2019年中考?jí)狠S題匯編(幾何部分)

2019年中考?jí)狠S題匯編（幾何部分）（2019年安徽23題）23.（14分）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,P為AABC內(nèi)部一點(diǎn)，且ZAPB=ZBPC=135°.（1）求證：△PABs&bc；（2）求證：PA=2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為h,h2，h3，求證h嚴(yán)h2?h3.【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出ZPBC=ZP4B，即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得出器老■，進(jìn)而得出爵二遼,即可得出結(jié)論；pp（3）先判斷出RtAAEPsRt^CDP,得出，即h3=2h2,再由△PAB^^PBC，判斷出h|=/;~2h^，即可得出結(jié)論.【解答】解：（1）TZACB=90°,AB=BC,AZABC=45°=ZPBA+ZPBC又ZAPB=135°,AZP4B+ZPBA=45°.\ZPBC=ZP4B又VZAPB=ZBPC=135°,:.△PABsMbc(2)TAE4BsApbc.PAPBABPBPCBC在Rt^ABC中,AB=AC,:.PA=2PC(3)如圖，過點(diǎn)P作PD丄BC,PE丄AC交BC、AC于點(diǎn)D,E,:.PF=h1,PD=h2,PE=h3,VZCPB+ZAPB=135°+135°=270°:.ZAPC=90°,:.ZEAP+ZACP=90°,又yZACB=ZACP+ZPCD=90°:./EAP=/PCD,:.Rt^AEPsRtACDP,:h3=2h2^△PABs^PBC,h2_BC…h(huán)j二2h2：?h12=2h22=2h2-h2=h2hr即：h]2=h2?h3.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出ZEAP=/PCD是解本題的關(guān)鍵.

(2019年北京27題)_(7分)已知ZAOB=30°,H為射線OA上一定點(diǎn)，OH=+1,P為射線OB上一點(diǎn)，M為線段OH上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,滿足ZOMP為鈍角，以點(diǎn)P為中心，將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到線段PN,連接ON.依題意補(bǔ)全圖1；求證：ZOMP=ZOPN；點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接QP.寫出一個(gè)OP的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)M總有ON=QP，并證明.BBmi分析(1)根據(jù)題意畫出圖形．(2)由旋轉(zhuǎn)可得ZMPN=150°，故ZOPN=150°-ZOPM；由ZAOB=30。和三角形內(nèi)角和180°可得ZOMP=180°-30°-ZOPM=150°-ZOPM，得證.(3)根據(jù)題意畫出圖形，以O(shè)N=QP為已知條件反推OP的長(zhǎng)度.由(2)的結(jié)論ZOMP=ZOPN聯(lián)想到其補(bǔ)角相等，又因?yàn)樾D(zhuǎn)有PM=PN,已具備一邊一角相等，過點(diǎn)N作NC丄OB于點(diǎn)C,過點(diǎn)P作PD丄OA于點(diǎn)D,即可構(gòu)造出△PDM^^NCP，進(jìn)而得PD=NC,DM=CP.此時(shí)加上ON=QP，則易證得AOCN^^QDP，所以O(shè)C=QD.利用ZAOB=30。，設(shè)PD=NC=a，貝VOP=2a,OD=a.再設(shè)DM=CP=x,所以QD=OC=OP+PC=2a+x,.MQ=D^/+QD=2a+2x.由于點(diǎn)M、Q關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱，即點(diǎn)H為MQ中點(diǎn)，故MH=^MQ=a+x,DH=MH-DM=a,所以O(shè)H=OD+DH=-3a+a=一3+1,求得a=1,故OP=2.證明過程則把推理過程反過來(lái)，以O(shè)P=2為條件，利用構(gòu)造全等證得ON=QP.解答】解：(1)如圖1所示為所求．(2)設(shè)ZOPM=a,???線段PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到線段PNAZMPN=150°,PM=PNAZOPN=ZMPN-ZOPM=150°-aVZAOB=30°AZOMP=180°-ZAOB-ZOPM=180°-30°-a=150°-aAZOMP=ZOPN

(3)OP=2時(shí)，總有ON=QP，證明如下：過點(diǎn)N作NC丄OB于點(diǎn)C,過點(diǎn)P作PD丄OA于點(diǎn)D,如圖2:.ZNCP=ZPDM=ZPDQ=90°VZAOB=30°,OP=2.?.PD=*OP=1???OD=?：0H=+1:.DH=OH-OD=1VZOMP=ZOPN.??180°-ZOMP=180°-ZOPN即ZPMD=ZNPC在APDM與ANCP中rZPDlf=ZNCP*ZPND=ZNPCIPM=NP:.△PDM^^NCP(AAS).PD=NC，DM=CP設(shè)DM=CP=x,則OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+1???點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q.HQ=MH=x+1.DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x.OC=DQ在AOCN與AQDP中:.△OCN^^QDP(SAS)：.ON=QP.Y/T.EOMDEQ圖2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)題意畫圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì).第（3）題的解題思路是以O(shè)N=QP為條件反推OP的長(zhǎng)度，并結(jié)合（2）的結(jié)論構(gòu)造全等三角形；而證明過程則以O(shè)P=2為條件構(gòu)造全等證明ON=QP.（2019年北京28題）（7分）在△ABC中，D,E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果DE上的所有點(diǎn)都在AABC的內(nèi)部或邊上，則稱DE為△ABC的中內(nèi)弧.例如，圖1中是△ABC的一條中內(nèi)弧.

ss如圖2,在RtAABC中，AB=AC=0J2,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，畫出△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧DE,并直接寫出此時(shí)DE的長(zhǎng)；在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t>0),在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若t=,求△ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)的取值范圍；2——若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧DE,使得DE所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部或邊上,直接寫出t的取值范圍.【分析(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2,最長(zhǎng)中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓,DE的長(zhǎng)即以DE為直徑的圓周長(zhǎng)的一半；(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，①當(dāng)t=寺時(shí)，要注意圓心P在DE上方的中垂線上均符合要求,在DE下方時(shí)必須AC與半徑PE的夾角ZAEP滿足90°WZAEPV135°；②根據(jù)題意，t的最大值即圓心P在AC上時(shí)求得的t值.【解答】解：(1)如圖2,以DE為直徑的半圓弧DE,就是AABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧DE,連接DE,VZA=90°_,AB=AC=,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),arii.??BC===4,DE=±BC=±X4=2,sinBsin45221?弧DE=——X2n=n；2(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE,作DE垂直平分線FP,作EG丄AC交FP于G,當(dāng)t=時(shí)，C(2,0),.D(0,1),E(1,1),F(丄,1),22設(shè)P(丄,m)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，.??m21,2VOA=OC,ZAOC=90°/.ZACO=45°,?.?DE〃OC/.ZAED=ZACO=45°作EG丄AC交直線FP于G,FG=EF=12根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方(含點(diǎn)G)直線FP上時(shí)也符合要求；?.mwg-綜上所述,mW*或m三1.如圖4,設(shè)圓心P在AC上，VP在DE中垂線上，.P為AE中點(diǎn)，作PM丄OC于M,則PM=e,2???P（，即?:DE//BC:.ZADE=ZAOB=90°AAE==-4tJl，?:PD=PE,:.ZAED=ZPDE?：ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,:.ZDAE=ZADP.??AP=PD=PE=^AE由三角形中內(nèi)弧定義知，PDWPM...g^AEW尋，AEW3,即：4t"+lW3，解得：tWl：2,（2019年福建24題）24.（12分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⑥O,AB=AC，AC丄BD,垂足為E,點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DF=DC，連接AF、CF.（1）求證：ZBAC=2ZCAD；

(2)若AF=10,BC=4l5,求tanZBAD的值.F【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ZABC=ZACB，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AC,即可得到ZABC=ZADB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到ZABC=1(180°2-ZBAC)=90°-丄ZBAC,ZADB=90°-ZCAD，從而得到—ZBAC=ZCAD,22即可證得結(jié)論；(2)易證得BC=CF=4：5,即可證得AC垂直平分BF,證得AB=AF=10，根據(jù)勾股定理求得AE、CE、BE,根據(jù)相交弦定理求得DE,即可求得BD,然后根據(jù)三角形面積公式求得DH,進(jìn)而求得AH,解直角三角函數(shù)求得tanZBAD的值.【解答】解：(1)TAB=AC,???A5=&C,ZABC=ZACB,.??ZABC=ZADB,ZABC=1(180°-ZBAC)=90°-丄ZBAC,22?.?BD丄AC,.??ZADB=90°-ZCAD,??.寺ZBAC=ZCAD,.??ZBAC=2ZCAD；(2)解：?.?DF=DC,.??ZDFC=ZDCF,?ZBDC=2ZDFC,.??ZBFC=丄ZBDC=丄ZBAC=ZFBC,22???CB=CF,又BD丄AC,.AC是線段BF的中垂線，AB=AF=10,AC=10.又BC=4l'5,設(shè)AE=x,CE=10-x,

由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-(10-x)2,解得x=6,.??AE=6,BE=8,CE=4,?DE—?DE—犧=6X4=3,BE???BD=BE+DE=3+8=11,作DH丄AB,垂足為H,??寺b?DH=￡bd?ae,.*.tanZBAD=.?.ah=ab-bh.*.tanZBAD=.?.ah=ab-bh=io???BH==BD咽也=11X6'，DHAB點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題,考查了圓周角定理,勾股定理,銳角三角函數(shù),圓心角、弧、弦的關(guān)系,相交弦定理,等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用性質(zhì)定理,屬于中考?jí)狠S題．（2019年甘肅蘭州27題）27．（10分）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí),解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt^ABC,ZACB=90。，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD,過點(diǎn)D作DE丄AC于點(diǎn)E,可以推理得到△ABC^ADAE,進(jìn)而得到AC=DE,BC=AE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“K型”推理過程如下：模型應(yīng)用】如圖，在RtAABC內(nèi)接于OO,ZACB=90°,BC=2，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到AD,過點(diǎn)D作DELAC于點(diǎn)E,/DAE=/ABC,DE=1,連接DO交OO于點(diǎn)F．求證：AD是OO的切線；連接FC交AB于點(diǎn)G,連接FB.求證：FG2=GO?GB.【分析】(1)因?yàn)橹苯侨切蔚耐庑臑樾边呏悬c(diǎn)，所以點(diǎn)O在AB上,AB為OO直徑,故只需證AD丄AB即可.由ZABC+ZBAC=90。和ZDAE=ZABC可證得ZDAE+ZBAC=90。，而E、A、C在同一直線上，用180°減去90°即為ZBAD=90°，得證.(2)依題意畫出圖形，由要證的結(jié)論FG2=GO?GB聯(lián)想到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以需證△FGOsABGF.其中ZFGO=ZBGF為公共角，即需證ZFOG=ZBFG.ZBFG為圓周角，所對(duì)的弧為弧BC,故連接OC后有ZBFG=*ZBOC,問題又轉(zhuǎn)化為證ZFOG=*ZBOC.把DO延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H后，有ZFOG=ZBOH，故問題轉(zhuǎn)化為證ZBOH=2ZBOC.只要OH丄BC,由等腰三角形三線合一即有ZBOH=^ZBOC,故問題繼續(xù)轉(zhuǎn)2化為證DH〃CE.聯(lián)系【模型呈現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)能證△DEA^^ACB，得到AE=BC=2,AC=DE=1,即能求AD=AB=l'E.又因?yàn)镺為AB中點(diǎn)，可得到，再加上第DE2AE題證得ZBAD=90°，可得ADAOs^AED,所以ZADO=ZEAD,DO〃EA,得證.【解答】證明：(l)TOO為R/ABC的外接圓/.O為斜邊AB中點(diǎn)，AB為直徑VZACB=90°AZABC+ZBAC=90°?:/DAE=/ABCAZDAE+ZBAC=90°AZBAD=180°-(ZDAE+ZBAC)=90°.??AD丄AB/.AD是OO的切線延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)H連接OC：DE丄AC于點(diǎn)EAZDEA=90°:AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到AD.AB=AD在ADEA與AACB中rZDEA=ZACB=90°乂ZDAE=ZABC:DA=AB.?.△DEA^AACB(AAS).AE=BC=2，AC=DE=1AAD=AB=小/+e嚴(yán)二込：O為AB中點(diǎn).??AO=^AB=22?AOVSADDE2AE:ZDAO=ZAED=90°.?.△DAOsAaED.ZADO=ZEAD.??DO〃EA.??ZOHB=ZACB=9O。，即DH丄BC?：OB=OC：.OH平分ZBOC,即ZBOH=^ZBOC?:/FOG=/BOH,/BFG=lZBOC2:.ZFOG=ZBFG：ZFGO=ZBGF:.△FGOsMGF??BGGF?FG2=GO?gb【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外心定義,圓的切線判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),垂徑定理,等腰三角形三線合一，圓周角定理?其中第（2）題證明DOIIEA進(jìn)而得到DO垂直BC是解題關(guān)鍵.（2019年甘肅隴南27題）27.閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：例題：如圖①，在等邊AABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B,C）,N是AABC的外角ZACH的平分線上一點(diǎn)，且AM=MN.求證：ZAMN=6O°.點(diǎn)撥：如圖②，作ZCBE=60°,BE與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,得等邊MEC,連接EM?易證：AABM^AEBM（SAS）,可得AM=EM,Z1=Z2；又AM=MN,則EM=MN,可得Z3=Z4；由z3+z1=z4+z5=60°,進(jìn)一步可得z1=z2=z5,又因?yàn)閦2+z6=120°,所以z5+z6=120°,即:ZAMN=60°.問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M］是B1C1邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B1,C1）,N1是正方形A1B1C1D1的外角ZD1C1H1的平分線上一點(diǎn)，且A1M1=M1N1.求證：ZA1M1N1=90°.

AAE①②③AAE①②③【答案】解：延長(zhǎng)A1B1至E,使EB1=A1B1,連接EM&、EC.如圖所示：則EB]=B]C],ZEB]M]中=90°=ZA1B1M1，???△EBG是等腰直角三角形，^ZB1EC1=ZB1C1E=45°,?叫是正方形A1B1C1D1的外角3&耳的平分線上一點(diǎn)，?ZM1C1N1=90°+45°=135°，???ZB1C1E+ZM1C1N1=18O。，?E、C]、竹，三點(diǎn)共線,AB=EB在△A1B1在△A1B1M1和△EB1M1中,AABM=AEBM111iiBM=BM1111?△A1B1M1^^EB1M1（SAS），?A]M1=EM]，A1=a2，vA1M1=M1N1，?em1=m1n1，?a3=a4.???a2+a3=45。，a4+a5=45°,?a1=a2=a5,???a1+a6=90。，???a5+a6=90°.???aA1M1N1=180°-90°=90°.【解析】延長(zhǎng)A1B1至E,使EB1=A1B1,連接EM]C、EC],則EB1=B1C1,aEB1M1中=90°=aA1B1M1,得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出aB1EC1=aB1C1E=45°，證出aB1C1E+aM1C1N1=180。，得出E'C^N],三點(diǎn)共線，由SAS證明△A1B1M1=^EB1M1得出A1M1=EM1,A1=A2,得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性質(zhì)得出a3=a4,證出a1=a2=a5，得出a5+a6=90°,即可得出結(jié)論.此題是四邊形綜合題目考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí);本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵.(2019年甘肅天水25題)25．(10分)如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；性質(zhì)探究：如圖1,四邊形ABCD的對(duì)角線AC.BD交于點(diǎn)O,AC丄BD.試證明：AB2+CD2=AD2+BC2；解決問題:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連結(jié)CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).DCDDAACECGS圖2DCDDAACECGS圖2圖3【分析(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算【解答】解：(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.證明：?.?AB=AD,??.點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，VCB=CD,??.點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，???直線AC是線段BD的垂直平分線，?AC丄BD,即四邊形ABCD是垂美四邊形；(2)猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等如圖2,已知四邊形ABCD中，AC丄BD,垂足為E,求證：AD2+BC2=AB2+CD2證明：TAC丄BD,AZAED=ZAEB=ZBEC=ZCED=90°,由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,AD2+BC2=AB2+CD2；故答案為：AD2+BC2=AB2+CD2.連接CG、BE，?.?ZCAG=ZBAE=90°,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC，即ZGAB=ZCAE,在AGAB和ACAE中，"厶AE二ZCAE,:AB=AE△GAB^ACAE(SAS),ZABG=ZAEC,又ZAEC+ZAME=90°,ZABG+ZAME=90°,即卩CE丄BG,?四邊形CGEB是垂美四邊形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,VAC=4,AB=5,BC=3,CG=4一2,BE=5芒,【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．(2019年廣東深圳23題)(9分)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,0),B(-3,0),C(-3,8),以線段BC為直徑作圓，圓心為E,直線AC交OE于點(diǎn)D,連接OD.求證：直線OD是OE的切線；根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得DO=BO=AO,ZODB=ZOBD，得證；①分兩種情況：a)F位于線段AB上,b)F位于BA的延長(zhǎng)線上；過F作AC的垂線，構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)可求得點(diǎn)F坐標(biāo)；②應(yīng)用相似三角形性質(zhì)和三角函數(shù)值表示出—=，令y=CG2(64-CF64CG2)=-(CG2-32)2+322，應(yīng)用二次函數(shù)最值可得到結(jié)論.【解答】解：(1)證明：如圖1,連接DE,?:BC為圓的直徑，.??ZBDC=90°,AZBDA=90°*：OA=OB：?OD=OB=OAAZOBD=ZODB:EB=ED*.ZEBD=ZEDB???EBD+ZOBD=ZEDB+ZODB即:ZEBO=ZEDO?.?03丄％軸:.ZEBO=90°??ZEDO=90°.?點(diǎn)D在OE上?.直線OD為OE的切線.(2)①如圖2,當(dāng)F位于AB上時(shí)，過F作F]N丄AC于N,.F1N丄AC?ZANF1=ZABC=90°?.△ANFsNABC?AN_NF1AF1?忑.AB=6，BC=8，?也二血胡+巳嚴(yán)二寸護(hù)+呂―。'即AB：BC：AC=6：8：10=3：4：5?.設(shè)AN=3k，則NF1=4k,AF1=5k?CN=CA-AN=10-3k?tanZACF==弓，解得：k=普???I即F1（詈■，0）如圖3,當(dāng)F位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過F2作F2M丄CA于M，.△AMFs^ABC??.設(shè)AM=3k，則MF2=4k，AF=5k

??AF2=5k=r2OF2=3+2=5即F2(5，0)故答案為：F1(導(dǎo)，0),F2(5,0).②如圖4,TCB為直徑:./CGB=/CBF=90°:.△CBGs^CFB?BGBCCGB?CFBC:.BC2=CG?cfCF=CF=~CG~?????CG2+BG2=BC2,：?BG2=BC2-CG2?加=E*七2=(開_加).看**CF2642CG2?BG_&：G々64-CG令…而令y=令y=CG2(64-CG2)=-CG4+64CG2=-[(CG2-32)2-322]=-(CG2-32)2+322【點(diǎn)評(píng)】本題是一道難度較大，綜合性很強(qiáng)的有關(guān)圓的代數(shù)幾何綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)和判定，動(dòng)點(diǎn)問題，二次函數(shù)最值問題等，構(gòu)造相似三角形和應(yīng)用求二次函數(shù)最值方法是解題關(guān)鍵．(2019年廣東24題)(9分)如圖1,在△ABC中，AB=AC,OO是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C作ZBCD=Z

ACB交OO于點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F,使CF=AC,連接AF.求證：ED=EC；求證：AF是OO的切線；如圖2,若點(diǎn)G是AACD的內(nèi)心，BC?BE=25，求BG的長(zhǎng).【分析】(1)由AB=AC知ZABC=ZACB，結(jié)合ZACB=ZBCD,ZABC=ZADC得ZBCD=/ADC,從而得證；連接OA,由ZCAF=ZCFA知ZACD=ZCAF+ZCFA=2ZCAF,結(jié)合ZACB=ZBCD得ZACD=2ZACB,ZCAF=ZACB，據(jù)此可知AF〃BC,從而得OA丄AF,從而得證；證AABEsACBA得AB2=BC?BE，據(jù)此知AB=5,連接AG,得ZBAG=ZBAD+/DAG,ZBGA=ZGAC+ZACB,由點(diǎn)G為內(nèi)心知ZDAG=ZGAC,結(jié)合ZBAD+ZDAG=ZGDC+ZACB得ZBAG=ZBGA，從而得出BG=AB=5.【解答】解：(1)TAB=AC,AZABC=ZACB,又\,ZACB=ZBCD,ZABC=ZADC,AZBCD=ZADC,.??ED=EC；(2)如圖1,連接OA,VAB=AC,AJ3=AC,.OA丄BC,VCA=CF,:.ZCAF=ZCFA,AZACD=ZCAF+ZCFA=2ZCAF,?：/ACB=/BCD,:.ZACD=2ZACB,:.ZCAF=ZACB,:?AF//BC,：.OA丄AF,???AF為?O的切線；VZABE=ZCBA,ZBAD=ZBCD=ZACB,:、\ABEs\CBA,?世_=理?貢—麗’：?AB2=BC?BE,：?BC?BE=25,:.AB=5,如圖2，連接AG，：.ZBAG=ZBAD+ZDAG,ZBGA=ZGAC+ZACB,???點(diǎn)G為內(nèi)心，：.ZDAG=ZGAC,又?ZBAD+ZDAG=ZGDC+ZACB,:.ZBAG=ZBGA,：BG=AB=5．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．(2019年廣東廣州24題)(14分)如圖，等邊△ABC中，AB=6，點(diǎn)D在BC上，BD=4,點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，△CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為AFDE.當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，求證：DF〃AB；設(shè)AACD的面積為S1，^ABF的面積為S2，記S=SX-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí).求AE的長(zhǎng).【分析】(1)由折疊的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得ZDFC=ZA，可證DF〃AB；過點(diǎn)D作DM丄AB交AB于點(diǎn)M，由題意可得點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，由AACD的面積為S1的值是定值，則當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí)，S的最小時(shí)，S最大；過點(diǎn)D作DG丄EF于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH丄CD于點(diǎn)H，由勾股定理可求BG的長(zhǎng)，通過證明△BGDs^BHE,可求EC的長(zhǎng)，即可求AE的長(zhǎng).【解答】解：("?「△ABC是等邊三角形.*.ZA=ZB=ZC=60°由折疊可知：DF=DC，且點(diǎn)F在AC上AZDFC=ZC=60°?.ZDFC=ZA.??DF〃AB；(2)存在，過點(diǎn)D作DM丄AB交AB于點(diǎn)M，°.°AB=BC=6,BD=4,.??CD=2:.DF=2,??.點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上,.當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí),SABF最小,△ABFVBD=4,DM丄AB,ZABC=60°?MD=2；3?S^ABF的最小值=舟心八21忌-2)=6^3-6?S/-旗-…忌(3)如圖，過點(diǎn)D作DG丄EF于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH丄CD于點(diǎn)H,??△CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為AFDE*.DF=DC=2,ZEFD=ZC=60°:GD丄EF,ZEFD=60°??FG=1,DG=4^FG=4^:BD2=BG2+DG2,*.16=3+(BF+1)2,?BF=Vllj-1?BG=V13:EH丄BC,ZC=60°?CH=爭(zhēng),EH=4^HC=￥EC.?ZGBD=ZEBH,ZBGD=ZBHE=90°DGEHBGEH?.ABGD^ABHE.??ec=T13-1：?AE=AC-EC=7-13【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．（2019年廣西池州25/r