大學(xué)物理教程12.4 一維無限深勢阱中的粒子公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

確定粒子哈密頓量；在全空間寫出粒子能量本征方程；利用波函數(shù)自然條件確定確定能量本征值和波函數(shù)。步驟：處理問題：勢阱中粒子——粒子被束縛在某勢場中；勢壘對粒子散射——自由粒子入射到某勢場中。一一維無限深勢阱中粒子金屬中電子因為金屬表面勢能（勢壘）束縛被限制在一個有限空間范圍內(nèi)運動。稱為一維無限深方勢阱。-e-e-e-e-e-e-e假如金屬表面勢壘很高，能夠?qū)⒔饘俦砻婵礊橐粍傂院凶印＜偃缰豢紤]一維運動，就是一維剛性盒子。勢能函數(shù)為：V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱

在勢阱內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程得解為：待定常數(shù)C

和δ解由波函數(shù)自然條件確定。V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱令波函數(shù)在阱壁上連續(xù)條件、本征能量該方程解只能是：

在勢阱外，定態(tài)薛定諤方程V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱

由式（3）可得

由式（4）可得思索：為何n不取零和負整數(shù)？1)

粒子能量：其中能量取分立值（能級），能量是量子化。能量間隔為：能級增大，能級間隔遞增阱變寬，能級間隔下降n=13219E14E1E大質(zhì)量粒子能級間隔小L很大或m很大，能級幾乎連續(xù)

最低能量(零點能)—波動性∞∞V(x)x2)

勢阱中粒子動量和波長阱寬為半波長整數(shù)倍定態(tài)波函數(shù)為歸一化常數(shù)C和定態(tài)波函數(shù)3)

定態(tài)波函數(shù)和粒子在阱內(nèi)幾率分布粒子在阱內(nèi)波函數(shù)為∞∞V(x)x每一個能量本征態(tài)恰好對應(yīng)于德布羅意波一個特定波長駐波（兩個單色波疊加）。波函數(shù)為頻率相同、波長相同、傳輸方向相反兩單色平面波疊加——形成駐波。粒子在勢阱中幾率分布：例已知質(zhì)量為m一維粒子波函數(shù)為：（1）求基態(tài)和第4激發(fā)態(tài)能量；（2）求粒子幾率密度分布函數(shù)；（3）求粒子在基態(tài)和第2激發(fā)態(tài)時最可幾位置。解由波函數(shù)可知，粒子處于寬度為L勢阱中，將波函數(shù)代入薛定諤方程中，可得粒子能級（1）當(dāng)n=1時，對應(yīng)基態(tài)能量為當(dāng)n=5時為第4激發(fā)態(tài)，對應(yīng)能量為（2）波函數(shù)模平方即粒子幾率密度為（3）最可幾位置對應(yīng)幾率密度極值位置，幾率密度一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零。因為基態(tài)幾率密度為令得由此可解出最可幾位置為在這三個位置中，能夠驗證只有x=L/2時幾率密度最大。第二激發(fā)態(tài)幾率密度為由可解出最可幾位置為一樣能夠驗證只有三個位置粒子幾率密度最大。二

隧道效應(yīng)（勢壘貫通）

自由粒子碰到勢是有限高和有限寬勢壘：E<U0xU=U0U=00a透射波利用薛定諤方程能夠求得波函數(shù)：xU=U0U=00a入射波+反射波指數(shù)衰減波其中待定常數(shù)B、C、D、F由以下邊界條件確定：反射系數(shù)透射系數(shù)表明：粒子入射到勢壘上時，有被反射幾率，亦有穿過勢壘透射幾率——隧道效應(yīng)（勢壘貫通）xU=U00axU=U0U=0Oa能夠證實：Φ(x)

可見：m、a、(U0–E)

越小，則穿透率T

越大。當(dāng)ka>>1時[m(U0-E)很小]

[*例]：向墻壁上扔一經(jīng)典球，球被墻壁反彈回來（當(dāng)m很大時，T可能很小）；[*例]:

電子

a=2×10-10

m,(U0-E)

=1

eV但按量子力學(xué)小球有可能進入墻壁中≈51%隧道效應(yīng)只在一定條件