廈門大學(xué)線性代數(shù)期末考試試卷A (含答案)

廈門大學(xué)《線性代數(shù)》課程試卷＿＿＿＿學(xué)院＿＿＿＿系＿＿＿＿年級(jí)＿＿＿＿專業(yè)主考教師：線性代數(shù)教學(xué)組試卷類型：（A卷）一、填空題（每小題4分，共24分）1．設(shè)四階方陣，其中均為四維列向量，且，則2．n階方陣A滿足3．向量組，則，，和的一個(gè)極大無關(guān)組是。4．已知四元線性方程組的三個(gè)解為，且，，，則方程組的通解是。5．設(shè)，則A=。6．設(shè)二次型，則其對(duì)應(yīng)的矩陣A的正特征值有個(gè)。二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1．若行列式A．1；，則x=()。B．–1;C．;D．2．設(shè)矩陣，其中，則為（）A.1；3．向量組A．B．2；C．n；D．無法確定。線性無關(guān)，則線性無關(guān)的是（）。；；；。B．C．D．4.設(shè)A是n階方陣，且方程組A．有無窮多組解；C．有有限組解；有無窮多組解，則方程組B．僅有零解；（）。D．無解。5．設(shè)A是n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得到的矩陣，則有（）。A．；B．；C．若6．設(shè)，則一定有；D．若，則一定有。，則與B（）A．合同且相似；C．不合同但相似；B．合同但不相似；D．不合同且不相似。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分）1．已知矩陣，其中，，求矩陣A，A2，A100。2．設(shè)四元線性方程組（I）：，又已知齊次方程組（II）的通解為，（1）求方程組（I）的基礎(chǔ)解系；（2）問（I）與（II）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解。若沒有，則說明理由。3．設(shè)矩陣，矩陣B滿足，求矩陣B。4．設(shè)二次型，其中二次型矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為（1）求a,b的值；。（2）利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣。四、證明題（每小題6分，共12分）1.二維向量在基下的坐標(biāo)為，求，并證明在基，下的坐標(biāo)與其在下的坐標(biāo)相同。，證明：2.已知A、B均為n階矩陣，且。廈門大學(xué)《線代參考答案》課程試卷主考教師：線性代數(shù)教學(xué)組試卷類型：（A卷）==================================================================一、填空題1．54；2.;3.;4.；5．；6.2.二、單項(xiàng)選擇題：1．C;2.A;3.C;4.A;5.C;6.A三、計(jì)算題：1．解：，。.。2．解：（1）求（I）的基礎(chǔ)解系（I）的系數(shù)矩陣為故（I）的基礎(chǔ)解系為：.（2）求（I）與（II）的非零公共解。方法1由（I），（II）的通解表達(dá)式相等，得。即因，故上述方程組的解為為任意常數(shù)。，于是（I），（II）的所有非零公共解為方法2把（II）的通解代入方程組（I），則有，得解，于是向量是方程組（I）、（II）的公共解，令，則上述方程組的所有非零公共解為，其中兩邊為任意非零常數(shù)。3．解：由于，所以A為可逆矩陣。又.把等式同時(shí)左乘A，右乘，得，即（2A+E）B＝9E。由于，所以存在，故。由得，故。4．解：（1）二次型f的矩陣為，設(shè)的特征值為，由題設(shè)，有解得。（2）由矩陣A的特征多項(xiàng)式得A的特征值對(duì)于，由,即，得基礎(chǔ)解系對(duì)于，由，即得基礎(chǔ)解系由于.已是正交向量組，所以只需單位化，由此得.令矩陣，則P為正交矩陣。在正交變換下，二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形為。四、證明題1．證：（1）（2）設(shè)在基。下的坐標(biāo)為，所以于是在基下的坐標(biāo)與其在基下的坐標(biāo)相同。2．證：由題設(shè)