高中-必修四第1章1.2

教學(xué)流程演示結(jié)束1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及其應(yīng)用．(重點)課標(biāo)

2．初步了解有向線段的概念，會利用單位圓中的解讀三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切．(難點)3．掌握誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用．(重點難點)【問題導(dǎo)思】使銳角α

的頂點與原點O

重合，始邊與

x

軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點P，PM⊥x

軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.1．角α

的正弦、余弦、正切分別等于什么？【提示】

sin

α＝r，y

xycos

α＝r，tan

α＝x.對于確定的銳角α，sin

α、cos

α、tan

α

的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？【提示】

不會．在問題1

中，取|OP|＝1

時，sinα，cos

α，tanα

的值怎樣表示？【提示】

sin

α＝y(tǒng)，cos

α＝x，tan

x＝y(tǒng)x.稱以原點O

為圓心，單位長度2．定義：圖1－2－1在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

α是一個任意角，它的終邊與

單位圓交于點

P(x，y)那么：y

叫做

α

的

正弦

，記作sinα

，即

sin

α＝y(tǒng)；x

叫做

α

的

余弦

，記作cosα

，即cos

α＝x；y(3)y

α

的

，記作

，即

tan

α＝

(x≠0)．x叫做

x對于確定的角

α，上述三個值都是唯一確定的．故正弦余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．3．正弦函數(shù)

sin

α

的定義域是

R

；余弦函數(shù)cos

α

的定義域是

R

；正切函數(shù)

tan

α

的定義域是{x|x∈R，且

x≠kππ＋2，k∈Z}．

正切

tanα【問題導(dǎo)思】三角函數(shù)在各象限的符號由什么來確定？【提示】

由三角函數(shù)的定義知三角函數(shù)在各象限的符號由角

α

終邊上任意一點的坐標(biāo)來確定．圖1－2－2口訣：“一全正，二正弦

，三

正切

，四余弦

”．【問當(dāng)角α

分別為30°，390°，有什么關(guān)系？為什么？【提示】相等，因為它們的終邊重合．【問題導(dǎo)思】在平面直角坐標(biāo)系中，任意角

α

的終邊與單位圓交于點P，過

P作PM⊥x軸，過A(1,0)作AT⊥x軸，交終邊或其反向延長線于點

T，結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到

sin

α，cos

α，tan

α

與MP，OM，AT

的關(guān)系嗎？【提示】

可以，sin

α＝|MP|，cos

α＝|OM|，tan

α＝|AT|.有向線段：帶有

方向的線段．三角函數(shù)線：圖1－2－3已知角θ

的終邊上有一點P(－3，m)，且sin

θ2＝

4

m，求cos

θ

與tan

θ

的值．【思路探究】

此類問題的解答一般根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．對于本題可由定義求出m

的值，再求cos

θ

與tan

θ的值．點

P

到原點的距離

r＝－

32＋m2

＝【自主解答】3＋m2，3＋m22∴sin

θ＝

m

＝

m4，解得

m＝0

或

m＝±

5.—

3(1)當(dāng)

m＝0

時，cos

θ＝

3

＝－1，tan

θ＝0.(2)當(dāng)m＝5時，cos

θ＝

8

＝—

3

－

64—

315，tan

θ＝

5

＝－

.3(3)當(dāng)m＝－5時，cos

θ＝—

3

68

＝－

4

，tan

θ＝—

5—

3

15＝

3

.當(dāng)角

α

的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類

．解決此類問題有兩種方法：先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值；注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上任意一點坐標(biāo)(a，b)，則對應(yīng)角的正弦值

sin

α＝a2＋b2

b

，余弦值cos

α＝aa2＋b2.已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sin

α，cos

α，tan

α

的值；已知角α

的終邊在直線y＝

3x

上，求sin

α，cosα，tan

α

的值．【解】

(1)r＝

－4a2＋3a2＝5|a|.若a＞0，則r＝5a，α

是第二象限角，則y

3a

3sinα＝r＝5a＝5，cos

α－4ax

4＝r＝

5a

＝－5，tan

α＝x＝y(tǒng)

3a－4a3＝－4，若a＜0，則r＝－5a，α

是第四象限角，則3

4sin

α＝－5，cos

α＝5，tan

α＝－43.(2)因為角α

的終邊在直線y＝

3x

上，所以可設(shè)

P(a，

3a)(a≠0)為角

α

終邊上任意一點．則

r＝

a2＋

3a2＝2|a|(a≠0)．若a＞0，則α

為第一象限角，r＝2a，所以sin

α＝3a

3，2a

＝

2cos

α＝

a12a＝2，tan

α＝ 3a＝

3.a若a＜＝－

3，cosα＝－

a

＝－

，tan

α＝12

2a

2a求下列各式的值：(1)a2sin(－1

350°)＋b2tan

405°－2abcos(－1

080°)；12(2)sin(－11π)＋cos

π·tan

4π.6

5【思路探究】

利用誘導(dǎo)公式，把每個角化為[0,2π)間的角，再利用特殊角的三角函數(shù)求值．b2tan(360°＝a2sin90°＋＝a2＋b2－2ab＝(a－12(2)sin(－11π)＋cos

π·tan

4π6

512＝sin(－2π＋π

＋cos

π·tan

06)

561＝sinπ

0＝

.＋

2利用誘導(dǎo)公式一可把任意角的三角函數(shù)化歸為[0,2π)內(nèi)的三角函數(shù)，實現(xiàn)“負(fù)化正，大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸(轉(zhuǎn)化)思想．一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準(zhǔn)確求值．求下列各式的值：cos25π＋tan(－15π)；3

4sin

810°＋tan

1

125°＋cos

420°.【解】

(1)cos25π＋tan(

15π)3

－

4＝cos(8π＋π

＋tan(－4π＋π3)

4)＝c

π

π

1

3

os3＋tan4＝2＋1＝2.(2)

原式＝

sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin

90°＋tan

45°＋cos

60°1

5＝1＋1＋2＝2.在單位圓中畫出適合下列條件的角α

的終邊范圍，并由此寫出角α

的集合．1

3(1)sin

α≥

2

；(2)cos

α≤－2.【思路探究】根據(jù)三角函數(shù)線．在單位圓中首先作出3滿足sin

α＝

2

，cosα1＝－2的角的終邊，然后由已知條件確定角α的終邊范圍．【自主解答】

(1)作直線

y＝

3

A，B

兩2

，交單位圓于點，連接

OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角

α

的終邊的范圍．π

2π故滿足條件的角

α

的集合為{α|2kπ＋3≤α≤2kπ＋

3

，k∈Z}．1(2)作直線

x＝－2，交單位圓于C，D

兩點，連接

OC與OD，則

OC

與OD

圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角

α的終邊的范圍．故滿足條件的角

α

的集合為{α|2kπ＋2π3

≤4πα≤2kπ＋

3

，k∈Z}．三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的工具，要注意利用其來解決問題．三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)的定義域，在求三角函數(shù)定義域時，一般轉(zhuǎn)化為不等式(組)，因此必須牢固掌握三角函數(shù)線的畫法及意義．求函數(shù)y＝

2cosx－1的定義域．21【解】

由題意得：2cos

x－1≥0，則有cosx≥

.11如圖在

x

軸上取點

M

使

OM1＝2，，過M1

作x

軸的垂線交單位圓于點P1，P2連接OP1，OP2.則OP1

與OP2

圍成的區(qū)域(如圖中陰影部分)即為角x

的終邊的范圍．2∴滿足cos

x≥1的角的集合即y＝2cos

x－1的定義域為：{x|2kπ－π

x≤2kπ＋π

k∈Z}．3≤

3，忽視三角函數(shù)的定義域致誤求滿足y＝

sin

x·tan

x的x

的取值范圍．【錯解】

由題意知，只需要

sin

x·tan

x≥0，即sin

x≥0，

sin

x≤0，tan

x≥0，

tan

x≤0，①或

②對①可知x

為第一象限角或終邊在x

軸或y

軸上的角．對②可知x

為第四象限角或終邊在x

軸或y

軸上的角．因此x

的取值范圍為π

π{x|2kπ－2≤x＜2kπ

或2kπ＜x≤2kπ＋2或xkπ＝

2

，k∈Z}．【錯因分慮tan

x

的條件，致使思考問題不周全而出錯．【防范措施】

熟練掌握三種三角函數(shù)的定義域如下表所示：三角函數(shù)定義域sin

α{α|α∈R}cos

α{α|α∈R}tan

α

π

α|α∈R，α≠kπ＋2，k∈Z

【正解】

所求

x

應(yīng)滿足

πx≠kπ＋2k∈Z，sin

x≤0，sin

x·tan

x≥0，即sin

x≥0，tan

x≥0，πx≠kπ＋2k∈Z，或tan

x≤0，πx≠kπ＋2k∈Z.根據(jù)x

所在象限情況可判斷x

的取值范圍是{x|2kπ－π

x＜2kπ

或

2kπ＜x＜2kπ＋π

x＝kπ，k∈Z}．2＜

2或三角函數(shù)的定義是以后學(xué)切三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān)，與所選取的點在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點．誘導(dǎo)公式一指的是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，反之不一定成立，可結(jié)合三角函數(shù)的定義進行

．三角函數(shù)值的符號主要涉及開方、去絕對值等計算問題，同時也要注意終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值情況，因角的終邊經(jīng)過的點決定了三角函數(shù)值的符號，所以當(dāng)點的位置不確定時注意進行三角函數(shù)線的引入，為了幾何方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．其主要作用是解三角不等式、比較三角函數(shù)值的大小和求函數(shù)定義域．61．cos(－11π)等于(