2020高考數(shù)學總復習集合與簡易邏輯

一、本講進度《集合與簡易邏輯》復習二、復習要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解邏輯聯(lián)結詞的含義，會熟練地轉化四種命題，掌握反證法；4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會判斷兩個命題的充要關系；5、學會用定義解題，理解數(shù)形結合，分類討論及等價變換等思想方法。三、學習指導1、集合的概念：（1）集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；（2）集合的分類：①按元素個數(shù)分：有限集，無限集；②按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集｛y|y=X2｝,表示非負實數(shù)集，點集｛（x,y）|y=X2｝表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；（3）集合的表示法：①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+二｛0,1,2,3，..｝；②描述法。2、兩類關系：（1）元素與集合的關系，用w或電表示；（2）集合與集合的關系，用匸，電，二表示，當A匸B時，稱A是B的子集；當A電B時，稱A是B的真子集。3、集合運算交，并，補，定義:AnB={x|xeA且XWB},AUB={x|xeA，或x^B},CUA={x|xeU,且x纟A},集合U表示全集；運算律，如An(BUC)=(AnB)U(AnC)，CU(AnB)=(CUA)U(CUB)，CU(AUB)=(CUA)n(CUB)等。4、命題:(1)命題分類:真命題與假命題，簡單命題與復合命題；(2)復合命題的形式：p且q,p或q,非p；復合命題的真假：對p且q而言，當q、p為真時，其為真；當p、q中有一個為假時，其為假。對p或q而言，當p、q均為假時，其為假；當p、q中有一個為真時，其為真；當p為真時,非p為假；當p為假時,非p為真。(3)四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此,四種命題為真的個數(shù)只能是偶數(shù)個。5、充分條件與必要條件定義：對命題“若p則q”而言，當它是真命題時，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當它的逆命題為真時，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時,稱p是q的充要條件；在判斷充分條件及必要條件時,首先要分清哪個命題是條件,哪個命題是結論,其次,結論要分四種情況說明：充分不必要條件,必要不充分條件,充分且必要條件,既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合q,則當A匸B時，p是q的充分條件。B匸A時，p是q的充分條件。A=B時，p是q的充要條件；當p和q互為充要時，體現(xiàn)了命題等價轉換的思想。6、反證法是中學數(shù)學的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學最基本的內容之一。學會用集合的思想處理數(shù)學問題。例1、已知集合M二{y|y=X2+1,xeR},N二{y|y=x+1,xeR},求MCN。解題思路分析：在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認為是點集,從而解方程組。其次要化簡集合,或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=X2+1,xeR}={y|y>1},N={y|y=x+1,xeR}二{y|yeR}M0N=M={y|y>1}說明：實際上，從函數(shù)角度看，本題中的M,N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域?！愕?，集合{y|y=f(x),xeA}應看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合{(x,y)|y=X2+1,xeR}是有本質差異的，后者是點集，表示拋物線y=x2+1上的所有點，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關例{y|y>1}={x|x>1}o例2、已知集合A二{x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且AClB二B，求實數(shù)m范圍。解題思路分析：化簡條件得A={1,2},AOB=B。B匸A根據(jù)集合中元素個數(shù)集合B分類討論，B=?,B={1}或{2},B={1,2}當B=?時，△二m2-8<0…-2江<m<2遼當B={1}或{2}時，{a=o,m無解|1-m+2=0或4-2m+2=0當B=｛1,2｝時，Ji+2=m[1X2=2m=3綜上所述，m=3或—2邁<m<2?遼說明：分類討論是中學數(shù)學的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質的一個重要方面，如本題當B=｛1｝或｛2｝時，不能遺漏△=0。例3、用反證法證明：已知x、yeR,x+y>2，求證x、y中至少有一個大于1。解題思路分析：假設x<1且y<1,由不等式同向相加的性質x+y<2與已知x+y>2矛盾.假設不成立???x、y中至少有一個大于1說明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證“若p則非q”為假，因在條件P下，q與非q是對立事件（不能同時成立，但必有一個成立）所以當“若p則非q”為假時，“若p則q”一定為真。例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。解題思路分析：利用“二”、“?！狈柗治龈髅}之間的關系D-C。B二A?D-A,D是A的充分不必要條件說明：符號“-”、“?！本哂袀鬟f性，不過前者是單方向的，后者是雙方向的。例5、求直線：ax-y+b=0經(jīng)過兩直線1:2x-2y-3=0和2:3x-5y+1=0交點的充要條件。解題思路分析：從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。由］2x-2y-3=0得一2交點P（1711）〔3x-5y+1=04‘4J過點P二axI!-11+b=04417a+4b=11充分性：設a,b滿足17a+4b=11?11-17ab=4代入方程：+11-17a0TOC\o"1-5"\h\zax一y+=04整理得：（y』）-a（x』）=044此方程表明，直線恒過兩直線y一11=0x一口=0的交點（1Z1!）4'44'4而此點為］與2的交點.充分性得證.綜上所述，命題為真說明：關于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用：”，雙向傳輸，同時證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗充分性。五、同步練習（一）選擇題1、設M二{x|x2+x+2=0},a=lg（lg10），則{a}與M的關系是A、{a}=MB、Mu{a}C、⑻二MD、M「{a}壬王亠2、已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|>3},且AOB=^,則a的取值范圍

A、[0,2]A、[0,2]B、（-2,2）C、（0,2]（0,2）3、已知集合M={x|x=a2-3a+2,aeR},N、{x|x=b2-b,beR},則M,N的關系是A、MuNB、M二NC、M=NTOC\o"1-5"\h\z壬王D、不確定4、設集合A={x|xeZ且-10SXS-1},B={x|xeZ,且|x|<5},貝AUB中的元素個數(shù)A、11B、10C、16D、155、集合M={1,2,3,4,5}的子集是A、15B、16C、31D、326、對于命題“正方形的四個內角相等”，下面判斷正確的是A、所給命題為假B、它的逆否命題為真C、它的逆命題為真D、它的否命題為真7、“aHp”是cosaHcosp”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件eZ},S={y|y=6m+1,meZ}8集合A={x|x=3k-2,keZ},B={y|y=3+1,eZ},S={y|y=6m+1,meZ}之間的關系是A、SA、SuBuAB、S=BuAC、SuB=AD、S呈B=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是A、A、0<m<1或m<0B、0<m<1m<1D、m<110、已知p:方程X2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q:a,b是整數(shù)，則p是q的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C.充要條件D、既不充分又不必要條件填空題TOC\o"1-5"\h\z11、已知M={m|m-4eZ},N={x|x+3eN}，則MON=。2212、在100個學生中，有乒乓球愛好者60人，排球愛好者65人，則兩者都愛好的人數(shù)最少是人。13、關于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是。14、命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題為。15、非空集合p滿足下列兩個條件(1)p莓{1,2,3,4,5}(2)若元素aep,則6-aep,則集合p個數(shù)是。解答題16、設集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|}，若AnB是單元素集合，求a取值范圍。17、已知拋物線C:y=-x2+mx-1,點M(0,3),N(3,0),