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離散型隨機(jī)變量
期望教學(xué)要求:使學(xué)生了解離散型隨機(jī)變量期望意義,會(huì)依據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列求出期望.第1頁(yè)對(duì)于離散型隨機(jī)變量,確定了它分布列,就掌握了隨機(jī)變量取值統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在實(shí)際問(wèn)題中,我們還經(jīng)常希望經(jīng)過(guò)數(shù)字來(lái)反應(yīng)隨機(jī)變量某個(gè)方面特征,最慣用有期望與方差。某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列以下:ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22引例:依據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列,在n次射擊中,預(yù)計(jì)有大約0.02n次4環(huán)……第2頁(yè)1、期望類似地,對(duì)任一射手,若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列,即已知各個(gè)P(ξ=i)(i=0,1,2,3,…10),則可預(yù)計(jì)他任意n次射擊平均環(huán)數(shù)是Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+…+10×P(ξ=10)稱Eξ為此射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ期望,它刻劃了隨機(jī)變量ξ所取平均值,從一個(gè)方面反應(yīng)了射手射擊水平。若離散型隨機(jī)變量ξ概率分布為ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…則稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值,又稱期望。第3頁(yè)問(wèn):若ξ為上述離散型隨機(jī)變量,則η=aξ+b分布列怎樣?Eη呢?因?yàn)镻(η=axi+b)=P(ξ=xi),i=1,2,3…所以,η分布圖為ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是Eη=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEξ+bE(aξ+b)=aEξ+b第4頁(yè)2、例題例1籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分。已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中概率為0.7,求他罰球1次得分ξ期望。例2隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子,求所得骰子點(diǎn)數(shù)ξ期望。第5頁(yè)例3有一批數(shù)量很大產(chǎn)品,其次品率是15%。對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查,每次抽出1件,假如抽出次品,則抽查終止,不然繼續(xù)抽查,直到抽出次品,但抽查次數(shù)最多不超出10次。求抽查次數(shù)ξ期望。(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)解:抽查次數(shù)ξ取1~10整數(shù),從這批數(shù)量很大產(chǎn)品中每次抽取一件檢驗(yàn)試驗(yàn)?zāi)軌蛘J(rèn)為是彼此獨(dú)立,取出次品概率是0.15,取出正品概率是0.85,前k-1次取出正品而第k次(k=1,2,…9)取出次品概率P(ξ=k)=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15,(k=1,2,…9);需要抽查10次即前9次取出都是正品概率P(ξ=10)=0.859(為何?)第6頁(yè)3、結(jié)論(1):若ξ~B(n,p),則Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證實(shí):=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ0
1
…k
…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n
Cn-1k-1)第7頁(yè)例4一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題組成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)。其中有且僅有一個(gè)是正確答案,每小題選擇正確答案得5分。不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題概率為0.9,學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每小題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)期望。服從二項(xiàng)分布隨機(jī)變量期望若ξ~B(n,p),則Eξ=np第8頁(yè)例5:一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題組成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案,每小題選擇正確答案得5分,不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題概率為0.9,學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每小題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)期望。
第9頁(yè)解:
設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案選擇題個(gè)數(shù)分別是ξ和η,則ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25),Eξ=20×0.9=18,Eη=20×0.25=5.因?yàn)榇饘?duì)每小題得5分,學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)分別是5ξ和5η。所以,他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)期望分別是E(5ξ)=5Eξ=5×18=90,E(5η)=5Eη=5×5=25.第10頁(yè)結(jié)論(2):若p(ξ=k)=g(k,p),則Eξ=1/p服從幾何分布隨機(jī)變量期望ξ1
2
3…k
…Pppqpq2…pqk-1…∴Eξ=p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+…qEξ=pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+…∴(1-q)Eξ=p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…第11頁(yè)例5在獨(dú)立重復(fù)射擊試驗(yàn)中,某人擊中目標(biāo)概率為0.2,則他在射擊時(shí)擊中目標(biāo)所需要射擊次數(shù)ξ期望是多少?第12頁(yè)小結(jié):1、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望。2、公式3、若ξ~B(n,p),則Eξ=npE(aξ+b)=aEξ+b練習(xí):P141~6。作業(yè):習(xí)題1.2P161~64:公式:若p(ξ=k)=g(k,p),則Eξ=1/p第13頁(yè)講評(píng)作業(yè):P9習(xí)題3,63、某射手射擊擊中目標(biāo)概率為0.9,求從開始射擊到擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)ξ概率分布。解:射擊次數(shù)ξ概率分布為ξ123…n…P0.90.090.009…0.1n-1
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