小學(xué)數(shù)學(xué)講義暑假五年級第14講必勝策略優(yōu)秀A版

第十四講站牌五年級秋季神奇的級春季情況考慮級暑假級暑假級春季智巧趣題的數(shù)學(xué)稱思想釋義第9級上優(yōu)秀A版教師版1引入我國古代有一個“田忌賽馬”的故事；齊王經(jīng)常要求將軍田忌和他賽馬定各從自己的馬中選個等級的馬都不如齊王的好忌的上等馬要優(yōu)于齊王的中等馬，田忌的中等馬要優(yōu)于齊王的下等馬.田忌的朋友孫臏給他出了一個主意，叫田忌用下等馬對齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，大的勝利，或在勝利無望的時候，也不至于輸?shù)锰珣K.這種思想在20世紀(jì)形成了對策論這門新興學(xué)科.下面我們就研究下游戲中的必勝策略.目標(biāo)1.掌握對策問題尋找勝局的方法；2.利用數(shù)論的知識解決相關(guān)的對策問題．精講小學(xué)數(shù)學(xué)中的對策問題，主要是研究在兩人的游戲過程中如何使自己取勝的策略問題．對策問題研究的是一個“活的”對手，因而在考慮問題時往往需要設(shè)想對手可能采取的各種方案，并使己方的策略能在對手所采取的各種可能的方案中都占據(jù)有利的局面．這種局面稱作“勝局”，么在一種游戲規(guī)則下，是否存在“勝局”？怎樣找尋勝局和如何把握勝局就成了研究對策問題的關(guān)鍵．概括起來，我們把用數(shù)學(xué)的觀點和方法來研究取勝的策略叫做對策問題．對策問題的3個最基本要素：①局中人在一場競賽或爭斗中的參與者他們?yōu)榱嗽趯Σ咧腥〉米罱K勝利定出對付對手的行動計劃，這種有決策權(quán)的參加者稱為局中人．局中人并不是特指某一個人，而是指參加競”策”．②策略，是指某一局中人的一個“自始至終通盤籌劃”的可行方案，在一局對策中，各個局中人可以有一個策略，也可以有多個策略．③一局對策的得失．在一局對策中，必有勝利者和失敗者．比賽成績的好壞，我們稱之為“得失”．每個局中人在一局對策中的得失與全體局中人所采取的策略的優(yōu)劣有著直接的關(guān)系．2 第9級上優(yōu)秀A版教師版思路模塊1：例1-3：奇偶性1根火柴誰獲勝．如果雙方都采用最佳方法，巍巍先取，那么誰將獲勝？(學(xué)案對應(yīng)：學(xué)案1)【分析】法1：抓不變量，巍巍每次都能保證二人每輪都拿走6根，于是55÷6=9……1，所以先去1勝.想想練練：桌子上放著60根火柴，甲、乙二人輪流每次取走1~3根．規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝．如果雙方都采用最佳方法，甲先取那么誰將獲勝【分析】乙勝，和對方湊42根火柴誰獲勝．如果雙方都采用最佳方法，巍巍先取，那么誰將獲勝？【分析】顯然，每次只能取走奇數(shù)根，55只能是奇數(shù)個奇數(shù)的和，于是巍巍勝.想想練練：桌子上放著56根火柴，巍巍、濤濤二人輪流取，每次可取走2根、6根或14根，規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝．如果雙方都采用最佳方法，巍巍先取，那么誰將獲勝？21.第9級上優(yōu)秀A版教師版3弈論中諾貝爾獎?J1996年，授予英國劍橋大學(xué)的詹姆斯?莫里斯（JamesA.Mirrlees）與美國哥倫比亞大學(xué)2001年，授予美國伯克利加利福尼亞大學(xué)的喬治?阿克爾洛夫（GeorgeA.Akerlof）生于1940年、美國斯坦福大學(xué)的邁克爾?斯賓塞（A.MichaelSpence）和美國紐約哥倫比亞大2005年，授予美國馬里蘭大學(xué)的托馬斯?克羅姆比?謝林(ThomasCrombieSchelling)和耶路?2007年，授予美國明尼蘇達(dá)大學(xué)的里奧尼德?赫維茨（LeonidHurwicz）、美國普林斯頓大學(xué)的埃里克?馬斯金(EricS.Maskin）以及美國芝加哥大學(xué)的羅杰?邁爾森(RogerB.2012年，授予美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家埃爾文?羅斯（AlvinE.Roth）與羅伊德?沙普利因（LloydS.一門工具學(xué)科能夠在經(jīng)濟(jì)學(xué)中如此廣泛運(yùn)用并得到學(xué)界垂青實為罕見。3如果要取勝應(yīng)采取什么辦法(學(xué)案對應(yīng)：學(xué)案2)22右；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走，就能發(fā)現(xiàn)甲走完之后向上和.方向走，甲就朝哪個方向走，這樣甲就能取勝4一個，如果最后這個五位數(shù)能被4整除，則甲勝；如果不能被4整除，則乙勝．甲先填，誰有必勝策略？(學(xué)案對應(yīng)：學(xué)案3)【分析】甲一上來必填E，否則乙在E填1，肯定不是4的倍數(shù)，于是甲需要在E填一偶數(shù)，如果乙有必勝策略4 第9級上優(yōu)秀A版教師版想想練練：甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，他們輪流用1～9中任一數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)使用）代表五位數(shù)88誰有必勝策略？【分析】能被8整除，必能被4整除，此題與例4一樣，所以乙有必勝策略.5個數(shù)為止．如剩下的兩數(shù)互質(zhì)則判甲勝，否則判乙勝．⑴乙先劃甲后劃，誰有必勝策略?必勝策略是怎樣的?誰有必勝策略?(學(xué)案對應(yīng)：學(xué)案4)劃一個數(shù)，甲就劃去與乙劃去的數(shù)同組的數(shù)，這樣最后必然剩下兩個在同一組的數(shù)．由于同組的數(shù)都是互質(zhì)的，所以甲必勝．⑵乙有必勝策略．無論甲如何劃，乙在前47次只劃去奇數(shù)，并且留下3，9，15這三個奇4733，博弈假設(shè)豬圈里有一頭大豬、一頭小豬。豬圈的一頭有豬食槽，另一頭安裝著控制豬食供應(yīng)97槽邊，收益比是∶4。那么，在兩頭豬都有智慧的前提下，最終結(jié)果小豬選擇等待還是按控制按鈕。小豬選擇等待，讓大豬去按控制按鈕，而自己選擇等待的原因很簡單：在大豬選擇行動的前提下，小豬選擇等待的話，小豬可得到4個單位的純收益，而小豬行動的話，則僅僅可以獲得大豬吃剩的1個單位的純收益，所以等待優(yōu)于行動；在大豬選擇等待的前提下，小1么小豬的收益為零，成本也為零，總之，等待還是要優(yōu)于行動。第9級上優(yōu)秀A版教師版5提高甲，乙輪流從1～17這17個數(shù)中標(biāo)記數(shù)，規(guī)定：（1）每次標(biāo)記一個數(shù)；（2）不能標(biāo)記已標(biāo)記的數(shù)；

（5）誰沒數(shù)可標(biāo)記誰就輸.現(xiàn)在甲先標(biāo)記了8，乙要保證自己必勝，乙接著應(yīng)該標(biāo)記____.【分析】甲標(biāo)了8后，4和16就不能再標(biāo)記.剩下的數(shù)分成以下幾組.第一組（，6，12第二組（1，2）（5，10）（7，14）第三組（）（1113）（1517.所以最后一個可標(biāo)記數(shù)是乙標(biāo)記的.乙必勝.1.甲乙兩人輪流在黑板上寫2～7之間的正整數(shù)，規(guī)定在黑板上寫過的數(shù)，它的任何倍數(shù)就不能再2正整數(shù)呢？2.如下圖，將2008個方格排成一行，在最左邊的方格中放有一枚棋子，巍巍、濤濤二人交替地移動這枚棋子，巍巍先濤濤后，每人每次可將棋子向右移動若干格，但移動的格數(shù)不能是合數(shù)，將棋子移到最右邊格子的人獲勝．如果巍巍先移，巍巍是否有制勝的策略？ 2 3 4 5 6 …… 20072008】43格，這樣還剩下2004格(4的倍數(shù)格)；以后濤濤每移動4nk格(k1、2或3)，巍巍就6 第9級上優(yōu)秀A版教師版3.甲乙兩人輪流在黑板上寫小于9的正整數(shù)，規(guī)定在黑板上寫過的數(shù)，它的任何因數(shù)就不能再寫了，最后不能寫的人為失敗者.如果甲第一個寫數(shù)，那么誰有必勝策略？6【分析】注意題目中的條件，小兵計算上、下兩行6個數(shù)的和．即為abcfgh；小強(qiáng)計算左、右兩列數(shù)的和，即為adfceh．現(xiàn)在看這兩個和，其中a、c、f、h為重復(fù)項，對于比較大小來說沒有意義，真正有意義的是小兵的bg和小強(qiáng)的de，這幾個數(shù)決定他們誰輸誰贏，要想獲勝就要盡量把大的數(shù)填在自己一方，小的數(shù)填在別人一方，下就知道怎么填是必勝的了．自己一方，一種是將1填在小兵那里．若小強(qiáng)將9填在自己一方，則下次小兵將1填在小強(qiáng)那里，小兵必勝，從而小強(qiáng)需將1填在小兵那里，那么下次小兵只能將最小的3填在小(再往自己的格里填)，從而得到，先往自己的格里填大數(shù)是不可取的，并不能保證獲勝，從而知，必須往別人的格里填小數(shù)．還是假設(shè)小兵先填，那么，他10915.在一個33的方格紙中，巍巍、錚錚兩人輪流(巍巍先)往方格紙中填寫1、2、3、4、5、6、7、錚的得分是不計中間列的左右兩列六個數(shù)之和，得分多者為勝．請你為巍巍找出一種必勝的策略．【分析】應(yīng)把10填在自己的勢力范圍之內(nèi).(1個數(shù)中的一個，數(shù)不能重復(fù)．最后甲的得分是不計中間行的上下兩行六個數(shù)之和，乙的得分是不計中間列的左右兩列六個數(shù)之和，得分多者為勝．請你為甲找出一種必勝的策略．【分析】上兩個問題，由于9個數(shù)字的不對稱性，策略分別是選擇“削弱別人”和“增強(qiáng)自己”.兩種不同的方法.而這個問題中，9個數(shù)字是對稱的，故以上兩種方法都不適用.9個格子里面，有2.性，在這個問題里面第一步選擇“削弱別人”與“增強(qiáng)自己”都是可以的，關(guān)鍵在于之后怎么走.我們假設(shè)甲第一步選擇增強(qiáng)自己自己或填無關(guān)格，那么甲只要拿到7或8給自己，乙必敗.因此乙只能選擇削弱甲.里的數(shù)字和達(dá)到.若甲選擇削弱乙，那么只能把剩8只能把8填入無關(guān)格.8..7那么甲必然會把2放入乙的格子.因此乙只能先把2放入無關(guān)格.第9級上優(yōu)秀A版教師版7填滿，只剩下4,5兩個數(shù)給乙，甲勝.若甲第一步選擇削弱別人，有同樣的思路.這時是乙的關(guān)鍵格有10分，甲有11分.7.甲乙兩人輪流在黑板上寫3～8之間的正整數(shù)，規(guī)定每次在黑板上寫的數(shù)要滿足以下條件：它的.必勝策略是什么？3～9呢？9.點總結(jié)對策問題的3個最基本要素：①局中人在一場競賽或爭斗中的參與者他們?yōu)榱嗽趯Σ咧腥〉米罱K勝利定出對付對手的行動計劃，這種有決策權(quán)的參加者稱為局中人．局中人并不是特指某一個人，而是指參加競”策”．②策略，是指某一局中人的一個“自始至終通盤籌劃”的可行方案，在一局對策中，各個局中人可以有一個策略，也可以有多個策略．③一局對策的得失．在一局對策中，必有勝利者和失敗者．比賽成績的好壞，我們稱之為“得失”．每個局中人在一局對策中的得失與全體局中人所采取的策略的優(yōu)劣有著直接的關(guān)系．作業(yè)1. 果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？【分析】乙勝，和對方湊52. 只能向下，向右走一格．如圖中棋子可以走入A、C兩格之一，誰將棋子走入右下角方格中誰獲勝．如果都按最佳方法走，那么誰將獲勝？有什么必勝的策略？CB8 第9級上優(yōu)秀A版教師版【分析】一共差8個格，每次走一個格，所以肯定要走8次，肯定乙贏.3. 只能向下，向右或向右下走一格．如圖中棋子可以走入A、B、C三格之一，誰將棋子走入右下角方格中誰獲勝．如果都按最佳方法走，那么誰將獲勝？有什么必勝的策略？CBCB 【分析】法1（奇偶，重點）甲先走到B處，還需向下走4格，向右走2格，都是偶數(shù)，接下來甲保證每次走之后向下和向右都是偶數(shù)格，就行了，甲必勝法2（倒推法，選講）要想最后一步走到右下角的方格1中，必須讓對方倒數(shù)第二步走入的方格中；依次類推，倒數(shù)第六步必須讓對方走到標(biāo)“6”的方格中；倒數(shù)第七步必須走到B勝．因此，甲就必勝．4. 中的一個，如果最后這個五位數(shù)能被9整除，則甲勝;如果不能被9整除，則乙勝.甲先填，誰有必勝策略？【分析】甲，因為甲寫最后一個數(shù)字，1～9中必有一個能讓數(shù)字和是9的倍數(shù)，所以甲勝.5. 一場數(shù)學(xué)游戲在小聰和小明間展開：黑板上寫著自然數(shù)2、3、4、……、1000，兩人輪流擦去其中的一個數(shù)，由小明先擦，小聰后擦，若到最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則判小聰勝；否則判小明勝．問：小聰和小明誰有必勝策略？說明理由．而黑板上恰好有499個奇數(shù)，所以一定能將所有奇數(shù)擦光，最后剩下兩個偶數(shù)，它們一定不互質(zhì)．6. 取1個、2個或5個，取最后一個球的人勝利．應(yīng)當(dāng)采取怎樣的策略？33第9級上優(yōu)秀A版教師版9A版學(xué)案【學(xué)案1】桌子上放著55根火柴，巍巍、濤濤二人輪流每次取走1～3根，規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝．如果雙方都采用最佳方法，巍巍先取，那么誰將獲勝？【分析】采用逆推法分析．獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時，必須留給對方4根，此時無論對方取1、2或3根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，48只要巍巍第一次取走3根，以后每一次，濤濤取幾根，巍巍就取4減幾根，使得每次巍巍思考：為什么一定要留給對方4的倍數(shù)根火柴，而不是5的倍數(shù)根或者其它數(shù)的倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在3的范圍內(nèi)．人交替走，誰先到達(dá)左下角，誰為勝者．問必勝的策略是什么？9行9列，可以先走一步對角線，現(xiàn)在差8行8列，對方無論怎么走，一定會讓行或者列差奇數(shù)個，先手的任務(wù)就是把奇數(shù)個都變成偶數(shù)個，最后就勝利了.C三點之一．因為：⑴如果你占領(lǐng)了A點，按照游戲規(guī)則，對方只能向下走一步，O必然被你占領(lǐng)．⑵如果你占領(lǐng)了C點，按照游戲規(guī)則，對方只能向左走一步，O點同樣被你占領(lǐng)．10第9級上優(yōu)秀A版教師版A O 要想占領(lǐng)B點，就必須占領(lǐng)E、F、G三點之一；要想占領(lǐng)C點，就必須占領(lǐng)B、G、H三點之一．如圖所示．“制高點”“制高點管對方怎樣走，你都可以去占領(lǐng)下一個“制高點”．以必勝的策略是：(1)先走，將棋子向左下對角線走一步，到達(dá)一個制高點”“先到達(dá)O點．【學(xué)案3】甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，甲先乙后，他們輪流用1~9中任一數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)使用）代表五位數(shù)ABCDE中的一個，如果最后這個五位數(shù)能被4整除或者被4除余1，則甲勝；如果被