數(shù)字圖像處理-課件-4

1數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing1數(shù)字圖像處理2第四章頻率域?yàn)V波2第四章頻率域?yàn)V波34.1背景34.1背景4傅里葉級(jí)數(shù)和變換簡史

法國數(shù)學(xué)家傅里葉(JeanBaptisteJosephFourier)的最大貢獻(xiàn)是：他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個(gè)正弦項(xiàng)和/或余弦項(xiàng)乘以不同的系數(shù)（現(xiàn)在稱該和為傅里葉級(jí)數(shù)）。無論函數(shù)多么復(fù)雜，只要它是周期的，并且滿足某些適度的數(shù)學(xué)條件，都可以用這樣的和來表示。4傅里葉級(jí)數(shù)和變換簡史法國數(shù)學(xué)家傅里葉(JeanBapt5非周期函數(shù)（但該曲線下的面積是有限的）也可以用正弦和/或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分來表示。在這種情況下的公式就是傅里葉變換。用傅里葉級(jí)數(shù)或變換表示的函數(shù)特征完全可以通過傅里葉反變換來重建，而不會(huì)丟失任何信息。5非周期函數(shù)（但該曲線下的面積是有限的）也可以用正弦和/或余6傅里葉級(jí)數(shù)或變換底部的函數(shù)是其上面4個(gè)函數(shù)的和。6傅里葉級(jí)數(shù)或變換底部的函數(shù)是其上面4個(gè)函數(shù)的和。74.2基本概念74.2基本概念84.2.2傅里葉級(jí)數(shù)具有周期T的連續(xù)變量t的周期函數(shù)f(t)可以被描述為乘以適當(dāng)系數(shù)的正弦和余弦和。這個(gè)和就是傅里葉級(jí)數(shù)，它具有如下形式：系數(shù)84.2.2傅里葉級(jí)數(shù)具有周期T的連續(xù)變量t的周期函數(shù)f(94.2.3沖激及其取樣特性

線性系統(tǒng)和傅里葉變換研究的核心是沖激及其取樣特性。連續(xù)變量t在t＝0處的單位沖激表示為(t)：取樣特性取樣特性94.2.3沖激及其取樣特性線性系統(tǒng)和傅里葉變換研究的核取樣特性10令x表示一個(gè)離散變量。單位離散沖激(x)在離散系統(tǒng)中的作用與處理連續(xù)變量時(shí)沖激(t)的作用相同：取樣特性取樣特性10令x表示一個(gè)離散變量。單位離散沖激(x)在離散11沖激串sΔT(t)，它定義為無限多個(gè)分離的周期沖激單元ΔT之和：11沖激串sΔT(t)，它定義為無限多個(gè)分離的周期沖激單元Δ124.2.4連續(xù)變量函數(shù)的傅里葉變換

以上合稱傅里葉變換對。124.2.4連續(xù)變量函數(shù)的傅里葉變換以上合稱傅里葉變換13t可以表示任何連續(xù)變量，頻率變量的單位取決于t的單位。如果t表示單位為秒的時(shí)間，則的單位為周/秒，或者赫茲(Hz)。如果t表示的是以米為單位的距離，則的單位是周/米。頻率域的單位是獨(dú)立于輸入變量的每單位周期的。13t可以表示任何連續(xù)變量，頻率變量的單位取決于t的單位。14求一個(gè)簡單函數(shù)的傅里葉變換

F()曲線sinc函數(shù)14求一個(gè)簡單函數(shù)的傅里葉變換F()曲線sinc函數(shù)15通常，傅里葉變換包含復(fù)數(shù)項(xiàng)，且為顯示目的，通常處理該變換的幅值（一個(gè)實(shí)量），該幅值稱為傅里葉譜或頻譜。該函數(shù)的譜

F()15通常，傅里葉變換包含復(fù)數(shù)項(xiàng)，且為顯示目的，通常處理該變換16求周期沖激串的傅里葉變換周期沖激串sΔT(t)的傅里葉變換S()是：這個(gè)基本結(jié)果告訴我們，周期為ΔT的沖激串的傅里葉變換還是沖激串，其周期為1/ΔT

。

這種特性在本章的其余部分中扮演著主要角色。

16求周期沖激串的傅里葉變換周期沖激串sΔT(t)的傅里葉變174.2.5卷積兩個(gè)函數(shù)的卷積涉及一個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)做翻轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)180°）并滑過另一個(gè)函數(shù)。卷積定義如下：負(fù)號(hào)表示翻轉(zhuǎn)，t是一個(gè)函數(shù)滑過另一個(gè)函數(shù)的位移，而τ是積分變量?！?/p>

174.2.5卷積兩個(gè)函數(shù)的卷積涉及一個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)做翻轉(zhuǎn)18卷積定理_第1部分

空間域中兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅里葉變換等于兩個(gè)函數(shù)的傅里葉變換在頻率域中的乘積。反過來，如果有兩個(gè)傅里葉變換的乘積，可以通過計(jì)算傅里葉反變換得到空間域的卷積?！?/p>

★★傅里葉變換對18卷積定理_第1部分空間域中兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅里葉變換等19卷積定理_第2部分空間域中兩個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉變換等于兩個(gè)函數(shù)的傅里葉變換在頻率域中的卷積。反過來，如果有兩個(gè)傅里葉變換的卷積，可以通過計(jì)算傅里葉反變換得到空間域的乘積?！铩铩?/p>

傅里葉變換對19卷積定理_第2部分空間域中兩個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉變換等于兩204.3取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換204.3取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換214.3.1取樣考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(t)，我們希望以獨(dú)立變量t的均勻間隔(ΔT)取樣。我們假定函數(shù)對于t從－∞到∞擴(kuò)展。模擬取樣的一種方法是用一個(gè)ΔT單位間隔的沖激串作為取樣函數(shù)去乘以f(t)。214.3.1取樣考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(t)，我們希望以獨(dú)立22一個(gè)連續(xù)函數(shù)的取樣一個(gè)連續(xù)函數(shù)用于模擬取樣過程的沖擊串圖(a)和圖(b)相乘形成的取樣后函數(shù)由積分并使用沖激的取樣特性得到的取樣值22一個(gè)連續(xù)函數(shù)的取樣一個(gè)連續(xù)函數(shù)用于模擬取樣圖(a)和圖(234.3.2取樣函數(shù)的傅里葉變換取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是：

★234.3.2取樣函數(shù)的傅里葉變換取樣后的函數(shù)24★24★25取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是F()的一個(gè)拷貝的無限、周期序列，也是原始連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換?？截愰g的間隔由1/ΔT的值決定。雖然是取樣后的函數(shù)，但其變換是連續(xù)的，它由F()的幾個(gè)拷貝組成。25取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是F(26針對帶限函數(shù)的過取樣、臨界取樣、欠取樣后的函數(shù)的傅里葉變換一個(gè)帶限函數(shù)的傅里葉變換過取樣條件下取樣后的函數(shù)的傅里葉變換臨界取樣條件下取樣后的函數(shù)的傅里葉變換欠取樣條件下取樣后的函數(shù)的傅里葉變換26針對帶限函數(shù)的過取樣、臨界取樣、欠取樣后的函數(shù)的傅里葉變274.3.3取樣定理對于以原點(diǎn)為中心的有限區(qū)間(帶寬)[-max,max]之外的頻率值，其傅里葉變換為零的函數(shù)f(t)稱為帶限函數(shù)。274.3.3取樣定理對于以原點(diǎn)為中心的有限區(qū)間(帶寬)[28較低的1/ΔT值將導(dǎo)致中的周期融合，較高的1/ΔT值在周期之間會(huì)提供更為清晰的間隔。

如果能從中包含的這個(gè)函數(shù)的拷貝的周期序列中分離出F()的一個(gè)拷貝，那么我們就可以從取樣后的版本復(fù)原f(t)，其中是取樣后的函數(shù)的傅里葉變換。28較低的1/ΔT值將導(dǎo)致中的周期融合，較高的29

是周期為1/ΔT的連續(xù)周期函數(shù)。因此，我們需要一個(gè)完整的周期來表征整個(gè)變換。這意味著我們用傅里葉反變換從一個(gè)單周期就可恢復(fù)f(t)。如果拷貝間的間距足夠，從提取一個(gè)單周期使其等于F()是可能的。29是周期為1/ΔT的連續(xù)周期函數(shù)。因此，我30解釋取樣定理的示意圖如果或者則可保證有足夠大的間距。30解釋取樣定理的示意圖如果31以上公式指出，如果以超過函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣率來獲得樣本，連續(xù)的帶限函數(shù)可以完全地從它的樣本集來恢復(fù)。這個(gè)結(jié)論就是取樣定理。如果一個(gè)連續(xù)的帶限函數(shù)用取樣率大于函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣來表示不會(huì)有信息損失。完全等于最高頻率的兩倍的取樣率，稱為奈奎斯特取樣率。31以上公式指出，如果以超過函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣率來獲得32反過來，我們也可以說，以1/ΔT的取樣率對一個(gè)空間域信號(hào)取樣而得到的頻率域信號(hào)的最大頻率是max=1/2ΔT；取樣定理就規(guī)定了取樣率必須超過奈奎斯特取樣率。32反過來，我們也可以說，以1/ΔT的取樣率對一個(gè)空間域信號(hào)33為了從原理上了解如何從復(fù)原F()，如下圖(a)，該圖顯示了一個(gè)以略高于奈奎斯特取樣率取樣后的函數(shù)的傅里葉變換。下圖(b)中的函數(shù)由下式定義：如下圖(c)所示，通過H()和相乘我們得到F()。33為了從原理上了解如何從復(fù)原F()，如34使用一個(gè)理想低通濾波器提取

一個(gè)帶限函數(shù)的變換的一個(gè)周期

34使用一個(gè)理想低通濾波器提取

一個(gè)帶限函數(shù)的變換的一個(gè)周期35以上從理論上證明了，以函數(shù)包含的最高頻率的兩倍的速率取樣得到的函數(shù)的樣本，來恢復(fù)一個(gè)帶限函數(shù)是可能的。f(t)必須是帶限的這一要求通常意味著f(t)必須從－∞擴(kuò)展到∞，實(shí)際上這一條件并不滿足。限制一個(gè)函數(shù)的持續(xù)時(shí)間會(huì)妨礙該函數(shù)的完美復(fù)原，除非是特殊的情況。35以上從理論上證明了，以函數(shù)包含的最高頻率的兩倍的速率取樣364.3.4混淆

以低于奈奎斯特取樣率取樣的最終效果是周期重疊，并且不管使用什么濾波器，都不可能分離出變換的一個(gè)單周期。由函數(shù)欠取樣導(dǎo)致的這種效果就是周知的頻率混淆，或簡稱為混淆。364.3.4混淆以低于奈奎斯特取樣率取樣的最終效果是周理想低通濾波器37圖(a)和圖(b)的乘積。來自鄰近周期的干擾導(dǎo)致了混淆，而混淆妨礙了F()的完美復(fù)原，并因此妨礙了原始帶限連續(xù)函數(shù)的完美復(fù)原。一個(gè)欠取樣帶限函數(shù)的傅里葉變換（圖中來自鄰近周期的干擾顯示為虛線）理想低通濾波器37圖(a)和圖(b)的乘積。來自鄰近周期的38在實(shí)踐中，我們必須要做的是限制函數(shù)的時(shí)間，在我們限制函數(shù)的持續(xù)時(shí)間時(shí)，總會(huì)引進(jìn)無限的頻率分量。持續(xù)時(shí)間有限的函數(shù)不是帶限的。反過來，一個(gè)帶限函數(shù)一定從－∞擴(kuò)展到∞。用有限長度的取樣和記錄工作，混淆是一個(gè)不可避免的事實(shí)。38在實(shí)踐中，我們必須要做的是限制函數(shù)的時(shí)間，在我們限制函數(shù)39混淆的說明

欠取樣后的函數(shù)（黑點(diǎn)）看上去像一個(gè)頻率比連續(xù)信號(hào)頻率低得多的正弦波。

39混淆的說明欠取樣后的函數(shù)（黑點(diǎn)）看上去像一個(gè)頻率404.3.5由取樣后的數(shù)據(jù)重建（復(fù)原）函數(shù)★★盒狀濾波器H()的傅里葉反變換是一個(gè)sinc函數(shù)。404.3.5由取樣后的數(shù)據(jù)重建（復(fù)原）函數(shù)★★盒狀濾波器41★完美重建的函數(shù)是用取樣值加權(quán)的sinc函數(shù)的無限和。41★完美重建的函數(shù)是用取樣值加權(quán)的sinc函數(shù)的無限和。重要特性重建的函數(shù)恒等于在多個(gè)T的整數(shù)增量處的樣本值。也就是說，對于任何t＝kT，其中k是整數(shù)，f(t)等于第k個(gè)樣本f(kT)。這來自式

因?yàn)閟inc(0)＝1，

并且對于任何其他整數(shù)m，sinc(m)＝0。樣本點(diǎn)之間的f(t)值是由sinc函數(shù)的和形成的內(nèi)插。42重要特性重建的函數(shù)恒等于在多個(gè)T的整數(shù)增量處的樣本值。也就

要求樣本間的內(nèi)插有無限多項(xiàng)。在實(shí)際中，這意味著我們必須找到一種樣本間內(nèi)插有限的近似方法。在圖像處理中使用的主要內(nèi)插方法是最近鄰法、雙線性法和雙三次內(nèi)插法。43

鋸齒的說明44(a)一幅計(jì)算機(jī)生成場景的1024×1024數(shù)字圖像，其混淆可以忽略。(b)減小(a)的原始尺寸到25％，再用雙線性內(nèi)插恢復(fù)原始尺寸的結(jié)果。(c)減小圖像尺寸的25％之前，用5×5的均值濾波模糊圖像，然后再用雙線性內(nèi)插的結(jié)果。鋸齒的說明44(a)一幅計(jì)算機(jī)生成場景(b)減小(a)的454.4單變量的離散傅里葉變換(DFT)454.4單變量的離散傅里葉變換(DFT)464.4.1一維離散傅里葉變換對

離散傅里葉變換離散傅里葉反變換離散傅里葉變換離散傅里葉反變換464.4.1一維離散傅里葉變換對離散傅里葉變換離散傅474.4.2取樣和頻率間隔間的關(guān)系如果f(x)由函數(shù)f(t)以ΔT為單位間隔取樣后的M個(gè)樣本組成，則包含集合{f(x)}，x=0,1,2,…,M-1的記錄的持續(xù)時(shí)間是T=MΔT。離散頻率域中的相應(yīng)間隔Δu來自下式：由DFT的M個(gè)分量跨越的整個(gè)頻率范圍是：474.4.2取樣和頻率間隔間的關(guān)系如果f(x)由函數(shù)f(48由上式可以看出，DFT的頻率分辨率Δu取決于連續(xù)函數(shù)f(t)被取樣的持續(xù)時(shí)間T；DFT跨越的頻率范圍取決于取樣間隔ΔT。48由上式可以看出，DFT的頻率分辨率Δu取決于連續(xù)函數(shù)f(494.5兩個(gè)變量的函數(shù)的擴(kuò)展494.5兩個(gè)變量的函數(shù)的擴(kuò)展504.5.1

二維沖激及其取樣特性沖激二維沖激在積分下呈現(xiàn)了取樣特性：504.5.1二維沖激及其取樣特性沖激對于離散變量x和y，二維離散沖激定義為：其取樣特性為：51對于離散變量x和y，二維離散沖激定義為：51524.5.2

二維連續(xù)傅里葉變換對令f(t,z)是兩個(gè)連續(xù)變量t和z的連續(xù)函數(shù)，則其二維連續(xù)傅里葉變換對由以下給出：524.5.2二維連續(xù)傅里葉變換對令f(t,z)是兩個(gè)連續(xù)53一個(gè)簡單函數(shù)的二維傅里葉變換一個(gè)二維函數(shù)

該二維函數(shù)的譜的一部分

53一個(gè)簡單函數(shù)的二維傅里葉變換一個(gè)二維函數(shù)該二維函數(shù)的譜5454554.5.3

二維取樣和二維取樣定理二維取樣函數(shù)：T和Z是連續(xù)函數(shù)f(t,z)沿t軸和z軸的樣本間的間隔。沿著兩個(gè)軸無限擴(kuò)展的周期沖激的集合

554.5.3二維取樣和二維取樣定理二維取樣函數(shù)：沿著兩個(gè)56用sTZ(t,z)乘f(t,z)可得到取樣后的函數(shù)。如果由區(qū)間[-μmax,μmax]和區(qū)間[-vmax,vmax]建立的矩形之外的傅里葉變換是零，則函數(shù)f(t,z)稱為帶限函數(shù)，即：56用sTZ(t,z)乘f(t,z)可得到取樣后的函數(shù)。57二維取樣定理如果取樣間隔滿足或者關(guān)于取樣率則稱連續(xù)帶限函數(shù)f(t,z)可以由其一組樣本無誤地恢復(fù)。如果一個(gè)二維帶限連續(xù)函數(shù)在和v兩個(gè)方向上由以大于該函數(shù)最高頻率兩倍的取樣率取樣獲得的樣本表示，則沒有信息丟失。57二維取樣定理如果取樣間隔滿足58理想低通（二維盒狀）濾波器用以分離

樣本帶限函數(shù)在頻率域變換中的單個(gè)周期

如果一個(gè)二維帶限連續(xù)函數(shù)在μ和v兩個(gè)方向上由以大于該函數(shù)最高頻率兩倍的取樣率取樣獲得的樣本表示，則沒有信息丟失。過取樣帶限函數(shù)的二維傅里葉變換欠取樣帶限函數(shù)的二維傅里葉變換周期重疊：混淆

虛線表示理想低通（二維盒狀）濾波器的位置58理想低通（二維盒狀）濾波器用以分離

樣本帶限函數(shù)在頻率域594.5.5

二維離散傅里葉變換及其反變換二維傅里葉變換（DFT）：二維傅里葉反變換(IDFT)：變換對傅里葉系數(shù)正變換反變換594.5.5二維離散傅里葉變換及其反變換二維傅里葉變換（60圖像矩陣實(shí)數(shù)頻域矩陣復(fù)數(shù)60圖像矩陣頻域矩陣614.6二維離散傅里葉變換的一些性質(zhì)614.6二維離散傅里葉變換的一些性質(zhì)624.6.1

空間和頻率間隔的關(guān)系假設(shè)對連續(xù)函數(shù)f(t,z)取樣生成了一幅數(shù)字圖像f(x,y)，它由分別在t和z方向所取的M×N個(gè)樣點(diǎn)組成，令T和Z表示樣本間的間隔，那么相應(yīng)離散頻率域變量的間隔分別由如下公式給出：頻率域樣本間的間隔與空間樣本間的間距和樣本數(shù)成反比。624.6.1空間和頻率間隔的關(guān)系假設(shè)對連續(xù)函數(shù)f(t,z634.6.2平移和旋轉(zhuǎn)傅里葉變換對滿足下列平移特性：以表示函數(shù)和其傅里葉變換的對應(yīng)性：f(x,y)F(u,v)上式表明用e的指數(shù)項(xiàng)乘以f(x,y)將使DFT的原點(diǎn)移到點(diǎn)(u0,v0)

。634.6.2平移和旋轉(zhuǎn)傅里葉變換對滿足下列平移特性：64上式表明用e的負(fù)指數(shù)乘以F(u,v)將使f(x,y)的原點(diǎn)移到點(diǎn)(x0,y0)

。表明對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換F(u,v)的幅度（譜）的幅值。6465對f(x,y)平移不影響傅里葉變換的幅值，只影響相位。65對f(x,y)平移不影響傅里葉變換的幅值，只影響相位。664.6.3

周期性當(dāng)u0=M/2，v0=N/2時(shí)有：由傅里葉變換平移公式可以得到：664.6.3周期性當(dāng)u0=M/2，v0=N/2時(shí)有：67傅里葉變換的中心（一維情況）顯示了無限個(gè)周期的一個(gè)一維DFT在計(jì)算F(u)之前，由(－1)x乘以f(x)得到的移位后的DFT。

67傅里葉變換的中心（一維情況）顯示了無限個(gè)周期的一個(gè)一維D68傅里葉變換的中心（二維情況）一個(gè)二維DFT在計(jì)算F(u,v)之前，由(－1)x＋y乘以f(x,y)得到的移位后的DFT。

68傅里葉變換的中心（二維情況）一個(gè)二維DFT在計(jì)算F(u694.6.5傅里葉頻譜和相角因?yàn)橥ǔFT一般是復(fù)函數(shù)，因此可以使用極坐標(biāo)形式來表示：其中幅度稱為傅里葉譜（或頻譜）。稱為相角。功率譜定義為：694.6.5傅里葉頻譜和相角因?yàn)橥ǔFT一般是復(fù)函數(shù)，70一個(gè)簡單函數(shù)的二維傅里葉譜

圖像在四個(gè)角顯示亮點(diǎn)的譜（周期性）中心化的譜。計(jì)算DFT之前，用(－1)x＋y乘原圖像。經(jīng)過對數(shù)變換增強(qiáng)后的譜原點(diǎn)原點(diǎn)原點(diǎn)原點(diǎn)70一個(gè)簡單函數(shù)的二維傅里葉譜圖像在四個(gè)角中心化的譜。經(jīng)過71譜對圖像平移是不敏感的，它隨旋轉(zhuǎn)圖像以相同的角度旋轉(zhuǎn)。

平移后的矩形相應(yīng)的譜相應(yīng)的譜旋轉(zhuǎn)后的矩形譜對圖像平移不敏感71譜對圖像平移是不敏感的，它隨旋轉(zhuǎn)圖像以相同的角度旋轉(zhuǎn)。72矩形及其對應(yīng)的相角陣列72矩形及其對應(yīng)的相角陣列73圖像原圖像的相角僅使用相角重建的圖像僅使用譜重建的圖像使用圖像的相角和矩形的譜重建的圖像使用矩形的相角和圖像的譜重建的圖像傅里葉譜和相角的進(jìn)一步說明

盡管灰度信息已丟失了（該信息由譜攜帶），但圖像中關(guān)鍵的形狀特性被保留。相位被置為零，丟失了形狀信息。相位的支配作用73圖像原圖像的相角僅使用相角僅使用譜使用圖像的相使用矩形的744.6.5

二維卷積定理二維循環(huán)卷積的表達(dá)式：二維卷積定理x=0,1,2,…,M-1，y=0,1,2,…,N-1744.6.5二維卷積定理二維循環(huán)卷積的表達(dá)式：x=0,175兩個(gè)空間函數(shù)的卷積可以通過計(jì)算兩個(gè)傅里葉變換函數(shù)的乘積的反變換得到；兩個(gè)空間函數(shù)的卷積的傅里葉變換給出了兩個(gè)函數(shù)傅里葉變換的乘積。對于第二個(gè)表達(dá)式具有同樣的解釋。75兩個(gè)空間函數(shù)的卷積可以通過計(jì)算兩個(gè)傅里葉變換函數(shù)的乘積的76函數(shù)H(u,v)被稱為傳遞函數(shù)，頻域?yàn)V波的概念就是選擇濾波器傳遞函數(shù)，通過規(guī)定的方法修改F(u,v)。右圖是一個(gè)低通濾波器的傳遞函數(shù)，當(dāng)乘以居中處理后的函數(shù)F(u,v)后，可以衰減F(u,v)的高頻分量，相應(yīng)的低頻分量沒有變化。76函數(shù)H(u,v)被稱為傳遞函數(shù)，頻域?yàn)V波的概念就是選擇濾77空域?yàn)V波由濾波器模板h(x,y)卷積一幅圖像f(x,y)組成。函數(shù)相對移位，直到反轉(zhuǎn)的h(x,y)全部滑過f(x,y)的所有值。根據(jù)卷積定理，對頻域H(u,v)×F(u,v)的結(jié)果執(zhí)行IDFT，應(yīng)該得到與空間域卷積相同的結(jié)果。77空域?yàn)V波由濾波器模板h(x,y)卷積一幅圖像f(x,y)78如果我們選擇使用兩個(gè)空間函數(shù)DFT變換的乘積的IDFT來計(jì)算空間卷積，則必須考慮空間函數(shù)的DFT在頻域所具有的周期性。二維傅里葉變換及其反變換都是無限周期的。變換及其反變換的周期性在基于DFT算法的實(shí)現(xiàn)上是重要的特性。78如果我們選擇使用兩個(gè)空間函數(shù)DFT變換的乘積的IDFT來結(jié)果正確79兩個(gè)離散函數(shù)的卷積相同函數(shù)的卷積，但考慮了DFT的周期性。來自鄰近周期的數(shù)據(jù)產(chǎn)生纏繞錯(cuò)誤而得到不正確的卷積結(jié)果。要得到正確結(jié)果，必須對函數(shù)進(jìn)行填充。結(jié)果正確79兩個(gè)離散函數(shù)的卷積相同函數(shù)的卷積，但考慮了D80我們卷積兩個(gè)周期函數(shù)，所以卷積本身也是周期的。周期的靠近使它們互相干擾而導(dǎo)致所謂的纏繞錯(cuò)誤。解決纏繞錯(cuò)誤問題很簡單。考慮分別有A個(gè)樣本和B個(gè)樣本的兩個(gè)函數(shù)f(x)和h(x)，可以證明，如果把0添加到這兩個(gè)函數(shù)中，使它們具有相同的長度，用P來表示，然后，可以這樣選擇以避免纏繞：零可添加到函數(shù)的開始處，或分別添加到函數(shù)的開始處和結(jié)尾處。但將零添加到函數(shù)的結(jié)尾處更為簡單。80我們卷積兩個(gè)周期函數(shù)，所以卷積本身也是周期的。周期的靠近81若要使在空間域?qū)蓚€(gè)空間函數(shù)進(jìn)行“直接”卷積的結(jié)果與兩個(gè)空間函數(shù)DFT乘積的IDFT產(chǎn)生的卷積結(jié)果相同，則必須對兩個(gè)空間函數(shù)進(jìn)行0填充（補(bǔ)足周期）再計(jì)算它們的DFT變換。81若要使在空間域?qū)蓚€(gè)空間函數(shù)進(jìn)行“直接”卷積的結(jié)果與兩個(gè)82令f(x,y)和h(x,y)分別是大小為A×B和C×D像素的圖像陣列。在循環(huán)卷積中的纏繞錯(cuò)誤可以通過對這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行零填充來避免：

82令f(x,y)和h(x,y)分別是大小為A×B和C×D像83填充后的圖像大小為P×Q。如果兩個(gè)陣列大小相同，都是M×N，則要求：一般來說，DFT算法對偶數(shù)尺寸的陣列執(zhí)行較快，因此最好選擇P和Q為滿足上面方程的最小偶整數(shù)。如果兩個(gè)陣列大小相同，則意味著P和Q選擇為該陣列大小的兩倍。83填充后的圖像大小為P×Q。如果兩個(gè)陣列大小相同，都是M×84在執(zhí)行離散量的卷積時(shí)，參與卷積的兩個(gè)函數(shù)在空間域必須填充，這是避免纏繞錯(cuò)誤所必須的。在做濾波處理時(shí)，涉及卷積處理的兩個(gè)函數(shù)之一是濾波器。在頻域用DFT做濾波處理時(shí)，我們在頻域直接指定濾波器，尺寸等于填充過的圖像，換句話說，在空間域我們不填充濾波器。84在執(zhí)行離散量的卷積時(shí)，參與卷積的兩個(gè)函數(shù)在空間域必須填充854.6.7

二維離散傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)DFT定義及相應(yīng)表達(dá)式小結(jié)

1~7854.6.7二維離散傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)DFT定義及相應(yīng)表86DFT定義及相應(yīng)表達(dá)式小結(jié)8~1286DFT定義及相應(yīng)表達(dá)式小結(jié)87DFT對的小結(jié)1~787DFT對的小結(jié)1~788DFT對的小結(jié)8~1388DFT對的小結(jié)8~1389

圖(a)的圖像反差比較柔和，反映在傅里葉頻譜上低頻分量較多，頻譜圖中心值較大（中心為頻域原點(diǎn)）。圖(b)的圖像中有較規(guī)則的線狀物，反映在傅里葉頻譜上也有比較明顯的射線狀條帶。

(a) (b)圖像的頻譜實(shí)例89圖(a)的圖像反差比較柔和，反映在傅里葉頻譜上低頻分量90904.7頻域域?yàn)V波基礎(chǔ)90904.7頻域域?yàn)V波基礎(chǔ)914.7.1頻率域的其他特性FFT的頻譜與圖像中的強(qiáng)度變化模式的關(guān)系變化最慢的頻率（u＝0,v＝0）與圖像的平均灰度成正比；低頻對應(yīng)于圖像中變化緩慢的灰度分量；高頻對應(yīng)物體的邊緣和由灰度級(jí)突發(fā)改變（如噪聲）標(biāo)志的圖像成分。914.7.1頻率域的其他特性FFT的頻譜與圖像中的強(qiáng)度變92FFT頻譜及其圖像強(qiáng)度變化模式對應(yīng)于短的垂直分量白色氧化突起45°邊緣45°頻譜突出分量92FFT頻譜及其圖像強(qiáng)度變化模式對應(yīng)于短的垂直分量白色氧化934.7.2

頻域?yàn)V波基礎(chǔ)頻率域?yàn)V波由修改一幅圖像的傅里葉變換然后計(jì)算其反變換得到處理后的結(jié)果組成。若給定一幅大小為M×N的數(shù)字圖像f(x,y)，則基本濾波公式為：IDFT934.7.2頻域?yàn)V波基礎(chǔ)頻率域?yàn)V波由修改一幅圖像的傅里葉94F(u,v)是輸入圖像f(x,y)的DFT；H(u,v)是濾波函數(shù)（也簡稱為濾波器，或者濾波傳遞函數(shù)）；g(x,y)是濾波后的（輸出）圖像；函數(shù)F，H和g是大小與輸入圖像相同的M×N陣列。乘積H(u,v)F(u,v)是由陣列相乘形成的。94F(u,v)是輸入圖像f(x,y)的DFT；95衰減高頻而通過低頻的濾波器H(u,v)（稱為低通濾波器）將模糊一幅圖像；衰減低頻而通過高頻的濾波器H(u,v)（稱為高通濾波器）將增強(qiáng)尖銳的細(xì)節(jié)，但是將導(dǎo)致圖像對比度的降低。95衰減高頻而通過低頻的濾波器H(u,v)（稱為低通濾波器）96完全消去了直流項(xiàng)，a=0

濾波器加上一個(gè)小常數(shù)a=0.85，不會(huì)影響尖銳性，但能防止直流項(xiàng)的消除，并保留色調(diào)。

低通濾波器高通濾波器高通濾波器96完全消去了直流項(xiàng)，a=0濾波器加上一個(gè)小常數(shù)a=0.897高通濾波器在高通濾波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除，如圖所示，對高通濾波器加上一個(gè)濾波器高度一半的常數(shù)加以改進(jìn)（高頻加強(qiáng)）。97高通濾波器在高通濾波器中加入常量，以使F(0,0)不被完98無填充時(shí)和填充后使用高斯低通濾波器的模糊結(jié)果

一幅簡單的圖像

無填充時(shí)使用高斯低通濾波器的模糊結(jié)果填充后使用高斯低通濾波器的模糊結(jié)果

模糊不均勻98無填充時(shí)和填充后使用高斯低通濾波器的模糊結(jié)果一幅簡單的99使用DFT時(shí)二維圖像固有的周期性。中心的虛線區(qū)域?qū)?yīng)于一幅簡單圖像(a)未填充圖像的周期性

(b)使用0填充(黑)后圖像的周期性

99使用DFT時(shí)二維圖像固有的周期性。中心的虛線區(qū)域?qū)?yīng)于一100空域?yàn)V波器和頻域?yàn)V波器的選擇到目前為止，討論集中在輸入圖像的填充上。但是，還包含一個(gè)濾波器，該濾波器可以在空間域或頻率域中來規(guī)定。然而，填充是在空間域完成的，這就提出了空間填充和直接在頻率域指定濾波器間的關(guān)系這個(gè)重要問題。100空域?yàn)V波器和頻域?yàn)V波器的選擇到目前為止，討論集中在輸入101選擇的方法1選擇的方法1：處理頻率域?yàn)V波器填充的一種方法是構(gòu)建一個(gè)與圖像尺寸相同的頻域?yàn)V波器；計(jì)算該濾波器的IDFT得到相應(yīng)的空間濾波器；在空間域填充這個(gè)空間濾波器；然后計(jì)算其DFT返回到頻率域。101選擇的方法1選擇的方法1：102(a)在（中心對稱的）頻率域中指定的原始濾波器。(b)計(jì)算圖(a)的IDFT得到的空間域表示。(c)將圖(b)填充至其兩倍長度后的結(jié)果（注意不連續(xù)點(diǎn)）。(d)通過計(jì)算圖(c)的DFT得到的相應(yīng)的頻率域?yàn)V波器。注意，圖(c)中的不連續(xù)導(dǎo)致了振鈴現(xiàn)象

。102(a)在（中心對稱的）頻率域中指定的原始濾波器。(b)103選擇的方法2選擇的方法2：首先對圖像進(jìn)行0填充；然后在頻率域創(chuàng)建濾波器，其尺寸與填充過的圖像一樣（記住，使用DFT時(shí)，圖像和濾波器的大小必須相同）；這將導(dǎo)致纏繞誤差，因?yàn)槲磳V波器使用填充；但在實(shí)踐中，該錯(cuò)誤可通過圖像填充提供的間隔有效地減輕，它對振鈴也更好。103選擇的方法2選擇的方法2：104濾波變換的相位角

因?yàn)镈FT是復(fù)數(shù)陣列，我們可以將它表示為實(shí)部和虛部：104濾波變換的相位角因?yàn)镈FT是復(fù)數(shù)陣列，我們可以將它表105等同地影響實(shí)部和虛部而不影響相位的濾波器稱為零相移濾波器。我們僅考慮這種類型的濾波器。即使相位角的很小變化，也會(huì)對濾波輸出有很大的影響。105等同地影響實(shí)部和虛部而不影響相位的濾波器稱為零相移濾波106相位角的變化對濾波輸出的影響使用0.5乘以式中的相角然后計(jì)算IDFT得到的圖像

使用0.25乘以式中的相角然后計(jì)算IDFT得到的圖像

106相位角的變化對濾波輸出的影響使用0.5乘以式1074.7.3

頻域?yàn)V波步驟小結(jié)給定一幅大小為M×N的輸入圖像f(x,y)，選擇填充參數(shù)P(P2M-1)和Q(Q2N-1)。典型地，我們選擇P＝2M和Q＝2N；對f(x,y)添加必要數(shù)量的0，形成大小為P×Q的填充后的圖像fp(x,y)；用(-1)x＋y乘以fp(x,y)，以便使fp(x,y)的DFT結(jié)果移到其變換的中心；計(jì)算來自步驟3的圖像的DFT，得到F(u,v)；1074.7.3頻域?yàn)V波步驟小結(jié)給定一幅大小為M×N的輸入108生成一個(gè)實(shí)的、對稱的濾波函數(shù)H(u,v)，其大小為P×Q，中心在(P/2,Q/2)處。用陣列相乘形成乘積G(u,v)＝H(u,v)F(u,v)；即G(i,k)＝H(i,k)F(i,k)。得到處理后的圖像：108生成一個(gè)實(shí)的、對稱的濾波函數(shù)H(u,v)，其大小為P×109關(guān)于中心對稱有助于形象地描述濾波過程并生成濾波函數(shù)本身，但它不是基本的需求。為忽略由于計(jì)算不準(zhǔn)確導(dǎo)致的寄生復(fù)分量，選擇了實(shí)部，下標(biāo)p指出我們處理的是填充后的陣列。通過從gp(x,y)的左上象限提取M×N區(qū)域，得到最終處理結(jié)果g(x,y)。109關(guān)于中心對稱有助于形象地描述濾波過程并生成濾波函數(shù)本身11012345678分別對應(yīng)于前面8個(gè)步驟低通濾波器11012345678分別對應(yīng)于前面8個(gè)步驟低通濾波器111使用Matlab函數(shù)進(jìn)行頻域?yàn)V波的

實(shí)現(xiàn)過程_1用函數(shù)tofloat把輸入圖像變換為浮點(diǎn)圖像：用函數(shù)paddedsize獲得填充參數(shù)：得到有填充的傅里葉變換：111使用Matlab函數(shù)進(jìn)行頻域?yàn)V波的

實(shí)現(xiàn)過程_1用函數(shù)112生成大小為PQ(1)×PQ(2)的濾波函數(shù)H，在這一步可以使用本章中的任何算法。如果是居中的，在使用濾波器之前令H=fftshift(H)。用濾波器乘以FFT變換：獲得G的逆FFT變換：例如：使用填充后的高斯低通濾波器：

112生成大小為PQ(1)×PQ(2)的濾波函數(shù)H，在這一步113修剪左上部矩形為原始大?。喊褳V波過的圖像變換為輸入圖像的類，如果希望的話：顯示濾波后圖像：113修剪左上部矩形為原始大小：I=rgb2gray(imread('lena.bmp'));size=512;fillsize=1024;I=imresize(I,[sizesize]);figure(1);subplot(241);imshow(I);title('原始圖像');fillimage=uint8(zeros(fillsize,fillsize));fillimage(1:size,1:size)=I;subplot(242);imshow(fillimage);title('填充后圖像');forx=1:fillsize

fory=1:fillsize

h(x,y)=(-1)^(x+y);

endendfillimagecenter=h.*double(fillimage);subplot(243);imshow(fillimage);title('填充后圖像乘以(-1)的(x+y)次冪');F=fft2(double(fillimagecenter));subplot(244);imshow(F);title('原始圖像的傅里葉變換F(u,v)');114使用Matlab函數(shù)進(jìn)行頻域?yàn)V波的實(shí)現(xiàn)過程_2I=rgb2gray(imread('lena.bmp'))n1=floor(size);%設(shè)置高斯低通濾波器n2=floor(size);D0=20;%截止半徑fori=1:fillsizeforj=1:fillsized=(i-n1)^2+(j-n2)^2;temp=exp(-d/(D0*D0*2));gaussian_lowpass_filter(i,j)=temp;gaussian_lowpass_result(i,j)=temp.*F(i,j);endendsubplot(245);imshow(gaussian_lowpass_filter);title('高斯低通濾波器的圖像顯示');subplot(246);imshow(gaussian_lowpass_result);title('原始圖像的高斯低通濾波結(jié)果');resultimage=real(ifft2(gaussian_lowpass_result)).*h;subplot(247);imshow(uint8(resultimage));title('傅里葉逆變換取實(shí)部再乘以(-1)的(x+y)次冪');final_result=resultimage(1:size,1:size);subplot(248);imshow(uint8(final_result));title('提取左上象限的最終處理結(jié)果');115n1=floor(size);%設(shè)置高斯低通濾波器1151161234567811612345678117濾波過程通過濾波器函數(shù)以某種方式修改圖像變換，然后通過取結(jié)果的反變換來獲得處理后的輸出圖像。頻域?yàn)V波的基本步驟117濾波過程通過濾波器函數(shù)以某種方式修改圖像變換，然后通過對應(yīng)的空間域高通濾波器1184.7.4空間和頻率域?yàn)V波間的對應(yīng)

頻率域中的一維高斯低通濾波器對應(yīng)的空間域低通濾波器頻率域中的一維高斯高通濾波器對應(yīng)的空間域高通濾波器1184.7.4空間和頻率域?yàn)V波間119一幅建筑物的圖像

該圖像的譜

119一幅建筑物的圖像該圖像的譜120使用頻率域?yàn)V波器和空間域?yàn)V波器對圖像濾波的結(jié)果相同一個(gè)空間Sobel垂直邊緣檢測器模板和它的頻率域中對應(yīng)的濾波器的透視圖以圖像形式顯示的濾波器在頻率域中使用濾波器對圖像濾波后的結(jié)果使用空間域?yàn)V波器對同一圖像濾波的結(jié)果。結(jié)果相同。120使用頻率域?yàn)V波器和空間域?yàn)V波器對圖像濾波的結(jié)果相同一個(gè)121低通濾波器：使低頻通過而使高頻衰減的濾波器被低通濾波的圖像比原始圖像減少尖銳的細(xì)節(jié)部分而突出平滑過渡部分。對比空間域?yàn)V波的平滑處理，如均值濾波器。高通濾波器：使高頻通過而使低頻衰減的濾波器被高通濾波的圖像比原始圖像減少灰度級(jí)的平滑過渡而突出邊緣等細(xì)節(jié)部分。對比空間域的梯度算子、拉普拉斯算子。121低通濾波器：使低頻通過而使高頻衰減的濾波器122低通濾波和高通濾波低通濾波高通濾波122低通濾波和高通濾波低通濾波高通濾波1234.8使用頻率域?yàn)V波器平滑圖像1234.8使用頻率域?yàn)V波器平滑圖像1244.8.1

理想低通濾波器在以原點(diǎn)為圓心、以D0為半徑的圓內(nèi)，無衰減地通過所有頻率，而在該圓外“切斷”所有頻率的二維低通濾波器，稱為理想低通濾波器(ILPF)：D0是一個(gè)正常數(shù)，D(u,v)是頻率域中的點(diǎn)(u,v)與頻率矩形中心的距離：

1244.8.1理想低通濾波器在以原點(diǎn)為圓心、以D0為半徑125一個(gè)理想低通濾波器一個(gè)理想低通濾波器變換函數(shù)的透視圖以圖像形式顯示的濾波器

濾波器徑向橫截面

vuH(u,v)v截止頻率為D0125一個(gè)理想低通濾波器一個(gè)理想低通濾波器以圖像形式濾波器徑126圖像及其傅里葉譜一幅測試模式圖像及其傅里葉譜。譜上重疊的圓的半徑分別為10，30，60，160和460像素。這些圓包圍的圖像功率分別為87.0％，93.1％，95.7％，97.8％和99.2％。譜迅速衰落，總功率的87％包含在半徑為10的小圓內(nèi)。

測試模式的傅里葉譜126圖像及其傅里葉譜一幅測試模式圖像及其傅里葉譜。譜上重疊127使用一個(gè)ILPF平滑圖像

原圖像以及使用ILPF濾波后的結(jié)果。截止頻率分別設(shè)置在半徑值10，30，60，160和460處。這些濾波器移除的功率分別為總功率的13％，6.9％，4.3％，2.2％和0.8％。103060160460振鈴特性127使用一個(gè)ILPF平滑圖像原圖像以及使用ILPF濾波后12812345678理想低通濾波器12812345678理想低通濾波器129ILPF的模糊和振鈴特性可用卷積定理來解釋

(a)半徑為5、大小為1000×1000的ILPF的空間域表示(b)一條通過圖像中心的水平線的灰度剖面圖h(x,y)129ILPF的模糊和振鈴特性可用卷積定理來解釋(a)半130由于ILPF在頻率域的剖面圖類似于盒狀濾波器，因此可以預(yù)料相應(yīng)的空間濾波器具有sinc函數(shù)形狀?？臻g域?yàn)V波可以通過h(x,y)與圖像卷積來實(shí)現(xiàn)。將圖像中的每一個(gè)像素想像為一個(gè)離散沖激，它的強(qiáng)度與所在位置的灰度成正比。130由于ILPF在頻率域的剖面圖類似于盒狀濾波器，因此可以131一個(gè)sinc函數(shù)與一個(gè)沖激卷積就是在沖激處復(fù)制這個(gè)sinc函數(shù)。sinc函數(shù)的中心波瓣是引起模糊的主因。sinc外側(cè)較小的波瓣是造成振鈴的主要原因。

131一個(gè)sinc函數(shù)與一個(gè)沖激卷積就是在沖激處復(fù)制這個(gè)si1324.8.2

布特沃斯低通濾波器

截止頻率位于距原點(diǎn)D0處的n階布特沃斯低通濾波器(BLPF)的傳遞函數(shù)定義為：1324.8.2布特沃斯低通濾波器截止頻率位于距原點(diǎn)D0133BLPF函數(shù)的透視圖、圖像顯示和徑向剖面圖

布特沃斯低通濾波器傳遞函數(shù)的透視圖

顯示為圖像的濾波器

階數(shù)為1到4的濾波器的徑向剖面

133BLPF函數(shù)的透視圖、圖像顯示和徑向剖面圖布特沃斯低134與ILPF不同，BLPF傳遞函數(shù)并沒有在通過頻率和濾除頻率之間給出明顯截止的尖銳的不連續(xù)性。對于具有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，可在這樣一點(diǎn)上定義截止頻率，即使得H(u,v)下降為其最大值的某個(gè)百分比的點(diǎn)。在定義公式中，截止頻率點(diǎn)是當(dāng)D(u,v)＝D0時(shí)的點(diǎn)，即H(u,v)從其最大值1下降為50％。134與ILPF不同，BLPF傳遞函數(shù)并沒有在通過頻率和濾除135使用布特沃斯低通濾波器平滑圖像

原圖像以及使用2階BLPF濾波后的結(jié)果。截止頻率分別設(shè)置在半徑值10，30，60，160和460處。使用這種BLPF處理的圖像中沒有可見的振鈴現(xiàn)象，因?yàn)槠湓诘皖l和高頻之間的平滑過渡。103060160460135使用布特沃斯低通濾波器平滑圖像原圖像以及使用2階BL136不同階數(shù)的BLPF的空間表示

（所有情況下均使用截止頻率5）

n=1n=2n=5n=20二階的BLPF是在有效的低通濾波和可接受的振鈴特性之間的好的折中。

136不同階數(shù)的BLPF的空間表示

（所有情況下均使用截止頻1374.8.3

高斯低通濾波器

高斯低通濾波器的傳遞函數(shù)定義為：是關(guān)于中心的擴(kuò)展度的度量。令=D0，

D0是截止頻率。當(dāng)D(u,v)＝D0時(shí)，GLPF下降到其最大值的0.607處。1374.8.3高斯低通濾波器高斯低通濾波器的傳遞函數(shù)定138GLPF函數(shù)的透視圖、圖像顯示和徑向剖面圖高斯低通濾波器傳遞函數(shù)的透視圖

顯示為圖像的濾波器不同D0值的濾波器徑向剖面圖

138GLPF函數(shù)的透視圖、圖像顯示和徑向剖面圖高斯低通濾波139低通濾波器的定義。D0是截止頻率，n是布特沃斯濾波器的階數(shù)

139低通濾波器的定義。D0是截止頻率，n是布特沃斯濾波器的140使用高斯低通濾波器平滑圖像原圖像以及使用GLPF濾波后的結(jié)果。截止頻率分別設(shè)置在半徑值10，30，60，160和460處。在GLPF中沒有振鈴。在需要嚴(yán)格控制低頻和高頻之間截止頻率的過渡的情況下，BLPF是更合適的選擇。103060160460140使用高斯低通濾波器平滑圖像原圖像以及使用GLPF濾波后1414.8.4低通濾波的其他例子

通過模糊輸入圖像來橋接輸入圖像中的這些小裂縫。上圖顯示了如何使用D0＝80的高斯低通濾波器的簡單處理圖像很好地修復(fù)了字符。用于字符識(shí)別的應(yīng)用。

GLPF

1414.8.4低通濾波的其他例子通過模糊輸入圖像來橋接142低通濾波的一個(gè)應(yīng)用，與清晰的原圖像相比，低通濾波后的圖像看上去更平滑、更柔和。對于人臉，主要目的是減少皮膚細(xì)紋的銳化程度和小斑點(diǎn)。

D0＝80的GLPF，眼睛周圍的細(xì)紋已明顯減少。

D0＝100的GLPF

原圖像

142低通濾波的一個(gè)應(yīng)用，與清晰的原圖像相比，低通濾波后的圖143D0＝20的GLPF對圖像濾波后結(jié)果D0＝50的GLPF對圖像濾波后結(jié)果

顯示有突出掃描線的圖像這幅圖像是直觀的遙感圖像，傳感器具有沿著場景掃描方向產(chǎn)生突出的掃描線的傾向。低通濾波是降低這些線的影響的粗略而簡單的方法。143D0＝20的GLPF對圖像濾波后結(jié)果D0＝50的GL1444.9使用頻率域?yàn)V波器銳化圖像

1444.9使用頻率域?yàn)V波器銳化圖像145圖像的銳化可在頻率域通過高通濾波來實(shí)現(xiàn)，高通濾波會(huì)衰減傅里葉變換中的低頻分量而不會(huì)擾亂高頻信息。一個(gè)高通濾波器是從給定的低通濾波器用下式得到：145圖像的銳化可在頻率域通過高通濾波來實(shí)現(xiàn)，高通濾波會(huì)衰減1464.9.1理想高通濾波器

一個(gè)二維理想高通濾波器(IHPF)定義為，D0是截止頻率：IHPF把以半徑為D0的圓內(nèi)的所有頻率置零，而毫無衰減地通過圓外的所有頻率。

1464.9.1理想高通濾波器一個(gè)二維理想高通濾波器(I147IHPF具有的振鈴性質(zhì)使用D0＝30，60和160的IHPF對圖像濾波后的結(jié)果

振鈴現(xiàn)象相當(dāng)嚴(yán)重有所改善，邊緣失真仍很明顯。3060160147IHPF具有的振鈴性質(zhì)使用D0＝30，60和160的想高通濾波想高通濾波器1494.9.2布特沃斯高通濾波器

截止頻率為D0的n階布特沃斯高通濾波器(BHPF)定義為：布特沃斯高通濾波器比IHPF更平滑。

1494.9.2布特沃斯高通濾波器截止頻率為D0的n階布150使用布特沃斯高通濾波器濾波結(jié)果使用D0＝30，60和160的2階BHPF對圖像高通濾波后的結(jié)果。這些結(jié)果比用IHPF得到的結(jié)果平滑得多。

3060160150使用布特沃斯高通濾波器濾波結(jié)果使用D0＝30，60和11514.9.3高斯高通濾波器截止頻率處在距頻率矩形中心距離為D0的高斯高通濾波器(GHPF)的傳遞函數(shù)由下式給出：1514.9.3高斯高通濾波器截止頻率處在距頻率矩形中心距152使用高斯高通濾波器濾波結(jié)果使用一個(gè)D0＝30，60和160的GHPF對圖像進(jìn)行高通濾波后的結(jié)果。

得到的結(jié)果比前兩個(gè)濾波器的結(jié)果更平滑。3060160152使用高斯高通濾波器濾波結(jié)果使用一個(gè)D0＝30，60和115312345678高斯高通濾波斯高通濾波器154高通濾波器的定義。D0是截止頻率，n是布特沃斯濾波器的階數(shù)

154高通濾波器的定義。D0是截止頻率，n是布特沃斯濾波器的155理想、布特沃斯和高斯濾波器的典型三維圖、圖像表示和剖面圖

典型理想高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖

典型布特沃斯高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖

典型高斯高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖

155理想、布特沃斯和高斯濾波器的典型三維圖、圖像表示和剖面156理想、布特沃斯和高斯濾波器的空間表示及通過濾波器中心的對應(yīng)灰度剖面圖(a)典型的頻率域理想高通濾波器的空間表示及通過濾波器中心的對應(yīng)灰度剖面圖；(b)典型的頻率域布特沃斯高通濾波器的空間表示及通過濾波器中心的對應(yīng)灰度剖面圖；(c)典型的頻率域高斯高通濾波器的空間表示及通過濾波器中心的對應(yīng)灰度剖面圖。156理想、布特沃斯和高斯濾波器的空間表示及通過濾波器中心的157使用高通濾波法和閾值法增強(qiáng)圖像自動(dòng)指紋識(shí)別的關(guān)鍵一步是增強(qiáng)指紋的脊線并減小污染。使用高通濾波法來增強(qiáng)脊線（包含高頻分量）并減小污染效應(yīng)。濾波器減少了低頻分量，而低頻分量對應(yīng)圖像中慢變化的灰度，例如背景和污染。157使用高通濾波法和閾值法增強(qiáng)圖像自動(dòng)指紋識(shí)別的關(guān)鍵一步是1584.9.4鈍化模板、高提升濾波和高頻強(qiáng)調(diào)濾波

非銳化掩蔽處理：從原圖像中減去一幅非銳化（平滑過的）版本：模糊原圖像。從原圖像中減去模糊圖像（產(chǎn)生的差值圖像稱為模板）。將模板加到原圖像上。復(fù)習(xí)1584.9.4鈍化模板、高提升濾波和高頻強(qiáng)調(diào)濾波非銳化159空間域鈍化模板和高提升濾波令表示模糊圖像，非銳化掩蔽以公式形式描述如下：得到鈍化模板：在原圖像上加上該鈍化模板的一個(gè)權(quán)重部分：K=1，該處理稱為非銳化掩蔽。K>1，該處理稱為高提升濾波。復(fù)習(xí)159空間域鈍化模板和高提升濾波令表示模160頻率域鈍化模板和高提升濾波使用頻率域方法，前面定義的模板由下式給出：K=1，該處理稱為非銳化掩蔽。K>1，該處理稱為高提升濾波。鈍化模板160頻率域鈍化模板和高提升濾波使用頻率域方法，前面定義的模161高頻強(qiáng)調(diào)濾波器

使用涉及低通和高通濾波器的頻率域計(jì)算g(x,y)。k1≥0給出了控制距原點(diǎn)的偏移量，k2≥0控制高頻的貢獻(xiàn)。

k1161高頻強(qiáng)調(diào)濾波器使用涉及低通和高通濾波器的頻率域計(jì)算g162使用高頻強(qiáng)調(diào)濾波增強(qiáng)圖像

一幅胸部X射線圖像使用高斯高通濾波器濾波后的結(jié)果使用相同濾波器進(jìn)行高頻強(qiáng)調(diào)濾波后（k1＝0.5，k2＝0.75）的結(jié)果直方圖均衡操作后的結(jié)果162使用高頻強(qiáng)調(diào)濾波增強(qiáng)圖像一幅胸部X射線圖像使用高斯1634.9.5同態(tài)濾波頻域?yàn)V波作為一種圖像增強(qiáng)的工具，可以靈活地解決加性畸變問題。但實(shí)際成像中有許多非線性干擾問題，此時(shí)，直接用頻域?yàn)V波的方法，將無法消減乘性或卷積性噪聲。同態(tài)濾波基本思想是將非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題處理，即先對非線性混雜信號(hào)作某種數(shù)學(xué)運(yùn)算H，變換成加性的，然后用線性濾波方法處理，最后作

H-1運(yùn)算，恢復(fù)處理后圖像。1634.9.5同態(tài)濾波頻域?yàn)V波作為一種圖像增強(qiáng)的工具，可164一幅圖像f(x,y)可以表示為其照射分量i(x,y)和反射分量r(x,y)的乘積：

乘積的傅里葉變換不是變換的乘積164一幅圖像f(x,y)可以表示為其照射分量i(x,y)和165輸出的照射分量輸出的反射分量用一個(gè)濾波器H(u,v)對Z(u,v)濾波

在空間域中的濾波后的圖像

輸出圖像165輸出的照射分量輸出的反射分量用一個(gè)濾波器H(u,v)對166同態(tài)濾波步驟小結(jié)

方法的關(guān)鍵在于：照射分量和反射分量的分離；同態(tài)濾波函數(shù)H(u,v)分別對這些分量進(jìn)行操作。

166同態(tài)濾波步驟小結(jié)方法的關(guān)鍵在于：照射分量和反射分量的167圖像的照射分量通常由慢的空間變化來表征，而反射分量往往引起突變。該特性導(dǎo)致圖像取對數(shù)后的傅里葉變換的低頻成分與照射相聯(lián)系，而高頻成分與反射相聯(lián)系。使用同態(tài)濾波器可更好地控制照射分量和反射分量。需要指定一個(gè)濾波器函數(shù)H(u,v)，H(u,v)可用不同的可控方法影響傅里葉變換的低頻和高頻分量。167圖像的照射分量通常由慢的空間變化來表征，而反射分量往往168同態(tài)濾波器的剖面圖0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)作為D(u,v)的函數(shù)的截面圖HL如果參數(shù)L和H的選取使得：L<1,H>1濾波器函數(shù)趨向于衰減低頻（照射）的貢獻(xiàn)、而增強(qiáng)高頻（反射）的貢獻(xiàn)，最終結(jié)果是同時(shí)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)范圍的壓縮和對比度的增強(qiáng)。168同態(tài)濾波器的剖面圖0D(u,v)H(u,v)1H(u,169圓形對稱同態(tài)濾波器函數(shù)的徑向剖面圖

常數(shù)c控制函數(shù)坡度的銳利度，它在L和H之間過渡。D(u,v)是距中心的距離高斯高通濾波器的近似

169圓形對稱同態(tài)濾波器函數(shù)的徑向剖面圖常數(shù)c控制函數(shù)坡度170使用同態(tài)濾波增強(qiáng)圖像

全身PET掃描圖像

用同態(tài)濾波增強(qiáng)的圖像170使用同態(tài)濾波增強(qiáng)圖像全身PET掃描圖像用同態(tài)濾波增1714.10選擇性濾波

1714.10選擇性濾波1724.10.1帶阻濾波器和帶通濾波器

這種類型的濾波器很容易使用前兩節(jié)的概念來構(gòu)建。下表給出了理想、布特沃斯和高斯帶阻濾波器的表達(dá)式。其中D(u,v)是距頻率矩形中點(diǎn)的距離。D0是帶寬的徑向中心，W是帶寬。1724.10.1帶阻濾波器和帶通濾波器這種類型的濾波器173帶阻濾波器W是帶寬，D是D(u,v)距濾波器中心的距離，D0是截止頻率，n是布特沃斯濾波器的階數(shù)。為簡化符號(hào)表示，用D來代替D(u,v)。173帶阻濾波器W是帶寬，D是D(u,v)距濾波器中心的距離174一個(gè)帶通濾波器可以用從低通濾波器得到高通濾波器的相同的方法從帶阻濾波器得到：174一個(gè)帶通濾波器可以用從低通濾波器得到高通濾波器的相同的175圖像形式顯示的帶阻和帶通高斯濾波器

帶阻高斯濾波器

帶通高斯濾波器175圖像形式顯示的帶阻和帶通高斯濾波器帶阻高斯濾波器帶1764.10.2陷波濾波器

陷波濾波器是更有用的選擇性濾波器。陷波濾波器拒絕（或通過）事先定義的關(guān)于頻率矩形中心的一個(gè)鄰域的頻率。零相移濾波器必須是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，因此，一個(gè)中心位于(u0,v0)的陷波在位置(-u0,-v0)必須有一個(gè)對應(yīng)的陷波。1764.10.2陷波濾波器陷波濾波器是更有用的選擇性濾177陷波帶阻濾波器陷波帶阻濾波器可以用中心已被平移到陷波濾波器中心的高通濾波器的乘積來構(gòu)造。一般形式為：其中，Hk(u,v)和H-k(u,v)是高通濾波器，它們的中心分別位于(uk,vk)和(-uk,-vk)處。177陷波帶阻濾波器陷波帶阻濾波器可以用中心已被平移到陷波濾178一個(gè)n階布特沃斯陷波帶阻濾波器，包含三個(gè)陷波對：常數(shù)D0k對每一個(gè)陷波對都是相同的，但對于不同的陷波對它可以不同。

178一個(gè)n階布特沃斯陷波帶阻濾波器，包含三個(gè)陷波對：179陷波帶通濾波器陷波帶通濾波器可使用下式由陷波帶阻濾波器得到：陷波濾波的主要應(yīng)用之一是選擇性地修改DFT的局部區(qū)域。這種類型的典型處理是交互式完成的，它直接對DFT處理，而不需要填充，其優(yōu)點(diǎn)是沒有因在濾波處理中未使用填充而導(dǎo)致任何纏繞錯(cuò)誤。179陷波帶通濾波器陷波帶通濾波器可使用下式由陷波帶阻濾波器理想陷波帶阻濾波器和

理想陷波帶通濾波器180理想陷波帶阻濾波器和

理想陷波帶通濾波器180利用陷波濾波來減小這些脈沖181使用陷波濾波減少莫爾（波紋）模式

掃描圖像，它顯示了突出的莫爾模式該圖像的譜：對稱的“類沖激”是莫爾模式的近似周期性的結(jié)果使用一個(gè)布特沃斯陷波帶阻濾波器乘以圖像的DFT的結(jié)果D0＝3，n＝4使用該濾波器所得到的結(jié)果利用陷波濾波來減小這些脈沖181使用陷波濾波減少莫爾（波紋182使用陷波濾波增強(qiáng)惡化的卡西尼土星圖像

顯示了近似周期性干擾的土星環(huán)圖像譜：垂直軸上一系列小能量脈沖對應(yīng)干擾模式窄陷波帶阻濾波器：從最低脈沖開始，并擴(kuò)展到垂直軸的剩余部分。使用該濾波器對污染圖像濾波后所得到的結(jié)果182使用陷波濾波增強(qiáng)惡化的卡西尼土星圖像顯示了近似周期性183通過應(yīng)用陷波帶通濾波器得到近似周期性干擾的空間模式顯示了近似周期性干擾的土星環(huán)圖像對圖像應(yīng)用陷波帶通濾波器后的結(jié)果（譜）

通過計(jì)算譜的IDFT而得到的空間干擾模式本身183通過應(yīng)用陷波帶通濾波器得到近似周期性干擾的空間模式顯示《數(shù)字圖像處理》實(shí)驗(yàn)2完成《數(shù)字圖像處理》P185頁例4.23和P186頁例4.24的編程實(shí)驗(yàn)，編程語言可以選擇C++，Matlab，Python等。設(shè)計(jì)方案可參照教科書中的分析，也可以自行設(shè)計(jì)新的方案。184《數(shù)字圖像處理》實(shí)驗(yàn)2完成《數(shù)字圖像處理》P185頁例4.2185185第四章結(jié)束185185第四章結(jié)束186數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing1數(shù)字圖像處理187第四章頻率域?yàn)V波2第四章頻率域?yàn)V波1884.1背景34.1背景189傅里葉級(jí)數(shù)和變換簡史

法國數(shù)學(xué)家傅里葉(JeanBaptisteJosephFourier)的最大貢獻(xiàn)是：他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個(gè)正弦項(xiàng)和/或余弦項(xiàng)乘以不同的系數(shù)（現(xiàn)在稱該和為傅里葉級(jí)數(shù)）。無論函數(shù)多么復(fù)雜，只要它是周期的，并且滿足某些適度的數(shù)學(xué)條件，都可以用這樣的和來表示。4傅里葉級(jí)數(shù)和變換簡史法國數(shù)學(xué)家傅里葉(JeanBapt190非周期函數(shù)（但該曲線下的面積是有限的）也可以用正弦和/或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分來表示。在這種情況下的公式就是傅里葉變換。用傅里葉級(jí)數(shù)或變換表示的函數(shù)特征完全可以通過傅里葉反變換來重建，而不會(huì)丟失任何信息。5非周期函數(shù)（但該曲線下的面積是有限的）也可以用正弦和/或余191傅里葉級(jí)數(shù)或變換底部的函數(shù)是其上面4個(gè)函數(shù)的和。6傅里葉級(jí)數(shù)或變換底部的函數(shù)是其上面4個(gè)函數(shù)的和。1924.2基本概念74.2基本概念1934.2.2傅里葉級(jí)數(shù)具有周期T的連續(xù)變量t的周期函數(shù)f(t)可以被描述為乘以適當(dāng)系數(shù)的正弦和余弦和。這個(gè)和就是傅里葉級(jí)數(shù)，它具有如下形式：系數(shù)84.2.2傅里葉級(jí)數(shù)具有周期T的連續(xù)變量t的周期函數(shù)f(1944.2.3沖激及其取樣特性

線性系統(tǒng)和傅里葉變換研究的核心是沖激及其取樣特性。連續(xù)變量t在t＝0處的單位沖激表示為(t)：取樣特性取樣特性94.2.3沖激及其取樣特性線性系統(tǒng)和傅里葉變換研究的核取樣特性195令x表示一個(gè)離散變量。單位離散沖激(x)在離散系統(tǒng)中的作用與處理連續(xù)變量時(shí)沖激(t)的作用相同：取樣特性取樣特性10令x表示一個(gè)離散變量。單位離散沖激(x)在離散196沖激串sΔT(t)，它定義為無限多個(gè)分離的周期沖激單元ΔT之和：11沖激串sΔT(t)，它定義為無限多個(gè)分離的周期沖激單元Δ1974.2.4連續(xù)變量函數(shù)的傅里葉變換

以上合稱傅里葉變換對。124.2.4連續(xù)變量函數(shù)的傅里葉變換以上合稱傅里葉變換198t可以表示任何連續(xù)變量，頻率變量的單位取決于t的單位。如果t表示單位為秒的時(shí)間，則的單位為周/秒，或者赫茲(Hz)。如果t表示的是以米為單位的距離，則的單位是周/米。頻率域的單位是獨(dú)立于輸入變量的每單位周期的。13t可以表示任何連續(xù)變量，頻率變量的單位取決于t的單位。199求一個(gè)簡單函數(shù)的傅里葉變換

F()曲線sinc函數(shù)14求一個(gè)簡單函數(shù)的傅里葉變換F()曲線sinc函數(shù)200通常，傅里葉變換包含復(fù)數(shù)項(xiàng)，且為顯示目的，通常處理該變換的幅值（一個(gè)實(shí)量），該幅值稱為傅里葉譜或頻譜。該函數(shù)的譜

F()15通常，傅里葉變換包含復(fù)數(shù)項(xiàng)，且為顯示目的，通常處理該變換201求周期沖激串的傅里葉變換周期沖激串sΔT(t)的傅里葉變換S()是：這個(gè)基本結(jié)果告訴我們，周期為ΔT的沖激串的傅里葉變換還是沖激串，其周期為1/ΔT

。

這種特性在本章的其余部分中扮演著主要角色。

16求周期沖激串的傅里葉變換周期沖激串sΔT(t)的傅里葉變2024.2.5卷積兩個(gè)函數(shù)的卷積涉及一個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)做翻轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)180°）并滑過另一個(gè)函數(shù)。卷積定義如下：負(fù)號(hào)表示翻轉(zhuǎn)，t是一個(gè)函數(shù)滑過另一個(gè)函數(shù)的位移，而τ是積分變量?！?/p>

174.2.5卷積兩個(gè)函數(shù)的卷積涉及一個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)做翻轉(zhuǎn)203卷積定理_第1部分

空間域中兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅里葉變換等于兩個(gè)函數(shù)的傅里葉變換在頻率域中的乘積。反過來，如果有兩個(gè)傅里葉變換的乘積，可以通過計(jì)算傅里葉反變換得到空間域的卷積?！?/p>

★★傅里葉變換對18卷積定理_第1部分空間域中兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅里葉變換等204卷積定理_第2部分空間域中兩個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉變換等于兩個(gè)函數(shù)的傅里葉變換在頻率域中的卷積。反過來，如果有兩個(gè)傅里葉變換的卷積，可以通過計(jì)算傅里葉反變換得到空間域的乘積?！铩铩?/p>

傅里葉變換對19卷積定理_第2部分空間域中兩個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉變換等于兩2054.3取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換204.3取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換2064.3.1取樣考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(t)，我們希望以獨(dú)立變量t的均勻間隔(ΔT)取樣。我們假定函數(shù)對于t從－∞到∞擴(kuò)展。模擬取樣的一種方法是用一個(gè)ΔT單位間隔的沖激串作為取樣函數(shù)去乘以f(t)。214.3.1取樣考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(t)，我們希望以獨(dú)立207一個(gè)連續(xù)函數(shù)的取樣一個(gè)連續(xù)函數(shù)用于模擬取樣過程的沖擊串圖(a)和圖(b)相乘形成的取樣后函數(shù)由積分并使用沖激的取樣特性得到的取樣值22一個(gè)連續(xù)函數(shù)的取樣一個(gè)連續(xù)函數(shù)用于模擬取樣圖(a)和圖(2084.3.2取樣函數(shù)的傅里葉變換取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是：

★234.3.2取樣函數(shù)的傅里葉變換取樣后的函數(shù)209★24★210取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是F()的一個(gè)拷貝的無限、周期序列，也是原始連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換?？截愰g的間隔由1/ΔT的值決定。雖然是取樣后的函數(shù)，但其變換是連續(xù)的，它由F()的幾個(gè)拷貝組成。25取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是F(211針對帶限函數(shù)的過取樣、臨界取樣、欠取樣后的函數(shù)的傅里葉變換一個(gè)帶限函數(shù)的傅里葉變換過取樣條件下取樣后的函數(shù)的傅里葉變換臨界取樣條件下取樣后的函數(shù)的傅里葉變換欠取樣條件下取樣后的函數(shù)的傅里葉變換26針對帶限函數(shù)的過取樣、臨界取樣、欠取樣后的函數(shù)的傅里葉變2124.3.3取樣定理對于以原點(diǎn)為中心的有限區(qū)間(帶寬)[-max,max]之外的頻率值，其傅里葉變換為零的函數(shù)f(t)稱為帶限函數(shù)。274.3.3取樣定理對于以原點(diǎn)為中心的有限區(qū)間(帶寬)[213較低的1/ΔT值將導(dǎo)致中的周期融合，較高的1/ΔT值在周期之間會(huì)提供更為清晰的間隔。

如果能從中包含的這個(gè)函數(shù)的拷貝的周期序列中分離出F()的一個(gè)拷貝，那么我們就可以從取樣后的版本復(fù)原f(t)，其中是取樣后的函數(shù)的傅里葉變換。28較低的1/ΔT值將導(dǎo)致中的周期融合，較高的214

是周期為1/ΔT的連續(xù)周期函數(shù)。因此，我們需要一個(gè)完整的周期來表征整個(gè)變換。這意味著我們用傅里葉反變換從一個(gè)單周期就可恢復(fù)f(t)。如果拷貝間的間距足夠，從提取一個(gè)單周期使其等于F()是可能的。29是周期為1/ΔT的連續(xù)周期函數(shù)。因此，我215解釋取樣定理的示意圖如果或者則可保證有足夠大的間距。30解釋取樣定理的示意圖如果216以上公式指出，如果以超過函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣率來獲得樣本，連續(xù)的帶限函數(shù)可以完全地從它的樣本集來恢復(fù)。這個(gè)結(jié)論就是取樣定理。如果一個(gè)連續(xù)的帶限函數(shù)用取樣率大于函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣來表示不會(huì)有信息損失。完全等于最高頻率的兩倍的取樣率，稱為奈奎