(gòu)成的排列總數(shù)為

所求概率為

。

例８：將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：（1）每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？（2）3名優(yōu)秀生分配到同一班級的概率是多少？

（作為排列問題解法）

解：將15名新生隨機地平均分配到三個班級中。由于三個班級人數(shù)相同，每個班級學生的排列數(shù)相等，因此可以用排列數(shù)計算分班時的概率。班級分配的辦法如下：讓15名學生進行排隊（排列），然后將前5名學生分配到第一個班級中，將隨后5名學生分配到第二個班級中，將最后剩余的五名學生分配到第三個班級中。由于15名學生排隊的方法有15！種，且每種排法的可能性相等，因此，是古典概型問題，樣本空間元素的總數(shù)為15！。

（1）將15名新生隨機地平均分配到三個班級中，且每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分配辦法（將不同的排列順序也作為不同的方法，可以認為是直接安排座位）：首先將12名普通生排序，并以前4名學生作為第一個班級成員，將隨后4名學生作為第二個班級成員，將最后剩余的五名學生最為第三個班級成員。12名普通生的排隊次序共有12！種；其次，將3名優(yōu)秀生插入到每個班級中。由于第一名優(yōu)秀生首先有3個班級可以選擇，且在班級的隊列中有5個位置可供選擇，第一名優(yōu)秀生的分配方法有15種；第二名優(yōu)秀生有2個班級可以選擇，且在班級的隊列中有5個位置可供選擇，第二名優(yōu)秀生的分配方法有10種；第三名優(yōu)秀生只有1個班級可以選擇，且在班級的隊列中有5個位置可供選擇，第三名優(yōu)秀生的分配方法有5種。因此，優(yōu)秀生的分配辦法共有種。于是，所求的分配辦法共有：種，所求概率為

（2）將15名新生隨機地平均分配到三個班級中，且3名優(yōu)秀生分配到同一班級的分配辦法（將不同的排列順序也作為不同的方法，可以認為是直接安排座位）：首先將12名普通生排序，12名普通生的排隊次序共有12！種；其次，將排好的普通生的隊列進行分組，保證插入3名優(yōu)秀生的班級只能有2名學生，其他兩個班有5個學生，易知劃分方法只有3中；

【12】【34567】【89101112】

【12345】【67】【89101112】

【12345】【678910】【1112】

最后，將三名優(yōu)秀生插入到只有兩個學生的班級中。第一名優(yōu)秀生可供選擇的位置有3個，第二名可供選擇的位置有4個，第三名可供選擇的位置有5個。

于是，所求的分配辦法共有：種，所求概率為

．

第三講條件概率

1．引例

例1將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況。設事件A為"至少有一次為H"，事件B為"兩次擲出同一面".現(xiàn)在求已知事件A已經(jīng)發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率.

解：

樣本空間為S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}.于是,在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,記為P(B|A),為

另外,易知

故有

2.條件概率的定義：

設A,B是兩個事件,且P(A)>0,稱

為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率.

不難驗證,條件概率P(·|A)符合概率定義中的三個條件.故§3中對概率所證明的一些重要結(jié)果都適用于條件概率.

例如,對于任意事件B1,B2有P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).

例２一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品,從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為"第一次取到的是一等品",事件B為"第二次取到的是一等品".試求條件概率P(B|A).

解易知此屬古典概型問題.試驗E(取產(chǎn)品兩次,記錄其號碼)的樣本空間S中的樣本點總數(shù)為12，事件A中的樣本點數(shù)為9，事件AB中的樣本點數(shù)為6。按(5.2)式,得條件概率

3.乘法定理

由條件概率的定義(5.2)可得

設P(A)>0,則有

P(AB)=P(A)P(B|A)(5.3)

上式容易推廣到多個事件的積事件的情況.

例如,設A,B,C為事件,且P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(5.4)

一般地,設A1,A2,...,An為n個事件,n2,且P(A1A2...An-1)>0,

則有

P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)...P(An-1|A1A2...An-2)P(An|A1A2...An-1)(5.5)

例３設袋中裝有r只紅球,t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.

解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到紅球",

例４某種透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下來未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.

解以Ai(i=1,2,3)表示事件"透鏡第i次落下打破",以B表示事件"透鏡落下三次而未打破。則

§5條件概率

條件概率是概率論中的一個重要概念,所考慮的是事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.

已知事件A已發(fā)生,知道"TT"不可能發(fā)生.即知試驗所有可能結(jié)果所成的集合就是A,A中共有3個元素,其中只有HHB.

對于一般古典概型問題,若仍以P(B|A)記事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,則關(guān)系式(5.1)仍然成立.事實上,設試驗的基本事件總數(shù)為n,A所包含的基本事件數(shù)為m(m>0),AB所包含的基本事件數(shù)為k,即有

非負性:對任一事件B,有P(B|A)0;

規(guī)范性:對于必然事件S,有P(S|A)=1;

可列可加性:設B1,B2,...,是兩兩互斥事件,

也可以直接按條件概率的含義來求P(B|A).我們知道,當A發(fā)生以后,試驗E所有可能結(jié)果的集合就是A,A中有9個元素,其中只有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)屬于B,故可得

或者直接分析事件A發(fā)生后的情況來分析。因為當事件A發(fā)生后，剩余產(chǎn)品中共有2只一等品和1只二等品，從中任取一只，每種取法成為事件A發(fā)生后的基本事件，仍為古典概型。易知此時事件B發(fā)生的概率，即

分析：由于袋中紅、白球的比例與上一次所取球的顏色相關(guān)，問題似乎很復雜。但是，若知道前面各次取球的情況，則本次取球時的概率好求。該題是乘法定理的典型例題。

（課間休息）

4.樣本空間的劃分

定義設S為試驗E的樣本空間,B1,B2,...,Bn為E的一組事件,若

(1)BiBj=,ij,i,j=1,2,...,n;

(2)B1B2...Bn=S,

則稱B1,B2,...,Bn為樣本空間的一個劃分.

若B1,B2,...,Bn是樣本空間的一個劃分,那么,對于每次試驗,事件B1,B2,...,Bn中必有一個且僅有一個發(fā)生.

5.全概率公式

定理設試驗E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則

(5.6)式稱為全概率公式.

6.貝葉斯公式

定理設試驗E的樣本空間為S.A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則下面的貝葉斯公式成立:

這兩個公式是常用的。

例５某電子設備廠所用元件由三家元件廠供給,根據(jù)以往紀錄有以下數(shù)據(jù):

設這三廠產(chǎn)品在倉庫中混合擺放無區(qū)別標志.(1)在倉庫中任取一只元件，求它是次品的概率；(2)如已取到一只次品，求它由各廠生產(chǎn)的概率分別是多少。

解設A表示"取到次品",Bi表示"產(chǎn)品來自第i家廠",則B1,B2,B3構(gòu)成劃分,P(B1)=0.15,P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.

(1)由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+

P(A|B3)P(B3)

=0.0125.

(2)由貝葉斯公式

例６對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當機器調(diào)整得良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當機器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上調(diào)整良好的概率為95％.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整良好的概率是多少?

解設事件A為"產(chǎn)品合格",事件B為"機器調(diào)整良好"

這就是說:當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時,此時機器調(diào)整良好的概率為0.97.

這里,概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息(即生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后驗概率.有了后驗概率我們就能對機器的情況有進一步的了解.

例７根據(jù)以往臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下效果:若以A表示事件"試驗反應為陽性",以C表示事件"被論斷者有癌癥",則有P(A|C)=0.95,。設被試人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,試求P(C|A).

解已知P(A|C)=0.95,

，

,由貝葉斯公式

本題結(jié)果表明,雖然

這兩個概率都比較高,但若將此試驗用于普查,則有P(C|A)=0.087,亦即其正確性只有8.7%(平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人確患有癌癥),如果不注意到這一點,將會得出錯誤的診斷,這也說明,若將P(A|C)和P(C|A)混淆了會造成不良的后果.

證

因為A=AS=A(B1B2...Bn)

=AB1AB2...ABn

由假設P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且(ABi)(ABj)=,ij,

i,j=1,2,...,n得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...

+P(A|Bn)P(Bn).

證由條件概率的定義及全概率公式得

第四講獨立性

1．引例

例１設試驗E為“拋甲,乙兩枚硬幣,觀察正反面出現(xiàn)的情況”.設事件A為“甲幣出現(xiàn)H”,事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”.E的樣本空間為

S={HH,HT,TH,TT}.則有

可知P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B).

事實上,由題意,甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正，是互不影響的.

2.事件的獨立性：

定義設A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B), (6.1)

則稱事件A,B相互獨立,簡稱A,B獨立.

容易知道,若P(A)>0,P(B)>0則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立.

定理一設A,B是兩事件,且P(A)>0,若A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B)反之亦然.

定理二若事件A與B相互獨立,則,和都相互獨立.

證明：且

即

因此相互獨立。類似地，可以證明以及也是相互獨立的。

定義設A,B,C是三個事件,如果滿足等式

則稱事件A,B,C相互獨立.

一般,設A1,A2,...,An是n(n2)個事件,如果對于其中任意2個,任意3個,...,任意n個事件的積事件的概率,都等于各事件概率之積,則稱事件A1,A2,...,An相互獨立.

由定義可以得到以下兩點推論:

1.若事件A1,A2,...,An(n2)相互獨立,則其中任意k(2kn)個事件也是相互獨立的.

2.若n個事件A1,A2,...,An(n2)相互獨立,則將A1,A2,...,An中任意多個換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨立.

例２一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性.如圖,設有4個獨立工作的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接.設第i個元件的可靠性為pi(i=1,2,3,4),求系統(tǒng)的可靠性.

解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i個元件正常工作,以A表示系統(tǒng)正常工作，則

A=A1A2A3A4

由事件的獨立性,得系統(tǒng)的可靠性:P(A)=P(A1A2A3A4)

=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)

=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p1p2+p3p4-p1p2p3p4

§6獨立性

兩事件相互獨立的含義是它們中一個已發(fā)生,不影響另一個發(fā)生的概率.在實際應用中,對于事件的獨立性常常是根據(jù)事件的實際意義去判斷.一般,若由實際情況分析,A,B兩事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱,那就認為它們是相互獨立的.例如,A,B分別表示甲乙兩人患感冒.如果甲乙兩人的活動范圍相距甚遠,就認為A,B相互獨立,若甲乙兩人是同住在一個房間里的,那就不能認為A,B相互獨立了.

（課間休息）

例３要驗收一批(100件)樂器,驗收方案如下:自該批樂器中隨機地取3件測試(設3件樂器的測試是相互獨立的),如果3件中至少有一件在測試中被認為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95,而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?

解設以Hi(i=0,1,2,3)表示事件"隨機地取出3件樂器,其中恰有i件音色不純",H0,H1,H2,H3是S的一個劃分,以A表示事件"這批樂器被接收".已知一件音色純的樂器,經(jīng)測試被認為音色純的概率為0.99,而一件音色不純的樂器,經(jīng)測試被誤認為音色純的概率為0.05,并且3件樂器的測試是相互獨立的,于是有

P(A|H0)=(0.99)3,P(A|H1)=(0.99)20.05,

P(A|H2)=0.99(0.05)2,P(A|H3)=(0.05)3,

例４甲乙兩人進行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p,p1/2.問對甲而言,采用三局二勝制有利,還是采用五局三勝制有利.設各局勝負相互獨立.

解：采用三局二勝制,甲最終獲勝,其勝局的情況是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而這三種結(jié)局互不相容,于是由獨立性得甲最終獲勝的概率為

p1=p2+2p2(1-p).

采用五局三勝制,甲最終獲勝,至少需比賽3局(可能賽3,4,5局),最后一局必需是甲勝,前面甲需勝二局.例如,共賽4局,可能的情況是:"甲乙甲甲","乙甲甲甲","甲甲乙甲",且這三種結(jié)局互不相容,由獨立性得甲獲勝的概率為

而p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1)

當p>(1/2)時p2>p1;故對甲來說采用五局三勝制更為有利.

作業(yè)第一章習題

第32頁開始

第2,4,5,8,9,11,13,16,17,19,23,25,26,28,29題

第一章小結(jié)

本章由六個概念（隨機試驗、事件、概率、條件概率、獨立性），四個公式（加法原理、乘法原理、全概率公式、貝葉斯公式）和一個概型（古典概型）組成。

例５．如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。

解：設A---L至R為通路,Ai---第i個繼電器通,i=1,2,…5。

由全概率公式

例６．判斷對錯

1.某種疾病的發(fā)病率為1%，則每100人必有一人發(fā)病

2.A，B為兩事件，則AB-A=B

3.“A，B都發(fā)生”的對立事件是“A，B都不發(fā)生”

4.P(A)0,P(B)0,若A，B互斥，則A，B不獨立.

5.若A=，則A與任何事件即互斥又相互獨立.

6.假如每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為p，則由n個人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率為np.

例７．填空

已知P(A)＝0.7，P(A-B)＝0.3，則

設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生而B不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=

分析：

又

即

得

由已知，得

已知A與B相互獨立，且互不相容則

min(P(A),P(B))=

分析：P(AB)=P(A)P(B)為獨立，P(AB)=0為互斥

設A,B是兩個隨機事件,,，且，則必有

（1）概率只是可能性大小的衡量。

（2）考慮AB

（3）“A,B至少有一個不發(fā)生”

（4）P(AB)=0為互斥，P(AB)=P(A)P(B)為獨立

（5）獨立性僅要求P(AB)=P(A)P(B)

（6）“n個人都含病毒”與“混合血清含病毒”不是一回事

第五講離散型隨機變量

1.引例

例１在一袋中裝有編號分別為1,2,3的3只球.在袋中任取一只球,放回.再取一只球,記錄它們的編號.計算兩只球的號碼之和.

試驗的樣本空間S={e}={i,j},i,j=1,2,3.這里i,j分別表示第一,二球的號碼.以X記兩球號碼之和,對于每一個樣本點e,X都有一個值與之對應,如圖所示.

例２將一枚硬幣拋擲3次.關(guān)心3次拋擲中,出現(xiàn)H的總次數(shù),而對H,T出現(xiàn)的順序不關(guān)心.比如說,我們僅關(guān)心出現(xiàn)H的總次數(shù)為2,而不在乎出現(xiàn)的是"HHT","HTH"還是"THH".以X記三次拋擲中出現(xiàn)H的總數(shù),則對樣本空間S={e}中的每一個樣本點e,X都有一個值與之對應,即有

2.隨機變量的定義

定義設隨機試驗的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù).稱X=X(e)為隨機變量.

隨機變量的取值隨試驗結(jié)果而定,而試驗的各個結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率,因而隨機變量的取值有一定的概率.

例如,在例2中X取值為2,記成{X=2},對應于樣本點的集合A={HHT,HTH,THH},這是一個事件,當且僅當事件A發(fā)生時有{X=2}.則稱P(A)=P{HHT,HTH,THH}為{X=2}的概率,即P(X=2)=P(A)=3/8.類似地有

本書中,一般以大寫字母如X,Y,Z,W,...表示隨機變量,而以小寫字母x,y,z,w,...表示實數(shù).

3.離散型隨機變量

有些隨機變量,它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為離散型隨機變量.

要掌握一個離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律,必須且只需知道X的所有可能取的值及取每一個可能值的概率.

設X所有可能取的值為xk(k=1,2,...),而

P{X=xk}=pk,k=1,2,.... (2.1)

由概率的定義,pk滿足如下兩個條件

稱(2.1)式為離散型隨機變量X的分布律或概率分布.分布律也可用表格的形式來表示:

例３設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號燈,每組信號燈以1/2概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時,它已通過的信號燈組數(shù)(設各組信號燈的工作是相互獨立的),求X的分布律.

解以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率,易知X的分布律為

即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4.

以p=1/2代入得

第二章隨機變量及其分布

§1隨機變量

為了全面研究隨機試驗的結(jié)果,揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應起來,將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化,引入隨機變量的概念.在隨機試驗完成時,人們常常不是關(guān)心試驗結(jié)果本身,而是對于試驗結(jié)果聯(lián)系著的某個數(shù)感興趣.

有許多隨機試驗,它的結(jié)果本身是一個數(shù),即樣本點e本身是一個數(shù).我們令X=X(e)=e,則X就是一個隨機變量.例如,用Y記某車間一天的缺勤人數(shù),以W記錄某地區(qū)第一季度的降雨量,以Z記某工廠一天的耗電量,以N記某醫(yī)院某一天的掛號人數(shù).那么Y,W,Z,N都是隨機變量.

一般,若L是一個實數(shù)集合,將X在L上取值寫成{XL}.它表示事件B={e|X(e)L},即B是由S中使得X(e)L的所有樣本點e所組成的事件.此時有

P{XL}=P(B)

=P{e|X(e)L},

隨機變量的取值隨試驗的結(jié)果而定,在試驗之前不能預知它取什么值,且它的取值有一定的概率.這些性質(zhì)顯示了隨機變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差異.

§2離散型隨機變量

及其分布律

例如§1例2中的隨機變量X,它只可能取0,1,2,3四個值,它是一個離散型隨機變量.又如某城市的120急救電話臺一晝夜收到的呼喚次數(shù)也是離散型隨機變量.若以T記某元件的壽命,它所可能取的值充滿一個區(qū)間,是無法按一定次序一一列舉出來的,因而它是一個非離散型的隨機變量.本節(jié)討論離散型隨機變量

（課間休息）

3.幾個常用的離散型分布

（1）(0-1)分布

設隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律是

P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 (0<p<1),

則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.

(0-1)分布的分布律也可寫成

（2）伯努利試驗,二項分布

設試驗E只有兩個可能結(jié)果：事件,則稱E為伯努利試驗。設P(A)=p(0<p<1),此時.將E獨立地重復地進行n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗.

定義隨機變量X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),我們來求它的分布律.

記q=1-p，

例４按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,...,20)為一級品的概率是多少?

解這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查的元件數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而可以當作放回抽樣來處理,這樣做會有一些誤差,但誤差不大.檢查一只元件看它是否為一級品,檢查20只元件相當于20重貝努利試驗,以X記其中一級品總數(shù),則

X~b(20,0.2).所求概率為

例５某人進行射擊,設每次射擊命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.

解將一次射擊看成是一次試驗.設擊中的次數(shù)為X,則X~b(400,0.02).X的分布律為

P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}

=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.

例６設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理,考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護,每人負責20臺;其二是由3人共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.

解按第一種方法,以X記"第1人維護的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)",以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i人維護的20臺中發(fā)生故障不能及時維修".

則知80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為

P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2).

而X~b(20,0.01),故有

即有(A1A2A3A4)0.0169.

按第二種方法,以Y記80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù).此時,Y~b(80,0.01),故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為

（3）泊松分布

設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,...,而取各個值的概率為

其中>0是常數(shù).則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~p().

易知,P(X=k)0,k=0,1,2,...,且有

對一個隨機試驗中的任何一個給定的事件A,0<P(A)<1,都可以根據(jù)事件A定義一個服從0-1分布的隨機變量

來描述.例如,對新生嬰兒的性別進行登記,檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格,某車間的電力消耗是否超過負荷以及前面多次討論過的"拋硬幣"試驗等都可以用(0-1)分布的隨機變量來描述.(0-1)分布是經(jīng)常遇到的一種分布.

這里，“重復”是指在每次試驗中P(A)=p保持不變；“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響。

X所有可能取的值為0,1,2,...,n.由于各次試驗是相互獨立的,因此事件A在指定的k(0kn)次試驗中發(fā)生,在其它n-k次試驗中A不發(fā)生的概率為

這種指定的方式共有種，它們是兩兩互不相容的，故在n次試驗中A發(fā)生k次的概率為

特別，當n=1時二項分布化為

P(X=k)=pkq1-k,k=0,1

這就是（0-1）分布。

可以看出,在后一種情況下盡管任務重了(每人平均維護約27臺),但工作效率不僅沒有降低,反而提高了.

具有泊松分布的隨機變量在實際應用中是很多的。例如，一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)等等。

附錄

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)。

解：所給函數(shù)的各階導數(shù)為（n=1,2,…），因此，（n=0,1,2,…），這里記號。于是得到級數(shù)

，

它的收斂半徑，即x的取值范圍可以是（）。

（證明略）

第六講隨機變量的分布函數(shù)

1.分布函數(shù)的定義

定義設X是一個隨機變量,是任意實數(shù).函數(shù)

F(x)=P{}

稱為X的分布函數(shù).

對于任意實數(shù)x1,x2(x1<x2),有

P{x1<Xx2}=P{xx2}-P{xx1}

=F(x2)-F(x1), (3.1)

如果將X看成是數(shù)軸上的隨機點的坐標,則分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間(-,x]上的概率.

分布函數(shù)F(x)具有以下的基本性質(zhì):

（1）F(x)是一個不減函數(shù).

事實上,由(3.1)式對于任意實數(shù)x1,x2(x1<x2)有F(x2)-F(x1)=P{x1<Xx2}0.

（2）0F(x)1,且

（3）F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的(證略).

例１設隨機變量X的分布律為

解X僅在x=-1,2,3三點處其概率0,而F(x)的值是Xx的累積概率值,由概率的有限可加性,知它即為小于或等于x的那些xk處的概率pk之和.

由此得

一般,設離散型隨機變量X的分布律為

P{X=xk}=pk,k=1,2,....

由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為

這里和式是對于所有滿足xkx的k求和的.分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,...)處有跳躍,其跳躍值為pk=P{X=xk}.

例２一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數(shù).

解

1若x<0,則{Xx}是不可能事件,于是

F(x)=P{Xx}=0.

2若0x2,由題意,P{0Xx}=kx2,k是某一常數(shù),為了確定k的值,取x=2,有P{0X2}=22k.但已知P{0X2}=1,故得k=1/4,即

于是，

3若x2,由題意{Xx}是必然事件,于是F(x)=P{Xx}=1.

綜上所述,即得X的分布函數(shù)為

另外,容易看到本例中的分布函數(shù)F(x)對于任意x可以寫成形式

其中，

這就是說,F(x)是非負函數(shù)f(t)在區(qū)間(-,x]上的積分,在這種情況下我們稱X為連續(xù)型隨機變量.

第二章隨機變量及其分布

§3隨機變量的分布函數(shù)

在實際中,當考察這樣的隨機變量,例如誤差e,元件的壽命T等,我們并不會對誤差e=0.05(mm),壽命T=1251.3(h)的概率感興趣,而是考慮誤差落在某個區(qū)間的概率,壽命T大于某個數(shù)的概率.因而我們轉(zhuǎn)而去研究隨機變量所取的值落在一個區(qū)間的概率,P{x1<Xx2}.

由于P{x1<Xx2}

=P{xx2}-P{xx1}.

所以我們只需知道P{xx2}和P{xx1}就可以了.由此引出分布函數(shù)的概念.

如圖,將區(qū)間端點x沿數(shù)軸無限向左移動(即,則"隨機點X落在x左邊"這一事件趨于不可能事件,從而其概率趨于0,即有F()=0;又若將點x無限右移,(即x),則"隨機點X落在x左邊"這一事件趨于必然事件,從而其概率趨于1,即有F()=1.

（課間休息）

2.連續(xù)型隨機變量及其概率密度

如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負函數(shù)f(x),使對于任意實數(shù)x有

則稱X為連續(xù)型隨機變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).

由定義知道,概率密度f(x)具有以下性質(zhì):

例３設隨機變量X具有概率密度

解

(2)X的分布函數(shù)為

對于連續(xù)型隨機變量X來說,它取任一指定實數(shù)值a的概率均為0,即P{X=a}=0.事實上,設X的分布函數(shù)為F(x),x>0,則由{X=a}{a-x<Xa}得

0P{X=a}P{a-x<Xa}

=F(a)-F(a-x).

在上述不等式中令x0,并注意到X為連續(xù)型隨機變量,其分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的,即得

P{X=a}=0. (4.4)

因此,在計算連續(xù)型隨機變量落在某一區(qū)間的概率時,可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間.例如有

P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}.

在這里,事件{X=a}并非不可能事件,但有P{X=a}=0.這就是說,若A是不可能事件,則有P(A)=0;反之,若P(A)=0,并不一定意味著A是不可能事件.

3.三種重要的連續(xù)型隨機變量

（1）均勻分布

設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).

X的分布函數(shù)為

例４設電阻值R是一個隨機變量,均勻分布在900~1100.求R的概率密度及R落在950~1050的概率.

解按題意,R的概率密度為

§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度

f(x)的曲線形狀如圖所示

以后當提到一個隨機變量X的"概率分布"時,指的是它的分布函數(shù);或者,當X是連續(xù)型時指的是它的概率密度,當X是離散型是指的是它的分布律.

如X~U(a,b),則它落在(a,b)中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān).任給長度為的子區(qū)間(c,c+),ac<c+b,有

第七講

連續(xù)型隨機變量（續(xù)）及

隨機變量的函數(shù)的分布

3.三種重要的連續(xù)型隨機變量

（1）均勻分布

設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).

X的分布函數(shù)為

（2）指數(shù)分布

設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

其中>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.

容易得到X的分布函數(shù)為

如X服從指數(shù)分布,則任給s,t>0,有

P{X>s+t|X>s}=P{X>t} (4.9)

事實上

性質(zhì)(4.9)稱為無記憶性.

指數(shù)分布在可靠性理論和排隊論中有廣泛的運用.

（3）正態(tài)分布

設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為X~N(,).

顯然f(x)0,下面來證明

令,得到

f(x)具有的性質(zhì):

（1）.曲線關(guān)于x=對稱.這表明對于任意h>0有

P{-h<X}=P{<X+h}.

（2）.當x=時取到最大值

x離越遠,f(x)的值越小.這表明對于同樣長度的區(qū)間,當區(qū)間離越遠,X落在這個區(qū)間上的概率越小。在x=處曲線有拐點。曲線以Ox軸為漸近線。

X的分布函數(shù)為

特別:當=0,=1時稱X服從標準正態(tài)分布.其概率密度和分布函數(shù)分別用(x)和(x)表示,即有

易知 (-x)=1-(x) (4.15)

人們已經(jīng)編制了(x)的函數(shù)表,可供查用(見附表2).

引理若X~N(,),則

證明：

由此知Z~N(0,1).

若X~N(,),則它的分布函數(shù)F(x)可寫成:

則對于任意區(qū)間(x1,x2],有

例如,設X~N(1,4),查表得

設X~N(,),由(x)的函數(shù)表還能得到:

P{<X<}=(1)-(-1)

=2(1)-1=68.26%

P{<X<}=(2)-(-2)

=95.44%

P{<X<}=(3)-(-3)

=99.74%

我們看到,盡管正態(tài)變量的取值范圍是(),但它的值落在(,)內(nèi)幾乎是肯定的事.這就是人們所談的"3"法則.

例１將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi).調(diào)節(jié)器整定在d°C,液體的溫度X(以°C計)是一個隨機變量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問d至少為多少?

解(1)所求概率為

(2)按題意需求d滿足

設X~N(0,1),若za滿足條件

P{X>za}=a,0<a<1,(4.18)

則稱點za為標準正態(tài)分布的上a分位點.由(x)的對稱性知z1-a=-za

第二章隨機變量及其分布

§4連續(xù)型隨機變量

及其概率密度

常用的幾個za值：

（課間休息）

隨機變量的函數(shù)的分布

例１設隨機變量X具有以下的分布律,試求Y=(X-1)2的分布律.

解Y所有可能值為0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,

P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,

P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,

例２設隨機變量X具有概率密度

求變量Y=2X+8的概率密度.

解：分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).下面先來求FY(y).

將FY(y)關(guān)于y求導數(shù),得Y=2X+8的概率密度為

例３設隨機變量X具有概率密度fX(x),,求Y=X2的概率密度.

解分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).由于Y=X20,故當y0時FY(y)=0.當y>0時有

將FY(y)關(guān)于y求導數(shù),即得Y的概率密度為

例３結(jié)論的應用：

設X~N(0,1),其概率密度為

則Y=X2的概率密度為

（5.1）

此時稱Y服從自由度為1的分布.

定理設隨機變量X具有概率密度fX(x),,又設函數(shù)g(x)處處可導且恒有g(shù)'(x)>0(或恒有g(shù)'(x)<0),則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,其概率密度為

其中=min(g(),g()),

=max(g(),g()),h(y)是g(x)的反函數(shù).

證先設g'(x)>0.此時g(x)在(，)嚴格單調(diào)增加,它的反函數(shù)h(y)存在,且在()嚴格單調(diào)增加,可導.分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).

因Y在()取值,故

當時,FY(y)=P{Yy}=0;

當y時,FY(y)=P{Yy}=1.

當時,

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}

=P{Xh(y)}=FX[h(y)].

將FY(y)關(guān)于y求導數(shù),即得Y的概率密度

對于g'(x)<0的情況同樣可以證明,有

合并(5.3),(5.4)式，命題得證。

例４設隨機變量X~N().試證明X的線性函數(shù)Y=aX+b(a0)也服從正態(tài)分布.

證X的概率密度為

現(xiàn)在Y=g(X)=aX+b,由這一式子解得

由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度為

即有Y=aX+b~N(a+b,(