彈性力學(xué)與有限元

彈性力學(xué)與有限元第1頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三參考書目王勖成，邵敏。《有限單元法基本原理和數(shù)值方法》（第2版），清華大學(xué)出版社，1997年。王煥定，吳德倫?！队邢迒卧坝嬎愠绦颉?，中國建筑工業(yè)出版社，1997年。O.C.監(jiān)凱維奇?！队邢拊ā罚ㄖ凶g本），科學(xué)出版社，1985年。龍馭球。《有限元法概論》（第二版），高等教育出版社，1991年。學(xué)習(xí)用有限元軟件：ANSYS

最好6.0版本以上。第2頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三第一講彈性力學(xué)基礎(chǔ)與有限元法數(shù)學(xué)原理1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)1-3位移－應(yīng)變關(guān)系，幾何方程1-4應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，物理方程1-5應(yīng)力－外力關(guān)系，運動平衡方程1-6邊界條件1-7彈性力學(xué)問題的求解方法1-8有限元法數(shù)學(xué)原理與發(fā)展1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1-10變分原理與Ritz方法1-11功能原理1-12小結(jié)第3頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)—

區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)

1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對象：有相同也有區(qū)別。材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉?gòu)件。第4頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）材料力學(xué)—

區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)

3、研究的方法：有較大的區(qū)別。雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。第5頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）材料力學(xué)—

區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)第6頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）材料力學(xué)—

區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)第7頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）材料力學(xué)—

區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)第8頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）材料力學(xué)—

區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)

總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：第9頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）彈性力學(xué)中的五點基本假定(1)物體是連續(xù)的：亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。(2)物體是完全彈性的：亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。(3)物體是均勻的：也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標而變。第10頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)（續(xù)）彈性力學(xué)中的五點基本假定(4)物體是各向同性的：也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。(5)物體的變形是微小的：亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。第11頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)彈性體內(nèi)微小的平行六面體PABC，稱為微元體。每一個面上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個坐標軸平行。圖1-4第12頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)（續(xù)）

可以證明：如果這六個量在P點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應(yīng)力分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數(shù)。第13頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)（續(xù)）彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：

1、給出各點的位移；2、給出各微元體的變形。彈性體內(nèi)任一點的位移，用此位移在x、y、z三個坐標軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標x、y、z的函數(shù)。第14頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)（續(xù)）應(yīng)變微元體的變形可以分為兩類：一類是長度的變化，一類是角度的變化。任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變(或稱正應(yīng)變)，用符號來表示。當線素伸長時，其線應(yīng)變?yōu)檎７粗?，線素縮短時，其線應(yīng)變?yōu)樨摗＿@與正應(yīng)力的正負號規(guī)定相對應(yīng)。任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號來表示。規(guī)定當夾角變小時為正，變大時為負，與剪應(yīng)力的正負號規(guī)定相對應(yīng)。第15頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)（續(xù)）

可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點，已知這三個垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個剪應(yīng)變，則該點任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個量可以完全確定該點的應(yīng)變分量，它們就稱為該點的應(yīng)變分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點的應(yīng)變狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)變狀態(tài)的上述六個應(yīng)變分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數(shù)。

第16頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-2一點應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)（續(xù)）第17頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-3位移－應(yīng)變關(guān)系，幾何方程幾何方程（又稱變形協(xié)調(diào)方程）：表明任一點的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。（6個方程）（可推導(dǎo)得到等價的相容方程）第18頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-4應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，物理方程物理方程（又稱本構(gòu)方程）：表明任一點的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。（6個方程）第19頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-5應(yīng)力－外力關(guān)系，運動平衡方程運動平衡方程：表明任一點的應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系。（3個方程）靜力平衡時的張量形式的平衡方程：第20頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-6邊界條件應(yīng)力邊界條件：在已知表面力的邊界面上，由表面微元體的“平衡”，在略去高階微量時，體內(nèi)的應(yīng)力與表面力之間存在如下應(yīng)力邊界條件第21頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-6邊界條件（續(xù)）位移邊界條件：在已知位移的邊界面上，體內(nèi)的位移在邊界處應(yīng)滿足如下位移邊界條件第22頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-7彈性力學(xué)問題的求解方法問題描述（15個未知函數(shù)，15個方程，兩個邊界條件）：幾何方程物理方程靜力平衡方程已知：應(yīng)力邊界條件位移邊界條件解析求解方法：應(yīng)力函數(shù)法、位移函數(shù)法（局限性：僅有極少數(shù)問題能找到應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)）第23頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-8有限元數(shù)學(xué)原理與發(fā)展由前可見，彈性力學(xué)問題的求解其實就是微分方程的求解。其分析方法可分為解析法與數(shù)值法兩類。解析法通常只是對某些簡單問題才能得出閉合形式的解答。對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問題要用解析法求出閉合解往往是不可能的，唯一的途徑是應(yīng)用數(shù)值法求出問題的近似解。力學(xué)分析的數(shù)值法分類：在解析法的基礎(chǔ)上進行近似數(shù)值分析。第一步，對連續(xù)體力學(xué)問題建立基本微分方程；第二步，對基本微分方程采用近似的數(shù)值解法。代表：有限差分法。在力學(xué)模型上進行近似的數(shù)值計算。第一步，將連續(xù)體簡化為有限個單元組成的離散化模型；第二步，對離散化模型求出數(shù)值解答。代表：有限元法，邊界元法，無網(wǎng)格法，…第24頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-8有限元數(shù)學(xué)原理與發(fā)展（續(xù)）

第一類方法：解決具有規(guī)則的幾何特性和均勻的材料特性的問題。優(yōu)點：程序設(shè)計簡單，收斂性好。

第二類方法：物理概念清晰，靈活且通用。能有效克服第一類方法的局限性。第25頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-8有限元數(shù)學(xué)原理與發(fā)展（續(xù)）有限元法的分類分類一（選擇基本位置量不同）：

位移法：取結(jié)點位移作為基本位置量；（常用）

力法：取結(jié)點力作為基本未知量；

混合法：取一部分結(jié)點位移和一部分結(jié)點力作為基本未知量。分類二（推導(dǎo)方法不同）：

直接法（代表：結(jié)構(gòu)力學(xué)中的矩陣位移法）

加權(quán)余量法（配點法、子域法、最小二乘法、力矩法、

Galerkin法）

變分法（Ritz法、分片Ritz法即形函數(shù)法）第26頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-8有限元數(shù)學(xué)原理與發(fā)展（續(xù)）有限元法的發(fā)展1943年，Gourant分片插值＋最小勢能原理分析St.Venant扭轉(zhuǎn)問題。1956年，Turner,Clough,Martin,Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系的單元剛度矩陣。1954-1955年，Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術(shù)語。數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。在1963年前后，經(jīng)過（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計算公式。1965年和（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。1969年和指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標準的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。第27頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-8有限元數(shù)學(xué)原理與發(fā)展（續(xù)）目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件

軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件

另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。

第28頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法微分方程的等效積分形式工程或物理學(xué)中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u應(yīng)滿足微分方程組：域可以是體積域、面積域等。同時未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件：是域的邊界。第29頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）微分方程的等效積分形式由于微分方程組（1-9-1）在域中每一點都必須為零，因此有：其中，

V是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個數(shù)相等的任意函數(shù)。第30頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）微分方程的等效積分形式同理，假如邊界條件（1-9-2）在邊界上每一點都得到滿足，則，對于一組任意函數(shù)應(yīng)當成立：

合并式(1-9-3)和(1-9-4)，得微分方程的等效積分形式為：以上方程對于所有的V和都成立，等價于微分方程(1-9-1)和邊界條件(1-9-2)。第31頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）等效積分的“弱”形式

在上述等效積分式(1-9-5)中，未知函數(shù)u在積分中將以導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，它的選擇將取決于微分算子A或B中微分運算的最高階次。一個函數(shù)在域內(nèi)，它的零階導(dǎo)數(shù)（即其函數(shù)本身）至它的n-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，它的第n階導(dǎo)數(shù)具有有限個不連續(xù)點但在域內(nèi)可積，這樣的函數(shù)我們稱之為具有Cn-1連續(xù)性的函數(shù)。在很多情況下可對式(1-9-5)進行分部積分，得到等效積分的“弱”形式：其中，C、D、E、F是微分算子，它們中所包含的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)較(1-9-1)式中的A低，這樣對函數(shù)u只需要較低階次的連續(xù)性就可以了。該“弱形式”在板殼的有限元分析中意義重大，導(dǎo)致了非協(xié)調(diào)元、廣義協(xié)調(diào)元的產(chǎn)生。這一弱處理往往能得到更為精確的分析結(jié)果。第32頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）基于等效積分形式的近似方法：加權(quán)余量法將未知場函數(shù)u取為近似函數(shù)，近似函數(shù)是一族帶有確定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式為：例如，當未知函數(shù)u為位移時，可取近似解：則有：第33頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）基于等效積分形式的近似方法：加權(quán)余量法顯然，在通常n取有限項數(shù)的情況下，微分方程和邊界條件將產(chǎn)生殘差：用n個規(guī)定的函數(shù)（權(quán)函數(shù)）來代替任意函數(shù)V及：則有近似的等效積分形式：

或余量的形式：式(1-9-10)和式(1-9-11)的意義是通過選擇待定系數(shù)ai，強迫余量在某種平均意義上等于零。第34頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）等效積分“弱”形式的加權(quán)余量近似公式

第35頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）配點法子域法在n個子域內(nèi)，，在子域外，：最小二乘法即，使函數(shù)取最小值：力矩法

一維問題時，取

得

第36頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）伽遼金（Galerkin）法在域內(nèi)：在邊界上：即簡單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)。得：

近似解由于是完全任意的，所以可重寫為對于等效積分的“弱”形式，有第37頁，共40頁，2022年，5月20日，9點33分，星期三1-9微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（續(xù)）在很多情況下，采用Galerkin法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對稱的，這是在用加權(quán)余量法建立有限元格式時幾乎毫無例外地都采用Galerkin法的主