(完整版)高中數(shù)學(xué)高考題詳解-基本不等式

考點(diǎn)29基本不等式一、選擇題(2013?重慶高考理科?T3)/(3-a)(a+6)(-6<a<3)的最大值為()A.9B.9C.3D.空22【解題指南】直接利用基本不等式求解.【解析】選B.當(dāng)a=-6或a=3時，、：(3-a)(a+6)=0'當(dāng)—6<a<3時,「(3-a)(a+6)<3一"十"十6=9，當(dāng)且僅當(dāng)3-a=a+6,即a=3時取等號.(2013?山東高考理科?T12)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)竺取得最大值時，2+1-2的最大值為()zxyzA.0B.1C.9D.34【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來表示z,再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入2+1-2，進(jìn)而再利用基xyz本不等式求出2+1-2的最值.xyz【解析】選B.由x2-3xy+4y2-z=0，得z=x2-3xy+4y2.所以藝=Xy=1=1，當(dāng)且僅當(dāng)蘭=冬，即x=2y時zX2-3xy+4y2x+4y_3?卜.4y_3yxyx五匸—取等號此時z=2y2，1￥=1￥=1xx(3=1.?+丄-2丄+」二2(1-1)二■-丄)<4zmaxxyz2yyxyyxy2y3.（2013?山東高考文科?T12）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z二0，則當(dāng)三取得最大值時，x+2y-z的最大值為（）xyA.0B.9C.2D.984【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來表示z,再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入x+2y-z，進(jìn)而再利用基本不等式求出x+2y-z的最值.【解析】選C.由x2—3xy+4y2—z二0，得z=x2一3xy+4y2.-3=1，當(dāng)且僅當(dāng)蘭=空，\yxyxxy所以三=x2—3xy+4y2=x+空一3?2:蘭.4yxyxyyx「即x-3=1，當(dāng)且僅當(dāng)蘭=空，\yxyxxy所以x+2y-z=2y+2y-2y2=4y-2y2=2y(2-y)<2當(dāng)且僅當(dāng)y=2-y時取等號.（2013?福建高考文科?T7）若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是（）A.[0,2]B.[—2,0]c.[-2,+a）D.（—0—2]【解題指南】“一正二定三相等”,當(dāng)題目出現(xiàn)正數(shù),出現(xiàn)兩變量,一般而言,這種題就是在考查基本不等式.【解析】選D.2迄二W2x+2y=1,所以2x+yW1,即2x+yW2-2，所以x+yW-2.4二、填空題（2013?四川高考文科?T13）已知函數(shù)f（x）=4x+—（x>0,a>0）在x二3時取得最小值，則a=___________二。【解題指南】本題考查的是基本不等式的等號成立的條件，在求解時需要找到等號成立的條件，將x二3代入即可.【解析】由題f（x）=4x+a（x>0,a>0），根據(jù)基本不等式4x+->4喬，當(dāng)且僅xx當(dāng)4x=a時取等號，而由題知當(dāng)x二3時取得最小值，即a二36?x【答案】366.（2013?天津高考文科?T14）設(shè)a+b=2,b>0,則丄+型的最小值為?21aIb【解題指南】將丄+型中的1由a+b代換，再由均值不等式求解?2IaIb【解析】因為a+b=2,b〉0，所以丄+凹=O±b+凹+丄+型2IaIb4IaIb4IaI4IaIb>亠+2、'丄x4二亠+1，當(dāng)且僅當(dāng)上=凹時等號成立，此時a=—2，或a=L4IaI4IaIb4IaI4IaIb3若a一2，則亠+1=3，若a=2，則亠+1=5所以丄+型的最小值為34IaI434IaI42IaIb4【答案】347.（2013?天津高考理科?T14）設(shè)a+b=2,b>0,則當(dāng)a二時，丄+辺取得2IaIb最小值?【解題指南】將丄+0中的1由a+b代換，再由均值不等式求解?2IaIb【解析】因為a+b=2,b>0，所以丄+0=凹+0二亠+丄+辺2IaIb4IaIb4IaI4IaIb>亠+2丄x型二丄+1，當(dāng)且僅當(dāng)—L=辺時等號成立，此時a=—2，或a=―4IaI4IaIb4IaI4IaIb3若a一2，則丄+1=3，若a-2，則亠+1=5所以丄+型取最小值時，a—4IaI434IaI42IaIb【答案】-28.（2013?上海高考文科?T13）設(shè)常數(shù)a〉0.若9x+竺>a+1對一切正實x

數(shù)x成立，則a的取值范圍為【解析】考查均值不等式的應(yīng)用，a2-a21由題意知，當(dāng)x>0時,f（x）=9x+一>2：9x+一=6a>a+1na>—x勺x5【答案】［—,?59.（2013?陜西高考文科?T14）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x為（m）.【解題指南】設(shè)出矩形的高y，由題目已知列出x,y的關(guān)系式，整理后利用均值不等式解決應(yīng)用問題.【解析】設(shè)矩形高為y,由三角形相似得：三二40二,且x>0,y>0,x<40,y<404040n40=x+y>2、：xy，僅當(dāng)x=y=20時，矩形的面積s=xy取最大值400【答案】20.2014年全國高考理科數(shù)學(xué)試題：不等式選講一、填空題1.（2014年廣州數(shù)學(xué)（理）試題）不等式|x-—+|x+2|>5的解集為。（2014年高考陜西卷（理））（不等式選做題）設(shè)a,b,m,neR，且a2+b2=5,ma+nb=5則Jm卄2的最小值為（2014年高考江西卷（理））對任意x，ywR,x—1+x+|y—1+|y+—的最小值為（）A.—B.2C.3D.4（2014年高考安徽卷（理）若函數(shù)f（x）=Ix+—+12x+a\的最小值3,則實數(shù)a的值為（）A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或85.2014年高考湖南卷（理）若關(guān)于x的不等式|ax5.2014年高考湖南卷（理）若關(guān)于x的不等式|ax-2<3|-a=6.（2014年高考重慶卷（理）設(shè)函數(shù)f（x）=Ix-1I,則不等式|f（x）|<1的解集為二、解答題(2014年高考新課標(biāo)2(理))(本小題滿分10)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=x+丄+|x-a|(a>0)證明：f(x)仝2；若f(3)v5，求a的取值范圍.(2014年遼寧數(shù)學(xué)(理)試題)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)/(x)=2x一1+x一1g(x)=16x2-8x+1,記/(x)<1的解集為M,g(x)<4的解集為N.(1)求M；(2)當(dāng)xeMnN時，證明：x2f(x)+xf(x)l<4(2014年福建數(shù)學(xué)(理)試題(純WORD版))選修4-5:不等式選講已知定義在R上的函數(shù)f(x)=1x+11+Ix—21的最小值為a.(I)求a的值;(I)若p,q,r是正實數(shù)，且滿足p+q+r=a,求證：p2+q2+r2?3(2014年高考新課標(biāo)1(理))(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講若a>0,b>0，且丄+—=\ab.ab(I)求a3+b3的最小值；(II)是否存在a,b，使得2a+3b=6?并說明理由.二.只涉及兩個絕對值，不再有其它項時，用平方法去絕對值1.(2011年高考廣東卷理科9)不等式|x+1|-|x-3|>0的解集是【2012高考真題湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集為.涉及兩個且另有一常數(shù)時，用分段討論法去絕對值【2012高考真題廣東理9】不等式|x+2|-|x|W1的解集為.(2011年高考山東卷理科4)不等式Ix-51+1x+3I>10的解集為A)[-5.7](B)[-4,6](C)(C)(―卩―5]u[7,+8)(D)(-?-4]u[6,+8)【2012高考真題江西理16】(不等式選做題)在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式2xT|+|2x+l|W6的解集為。(2011年高考天津卷理科13)已矢口集合A={xgRIx+3+x一4<9),B=|xgRIx=4t+1,tg(0,+8)j,貝U集合AnB二-5【2012高考真題新課標(biāo)理24】(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+a+|x-2|當(dāng)a=-3時，求不等式f(x)>3的解集；若f(x)<|x-4|的解集包含［1,2］，求a的取值范圍.6.(2011年高考遼寧卷理科24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.證明：-3Wf(x)W3；求不等式f(x)$x2-8x+15的解集.四：利用數(shù)軸法求解【2012高考真題陜西理15】A.(不等式選做題)若存在實數(shù)x使Ix-aI+Ix-1I<3成立，則實數(shù)a的取值范圍是?若不等式|x-4+|x+a|>2對所有的x都恒成立，則a的取值范圍是(2009遼寧選作24)設(shè)函數(shù)f(x)=Ix-1I+Ix-aI.(I)若a=-1,解不等式f(x)>3；（II）如果VxeR,f（x）>2,求a的取值范圍。五．涉及絕對值不等式的恒成立問題，方法：分段去絕對值1．（2010年高考福建卷理科21）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)/㈤二|"。|。（I）若不等式/W<3的解集為曲-13弐，求實數(shù)盤的值；（II）在（I）的條件下，若/?+/（a+5）>^對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。2．（2011年高考陜西卷理科15）（不等式選做題）若關(guān)于x的不等式|a|>|x+1］+|X-2存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是3.【2012高考真題遼寧理24】（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知f（x）=1ax+11（aeR），不等式f（x）<3的解集為｛x|—2<x<1｝。（I）求a的值；（II）若f（x）—2f（-）<k/r/