概率論與數(shù)理統(tǒng)計 - 第二章 隨機變量及其分布

沈陽大學教案課程名稱：工程數(shù)學——概率論與數(shù)理統(tǒng)計編寫時間：2006年9月20日第次第PAGE1頁授課章節(jié)第二章隨機變量及其分布目的要求理解離散型和連續(xù)型的隨機變量。重點難點理解不同形式隨機變量的分布?！?隨機變量在第一章里，我們主要研究了隨機事件及其概率，大家可能會注意到在隨機現(xiàn)象中，有很大一部分與實數(shù)之間存在著直接的聯(lián)系。例如，在產(chǎn)品檢驗問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時期正在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某一段時間內(nèi)的話務量等。對于這類隨機現(xiàn)象，其試驗結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。還有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機現(xiàn)象，但也能人為地建立與數(shù)值的聯(lián)系。比如，在投硬幣問題中，每次實驗出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有聯(lián)系，但我們可以通過指定數(shù)“1”代表正面，“0”代表反面，為了計算n次投擲中出現(xiàn)的正面就只須計算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機試驗的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。這就說明了，不管隨機試驗的結(jié)果是否具有數(shù)量的性質(zhì)，我們都可以建立一個樣本空間和實數(shù)空間的對應關(guān)系，使之與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。為了全面的研究隨機試驗的結(jié)果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機變量的概念。定義：設(shè)隨機試驗E的樣本空間為，是定義在S上的單值實函數(shù)，稱為隨機變量。定義表明隨機變量是樣本點e的函數(shù)，定義的方法，有時是直接的，當樣本點e本身就是數(shù)量時，有，如擲色子觀察出現(xiàn)的點數(shù)，有、、…、；有時是人為的，當樣本點e本身不是數(shù)量時，可人為規(guī)定，如拋硬幣觀察出現(xiàn)正反面情況，規(guī)定。為方便起見，通常簡記為X。建立了隨機變量概念，我們要研究它的取值規(guī)律，即分布律。如擲色子觀察出現(xiàn)點數(shù)的模型，定義，它的分布律是：X123456P1/61/61/61/61/61/6有了這個分布律，一切有關(guān)出現(xiàn)點數(shù)的隨機事件，其概率都可借助這張表計算出來，如A=“擲出偶數(shù)點”，則。隨隨機變量的取值方法不同，描述它分布律的方式也不一樣。為此，我們將隨機變量分為兩種類型：離散型和連續(xù)型，進而給出描述它們分布律的方法?！?離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量X是指它只能取到有限個或可列個值。記X可取x1、x2、…、xk、…，以及取到各個值的概率：（k=1、2、……），或列表如下Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…稱此表或為離散型隨機變量X的分布律。作為分布律pk，需滿足以下兩個條件：1°非負性，k=1、2、……；2°歸一性。例1設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈都以1/2的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時它已通過信號燈的盞數(shù)（每盞信號燈工作彼此獨立），求X的分布律。解：以p（0<p<1）表示汽車在每盞信號燈前禁止通過（紅燈）的概率，依題意知，X可取0、1、2、3、4，采用如下方法計算它取到每個值概率，令Ai=“汽車在第i個信號燈前停車”，則，i=1、2、3、4，這樣，，，，?；蛄斜恚篨01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4顯然，它滿足非負性，至于歸一性是因為當，則X的分布律是X01234P1/21/41/81/161/16一般地說，交通崗上信號燈的轉(zhuǎn)換彼此間是獨立的，也就是一輛汽車在這個崗口等到綠燈通過后，到達下個崗口遇到什么信號與上個信號無關(guān)。而沈陽青年大街上的幾個信號燈的信號轉(zhuǎn)換彼此受到約束，這使得汽車在這個街的入口崗口等到綠燈通過后，并按正常的速度行駛，則在其余各個崗口均遇到綠燈。這就是青年大街的綠燈工程。例2將一枚硬幣拋三次，以X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X的分布律。解：H—“正面”，F(xiàn)—“反面”，則樣本空間是，依題意知，X可取0、1、2、3，相應的概率列表如下：X0123P1/83/83/81/8例3擲一枚色子，以X表示出現(xiàn)的點數(shù)，求X的分布律。解：樣本空間是，所以X123456P1/61/61/61/61/61/6下面介紹三種重要的離散型隨機變量。（一）（0--1）分布設(shè)隨機變量X只可能取到兩個值0和1，并且它的分布是、（0<p<1），則稱隨機變量X服從（0--1）分布或兩點分布。它也可列表如下：X01P1-pp對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即，則總能在S上定義一個服從（0--1）分布的隨機變量來描述這個隨機試驗的結(jié)果。（二）貝努利試驗、二項分布只有兩個結(jié)果A和的試驗E稱為貝努利試驗，記。將貝努利試驗E獨立地做n次，稱此一系列試驗為n重貝努利試驗。在n重貝努利試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，它所有可能取到的值是0、1、2、…、n，用k表示其中的任意值，則事件，所以它的分布律為k=0、1、2、…、n。我們稱此分布律為二項分布，記作。下面證明（k=0、1、2、…、n）滿足非負性和歸一性，非負性顯然，至于歸一性，令，有二項分布具有廣泛的實際背景，事實上，如果試驗E只有兩個結(jié)果A和，將E獨立做n次，那么A發(fā)生的次數(shù)X服從二項分布，其中。例4某人向一目標獨立射擊400次，假設(shè)每次擊中目標的概率是0.02，試求他至少擊中目標兩次的概率。解：一次射擊只有兩個結(jié)果：“擊中目標—A”和“未中目標—”，因此，它可以看成是貝努利試驗。獨立射擊400次就是400重貝努利試驗，擊中目標的次數(shù)，這里。事件“至少擊中目標兩次”=，所以例5設(shè)有80臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能用一人修理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是配備4個維修工人，每人負責20臺；其二是配備3個維修工人，同時負責80臺。試比較兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率。解：在任意時刻，一臺設(shè)備有兩種狀態(tài)：出故障和工作正常，因此一臺設(shè)備可以看成貝努利試驗E。按第一配備維修工人方案，以Xi表示第i人維護的20臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則，并且第i人不能及時維修設(shè)備的事件是，以及i=1、2、3、4。所以，按第一配備維修工人方案，存在有故障的設(shè)備不能及時維修的概率是按第二配備維修工人方案，以X表示3人共同維護的80臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則，并且在同一時刻存在不能及時維修設(shè)備的事件是，并且由此可見，第二配備維修工人方案明顯好于第一配備維修工人方案，不僅所用工人少，而且效率高。（三）泊松分布設(shè)隨機變量X所有可能取到的值是0、1、2、…，并且取到各個值的概率為：，k=0、1、2、…，這時我們稱X服從參數(shù)為λ（λ>0）的泊松分布，記做。歸一性：現(xiàn)實生活中有許多隨機變量服從泊松分布，例如，電話交換臺一分鐘內(nèi)接到呼叫的次數(shù)，一本書中一頁出現(xiàn)的印刷錯字的個數(shù)，某醫(yī)院一天內(nèi)急診的患者數(shù)，某城市一天內(nèi)的交通事故數(shù)等等，都服從或近似服從泊松分布?！?隨機變量的分布函數(shù)有些隨機變量的取值不能一一列出，或者說用表達它的取值規(guī)律沒有實際意義。例如，一支燈泡的壽命X是隨機變量，它所有取到的值為[0，+∞），但任取x∈[0，+∞），都有，這里要強調(diào)的是，數(shù)學上說的等式是分毫不差的。而對于這樣的隨機變量，我們更關(guān)心的是X落入一個區(qū)間的概率。如果我們規(guī)定燈泡的壽命超過500小時為合格品，自然我們就要考慮的概率，即。為了描述這樣的隨機變量的取值規(guī)律——分布，本節(jié)給出分布函數(shù)的概念。定義設(shè)X是隨機變量，任取x∈R，是一個隨機事件，它的概率有實際意義，可以理解與x有關(guān)，因而構(gòu)成x的函數(shù)，記這個函數(shù)為，即，稱此函數(shù)為隨機變量X的分布函數(shù)。分布函數(shù)的性質(zhì)：1°是x單調(diào)不減函數(shù)任取，則，因而。|x1|x1|x22°是有界函數(shù)，且，3°是右連續(xù)的，即。例1設(shè)隨機變量X的分布律為X-123P1/41/21/4求X的分部函數(shù)以及、、。解：因為X只取-1、2、3，而在其它不取值，因而當x<-1，事件為不可能事件，所以；當-1≤x<2，事件，所以；當2≤x<3，事件，所以；當3≤x，事件，所以。綜合上述得，圖形如下F（x）??????-123x，，。例2一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶。以X表示彈著點與圓心的距離，求X的分布函數(shù)。解：當x<0時，事件為不可能事件，所以；當0≤x≤2，依題意，k為比例常數(shù)，取x=2時，，所以k=1/4。當2<x，事件是必然事件，。綜合上述得，圖形如下的導數(shù)記為，則。稱f（x）為隨機變量X的密度函數(shù)。§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度有些隨機變量所有取到值的個數(shù)不能一一列出，比如取在某個區(qū)間I內(nèi)的所有實數(shù)，這樣的隨機變量不能象描述離散型隨機變量的分布律的方式描述它的取值規(guī)律。事實上，如果隨機變量X的所有取值構(gòu)成一個區(qū)間I，那么對于任意的x∈I，事件是沒有實際意義（），而對于任意的區(qū)間（a，b]∈I,事件有現(xiàn)實的意義，下面借助分布函數(shù)F（x）探討描述的方法。我們知道，在高等數(shù)學中，牛頓—萊布尼茨公式：，因此有。這樣，隨機變量X落入?yún)^(qū)間（a，b]的概率可以由一個函數(shù)f（x）在這個區(qū)間上的積分確定，稱f（x）為概率密度。這就是描述這種隨機變量取值規(guī)律的方法—密度函數(shù)法，我們稱這種隨機變量為連續(xù)型隨機變量。對于密度函數(shù)f（x）有如下性質(zhì)：1°非負性f（x）≥0，x∈（-∞，+∞）。（如果存在f（x0）<0，則存在包含x0的區(qū)間（a,b]，使得，導致錯誤）2°歸一性。密度函數(shù)的非負性、歸一性的幾何意義如下：的幾何意義如下：3°X的分布函數(shù)與X的密度函數(shù)，有。再由高等數(shù)學知識可得，對于的連續(xù)點有。的幾何意義如下：對于連續(xù)型隨機變量X，因為，所以。例1連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)c，（2）。解：（1）由歸一性得c=3。（2）。下面介紹幾個重要的連續(xù)型隨機變量（一）均勻分布如果隨機變量X的概率密度為則稱X在（a，b）上服從均勻分布。如果X在（a，b）上服從均勻分布，那末,對于任意滿足的，應有該式說明取值于（a，b）中任意小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無關(guān)。這就是均勻的含義。均勻分布的隨機變量，其分布函數(shù)為。例2設(shè)電阻值R是一個隨機變量，它均勻分布在（二）指數(shù)分布如果隨機變量X的概率密度為則X稱服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。指數(shù)分布也被稱為壽命分布，如電子元件的壽命，電話通話的時間，隨機服務系統(tǒng)的服務時間等都可近似看作是服從指數(shù)分布的。3.正態(tài)分布如果隨機變量的概率密度為；其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布(Normaldistribution)，記為.由高等數(shù)學可知，eq\o\ac(○,1)當/