角平分線定理、垂直平分線定理課件

要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦1.角平分線的性質(zhì)定理和逆定理(1)點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.(2)用符號(hào)語(yǔ)言表示角平分線的性質(zhì)定理和逆定理.如圖4-4-1所示.性質(zhì)定理：∵P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.1A要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦1.角平分線的性質(zhì)定理和逆定理1A(3)角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點(diǎn)組成的集合.(4)互逆命題與互逆定理.2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理(1)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.(2)逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.(3)用符號(hào)語(yǔ)言表示線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理.如圖4-4-2所示.要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦2A(3)角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點(diǎn)組成的集合.2.線性質(zhì)定理：∵PC是線段AB的中垂線∴PA=PB逆定理：∵PA=PB∴點(diǎn)P在AB的中垂線上.【注意】這里不可說(shuō)PC是AB的中垂線.(4)線段中垂線是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦3A性質(zhì)定理：∵PC是線段AB的中垂線(4)線段中垂線是和線段兩2.如圖4-4-3所示，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()A．1處B.2處C.3處D.4處課前熱身CD1.下列說(shuō)法正確的是()A.每個(gè)命題都有逆命題B.直角都是鄰補(bǔ)角C.若1/a=1/b則a=b.D.真命題的逆命題是真命題.圖4-4-34A2.如圖4-4-3所示，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉3.如圖所示，在△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三個(gè)結(jié)論：(1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正確的是()A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.全對(duì).A課前熱身5A3.如圖所示，在△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，PR⊥AB于R，4.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，DB=10cm，則AC=()A.6B.8C.5D.10C課前熱身6A4.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，則∠B=

.36°課前熱身7A5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分典型例題解析AB+AD=BC

【例1】如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，請(qǐng)你猜想圖中哪兩條線段之和等于第三條線段，并證明你的猜想的正確性(證明你的猜想需用題中所有的條件)8A典型例題解析AB+AD=BC【例1】如圖所示，在△AB【例2】(2003·河南省)已知：如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點(diǎn)，CE⊥AD，垂足為E.BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F.求證：AB垂直平分DF.典型例題解析9A【例2】(2003·河南省)已知：如圖所示，在Rt△AB【例3】(2003·浙江省舟山市)如圖所示是人字型屋架的設(shè)計(jì)圖，由AB、AC、BC、AD四根鋼條焊接而成，其中A、B、C、D均為焊接點(diǎn)，且AB=AC、D為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出BC的中點(diǎn)D.如果焊接工身邊只有可檢驗(yàn)直角的角尺，那么為了準(zhǔn)確快速地焊接，他首先應(yīng)取的兩根鋼條及焊接的點(diǎn)是()A.AB和BC，焊接點(diǎn)BB.AB和AC，焊接點(diǎn)AC.AD和BC，焊接點(diǎn)DD.AB和AD，焊接點(diǎn)AC典型例題解析10A【例3】(2003·浙江省舟山市)如圖所示是人字型屋架的【例4】(2003·黑龍江省)已知：如圖4-4-10(1)所示，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G.連接FG，延長(zhǎng)AF、AG、與直線BC相交，易證FG=1/2(AB+BC+BC).(1)若BD·CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線(如圖4-4-10(2)所示).(2)BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖4-4-10(3)所示)，則在此兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明.典型例題解析11A【例4】(2003·黑龍江省)已知：如圖4-4-10(1圖4-4-10(1)

圖4-4-10(2)圖4-4-10(3)

12A圖4-4-10(1)圖4-4-10(2)圖4-4-10(31.全等運(yùn)用的干擾角平分線定理及中垂線性質(zhì)定理都是不用全等，而直接能得出邊相等，但好多學(xué)生還是喜歡再重新證一遍.2.證線段的中垂線時(shí)，往往只得出一個(gè)點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，就下結(jié)論——過(guò)這一點(diǎn)的直線是這條線段的中垂線，實(shí)際上由直線公理：“兩點(diǎn)確定一條直線”，還要再找出一個(gè)這樣的點(diǎn).方法小結(jié)：13A1.全等運(yùn)用的干擾方法小結(jié)：13A1.(2004·四川)如圖，已知點(diǎn)C是∠AOB平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)P、P'分別在邊OA、OB上。如果要得到PO=OP'

，需要添加以下條件中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能結(jié)果的序號(hào)

。①∠OCP=∠OCP';②∠OPC=∠OP'

C

;③PC=PC'

;④PP'

⊥OC課時(shí)訓(xùn)練①或②或④14A1.(2004·四川)如圖，已知點(diǎn)C是∠AOB平分線上一點(diǎn)，

2.(2004·河北省)如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），那么該球最后將落入的球袋是()

A.1號(hào)袋B.2號(hào)袋C.3號(hào)袋D.4號(hào)袋B課時(shí)訓(xùn)練15A2.(2004·河北省)如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的3.(2004·廣州)如圖，CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC=AB，給出下列結(jié)論①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；

④CB平分∠DCE。請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)

。①②④課時(shí)訓(xùn)練16A3.(2004·廣州)如圖，CB、CD分別是鈍角△AEC和銳4.(2004·呼和浩特)如圖，在△ABC中，BA=BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線交AC于D，求證：課時(shí)訓(xùn)練證：連接BD?！逜B的垂直平分線交AC于D，∴DA=DB。∵AB=BC，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝30°,∴∠A＝∠ABD＝30°,∴∠DBC＝90°,∵Rt△DBC中,有∴17A4.(2004·呼和浩特)如圖，在△ABC中，BA=BC，∠18A18A再見(jiàn)！19A再見(jiàn)！19A要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦1.角平分線的性質(zhì)定理和逆定理(1)點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.(2)用符號(hào)語(yǔ)言表示角平分線的性質(zhì)定理和逆定理.如圖4-4-1所示.性質(zhì)定理：∵P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.20A要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦1.角平分線的性質(zhì)定理和逆定理1A(3)角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點(diǎn)組成的集合.(4)互逆命題與互逆定理.2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理(1)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.(2)逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.(3)用符號(hào)語(yǔ)言表示線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理.如圖4-4-2所示.要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦21A(3)角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點(diǎn)組成的集合.2.線性質(zhì)定理：∵PC是線段AB的中垂線∴PA=PB逆定理：∵PA=PB∴點(diǎn)P在AB的中垂線上.【注意】這里不可說(shuō)PC是AB的中垂線.(4)線段中垂線是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦22A性質(zhì)定理：∵PC是線段AB的中垂線(4)線段中垂線是和線段兩2.如圖4-4-3所示，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()A．1處B.2處C.3處D.4處課前熱身CD1.下列說(shuō)法正確的是()A.每個(gè)命題都有逆命題B.直角都是鄰補(bǔ)角C.若1/a=1/b則a=b.D.真命題的逆命題是真命題.圖4-4-323A2.如圖4-4-3所示，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉3.如圖所示，在△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三個(gè)結(jié)論：(1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正確的是()A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.全對(duì).A課前熱身24A3.如圖所示，在△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，PR⊥AB于R，4.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，DB=10cm，則AC=()A.6B.8C.5D.10C課前熱身25A4.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，則∠B=

.36°課前熱身26A5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分典型例題解析AB+AD=BC

【例1】如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，請(qǐng)你猜想圖中哪兩條線段之和等于第三條線段，并證明你的猜想的正確性(證明你的猜想需用題中所有的條件)27A典型例題解析AB+AD=BC【例1】如圖所示，在△AB【例2】(2003·河南省)已知：如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點(diǎn)，CE⊥AD，垂足為E.BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F.求證：AB垂直平分DF.典型例題解析28A【例2】(2003·河南省)已知：如圖所示，在Rt△AB【例3】(2003·浙江省舟山市)如圖所示是人字型屋架的設(shè)計(jì)圖，由AB、AC、BC、AD四根鋼條焊接而成，其中A、B、C、D均為焊接點(diǎn)，且AB=AC、D為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出BC的中點(diǎn)D.如果焊接工身邊只有可檢驗(yàn)直角的角尺，那么為了準(zhǔn)確快速地焊接，他首先應(yīng)取的兩根鋼條及焊接的點(diǎn)是()A.AB和BC，焊接點(diǎn)BB.AB和AC，焊接點(diǎn)AC.AD和BC，焊接點(diǎn)DD.AB和AD，焊接點(diǎn)AC典型例題解析29A【例3】(2003·浙江省舟山市)如圖所示是人字型屋架的【例4】(2003·黑龍江省)已知：如圖4-4-10(1)所示，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G.連接FG，延長(zhǎng)AF、AG、與直線BC相交，易證FG=1/2(AB+BC+BC).(1)若BD·CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線(如圖4-4-10(2)所示).(2)BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖4-4-10(3)所示)，則在此兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明.典型例題解析30A【例4】(2003·黑龍江省)已知：如圖4-4-10(1圖4-4-10(1)

圖4-4-10(2)圖4-4-10(3)

31A圖4-4-10(1)圖4-4-10(2)圖4-4-10(31.全等運(yùn)用的干擾角平分線定理及中垂線性質(zhì)定理都是不用全等，而直接能得出邊相等，但好多學(xué)生還是喜歡再重新證一遍.2.證線段的中垂線時(shí)，往往只得出一個(gè)點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，就下結(jié)論——過(guò)這一點(diǎn)的直線是這條線段的中垂線，實(shí)際上由直線公理：“兩點(diǎn)確定一條直線”，還要再找出一個(gè)這樣的點(diǎn).方法小結(jié)：32A1.全等運(yùn)用的干擾方法小結(jié)：13A1.(2004·四川)如圖，已知點(diǎn)C是∠AOB平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)P、P'分別在邊OA、OB上。如果要得到PO=OP'

，需要添加以下條件中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能結(jié)果的序號(hào)

。①∠OCP=∠OCP';②∠OPC=∠OP'

C

;③PC=PC'

;④PP'

⊥OC課時(shí)訓(xùn)練①或②或