大學(xué)物理教程12.4 一維無限深勢阱中的粒子公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

確定粒子哈密頓量；在全空間寫出粒子能量本征方程；利用波函數(shù)自然條件確定確定能量本征值和波函數(shù)。步驟：處理問題：勢阱中粒子——粒子被束縛在某勢場中；勢壘對粒子散射——自由粒子入射到某勢場中。一一維無限深勢阱中粒子金屬中電子因?yàn)榻饘俦砻鎰菽埽▌輭荆┦`被限制在一個有限空間范圍內(nèi)運(yùn)動。稱為一維無限深方勢阱。-e-e-e-e-e-e-e假如金屬表面勢壘很高，能夠?qū)⒔饘俦砻婵礊橐粍傂院凶?。假如只考慮一維運(yùn)動，就是一維剛性盒子。勢能函數(shù)為：V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱

在勢阱內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程得解為：待定常數(shù)C

和δ解由波函數(shù)自然條件確定。V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱令波函數(shù)在阱壁上連續(xù)條件、本征能量該方程解只能是：

在勢阱外，定態(tài)薛定諤方程V=0∞∞V(x)x無限深方勢阱

由式（3）可得

由式（4）可得思索：為何n不取零和負(fù)整數(shù)？1)

粒子能量：其中能量取分立值（能級），能量是量子化。能量間隔為：能級增大，能級間隔遞增阱變寬，能級間隔下降n=13219E14E1E大質(zhì)量粒子能級間隔小L很大或m很大，能級幾乎連續(xù)

最低能量(零點(diǎn)能)—波動性∞∞V(x)x2)

勢阱中粒子動量和波長阱寬為半波長整數(shù)倍定態(tài)波函數(shù)為歸一化常數(shù)C和定態(tài)波函數(shù)3)

定態(tài)波函數(shù)和粒子在阱內(nèi)幾率分布粒子在阱內(nèi)波函數(shù)為∞∞V(x)x每一個能量本征態(tài)恰好對應(yīng)于德布羅意波一個特定波長駐波（兩個單色波疊加）。波函數(shù)為頻率相同、波長相同、傳輸方向相反兩單色平面波疊加——形成駐波。粒子在勢阱中幾率分布：例已知質(zhì)量為m一維粒子波函數(shù)為：（1）求基態(tài)和第4激發(fā)態(tài)能量；（2）求粒子幾率密度分布函數(shù)；（3）求粒子在基態(tài)和第2激發(fā)態(tài)時最可幾位置。解由波函數(shù)可知，粒子處于寬度為L勢阱中，將波函數(shù)代入薛定諤方程中，可得粒子能級（1）當(dāng)n=1時，對應(yīng)基態(tài)能量為當(dāng)n=5時為第4激發(fā)態(tài)，對應(yīng)能量為（2）波函數(shù)模平方即粒子幾率密度為（3）最可幾位置對應(yīng)幾率密度極值位置，幾率密度一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零。因?yàn)榛鶓B(tài)幾率密度為令得由此可解出最可幾位置為在這三個位置中，能夠驗(yàn)證只有x=L/2時幾率密度最大。第二激發(fā)態(tài)幾率密度為由可解出最可幾位置為一樣能夠驗(yàn)證只有三個位置粒子幾率密度最大。二

隧道效應(yīng)（勢壘貫通）

自由粒子碰到勢是有限高和有限寬勢壘：E<U0xU=U0U=00a透射波利用薛定諤方程能夠求得波函數(shù)：xU=U0U=00a入射波+反射波指數(shù)衰減波其中待定常數(shù)B、C、D、F由以下邊界條件確定：反射系數(shù)透射系數(shù)表明：粒子入射到勢壘上時，有被反射幾率，亦有穿過勢壘透射幾率——隧道效應(yīng)（勢壘貫通）xU=U00axU=U0U=0Oa能夠證實(shí)：Φ(x)

可見：m、a、(U0–E)

越小，則穿透率T

越大。當(dāng)ka>>1時[m(U0-E)很小]

[*例]：向墻壁上扔一經(jīng)典球，球被墻壁反彈回來（當(dāng)m很大時，T可能很?。籟*例]:

電子

a=2×10-10

m,(U0-E)

=1

eV但按量子力學(xué)小球有可能進(jìn)入墻壁中≈51%隧道效應(yīng)只在一定條件