三角函數(shù)的易錯點以及典型例題與高考真題

三角函數(shù)的易錯點以及典型例題與真題三角公式記住了嗎？兩角和與差的公式；二倍角公式:萬能公式正切半角公式解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角,看函數(shù),看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次。萬能公式：(1)(sina)2+(cosa)2=1(2)1+(tana?=(seca)2(3)1+(cota)2=(csca)2⑷對于任意非直角三角形，總有tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC(證明：利用A+B=n-C)同理可得證，當x+y+z=nn(nEZ)時，該關系式也成立由tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC可得出以下結論：cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC⑼設tan(A/2)=tsinA=2t/(1+tA2)(AH2kn+n,kWZ)tanA=2t/(1-tA2)(AH2kn+n,kEZ)cosA=(1-tA2)/(1+tA2)(AH2kn+n，且AHkn+(n/2)kEZ)在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？正切函數(shù)在整個定義域是否為單調(diào)函數(shù)？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？在三角中，你知道1等于什么嗎？（1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x兀兀=tanx-cotx=tan=sin=cos0=AA這些統(tǒng)稱為1的代換）常數(shù)“1”的42種種代換有著廣泛的應用．（還有同角關系公式：商的關系，倒數(shù)關系，平方關系；誘導公試：奇變偶不變，符號看象I在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換．（如a+B（B\（a\P=（a+卩）-a，B=（a-卩）+a，—-—=a-牙-—-B等）2\2丿I2丿5.你還記得三角化簡題的要什么嗎？項數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母不含三角函數(shù)、且能求出值的式子，一定要算出值來）6.你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）；你還記得降冪公式嗎？cos2x=（1+cos2x）/2;sin2x=（1-cos2x）/27.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎？（sin15o=cos75。=———,sin75。=cos15°—'6+"2,sin18o=1）448?你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？（l—a|r,S扇形-1Ir）扇形2輔助角公式：asinx+bcosx—、：a2+b2sin（x+9）（其中9角所在的象限由a,bb的符號確定，9角的值由tan9-—確定）在求最值、化簡時起著重要作用.a三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）圖象的草圖能迅速畫出嗎？能寫出他們的單調(diào)區(qū)、對稱軸、對稱中心，取最值時的X值的集合嗎？（別忘了keZ）三角函數(shù)性質要記牢。函數(shù)y二Asin?,x+申）+k的圖象及性質：2兀振幅|A|，周期T二岡,若x=x0為此函數(shù)的對稱軸，則X。是使y取到最值的點，反之亦然，使y取到最值的x的集合為函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當0時要利用誘導公式將?變?yōu)榇笥诹愫笤儆蒙厦娴慕Y論。五點作圖法：令ex+p依次為0牛,兀冷,2兀求出x與y，依點G,y）作圖22注意（2）砒+P的整體化法思維求單調(diào)性、對稱軸、對稱中心、值域等。（2）用換元法時，注意新的定義域圍。三角函數(shù)圖像變換還記得嗎？平移公式（1）如果點P（x,y）按向量方=（h,k）平移至P'（x；y1）,則Jx'=x+h,、y'=y+k.（2）曲線f（x,y）=0沿向量~a=（h,k）平移后的方程為f（x-h,y-k）=012?解三角形的幾個結論：（1）正弦定理:（2）余弦定理:⑶面積公式在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時,你是否注意到它們各自的取值圍及意義？異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值圍依次是（兀］兀0,牙，［0,〒］,［0,兀］。V2」2直線的傾斜角、l到l的角、l與l的夾角的取值圍依次是1212兀［0,兀），［0,兀），（0,三］。2兀兀兀兀反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值圍分別是［-亍于?，兀］，（-q，q）三角函數(shù)易錯點的典型例題

1）隱含條件例1.設0<a<兀，sina+cosa=—，則cos2a的值為^2TOC\o"1-5"\h\z^7錯解：sin2a—-才，丁0<2a<2兀，.?.cos2a—±-。正解：sina>0,cosa<0且sina+cosa=—>0,2兀3兀小3兀7—<a<—兀<2a<—cos2a———4’2'47例1-1?已知sinx+cosx=—,0<x<兀，貝tanx=—25錯解：—-5或——2°—2正解：-丁例1-2.一組似是而非的問題在AABC中,在AABC中,在AABC中,cosA在AABC中,在AABC中,在AABC中,cosA—3cosA—3sinB-A—3sinB-A—3—2cosB——13'求sinC的值。求cosC的值。求sinC的值。①解①解.0<A<兀,0<B<兀，sinA—v1一sinA—v1一cos2A—455cosB*—一sin2B—一気)2—±—213'sinCsinC—sin[兀-(A+B)]—sin(A+B)—sinAcosB+cosAsinB,1235634123533sinC=—x—+—x———或sinC=-—x—+—x——-——135136551351365又.C為三角形的角，又.C為三角形的角，???sinC>0sinC—6365②解：.0<A<②解：.0<A<兀,0<B<兀，sinA=\,1一cos2A—4'5cosB=±'1-sin2B二土*1一気)cosC=cos［兀-（A+B）］=-cos（cosC=cos［兀-（A+B）］=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB,1231245當cosB=一時cosC=-_x一+_x一=勻13513513653124556cosC=—x+—x=-51351365'5612?/cosC=<=-cosB=cos@-B）6513一16當cosB=-12時當13時’廠16cosC=--。65注：舍去增解是難點，可利用單位圓中的余弦線段先作直觀判斷C>兀一B，即B+C>兀，③解：???0<A<兀,0<B<兀，cosA=±、；1一sin2A3±5sinB=\1一cos2Bi12=\1-宣213sinC=sin［兀-（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,TOC\o"1-5"\h\z1235634123533sinC=—x+—x=i或sinC=—x——x=-。135136551351365注：此題兩解均成立。若求sinC，必為兩情形之一：兩解均成立或一解為負值；例2?已知方程x2+4ax+3a+1=0（a為大于1的常數(shù)）的兩根為tana,tan0,且a、兀兀a+00$（-q，2），則tan2的值是1錯解：2或—2。c兀a+0a+0正解：由tana<0,tan卩<0知：--<二<。，二tan2的值是一2。兀例2—1?已知tan9和tan（才-9）是方程x2+px+q=°的兩根，則p、q間的關系是（）（A）p-q+1=0（B）p+q+1=0（C）p+q-1=0（D）p-q-1=0答案：C。例2—2.已知tanx+tany=25,cotx+coty=30，則tan（x+y）=（）（A）120（B）150（C）180（D）200答案：b1=1?DO

2）綜合應用題型時，注意考慮全例3?關于x的方程x2+xsin29-sin9cot0=0的兩根為a、0，且°<2兀。若數(shù)列2112221122例5.終邊上一點P（x,”5）且COSa=^4x,求sina-錯解：Sina=tanacosa衛(wèi)?遼x=邁。1G1G+十），（i+|）2'的前100項和為0，求9的值。錯解：由韋達定理知：a+卩=-sin20,=—cos0???（丄+4）錯解：由韋達定理知：a+卩=-sin20,=—cos0???（丄+4）=2sin0a0c1-（2sin0）i°°小.c,1cccc兀c5兀八7兀由Si°°=1-2sin0=°得sin9=±2，°<9<2^，A0=6或T或"611兀或0=—6正解:（1）當q=1與q豐1時，等比數(shù)列的求和公式不同；（2）方程有解還應考慮△三0。11兀3）去絕對值要注意分類討論例4.若cota=m,ae（兀，2兀），則cosa=錯解：由1+cot2a=csc2a解得sin2am2cos2a=1+m2?cosa=±=±V1+m2；1+m2m2m正解：cosa=±=-r1+m2*1+m2?.?當m>°時，a為第三象限角，cosa<°，當m<°時，a為第四象限角，cosa>°,當m=0時，cosa=0。例4-1若x-y=A（定值），則sinx-siny的最大值為。錯解：sinx-siny=2cosx+yx-ysin—

22=2cosx44正解：①若x=0時，cosa=0,sina=1②當x強0時，sina=tana?cosa=$?乞2x=也0x445）式子處理考慮要全面例6.已知cos例6.已知cos0<1+tan20sin0<1+cot20k=cos20（0H-兀,kgZ）,.求0的取值圍.2cos0>cos0>0sin0<0'13同理得-2-mJ2錯解：cos0Icos0I+sin0Isin01=cos20-sin20兀c???--+2冊<0<2切,kgz兀3兀正解分析:cos0<0,Icos0I=sin0時也成立，故為（-+2k兀,2k兀）U{2k兀+},kgZ24解：令cosacos卩=m貝Usinasin卩+cosacos卩二m+二a1cos（a-卩）=m+—a1m二cos（a-卩）-—-1-cos（a-卩）-13<<1-2-m-2例6-1.已知sinasin卩求COSacos卩的取值圍1cosacos卩—sinasin卩分析：又由1m6）式子處理導致有增根要代入驗證例7.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求乙C的大小.

解：兩式平方相加：sin(A+B)=2,.?.A=3Oo，或A=150o°.?.C=30o。當a=30o時，4sinB+3cosA>4sin0o+3cos300>1故應舍去。注：舍去A=300對學生來說是一個難點。7）注意換元后的取值圍例8.已知sinx+siny=|，求sinx—cos2y的最大值和最小值。錯解―：sinx-cos2y=(sinx+6)2-11,當sinx=-6時，取得最小值-12；當sinx=1時，取得最大值1;12錯解二：sinx-COS2y=(cosx-丄)2-,212當cosx=2時，取得最小值-裁；當cosx=-1時，取得最大值3；正解分析：解法二忽略了圍限制得：-1<siny<1”得：-1<siny<1應由Ii<?1?<1-1<sinx=—-siny<1I3三角函數(shù)高考真題匯集

全國卷號值一B題7:11T2n?tL址空由S&Z為「■:'釈f1ITafl1.1—J_ll.^fwf￡-17-h「■Jfi5-2」二6和sslnN"cCOI4.)...)..X-J.II.I7d[((1￡弦壬屮.■匸1-^1-H11;:n.—211H□.-已函「x"2.?4仕-且Av恥A耳2-BC3.C汕.45*玫詣JiSI—-XIJ-]TL7?ff.-=-.1W1於rr11題5^…、M.SC附F曲A.3X附對力SI5氐帚.F.茫sin5i-sinA(5inC-cosQ—D.dr—2c—逅=則C—.正弦走理17年2卷〔文）-A頑5井LG、^3C的廠予A.B^C的對?力拎?il5乞A：.~幻2ifcos^=flcosC+JCD5ZRi.3=.正弦定理〔邊角成比例〕17年3卷:丈｝?題5分1G、AABC的L予久恥的對邊分刖士朋；.E幻C-6D°：i~^6:c-3:hi]A=.匚弦疋理1n年1巷17題12分17、^SC曲廠予A.8,C苦對為仆?il汩P.邛2cosC（acosB-bcceX）=c.〔【：求G〔】1〕若c=41^ABC的面積為f,求皿眈的周長..1）正弦走理〔邊角咸比⑴面積公式+金弦定理:■這U.'；亡：■:卷D1曰）15年2希1/更5廿1—3U已內(nèi)曲/,艮＜?孫玄邊疔引大皆coM=^.?kC=*，住=1"Qib=.n角相匸主的二甬的數(shù)-止扭亡圮；芒堯牌刀拄土相對復雜）

1E年1卷圧題5分|1隊在平面四邊形0BCD中亠=上?=』7=?；洺罂?2：則4P的取值范圍是.上嗟壬坦；姙度總丈，＜彈方兀蓋代；1E-2^17^12^丄'■、乂骯■豐.D邑丸■上打乩AD二巧丄恥匚,^4BD頁田.是站面田.柯二信.門八總血上￡；sin￡C（I：）若一TD-1?DC-^?朮占ZH匚￡0扣1：.⑴正弦走理+面積公式〔左=丄晶」-7^sinC宅珂'.22〔"余弦定理建立詳式lb.+壬斜"牛丄蘭二也9-幵科inlb.+壬斜"牛丄蘭二也9-幵科in與面積公式+全弦定建〔用已知表示未知求比例）4、rFlSA.3.Cr力八刊吉n^c.K14’1卷16顧E分-觸^.Ka:b.c計引為&號C茁二1±1肖A:2:C的,42=2.=(2+^5111.4-81115)=((.-&)sitlC?回AdRC百積的最丈-'且力.正弦定理〔邊角成比例〉+余弦定理+面積公式+基萍不竽式＜F十t?“比＞求最值14年生題-命目二目時豈BQ蘆而珂昌￡.如才1.畐口一夭”劇總€=八、曲積公式+會弦疋理5井A.5E75〔因為鈍角,討論取舍｝C.2D113年17題17.婦匡，在ViBC,^BC=90°AB=J3：JBC=1.^\⑴余弦定理1巷12分⑷C內(nèi)-點上胖（？=旳口.3正弦定理

〔:）若円=2*巴匸：T【■）若j：APS=\50°.求T.3JIXPBA.13年2吉坪題12分17.WC莊打吊A,BX知：TG.；'別肯a^c,F.知a=freesC+csin5-（］）求“〔U）若―求\ABC面烈的最大值.⑴止弦定理（邊甬成比1>;⑵面積公■式+余弦走理+吳卞-卜尋式Uc"t1卷16題棗恨〕真題匯集答案1)2017年1卷理科17題【解新】我題主癸考查三角禹鉄及其變談二注建理，余弦定理竽塞礎知識的竦合應用一⑴「3"和乜乂且d嚴魚—-—=—bc?inA3dnJ23i.?:

=—besin出T由竺弦■定理睜sin2^=—sin5sinCsin1A、2>_2sin=t0sinsinC=-3?1⑵由⑴柏n閘0”心曲飛r.'A-B-C=71叉T衛(wèi)亡(0,兀)2"sin宀孚"=；占余潔定理得/=襯十孑_阮=?①占竺潔定理得右=」一山110,￡=—?--sinCsinAsinA2)2017年2卷理科17題17（1）lll^-C=.--^f°3in^=83m1^|，即s￡=4sin??.-,tail$—2,得tan5—-^―,U!ll右cos3—「-2415L7（.2?由〔1）可知日in用」占，則-^acsinS_2,得血一琴■sn5Lb2二口二+€^—2oroosB—（口十e）2―2ar—_ac=49貝［］應二2173)2017年3卷理科17題21211?-解；(1)■.'sin/q-JIcos衛(wèi)=0tantanA：=廣扌+秩一』2C05.C==—=2血厲由余弦定理知■.jn=^c.taic=-4D-4D-AB-sin^/DAB=—x>/3斗4k—=2DC14+F-282=Aa雀理可得：c亠-玄一24=D*=丄：心=百（舍去｝⑷2017年文科1卷11題：C=30度。所以選B⑸2017年文科2卷16題：B=60度。⑹2017年文科3卷15題：A=75度。7）2016年理科1卷17題117)(117)(本小瞞分為12分)穽「工扌爭衣正丕定覇，2cosC(sinAco&B-sinBcosAi=sinC,即JcoiCsimA-Bi-sinC-故2sinCcosC=sinC.^ficosC-1,:JJ..C-4-(II)由已知，-absinC=J>JJ.22XC=|,pJr以加=6.由已知JI余弦定理得，a2-b2-2abcosC=7.^..cr-l>2=13,從而(a4-b"}=25.所AABC的周氏為5+J??⑻2016年理科2卷13題：⑼2016年理科3卷8題2016年文科1卷17題：b=3;所以選D21（12）2016年文科2卷15題同理科8題：2016（12）2016年文科2卷15題同理科8題：”2015年理科1卷16題：解析：如團所示，延長乩勺，CD交于E,平移貝D，當川與D重合干丑點時,AB^,在ZB=z.C=75:;ZE=3（T,…由正弦定理可得需二黑'解得噲屁Q平移貝D，當D與C重合時,AB最矩，此時在XBCF口，曲=?FC=75：,ZFC5=30：/r/