微積分學(xué)課件：1-4a連續(xù)函數(shù)的概念

第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、初等函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)

f(x)

在

U(x0)內(nèi)有定義.一、函數(shù)連續(xù)性定義函數(shù)

f

(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),應(yīng)該滿(mǎn)足以下三點(diǎn)：(1)f(x)在

U(x0)內(nèi)有定義；(包括在點(diǎn)

x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值)注意：函數(shù)

f

(x)在點(diǎn)

x=x0處極限存在與函數(shù)

f

(x)在點(diǎn)

x=x0處是連續(xù)的區(qū)別。２.函數(shù)的增量

例．證明函數(shù)y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。

證：在x0處，函數(shù)的改變量為y=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2。所以y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。例證由定義知3.單側(cè)連續(xù)定理:例解右連續(xù)但不左連續(xù),例：討論函數(shù)

f

(x)=x2,

x

1,在

x=1處的連續(xù)性.函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x=1處不連續(xù).故函數(shù)

f

(x)在點(diǎn)

x=1處是左連續(xù)的.x+1,x

>1,但由于解4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的連續(xù)曲線(xiàn).例如,例證同理可證：二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)f

(x)在

x0處無(wú)定義.函數(shù)間斷點(diǎn)的定義滿(mǎn)足下述三個(gè)條件中的任何一個(gè),則稱(chēng)函數(shù)

f

(x)若函數(shù)

f

(x)在內(nèi)有定義,且在點(diǎn)

x0處在點(diǎn)

x0處間斷,點(diǎn)

x0稱(chēng)為函數(shù)

f

(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)：

.

)(

,)(

lim

(3)00xfaaxfxx1=?但求函數(shù)間斷點(diǎn)的途徑:(1)f

(x)在

x0處無(wú)定義,但

f

(x)在內(nèi)有定義.(2)中至少有一個(gè)不存在.(3)存在,但不相等.(4)但

a

f

(x0

).1.跳躍間斷點(diǎn)例解2.可去間斷點(diǎn)例解注意:

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如上例中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).特點(diǎn)3.第二類(lèi)間斷點(diǎn)例解例解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★