離散型隨機(jī)變量的期望市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

離散型隨機(jī)變量

期望教學(xué)要求:使學(xué)生了解離散型隨機(jī)變量期望意義,會(huì)依據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列求出期望.第1頁(yè)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，確定了它分布列，就掌握了隨機(jī)變量取值統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在實(shí)際問(wèn)題中，我們還經(jīng)常希望經(jīng)過(guò)數(shù)字來(lái)反應(yīng)隨機(jī)變量某個(gè)方面特征，最慣用有期望與方差。某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列以下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22引例：依據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列，在n次射擊中，預(yù)計(jì)有大約0.02n次4環(huán)……第2頁(yè)1、期望類似地，對(duì)任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列，即已知各個(gè)P（ξ=i)(i=0,1,2,3,…10），則可預(yù)計(jì)他任意n次射擊平均環(huán)數(shù)是Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）稱Eξ為此射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ期望，它刻劃了隨機(jī)變量ξ所取平均值，從一個(gè)方面反應(yīng)了射手射擊水平。若離散型隨機(jī)變量ξ概率分布為ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…則稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，又稱期望。第3頁(yè)問(wèn)：若ξ為上述離散型隨機(jī)變量，則η=aξ+b分布列怎樣？Eη呢？因?yàn)镻（η=axi+b）=P（ξ=xi），i=1，2，3…所以，η分布圖為ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是Eη=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axn+b)pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+bE（aξ+b）=aEξ+b第4頁(yè)2、例題例1籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分。已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中概率為0.7，求他罰球1次得分ξ期望。例2隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)ξ期望。第5頁(yè)例3有一批數(shù)量很大產(chǎn)品，其次品率是15%。對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，假如抽出次品，則抽查終止，不然繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超出10次。求抽查次數(shù)ξ期望。（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）解：抽查次數(shù)ξ取1~10整數(shù)，從這批數(shù)量很大產(chǎn)品中每次抽取一件檢驗(yàn)試驗(yàn)?zāi)軌蛘J(rèn)為是彼此獨(dú)立，取出次品概率是0.15，取出正品概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品概率P（ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15，（k=1，2，…9）；需要抽查10次即前9次取出都是正品概率P（ξ=10）=0.859（為何？）第6頁(yè)3、結(jié)論(1)：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證實(shí)：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)第7頁(yè)例4一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題組成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)。其中有且僅有一個(gè)是正確答案，每小題選擇正確答案得5分。不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每小題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)期望。服從二項(xiàng)分布隨機(jī)變量期望若ξ~B(n,p)，則Eξ=np第8頁(yè)例5：一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題組成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每小題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每小題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)期望。

第9頁(yè)解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案選擇題個(gè)數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．因?yàn)榇饘?duì)每小題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)分別是5ξ和5η。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)期望分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．第10頁(yè)結(jié)論(2)：若p(ξ=k)=g(k，p)，則Eξ=1/p服從幾何分布隨機(jī)變量期望ξ1

2

3…k

…Pppqpq2…pqk-1…∴Eξ=p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+…qEξ=pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+…∴(1-q)Eξ=p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…第11頁(yè)例5在獨(dú)立重復(fù)射擊試驗(yàn)中，某人擊中目標(biāo)概率為0.2，則他在射擊時(shí)擊中目標(biāo)所需要射擊次數(shù)ξ期望是多少？第12頁(yè)小結(jié)：1、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望。2、公式3、若ξ~B(n,p)，則Eξ=npE（aξ+b）=aEξ+b練習(xí)：P141~6。作業(yè)：習(xí)題1.2P161~64：公式：若p(ξ=k)=g(k，p)，則Eξ=1/p第13頁(yè)講評(píng)作業(yè):P9習(xí)題3,63、某射手射擊擊中目標(biāo)概率為0.9，求從開始射擊到擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)ξ概率分布。解：射擊次數(shù)ξ概率分布為ξ123…n…P0.90.090.009…0.1n-1