工科數(shù)學(xué)分析-數(shù)分第13章

y

2

x,

z顯函數(shù)隱函數(shù)F

:X

Y

R,F

(

x,

y)

0如對于x

I

X

,恒有唯一確定的y

J

Y

,它與x一起滿足F

(x,y)

0,就稱F

(x,y)

0確定了一個(gè)定義在I上,值域含于J的隱函數(shù).y

f

(x)x2

y2

c

0注1：并不是任意方程都能確定一個(gè)隱函數(shù)c

0

方程不能確定隱函數(shù)c

0

方程能確定兩個(gè)隱函數(shù)y

c

x2y

c

x2x

[

x

[c,

c

],

y

0c,

c

],

y

0對于隱函數(shù)，:確定隱函數(shù)的方程x,y的取值范圍注2：若方程能確定隱函數(shù)，也未必能化為顯函數(shù)xx2ln

y2

arctan

y隱函數(shù)存在的條件,隱函數(shù)的連續(xù)性,可微性.一、隱函數(shù)定理定理13.7.1：（隱函數(shù)存在惟一性定理）若函數(shù)F

(x,y)滿足下列條件:(i)

函數(shù)F在以P0

(x0

,y0

)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域D

R2上連續(xù);(ii)

F(

x0

,

y0

)

0;(iii

)

在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fy

(x,y);(iv)

Fy

(

x0

,

y0

)

0,則在點(diǎn)P0的某鄰域U

P0

D內(nèi)

方程F

x y

0唯一確定了一個(gè)定義在某區(qū)間(x0

,x0

)內(nèi)的函數(shù)y

f

(

x),

使得10f

(

x0

)

y0

,0時(shí)(x,f

(x))U(P0

)且F(x,f

(x))

0;20

f

(0

)內(nèi)連續(xù).形式上:方程唯一確定隱函數(shù)證明:由條件(iv),不妨設(shè)Fy

x0

,y0

0,1.

先證隱函數(shù)y

f

(

x)的存在性和唯一性由條件(iii

),Fy

在D內(nèi)連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的局部保號性,存在P0的某一閉的方鄰域x0

,

x0

y0

,

y0

D使得在其上每一點(diǎn)處都有Fy

(

x,

y)

0.0

,因此,對每個(gè)固定的yF

x,

y作為的一元函數(shù),必定在y0

,y0

上嚴(yán)格增且連續(xù).由F(x0

,y0

)

0可知,（ 初始條件(ii)）F

x0

,

y0

0,F

x0

,

y0

0又由F

的連續(xù)性條件（i）,函數(shù)F

x,y0

與F

x,y0

在x0

,x0

上也連續(xù),由保號性,存在

0

,0當(dāng)

時(shí),,恒有

0.F

x,

y0

0,

F

x,

y0F

x,y

作為x的一元函數(shù),0

,因此,對F

(

x,

y0

)

0,F

(

x,

y0

)

0,F(x,y)在y00上嚴(yán)格增且連續(xù),由介值定理,存在唯一的

y

(y0

,y0

),使得F

(x,y)

0.0在由

,

中的任意性,確定

一個(gè)定義域?yàn)閤0

,

x0

,值域含于(

y0

,

y0

)的隱函數(shù)

y

f

(

x).若記:U(P0

)

(x0

,x0

)(y0

,y0

),y

f

(x)0對

,

y

f

(x),且易知y0

y

y0

.

0,且

miny0

y,y

y0

,使得

y0

y

y

y0

.從而

F

(

x,

y

)

0,

F

(

x,

y

)

0.2.

再證y

f

(

x)的連續(xù)性F

(

x,

y)

0F(x,y)在y00上嚴(yán)格增且連續(xù),F

(

x,

y

)

0,

F(

x,

y

)

0.因此存在唯一的y(y

,y

),使得F(x,y)

0,|

y

y

|

,由

y

的唯一性,

y

f

(

x).即證得

0,

0，當(dāng)|

x

x

|

時(shí),

.f

(

x)

f

(

x)0

)上連續(xù).y

f

(由保號性，存在)

x0

,

x0

,使得x屬于該鄰域時(shí),0

,對

注:1.定理中的條件僅僅是充分的.例如:

y3

x3

0,

在點(diǎn)(0,0)不滿足(iv),但一樣能確定惟一的連續(xù)函數(shù)y

x.但條件不完全滿足時(shí),定理結(jié)果可能失效.雙紐線F

(x,y)

(x2

y2

)2

x2

y2

=0在點(diǎn)(0,0)不滿足(iv),點(diǎn)(0,0)的無論多小的鄰域內(nèi),隱函數(shù)都不惟一.例如:2.證明中,條件(iii

)和(iv)只是用來保證存在U(P0

),使得F在U(P0

)內(nèi)關(guān)于變量y是嚴(yán)格單調(diào)的.故條件(iii

)和(iv)可“F在U(P0

)內(nèi)關(guān)于變量y是嚴(yán)格單調(diào)的便于實(shí)際中檢驗(yàn).采用條件()ii(i),和iv3.定理中,如條Fx

(x,y)連續(xù),Fx

(

x0

,

y0

)

0,結(jié)論變成存在惟一的連續(xù)函數(shù)x

g(y).定理13.7.2：（一元隱函數(shù)可微性）若函數(shù)F

(x,y)滿足再加上Fx

(x,y)在D內(nèi)存在且連續(xù),則由方程F

(x,y)

0

)內(nèi)所確定的隱函數(shù)y

f

(

x)在(

x0

,

x0有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且f

'(

x)

Fx

(

x,

y)Fy

(

x,

y)若方程F

(x,y)

0

存在連續(xù)可微隱函數(shù),則對F(x,y)

0

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),可得：Fx

(x,y)yy如

F

(

x,

y)

0,

也可得F

(

x,

y)F

(

x,

y)f

'(

x)

yxdF

(

x,

y(

x))

0dx定理13.7.3

(二元隱函數(shù)的惟一存在與連續(xù)可微性)若函數(shù)F

(x,y,z函數(shù)F在以P0

(x0

,y0

,z0

)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域D

R3上連續(xù);F(

x0

,

y0

,

z0

)

0;在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fx

,Fy

,Fz

;Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0,則在點(diǎn)P0的某鄰域U(P0

)

D內(nèi),方程F(x,y,z)

02唯一確定了一個(gè)定義在U

((x0

,y0

))

R

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)z

f

(

x,

y),

使得f

(x0

,y0

)

z0

,

(x,y)U((x0

,y0

))時(shí)(x,y,f

(x,y))U(P0

)且F(x,y,f

(x,y))

0;z

f

(x,y)在U

((x0

,y0

))內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),1020z

Fx

,

z

Fy

.x

Fz

y

Fz解

令F

(

x,

y)

x2

y2

1F

(0,1)

0,例１

驗(yàn)證方程x

2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)的隱函數(shù)

y

f

(

x)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在x

=0

的值.則Fx

2x,Fy

2

y,Fy

(0,1)

2

0,依定理

2

知方程x

2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)的隱函數(shù)

y

f

(

x).內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)的隱函數(shù)

y

f

(

x).函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為dy

FxFydxy

x

,dy

0,x0dxd

2

y

y

xydx

2y2y2

x

y

x

y

(

0,1)d

2

ydx2

1.依定理2

知方程x

2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某鄰域例

2

已知lnxx2dx

y2

arctan

y

，求dy

.則x解1

令F

(x,

y)

lnx2

y2

arctan

y

0x2

y2x

y

,xF

(

x,

y)

x2

y2y

x

,yF

(

x,

y)

dy

Fxdx

Fy

x

y

.y

x解2左右兩端關(guān)于x求導(dǎo)d

lnx2x2

y2

x

y

(xdx

y

2x2x2

y

2y(x)111

x

1

x

dy

x

yx

dxdxd

arctandxd

y

x

dy

x

y

dx

y2

x

y

dy dy

x

y

dx

dx

x2

y2x2

y22

2

z例

3

設(shè)x

2

y2

z

4z

0，求

.x

2解

令

F

(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

4z,則Fx

2x,

Fz

2z

4,z

Fxx,xFz2

zx2

2(2

z)2(2

z)

x

zz

x

(2

z)2x2

z(2

z)

x

.(2

z)3

(2

z)2

x2z

x

y例

4

設(shè)z

f

(

x

y

z,

xyz)，求x

，

y

，

z

.思路：x把z

看成x,y

的函數(shù)，對x求偏導(dǎo)數(shù)得z

，y把x看成z,y的函數(shù)，對y

求偏導(dǎo)數(shù)得x

，z把y

看成x,z的函數(shù)，對z

求偏導(dǎo)數(shù)得y

.zxux

f

(1

z

)vx

f

(

yz

xy

z

),整理得xz

,fu

yzfv1

fu

xyfv解令

u

x

y

z,

v

xyz,則z

f

(u,v),z

f

(

x

y

z,

xyz)u

f

u

f

vx

v

xx把z

看成x,y

的函數(shù)，對x求偏導(dǎo)數(shù)得z

，令

u

x

y

z,

v

xyz,則z

f

(u,v),z

f

(

x

y

z,

xyz)整理得x

fu

xzfv

,fu

yzfvy把x

看成z,y

的函數(shù)對y

求偏導(dǎo)數(shù)得yuvy0

f

(x

1)

f

(

xz

yz

x

),把y

看成x,z

的函數(shù)對z

求偏導(dǎo)數(shù)得zuvz1

f

(y

1)

f

(

xy

xz

y

),整理得zy

1

fu

xyfv

.fu

xzfv令

u

x

y

z,

v

xyz,則z

f

(u,v),z

f

(

x

y

z,

xyz)G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0方程組二、隱函數(shù)組則方程組確定了兩個(gè)隱函數(shù)，即隱函數(shù)組

(,

),

fuxg(,vyxy).x,y)

D,

有唯一的u

J,v

K,與x,y一起滿足方程組G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0u

f

(x,

y),v

g(x,

y).唯一存在,連續(xù),可微的條件?分析:設(shè)F

,G,u,v可微,對方程組分別對x,y求偏導(dǎo)Fv

vx

0Gvvx

0Fv

v

y

0Gvvy

0Fx

Fu

uxGx

GuuxFy

FuuyGy

Guuy

0Fv(F

,G)

Fu(u,

v)

Gu

Gv定理13.7.4：（隱函數(shù)組定理）若F

(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在以P0

(x0

,y0

,u0

,v0

)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域V

R4內(nèi)連續(xù);F(

x0

,

y0

,

u0

,v0

)

0,G(

x0

,

y0

,

u0

,v0

)

0.在V內(nèi)F

,G具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);0

0P(u,

v)(iv)

(F

,G)則在點(diǎn)P0的某鄰域U(P0

)

V內(nèi),方程組2唯一確定了一個(gè)定義在U

((x0

,y0

))

R

內(nèi)使得的兩個(gè)隱函數(shù)

u

f

(

x,

y),

v

g(

x,

y)u0

f

(

x0

,

y0

),

v0

g(

x0

,

y0

),10且當(dāng)(xF(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))

0;G(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))

0;u

f

(x,y),v

g(x,y)在U

((x0

,y0

))內(nèi)連續(xù),20U((x0

,y0

))時(shí),(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))U(P0

),u

f

(x,y),v

g(x,y)在U

((x0

,y0

))內(nèi)有30一階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).Fv

vx

0Gvvx

0Fv

v

y

0Gvvy

0Fx

Fu

uxGx

GuuxFy

FuuyGy

Guuy

0(F

,G)

Fu

Fv(u,

v)

Gu

Gvu

1

(F

,

G)x

J

(x,

v)(u,

v)v

1

(F,G)x

J

(u,

x)(F

,G)(F

,G)

(

x,

v)u

1

(F

,G)y

J

(

y,

v)v

1

(F

,G)y

J

(u,

y)222),,,(

yxvu0),,,(

vuvuxyxG

01例5在點(diǎn)P0

(2,1,1,2)的鄰域內(nèi)能確定怎樣的隱函數(shù)組?解:

F(P0

)

G(P0

)

0

求出F

,G的所有的偏導(dǎo)數(shù),6個(gè)雅可比行列式中,只有(F

,G)P0

(

2,1,1,2)

0(

x,

v)只有x,v難以肯定能否作為以y,u為自變量的隱函數(shù).例

6

設(shè)xu

yv

0，

yu

xv

1，u

u

v

v求

，

，

和

.x

y

x

y解1直接代入公式(F

xu

yv,解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)并移項(xiàng),

x

v

x

x

yx

xu

v

x

u

y

v

u在J

0的條件下，x

yy

x

u

yu

vxx2

y2x

xu

yv

,xx

uv

y

vx

yy

xx2

y2

yu

xv

,x2

x2y

y2

y

y2將所給方程的兩邊對y

求導(dǎo)，用同樣方法得u

xv

yu

,

v

xu

yv

.y

x

y

x2J

x

y2

,（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則F(

x,

y)

0F

(

x,

y,

z)

0G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0(3)三、小結(jié)思考:

隱函數(shù)存在條件的直觀意義z

01.z

F

(

x,

y)(

x0

,

y0

),

s.t.

F(

x0

,

y0

)

0.2.

交線(Fx

(

P0

),

Fy

(

P0

))

(0,0)證明:設(shè)(x0

,x0

),

則y

f

(

x),

y

y

f

(

x

x)(

y0

,

y0

).F(

x,

y)

0,

F(

x

x,

y

y)

0.由Fx

和Fy的連續(xù)性及二元函數(shù)的中值定理知:0

F(

x

x,

y

y)

F(

x,

y)

Fx

(

x