宏觀強(qiáng)理論基礎(chǔ)演示文稿

宏觀強(qiáng)度理論基礎(chǔ)演示文稿第一頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.1.1彈性變形1、簡(jiǎn)單加載下的彈性變形純拉伸時(shí)：純剪切時(shí)：泊松比：剪切彈性模量：正彈性模量：三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系：彈性變形－施加外力即刻產(chǎn)生、去除外力即刻回復(fù)的變形。其特征為：變形量與作用力呈單值、唯一正比關(guān)系，與加載路徑無(wú)關(guān)；變形是瞬時(shí)達(dá)到的，與時(shí)間無(wú)關(guān)。第二頁(yè)，共六十六頁(yè)。2、復(fù)雜加載下的彈性變形－廣義虎克定律1）普遍表達(dá)式

在①連續(xù)、②均勻、③無(wú)初應(yīng)力、④變形微小的基本假設(shè)下，可推導(dǎo)出表示線彈性固體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的廣義虎克定律。由連續(xù)性假設(shè)第三頁(yè)，共六十六頁(yè)。1）普遍表達(dá)式（續(xù)1）

在變形微小的假設(shè)下，將上式在εij

=0處展開(kāi)成Tailor級(jí)數(shù)，并略去二次方及以上的項(xiàng)：…………………………在無(wú)初應(yīng)力的假設(shè)下，當(dāng)εij

=0時(shí)，σij

=0，于是有：f(0,0,…,0)=0，則有：式中，｛σ｝和｛ε｝均為6階列矢量，[Cij]為6×6階方陣，且有：第四頁(yè)，共六十六頁(yè)。1）普遍表達(dá)式（續(xù)2）

由均勻性假設(shè)可知，若各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)相同，則必對(duì)應(yīng)相同的應(yīng)變狀態(tài)；反之亦然。這說(shuō)明Cij為常數(shù)，稱為剛度系數(shù)，即上式為線性關(guān)系，此即廣義Hooke定律：廣義Hooke定律的應(yīng)變表達(dá)式：式中，Sij

稱為柔度系數(shù)，可由剛度系數(shù)求逆得到，即：第五頁(yè)，共六十六頁(yè)。2）剛度系數(shù)的對(duì)稱性以應(yīng)變能密度表示應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系：由廣義Hook定律的第一式，得：再將此式對(duì)εyy

求偏導(dǎo)，得：同樣對(duì)廣義Hook定律的第二式處理可得：因偏導(dǎo)數(shù)與微分順序無(wú)關(guān)，故：線彈性體單位體積應(yīng)變能：第六頁(yè)，共六十六頁(yè)。3）彈性對(duì)稱性

在彈性體內(nèi)，若過(guò)每一點(diǎn)的不同方向的彈性都不相同，則稱為各向異性，Cij

有21個(gè)；若過(guò)每一點(diǎn)的不同方向的彈性都相同，則稱為各向同性，獨(dú)立的Cij

有2個(gè)。而介于二者之間的則具有某類彈性對(duì)稱性。所謂彈性對(duì)稱面：是指過(guò)物體中的每一個(gè)點(diǎn)都有這樣一種平面，相對(duì)于該平面的對(duì)稱方向上，彈性相同。垂至于彈性對(duì)稱面的軸稱為彈性主軸。由彈性對(duì)稱面的定義可知，當(dāng)把彈性主軸倒置時(shí)，應(yīng)具有相同的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，即Cij不會(huì)改變。然而，應(yīng)變能W是應(yīng)變的單值、標(biāo)量函數(shù)，不會(huì)因坐標(biāo)的改變（彈性軸倒置）而改變其量值，但是當(dāng)坐標(biāo)軸倒置后，某些應(yīng)變分量將變號(hào)，因此會(huì)限制某些剛度系數(shù)的取值。第七頁(yè)，共六十六頁(yè)。應(yīng)變能密度展開(kāi)式第八頁(yè)，共六十六頁(yè)。（1）有一個(gè)彈性對(duì)稱面（xoy面）將z

軸倒置成

z′軸，有z′=-z，w=-w′，考察與z′有關(guān)的應(yīng)變分量：為保證應(yīng)變能W值不變，含εyz

和εzx

一次方的項(xiàng)前的彈性常數(shù)必須為0，即：

剛度系數(shù)減少了8個(gè)，僅剩下13個(gè)。u、ν、ω分別為x、y、z軸方向上的位移分量一個(gè)彈性對(duì)稱面，13個(gè)剛度系數(shù)第九頁(yè)，共六十六頁(yè)。（2）有三個(gè)相互垂直的對(duì)稱面－正交異性沿用上述方法，取x、y、z

三軸為彈性主軸，則：首先將z

軸倒置后有：其次將y

軸倒置，因εyz

變號(hào)有：（已有）

因εxy

變號(hào)有：（新增）最后將x

軸倒置，但不會(huì)得到新的為0的系數(shù)。故在正交各向異性狀態(tài)下，彈性常數(shù)減少了12個(gè)，只剩下9個(gè)：拉壓－剪切耦合（交叉效應(yīng)）出面剪切耦合兩個(gè)或者三個(gè)互相垂直的彈性對(duì)稱面，都是9個(gè)剛度系數(shù)第十頁(yè)，共六十六頁(yè)。（3）橫觀各向同性定義：若過(guò)物體每一個(gè)點(diǎn)都有這樣一種平面，在此面內(nèi)的各個(gè)方向上彈性相同，則此面稱為橫觀各向同性面。另外，x、y

軸不論轉(zhuǎn)過(guò)任何角度，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系都保持相同，可得：因此，獨(dú)立的彈性常數(shù)僅剩下5個(gè)：設(shè)xoy

面為橫觀各向同性面，當(dāng)εxx

和εyy

互換，以及εyz

和εzx

互換時(shí)，應(yīng)有：第十一頁(yè)，共六十六頁(yè)。（4）完全各向同性任意方向都是彈性主方向，既有：此時(shí)，獨(dú)立的彈性常數(shù)僅剩下2個(gè)：C11

和C12：第十二頁(yè)，共六十六頁(yè)。4）廣義Hook定律的工程表示法在各向同性條件下，令：則廣義Hooke定律可寫(xiě)成工程上廣泛應(yīng)用的形式：第十三頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.1.2粘彈性變形1、粘性流動(dòng)σεdε/dtttσt1t1概念：在很小外力下便會(huì)發(fā)生，且在外力去除后不會(huì)恢復(fù)的流動(dòng)。特點(diǎn)：屈服值為0；變形不僅取決于應(yīng)力，同時(shí)依賴于應(yīng)力作用的時(shí)間；1）Newton流動(dòng)第十四頁(yè)，共六十六頁(yè)。2）非Newton流動(dòng)賓漢流動(dòng)假塑性流動(dòng)（切變變?。┣凶?cè)龀砹鲃?dòng)在非Newton流動(dòng)區(qū)，可用指數(shù)方程來(lái)描述流動(dòng)規(guī)律：式中，n為非Newton指數(shù)，其值愈低，愈呈假塑性；n=1時(shí)，即為Newton流體。第十五頁(yè)，共六十六頁(yè)。2、粘彈性變形1）Maxwell模型

粘彈性變形是粘性變形和彈性變形的混合變形，因此，常用代表彈性變形的彈簧元件和代表粘性變形的活塞元件組合起來(lái)構(gòu)筑描述粘彈性體的本構(gòu)方程。

屬兩元件串連模型，其特點(diǎn)為：兩元件中應(yīng)力相等，且等于總應(yīng)力；兩元件應(yīng)變不等，且非同時(shí)產(chǎn)生，總應(yīng)變?yōu)榈谑?yè)，共六十六頁(yè)。Maxwell模型本構(gòu)關(guān)系

在恒應(yīng)力σ0作用t1時(shí)間后，總變形為：

式中，J(t)稱為蠕變?nèi)崃?，是時(shí)間的線性函數(shù)?？倯?yīng)變速率為：

在恒應(yīng)變時(shí)，應(yīng)力將松弛：，則有：積分得：式中，稱為松弛常數(shù)。經(jīng)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間后，應(yīng)力將僅由彈簧變形決定。第十七頁(yè)，共六十六頁(yè)。2）Voigt-Kelvin模型

屬兩元件并聯(lián)模型：兩元件等應(yīng)變，且等于總應(yīng)變；總應(yīng)力等于兩元件應(yīng)力之和?；颍旱谑隧?yè)，共六十六頁(yè)。3）三元件模型1彈簧＋2活塞

2彈簧＋1活塞1彈簧＋Maxwell組合件（并聯(lián)）；1彈簧＋V-K組合件（串連）

在該模型中，總應(yīng)變?chǔ)艦閺椈蓱?yīng)變?chǔ)?及V-K組件應(yīng)變?chǔ)?

之和，而總應(yīng)力為V-K組件中兩元件應(yīng)力之和。則有：而：代入前式得：第十九頁(yè)，共六十六頁(yè)。4）Zener模型－標(biāo)準(zhǔn)線性固體組成：Maxwell組件和Voigt組件串聯(lián)而成。思路：高聚物的變形是由三部分組成的：瞬時(shí)完成的普彈性變形，可用彈簧來(lái)E1模擬；鏈段伸展的高彈性變形，可以用彈簧E2和活塞η2并聯(lián)起來(lái)去模擬；高分子相互滑移引起的粘性變形，這種變形隨時(shí)間線性發(fā)展，可以用一個(gè)活塞η3模擬。

用此模型描述線性高聚物的蠕變過(guò)程特別合適。蠕變過(guò)程中，因而高聚物的總變形為

第二十頁(yè)，共六十六頁(yè)。Zener模型模擬的蠕變曲線及驗(yàn)證第二十一頁(yè)，共六十六頁(yè)。5）廣義Maxwell模型

取任意多個(gè)Maxwell

組件并聯(lián)而成，讓每個(gè)單元由不同模量的彈簧和不同粘度的活塞組成，因而具有不同的松弛時(shí)間，當(dāng)模型在恒定應(yīng)變時(shí)，其應(yīng)力應(yīng)為諸單元應(yīng)力之和，即

而應(yīng)力松弛模量為

當(dāng)n→∞時(shí)，上式可寫(xiě)成積分形式

式中，f(τ)稱為松弛時(shí)間譜。

第二十二頁(yè)，共六十六頁(yè)。廣義Maxwell模型驗(yàn)證2個(gè)Maxwell單元并聯(lián)組合模型應(yīng)力松弛行為聚異丁烯（25℃）應(yīng)力松弛疊合曲線第二十三頁(yè)，共六十六頁(yè)。6）廣義Voigt-Kelvin模型

廣義Voigt模型是取任意多個(gè)Voigt單元串聯(lián)而成，如右圖。假設(shè)其第i個(gè)單元的彈簧模量為Ei，松弛時(shí)間為τi，則在拉伸蠕變時(shí)，其總變形應(yīng)為全部Voigt單元形變的加和，即

蠕變?nèi)崃繛?/p>

第二十四頁(yè)，共六十六頁(yè)。3、三維粘彈性變形

若設(shè)想彈簧和活塞可沿三軸方向變形，便可以推廣建立Maxwell固體的三維本構(gòu)關(guān)系。彈簧的應(yīng)變率可由廣義Hooke定律對(duì)時(shí)間微分得到，粘性變形與塑性變形一樣，可假設(shè)體積不變，即泊松比為0.5，則將彈簧與活塞應(yīng)變率相加可得：第二十五頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.1.3塑性變形

當(dāng)受力物體中的某一點(diǎn)的應(yīng)力滿足屈服條件時(shí)，該點(diǎn)進(jìn)入塑性變形階段。對(duì)于大多數(shù)材料，總是先經(jīng)過(guò)彈性變形，再過(guò)渡到塑性變形，所以合稱為彈塑性變形。塑性變形最顯著的兩個(gè)特點(diǎn)是：應(yīng)力－應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系；應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的不唯一性。應(yīng)變不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與達(dá)到該應(yīng)力狀態(tài)的途經(jīng)（即變形歷史）有關(guān)，應(yīng)變不能單值地由應(yīng)力唯一確定。第二十六頁(yè)，共六十六頁(yè)。1、單向應(yīng)力下的幾種理想模型1）理想剛塑性

僅適合于材料塑性變形量很大，且強(qiáng)化程度很低的狀況。剛性（無(wú)變形）無(wú)強(qiáng)化塑性流動(dòng)2）理想彈塑性ε≤εs

時(shí)ε＞εs

時(shí)無(wú)強(qiáng)化塑性流動(dòng)理想（線）彈性第二十七頁(yè)，共六十六頁(yè)。3）剛塑性線性強(qiáng)化式中，E1－塑性模量。剛性（無(wú)變形）線性強(qiáng)化塑性4）彈塑性線性強(qiáng)化ε≤εs

時(shí)ε＞εs

時(shí)線性強(qiáng)化塑性線彈性第二十八頁(yè)，共六十六頁(yè)。5）彈性非線形強(qiáng)化

常以冪硬化律來(lái)表達(dá)。代表性的冪硬化率有Ramberg-Osgood法則：式中，A－硬化系數(shù)；n

－硬化指數(shù)。重要假設(shè)：塑性變形體積不可壓縮。σsσε如果x方向受拉或壓后產(chǎn)生的塑性應(yīng)變?yōu)閯t其它兩個(gè)方向的塑性應(yīng)變?yōu)榈诙彭?yè)，共六十六頁(yè)。2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性本構(gòu)方程Reuss（1930年）假定：（1）式中，i,j=x,y,z；dλ－非負(fù)標(biāo)量比例系數(shù)；應(yīng)力偏量定義為：i=j

時(shí)；i≠j

時(shí)；（2）其中，。（3）將（2）式代入（1）式，可得Reuss增量方程：1）增量理論第三十頁(yè)，共六十六頁(yè)。1）增量理論（續(xù)）仿照等效應(yīng)變的概念，可定義“等效塑性應(yīng)變?cè)隽俊睘椋海?）而等效應(yīng)力為：（5）將（4）和（5）式代入（3）式得：（6）則Reuss本構(gòu)方程的普遍形式為：（7）第三十一頁(yè)，共六十六頁(yè)。2）全量理論基本假設(shè)：比例變形：（1）由（1）式和（3）式聯(lián)立得：（4）（3）（2）塑性變形體積不變：小變形：第三十二頁(yè)，共六十六頁(yè)。2）全量理論（續(xù)）Ci可通過(guò)等效應(yīng)力和等效應(yīng)變來(lái)確定：（5）（6）實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)時(shí)，材料屈服，在單軸應(yīng)力下，根據(jù)ΔV=0，也可證明：，則在單軸應(yīng)力下，由（4）、（5）、（6）式解得：（7）則全量理論表達(dá)式為：（8）第三十三頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.2經(jīng)典強(qiáng)度理論定義：三個(gè)主應(yīng)力中任意一個(gè)達(dá)到單向強(qiáng)度σ0時(shí)，材料便失效。形式：i=1,2,3適用：過(guò)量彈性變形失效；無(wú)裂紋脆性材料受拉應(yīng)力斷裂。原因：對(duì)金屬材料，塑性變形是由剪應(yīng)力控制的，而該理論忽略了其作用。1.2.1最大正應(yīng)力理論第三十四頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.2.2最大正應(yīng)變理論定義：三個(gè)主應(yīng)變中任意一個(gè)達(dá)到單向拉伸失效正應(yīng)變極限值ε0時(shí)，材料便失效。形式：i=1,2,3適用：過(guò)量彈性變形失效；無(wú)裂紋脆性材料受拉應(yīng)力斷裂。利用Hooke定律，還可將最大正應(yīng)變理論寫(xiě)成應(yīng)力表達(dá)式：第三十五頁(yè)，共六十六頁(yè)。最大正應(yīng)力理論和最大正應(yīng)變理論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證灰鑄鐵薄壁圓管試件內(nèi)壓與軸向載荷試驗(yàn)第三十六頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.2.3最大剪應(yīng)力理論定義：在三向應(yīng)力狀態(tài)下，最大剪應(yīng)力達(dá)到純剪切失效的剪應(yīng)力時(shí)，材料便失效。形式：由于在單向拉伸（或壓縮）時(shí)，，則該理論的正應(yīng)力表達(dá)式為：

該理論形式簡(jiǎn)單，在預(yù)測(cè)延性材料屈服或斷裂時(shí)有相當(dāng)高的準(zhǔn)確度，因而得到廣泛應(yīng)用?；虻谌唔?yè)，共六十六頁(yè)。平面應(yīng)力狀態(tài)下最大剪應(yīng)力理論的幾何表示σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0

在平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，設(shè)三個(gè)主應(yīng)力分別是

σ1、σ2

、σ3=0

（主應(yīng)力大小沒(méi)有順序關(guān)系）。這樣，前式可分解為：

當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，則：

在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系

（σ1,σ2

）中，以上六種情況的判據(jù)成為由六條直線圍成的六邊形。在六邊形內(nèi)：安全；在六邊形線上：臨界狀態(tài)；在六邊形外：失效。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）第三十八頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.2.4畸變能理論定義：在多向應(yīng)力狀態(tài)下，單位體積畸變能（Ud）達(dá)到單向拉伸失效時(shí)的畸變能（Ud0）時(shí)，材料便失效，即：?jiǎn)挝惑w積畸變能為：U－單位體積應(yīng)變能；UV－單位體積形狀改變能（歪形能）（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)彈性力學(xué)原理：聯(lián)立（1）～（5）式，可得：第三十九頁(yè)，共六十六頁(yè)。平面應(yīng)力狀態(tài)下畸變能理論的幾何表示

在平面應(yīng)力狀態(tài)（σ3=0）下：

在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系（σ1,σ2

）中，上式表示一橢圓（見(jiàn)右圖）。橢圓的長(zhǎng)軸過(guò)一、三象限，短軸過(guò)二、四象限。其端點(diǎn)坐標(biāo)分別為：σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0ABDD’C’C純切應(yīng)力狀態(tài)0.5σ00.577σ0A:（σ0，σ0）B:（-σ0，-σ0）C:（-0.577σ0，0.577σ0）D:（0.577σ0，-0.577σ0）第四十頁(yè)，共六十六頁(yè)。最大剪應(yīng)力理論和畸變能理論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證第四十一頁(yè)，共六十六頁(yè)。四種強(qiáng)度理論的綜合表達(dá)式綜合以上四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，可以把它們寫(xiě)成如下的統(tǒng)一形式：

式中，σr稱為相當(dāng)應(yīng)力。四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為：第四十二頁(yè)，共六十六頁(yè)。四種強(qiáng)度理論的選用原則塑性材料：第三強(qiáng)度理論可進(jìn)行偏保守（安全）設(shè)計(jì)；第四強(qiáng)度理論可用于更精確設(shè)計(jì)，要求對(duì)材料強(qiáng)度指標(biāo)，載荷計(jì)算較有把握。脆性材料：第一強(qiáng)度理論用于拉伸型和拉應(yīng)力占優(yōu)的混合型應(yīng)力狀態(tài)；第二強(qiáng)度理論僅用于石料、混凝土等少數(shù)材料。對(duì)于某些特殊應(yīng)力狀態(tài)的情況，不能只看材料，還必須考慮應(yīng)力狀態(tài)對(duì)材料彈性失效狀態(tài)的影響，根據(jù)所處失效狀態(tài)選取強(qiáng)度理論：塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下呈脆斷破壞,應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論，但此時(shí)的失效應(yīng)力應(yīng)通過(guò)能造成材料脆斷的試驗(yàn)獲得。脆性材料（如大理石）在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應(yīng)選用第三、第四強(qiáng)度理論，但此時(shí)的失效應(yīng)力應(yīng)通過(guò)能造成材料屈服的試驗(yàn)獲得。第四十三頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.2.5Mohr強(qiáng)度理論σ3σ2σ1στNMσCBAO3O1O2Mohr理論實(shí)質(zhì)上是最大切應(yīng)力理論的修正，是從Mohr應(yīng)力圓出發(fā)提出來(lái)的一種判斷破壞和強(qiáng)度的作圖方法。Mohr圓圓心：?jiǎn)斡赏鈭A就足以決定臨界應(yīng)力狀態(tài)。Mohr圓半徑：最大剪應(yīng)力面通過(guò)一點(diǎn)各截面上應(yīng)力狀態(tài)第四十四頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.2.5Mohr強(qiáng)度理論（續(xù)）Mohr強(qiáng)度理論認(rèn)為，在物體內(nèi)一點(diǎn)的某個(gè)截面上，當(dāng)其正應(yīng)力和剪應(yīng)力達(dá)到某種最不利的組合時(shí)就導(dǎo)致破壞。破壞臨界條件可寫(xiě)為：

在σ-τ平面上，該方程表示一條極限曲線，由試驗(yàn)確定。對(duì)不同的達(dá)到破壞條件的應(yīng)力狀態(tài)作Mohr圓，極限曲線就是這些圓的包絡(luò)線。則Mohr理論的安全條件為：

為簡(jiǎn)化，只以單向拉伸和單向壓縮極限應(yīng)力圓的公切線作為包絡(luò)線（右上圖），將它除以安全系數(shù)后，得到右下圖所示的許用情況。，其中O3圓為其他應(yīng)力狀態(tài)下的極限情況。根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何推導(dǎo)可得：第四十五頁(yè)，共六十六頁(yè)。Mohr強(qiáng)度理論的討論當(dāng)[σL]=[σY]時(shí)：Mohr強(qiáng)度條件轉(zhuǎn)化為最大切應(yīng)力理論強(qiáng)度條件。若拉伸許用應(yīng)力很?。ù嘈圆牧希山茷閇σL]=0：Mohr強(qiáng)度條件轉(zhuǎn)化為最大正應(yīng)力理論強(qiáng)度條件。在平面應(yīng)力條件下，當(dāng)σ2=0，及[σL]/[σY]=μ時(shí)：Mohr強(qiáng)度條件轉(zhuǎn)化為最大正應(yīng)變理論強(qiáng)度條件?？梢?jiàn)，Mohr理論在一定程度上概括和推廣了前三種強(qiáng)度理論，它很好地代表了對(duì)拉和壓具有不同抗力的材料的塑性變形和以剪斷形式破壞的現(xiàn)象。Mohr理論仍然不是普遍適用的，與最大剪應(yīng)力理論一樣，它沒(méi)有考慮第二主應(yīng)力的影響。第四十六頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.3強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性即使對(duì)同一型號(hào)、同批生產(chǎn)的材料，由于成分、組織、缺陷的不均勻性，其力學(xué)性能也會(huì)有一定分散度。將材料制成構(gòu)件后，使用環(huán)境、溫度、承受載荷都有隨機(jī)性。這自然引出了下列問(wèn)題：用小試樣或少數(shù)試樣測(cè)定的性能數(shù)據(jù)究竟能否代表材料的強(qiáng)度？依據(jù)實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)，可靠性有多大？壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度如何？從數(shù)理統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看，材料強(qiáng)度和構(gòu)件承載都是隨機(jī)變量。為表征一個(gè)隨機(jī)變量，不僅需給出其取值大小，還要給出其取該值的頻率（即概率）。分布函數(shù)描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，定義為隨機(jī)變量ξ小于某一實(shí)數(shù)x

的概率，即：

隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率可以由分布函數(shù)求出：第四十七頁(yè)，共六十六頁(yè)。1.3.1強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)學(xué)分析常用的統(tǒng)計(jì)分布1、Weibull分布Weibull分布的提出源于最弱連接理論。最弱連接理論基于以下假設(shè)：將材料看成許多鏈節(jié)連接而成的鏈，只要鏈中有一個(gè)鏈節(jié)失效，整個(gè)鏈就失效。在應(yīng)力從0增加到σ，鏈節(jié)的失效概率用F(σ)表示，則該鏈節(jié)的存活概率為：

假設(shè)F(σ)反映了鏈節(jié)的強(qiáng)度分布并且各個(gè)鏈節(jié)的強(qiáng)度分布相互獨(dú)立，則材料的存活概率為：于是材料(鏈)在σ作用下的失效概率為

F(σ)函數(shù)更一般的形式為：

1）最弱連接理論第四十八頁(yè)，共六十六頁(yè)。2）Weibull分布形式

Weibull提出了的一個(gè)分布，它即是至今仍然被廣泛使用的Weibull分布：

于是，失效概率可以表示成：

式中：F－失效概率；σ－隨機(jī)變量，可以為強(qiáng)度，斷裂韌性等；σ0－尺度參數(shù)；σu－位置參數(shù)；m

－形狀參數(shù)，通常又稱為Weibull模量。上式為三參數(shù)Weibull分布。若取σu=0,則上式簡(jiǎn)化為二參數(shù)Weibull分布

將上式做雙對(duì)數(shù)變換可得：

第四十九頁(yè)，共六十六頁(yè)。3）Weibull分布參數(shù)的影響（1）位置參數(shù)σuσu＝0時(shí)，F(xiàn)

的一階導(dǎo)數(shù)也就是Weibull分布的概率密度函數(shù)為：

只要σ0和m值不變，概率密度函數(shù)曲線形狀不會(huì)改變，曲線只會(huì)隨著σu的變化沿著軸平移到相應(yīng)的位置。若隨機(jī)變量為強(qiáng)度，則

σu為開(kāi)始失效時(shí)的應(yīng)力，即該材料的最低強(qiáng)度。故我們有時(shí)為了簡(jiǎn)便令σu

＝0，一般認(rèn)為這是保守的處理。第五十頁(yè)，共六十六頁(yè)。（2）尺度參數(shù)σ0（特征強(qiáng)度）令：即σ0為從σu開(kāi)始材料失效概率為0.6321時(shí)的強(qiáng)度值。

第五十一頁(yè)，共六十六頁(yè)。（3）形狀參數(shù)m

形狀參數(shù)m決定了曲線的形狀特征。Weibull分布的概率密度函數(shù)是偏態(tài)的，在m為3.25時(shí)，曲線的對(duì)稱性較好；m越大，σ分布就越集中，即分散性越小。由由圖可看出，越大，分布就越集中，即分散性越小。

不同形狀參數(shù)m

下的概率密度函數(shù)材料

鋼

熱壓Si3N4

SiCw/Si3N4

SiC高鋁瓷器

鋁基復(fù)材

玻璃纖維

Weibull模量

50～609～252410810～301

在材料科學(xué)中，m又稱Weibull模量，表征了材料的均勻性和可靠性，m值越大，材料的均勻性越好，可靠性越高。第五十二頁(yè)，共六十六頁(yè)。4）數(shù)學(xué)期望及方差式中，Γ(x)為誤差函數(shù)，可查表。兩參數(shù)Weibull分布的期望值和方差可由下式給出：第五十三頁(yè)，共六十六頁(yè)。5）Weibull分布舉例－單纖維強(qiáng)度分布

單纖維強(qiáng)度的Weibull分布密度函數(shù)(雙參數(shù))為式中：L－纖維長(zhǎng)度；α－尺度參數(shù)；β－形狀參數(shù)；f(σ)

－機(jī)率密度函數(shù)，即在σ～σ＋dσ之間破壞應(yīng)力的或然率。第五十四頁(yè)，共六十六頁(yè)。尺度參數(shù)及形狀參數(shù)對(duì)f(σ)的影響隨β增大：分散性減??；峰值應(yīng)力（σ*

）增大。隨α增大：分散性減??；峰值應(yīng)力（σ*）

減小。第五十五頁(yè)，共六十六頁(yè)。幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)（1）平均強(qiáng)度（數(shù)學(xué)期望）：（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差（方差）：（3）變異系數(shù)（相對(duì)偏差）：可見(jiàn)，μ僅與β有關(guān)，在0.05≤μ≤0.5時(shí)，可簡(jiǎn)化為：（4）最可幾應(yīng)力（σ*）：當(dāng)β較大時(shí)：（5）纖維強(qiáng)度分布函數(shù)：令，則上式變?yōu)椋旱谖迨?yè)，共六十六頁(yè)。2、正態(tài)分布

正態(tài)分布是在機(jī)械產(chǎn)品和結(jié)構(gòu)工程中，研究應(yīng)力分布和強(qiáng)度分布時(shí)，最常用的一種分布形式。正態(tài)分布的密度函數(shù)為：

式中σ0為平均值，表示隨機(jī)變量（如強(qiáng)度、斷裂韌性等）的數(shù)學(xué)期望；λ為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示隨機(jī)變量偏離均值的散布程度，λ越小，σ落在σ0附近的概率越大。正態(tài)分布是對(duì)稱分布，其概率密度函數(shù)f(x)對(duì)于直線

x=σ0是對(duì)稱函數(shù)。正態(tài)分布概率密度曲線y=f(x)的位置完全由均值σ0確定，故σ0為位置參數(shù)。為了計(jì)算上的方便，并令λ=1,并x=(σ-σ0)/λ則可將一般的正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)分布，其密度函數(shù)為：第五十七頁(yè)，共六十六頁(yè)。2、正態(tài)分布（續(xù)）

化成標(biāo)準(zhǔn)分布后，可根據(jù)x查正態(tài)分布表，這也是正態(tài)分布應(yīng)用廣泛的一個(gè)重要原因。由于腐蝕、磨損，老化而引起的失效，是許多微小的獨(dú)立因素造成的，沒(méi)有單獨(dú)起壓倒作用的因素，是長(zhǎng)期累積效應(yīng)引起的，到某一段時(shí)間后，材料（或構(gòu)件）失效比較集中地發(fā)生。在這種情況下，其強(qiáng)度分布可用正態(tài)分布來(lái)表示。對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量有：

即正態(tài)隨機(jī)變量的值落在（σ0±3λ）區(qū)間內(nèi)幾乎是肯定的事件，而它落在區(qū)間之外的事件是小概率事件。這就是所謂的“3λ規(guī)則”，通常作為異常數(shù)據(jù)的取舍標(biāo)準(zhǔn)。第五十八頁(yè)，共六十六頁(yè)。正態(tài)分布舉例－纖維束強(qiáng)度分布纖維束強(qiáng)度分布密度函數(shù)：式中，ψB－纖維束強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)偏差；－纖維束強(qiáng)度平均值（數(shù)學(xué)期望）。Daniels首先發(fā)現(xiàn)單纖維強(qiáng)度與纖維束強(qiáng)度存在下列關(guān)系：式中，F(xiàn)(σ)－單纖維強(qiáng)度分布函數(shù)；σfmax－最大斷裂載荷那一束纖維中的纖維平均應(yīng)力。令：，可解得：將此式代入上式可得：可見(jiàn)：第五十九頁(yè)，共六十六頁(yè)。3、對(duì)數(shù)正態(tài)分布

如果隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)符合正態(tài)分布，則稱其符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)為：

其均值和方差分別為