文稿課件-04第三章

§4.3平面一、平面的方程1.

平面的點(diǎn)法式方程法線向量(法向量)n:

垂直于平面

n

M0

M設(shè)上點(diǎn)M0(x0

,y0

,z0)法向量n

=(A,B,C)則點(diǎn)M(x

,y

,z)在平面上

M

0

M

n

0由點(diǎn)法式方程，令即平面的點(diǎn)法式方程Ax

x0

By

y0

Cz

z0

02、平面的一般方程化為平面的一般方程Ax

By

Cz

D

0其中A,B,C不全為零.即平面方程是一個(gè)三元一次方程。D

Ax0

By0

Cz0

反之，任何一個(gè)三元一次方程，只要一次項(xiàng)系數(shù)不全為零，它的圖形就是一個(gè)平面.證設(shè)三元一次方程Ax

By

Cz

D

0找出一組解x0

,y0

,z0，即Ax0

By0

Cz0

D

0兩式相減得Ax

x0

By

y0

Cz

z0

0

(A,

B,C)

(x

x0

,

y

y0

,

z

z0

)

0即點(diǎn)M(x

,y

,z)在過點(diǎn)M0(x0

,y0

,z0)且與向量n

=(A,B,C)垂直的平面上，因此一次方程Ax

By

Cz

D

0表示過M0且垂直于向量n的平面．例1

求過點(diǎn)

(1

,

2,

1)

且與向量

n

=

(1

,

2,

1)垂直的平面．即解

由點(diǎn)法式方程，有1x

1

2y

11z

2

0x

2y

z

5

0例2

求通過x軸與點(diǎn)(4,

-3

,

-1)的平面方程．解所求平面通過x

軸，法向量n=(0

,B,C)平面的方程為所求的平面方程為By

Cz

0因?yàn)辄c(diǎn)(4,-3,-1)在平面上，因此有3B

C

0

或C

3B

(B

0)y

3z

0例3

平面過三點(diǎn)M1(1

,

1

,

1)、M2(-2

,

1

,

2)、M3(-3,3,1)

，求這平面的方程．解一

設(shè)平面方程為Ax

By

Cz

D

0

3A

3B

C

D

0

2A

B

2C

D

0那么M1、M2、M3三點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，有A

B

C

D

0解得B

2A

C

3A

D

6A由于A、B、C不能同時(shí)為零，因此A≠0.于是平面方程為Ax

2Ay

3Az

6A

0即x

2y

3z

6

0化簡(jiǎn)得所求的平面方程為解二設(shè)M(x

,y

,z)為空間的任意一點(diǎn)，那么M1M、M1M2

1

共面，即x

1y

11

11z

12

1

1

1x

2

y

3z

6

03、平面的截距式方程設(shè)一平面與三坐標(biāo)軸都相交但不通過原點(diǎn)，三交點(diǎn)分別為P(a

,

0

,

0)、Q(0

,b,

0)、R(0

,

0

,

c)其中a

、b

、c均不為零．設(shè)平面的一般方程為ozP(a

,0

,0)xQ(0,

b,0)yR(0

,

0,

c)Ax

By

Cz

D

0將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得方程組解得代入平面的一般方程得平面的截距式方程其中a、b、c

稱為平面在三坐標(biāo)軸上的截距。bB

D

0,aA

D

0,A

B

CcC

D

0,c

Db

Da

Da

b

cx

y

z

1例4

寫出平面

3x-4y+z-5

=

0的截距式方程．解所求的平面截距式方程為5

z

1x

y5

53

4二、利用平面方程研究平面1、平面的位置設(shè)平面的一般方程為Ax

By

Cz

D

0（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0平面不過原點(diǎn)，在x軸、y軸、z軸、上的截距分別為-D/A、-D/B、-D/C.（2）

A≠0，B≠0，C≠0，D

=

0平面過原點(diǎn)A=0，平面方程為By+Cz+D

=

0平面平行于x軸ox（3）A、B、C中有一個(gè)為零yzoxyzB=0,平面方程為Ax+Cz+D

=

0平面平行于y

軸C=0,平面方程為Ax+By+D

=

0平面平行于z

軸oxyzoxyz（4）A、B、C中有兩個(gè)為零A=0，B=0

,平面方程為Cz+D

=0平面與z

軸垂直B=0，C=0

,平面方程為Ax+D

=0平面與x

軸垂直oxyzoxyzA=0，C=0

,平面方程為By+D

=

0x

=0，yOz平面；y

=0，xOz平面。o平面與y

軸垂直x(5)

z

=0，xOy平面；yz2、點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)P0(x0

,y0

,z0)到平面

:Ax+By+Cz+D=0的距離.在平面上任取一點(diǎn)P1(x1

,y1

,z1),過P0作平面的法向量n

=(A,B,C)，那么P1dnP01

0nn

1

0n

P

Pd

Pr

j

PP

A2

B2

C

2

A(x0

x1

)

B(

y0

y1

)

C(z0

z1

)A2

B2

C

2因?yàn)樵赑1平面上，有-Ax1-By1-Cz1

=D，所以有點(diǎn)到平面的距離公式.d

Ax0

By0

Cz0

D3、兩平面間的位置關(guān)系（1）兩平面的夾角兩平面的法向量之間的夾角(銳角)1

：2

：法向量A1

x

B1

y

C1

z

D1

02

2

2

2Ax

B

y

C

z

D

0n1

A1

,

B1

,C1

n2

A2

,

B2

,C2

n1n2θθ兩平面間夾角的公式21A2A2

B

2

C

22

2

B

2

C

21

1A1

A2

B1

B2

C1C2n1

n2n1

n2cos(n1,

n2

)

cos

（2）特殊關(guān)系的判別兩平面1與2Ⅲ垂直A2

B2

C2

D2Ⅱ

重合

A1

A1

A2

B1B2

C1C2

0A2

B2

C2

D2

B1

C1

D1

B1

C1

D1?

平行（但不重合）

A1例5

求兩平面

2x-y+z-6

=

0

與

x+y+2z-5

=

0

122

1

(1)

11

222

(1)2

12

12

12

22間的夾角θ。解cos

3

面為.例6

求與平面

3x-2y+z-2=0平行并通過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面．解與平面3x-2y+z-2=0平行的平面方程可設(shè)為3x

2y

z

D

0因平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)，因此有D=0，故所求平3x

2y

z

0即例7

求通過點(diǎn)

M1(1

,1

,

1)

與M2(0

,

1,

-1)

且垂直于平面x+y+z

=0

的平面方程．解一設(shè)過點(diǎn)(1,1,1)的平面方程為Ax

1

By

1

Cz

1

0因平面還通過有點(diǎn)(0,1,-1)

，故有A0

1

B11

C11

0A

2C

0聯(lián)立解得即有因?yàn)锳、B、C不全為零，故C≠0

。所求的平面方程為所求平面與已知平面x+y+z

=0垂直，所以又有A

B

C

0A

2C,

B

C

2C(x

1)

C(

y

1)

C(z

1)

02x

y

z

0所求平面方程為解二