計(jì)算教學(xué)中的創(chuàng)新思維培養(yǎng)匯總

以內(nèi)進(jìn)位加法計(jì)算是一種映射。如果給出若干元素，按照某種法則存在唯一元素與它相對(duì)應(yīng)，稱之為計(jì)算。計(jì)算學(xué)習(xí)包括算法理解，技能習(xí)得和問(wèn)題解決，它們相互聯(lián)系并構(gòu)成教學(xué)的整體。教學(xué)中要處理好三者之間的關(guān)系，注意避免把獲得正確的計(jì)算結(jié)果作為教學(xué)的唯一要求，應(yīng)當(dāng)重視在計(jì)算活動(dòng)中對(duì)學(xué)生的思考性訓(xùn)練，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。下面以20以內(nèi)進(jìn)位加法為例，談一些思考和實(shí)踐。一、學(xué)前基礎(chǔ)的調(diào)查與教學(xué)啟示現(xiàn)在的小學(xué)生大部分受過(guò)學(xué)前教育，在學(xué)習(xí)20以內(nèi)進(jìn)位加法之前，已有相當(dāng)一部分學(xué)生能熟練計(jì)算。2000年11月，我們?cè)趯W(xué)生正式學(xué)習(xí)這一內(nèi)容之前的一個(gè)月，對(duì)杭州市上城區(qū)一年級(jí)470名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得出的結(jié)論是45.93%的學(xué)生能較熟練地進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算速度達(dá)到每分8題，平均每題的通過(guò)率是77.53%。2009年11月，我們?cè)俅螌?duì)這一地區(qū)一年級(jí)新入學(xué)的491名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，學(xué)前平均每題的通過(guò)率竟高達(dá)91.62%。兩次測(cè)試每題通過(guò)率如下表：20012009年2001200920012009題年通題目年通年通過(guò)題目年通過(guò)年通過(guò)目通過(guò)率過(guò)率過(guò)率率率率98.0296.22%8+792.2186.94%6+871.9090.38%9+2%%96.2392.78%8+881.0393.13%6+965.5392.44%9+3%%97.4496.22%8+958.5189.00%5+696.0895.19%9+4%%91.0691.41%7+468.7293.81%5+782.3489.69%9+5%%84.8990.38%7+571.7094.50%5+868.5190.38%9+6%%64.6887.63%7+669.7987.97%5+978.7294.85%9+7%65.7487.63%7+774.0489.69%4+770.8590.38%9+8%%84.0489.00%7+870.2189.00%4+882.5592.10%9+9%%75.3293.13%7+944.6889.00%4+950.8590.72%8+3%%94.7491.07%6+574.8992.44%3+863.4091.75%8+4%%73.8395.88%6+692.3491.97%3+995.2893.81%8+5%%87.7087.63%6+780.3191.75%2+982.7796.56%8+6%%需要說(shuō)明的是，測(cè)試題目就是表中所列的36式，但并非按上述順序，而是打亂順序隨機(jī)排列的。兩次調(diào)查的結(jié)果都表明，僅就獲得計(jì)算結(jié)果而言，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)20以內(nèi)進(jìn)位加法之前，已經(jīng)具備十分扎實(shí)的基礎(chǔ)，與《課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）提出的每分8～10題的要求已十分接近?；谶@樣的事實(shí)，教學(xué)20以內(nèi)進(jìn)位加法，學(xué)習(xí)起點(diǎn)如何定位？教學(xué)的重心如何轉(zhuǎn)向？我們的回答是，教學(xué)的重心不再是計(jì)算技能的習(xí)得，而應(yīng)該在理解算理和掌握算法的基礎(chǔ)上，把重心放在計(jì)算活動(dòng)中的數(shù)學(xué)方法訓(xùn)練上，通過(guò)合適的訓(xùn)練形式挑戰(zhàn)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。二、問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)與算理理解理解算理是掌握算法的邏輯起點(diǎn)。在學(xué)習(xí) 20以內(nèi)的進(jìn)位加法之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了 10以內(nèi)的加法與減法，包含相應(yīng)的十幾加幾或減幾，這些計(jì)算都不涉及進(jìn)位與退位，側(cè)重于對(duì)運(yùn)算意義的理解并把計(jì)算關(guān)聯(lián)到廣泛而不同的情境。 從20以內(nèi)的進(jìn)位加法開(kāi)始，教學(xué)轉(zhuǎn)向形式化的計(jì)算并側(cè)重于對(duì)算理理解和算法掌握。教學(xué)時(shí)以“湊 10法”為基礎(chǔ)，通過(guò)問(wèn)題情境，幫助學(xué)生理解算理，探索多種算法。如，先出示情境圖。師：觀察這幅圖，你知道了什么？生：左邊有 8個(gè)雞蛋，右邊有 5個(gè)雞蛋。師：一共有多少個(gè)雞蛋，可以怎么算？生：8+5＝13.師：你是怎么算出答案 13的？生：8與10相差2，5里面有2，把2分到8這里去就是10了，還多3個(gè)，就是13。師：剛才這位同學(xué)說(shuō)的是什么意思？生：只要把左邊擺成 10個(gè)，右邊就剩下 3個(gè)，一看就知道是 13。學(xué)生解釋，教師根據(jù)師生對(duì)話，先動(dòng)態(tài)演示移動(dòng)雞蛋的過(guò)程，再完成下面的板書(shū)（如下面左圖）。師：還有沒(méi)有別的方法也能算 8＋5？討論中，學(xué)生以匯報(bào)了以下三種方法：生1：把8分成3和5，5加5等于10，再加上3就是13.（如上面右圖）生2：把8當(dāng)成10，用10＋5，因?yàn)?不到10，多算了2，要減去，這樣它的答案也是13。學(xué)生解決問(wèn)題策略多樣化是創(chuàng)新思維的表現(xiàn)。但是這些策略不是無(wú)源之水，與教材的編排設(shè)計(jì)與學(xué)生經(jīng)歷的訓(xùn)練有關(guān)，限于篇幅，這里主要討論“湊 10法”。首先，“拿雞蛋”的活動(dòng)情境隱含了“湊 10”的思考過(guò)程，情境支持了算理的理解。教學(xué)中，教師的主要任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生解釋和說(shuō)明，讓學(xué)生通過(guò)多樣的方法演繹“湊 10”的思考過(guò)程。學(xué)生經(jīng)歷了問(wèn)題情境、語(yǔ)言敘述和算式表征之間相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)譯的過(guò)程，并在這個(gè)過(guò)程中理解算理，掌握算法。其次，學(xué)生為什么會(huì)對(duì)“湊10”比較敏感？這個(gè)問(wèn)題可以聯(lián)系到教材設(shè)計(jì)認(rèn)數(shù)活動(dòng)中。我們?cè)谠O(shè)計(jì)“認(rèn)識(shí)10”時(shí)，強(qiáng)調(diào)把“10”作為一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，重視以“十”為單位計(jì)數(shù)。如延續(xù)到認(rèn)識(shí)十幾的數(shù)時(shí)，十分重視“圈 10”的訓(xùn)練。如20以內(nèi)進(jìn)位加法的教學(xué)，以“湊 10”為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在相似情境中遷移計(jì)算方法，這樣就可以改變以往 8加幾、7加幾?逐類教學(xué)的方式， 通過(guò)集中一兩節(jié)課理解算理， 探索多樣算法，然后在后繼的鞏固練習(xí)中形成熟練的技能，提高教學(xué)的效率，把更多精力投入到更有價(jià)值的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。三、數(shù)學(xué)思想滲透與數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練20以內(nèi)進(jìn)位加法，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)。 教學(xué)時(shí)，不能止步于形成熟練的計(jì)算技能，而應(yīng)當(dāng)通過(guò)豐富多樣的形式，加強(qiáng)計(jì)算活動(dòng)中的思考性訓(xùn)練，滲透數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。形數(shù)轉(zhuǎn)換。通過(guò)坐標(biāo)圖中的形與數(shù)、形與式的轉(zhuǎn)換，建立數(shù)、式、形的聯(lián)系，滲透形數(shù)結(jié)合的思想。信息推理。根據(jù)情境信息，在理解基數(shù)與序數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，對(duì)信息進(jìn)行加工處理，解決問(wèn)題。聯(lián)系比較。根據(jù)式與式之間的關(guān)系，靈活選擇計(jì)算的方法，并為后繼學(xué)習(xí)乘加、乘減作準(zhǔn)備。代數(shù)思維。從同數(shù)連加求和到同圖連加已知和求圖形所示的數(shù)，培養(yǎng)可逆思考能力，滲透初步代數(shù)思維。構(gòu)造性方法。如，等距搭配。觀察數(shù)列的規(guī)律，構(gòu)建和相等的式子。先從4,5,6,7,8這五個(gè)數(shù)中，找出兩個(gè)數(shù)相加后和相等的三對(duì)數(shù)。4+7＝□+□ □+□＝□+□ □+□＝□+□再把這五個(gè)數(shù)填在每個(gè)圖的小方格里，使橫、豎三個(gè)數(shù)的和相等。4和是□ 6 和是□ 8 和是□又如，選數(shù)填空。先構(gòu)建出基本的等式，再通過(guò)數(shù)的分解獲得多種解法。此題共有52個(gè)解，按和值分類，解的個(gè)數(shù)呈正態(tài)分布。在限定的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生能否得到解答，能得到幾個(gè)解答，可以反映學(xué)生的基本運(yùn)算能力和解題策略水平。我們對(duì)兩個(gè)地區(qū)567名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，通過(guò)和值相等的口算系列訓(xùn)練之后，學(xué)生解題此題的通過(guò)率比自然狀態(tài)（沒(méi)有經(jīng)過(guò)系統(tǒng)訓(xùn)練）有很大提高，能獨(dú)立得到1個(gè)及1個(gè)以上解的從提高到95.3%，其中能得到5個(gè)以上解的從12.7%提高到63.3%。再如，方格連數(shù)。

78.5%根據(jù)不同的年級(jí)，可以把和數(shù)改成30，40或其它，答案多達(dá)數(shù)十種。這種類型的練習(xí)，結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，但是訓(xùn)練的容量很大。以上練習(xí)，可以安排在學(xué)習(xí)了20以內(nèi)進(jìn)位加法之后進(jìn)行，練習(xí)目的除了鞏固基本的計(jì)算方法，形成熟練的計(jì)算技能之外，更側(cè)重于數(shù)學(xué)思想的滲透和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練。由于計(jì)算的算式一般不是直接給出，而是由學(xué)生自己構(gòu)造出來(lái)，計(jì)算時(shí)需要思考數(shù)與數(shù)的關(guān)系或數(shù)的空間位置，思考性和挑戰(zhàn)性明顯增強(qiáng)。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，這些富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系的知識(shí)基礎(chǔ)并不復(fù)雜，學(xué)生創(chuàng)新思維主要體現(xiàn)在觀察、比較、探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程之中。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)注重開(kāi)發(fā)既聯(lián)系重要基礎(chǔ)，又能拓展思維空間的學(xué)習(xí)材料，把加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)與培養(yǎng)創(chuàng)新思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。同時(shí)，那種認(rèn)為學(xué)生年齡太小，學(xué)習(xí)內(nèi)容太簡(jiǎn)單，不能進(jìn)行創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)的想法也是錯(cuò)誤的。表內(nèi)乘、除法乘、除法是學(xué)生學(xué)習(xí)了加、減法之后再學(xué)習(xí)的新運(yùn)算。學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法需要更多的數(shù)學(xué)理解，要以新的思維方式進(jìn)行思考，一般認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法是計(jì)算概念的一次擴(kuò)展，是認(rèn)知上的一次飛躍。在學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法之前，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行鋪墊性訓(xùn)練，以降低學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)第一時(shí)間所產(chǎn)生的難度，提高新知的掌握水平。同時(shí)，乘、除法的學(xué)習(xí)拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)視野和應(yīng)用數(shù)學(xué)的空間， 教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，特別是推理能力。一、乘、除法學(xué)習(xí)的鋪墊性訓(xùn)練乘法表示兩個(gè)集合之間“一與多”相對(duì)應(yīng)的恒定關(guān)系。乘法涉及兩個(gè)數(shù)，分別是每個(gè)集合中物體的個(gè)數(shù)和集合的個(gè)數(shù)，即通常教學(xué)中所說(shuō)的相同加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)。乘法是表示同數(shù)連加的一種方法，求幾個(gè)相同加數(shù)的和可以用乘法計(jì)算，這說(shuō)明乘法與加法密切聯(lián)系。但是，與加法相比較，由于乘法中每個(gè)數(shù)所起的作用不同，理解乘法中三個(gè)數(shù)是如何聯(lián)系的，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求更高。因此，在正式學(xué)習(xí)乘法之前，有必要安排鋪墊性的訓(xùn)練。同數(shù)相加。乘法的本質(zhì)是一類特殊的加法，這里所指的特殊就是加數(shù)相同。如結(jié)合圖示直觀，初步感知每份量、份數(shù)與總數(shù)之間的關(guān)系。把同數(shù)相加的問(wèn)題情境轉(zhuǎn)譯成“幾個(gè)幾相加等于幾”，為學(xué)習(xí)乘法這一新知識(shí)的含義打下基礎(chǔ)。2.一與多對(duì)應(yīng)。一與多對(duì)應(yīng)是指一個(gè)與多個(gè)相對(duì)應(yīng)，學(xué)生遇到的比較簡(jiǎn)單的乘法形式，如1輛汽車有4個(gè)輪子，就是這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。日常生活中這種例子比比皆是。如在正式學(xué)習(xí)乘法之前，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)集合中物體的個(gè)數(shù)與集合的個(gè)數(shù)，體會(huì)這些數(shù)的含義以及它們之間的關(guān)系，為學(xué)習(xí)乘法積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。遞推計(jì)算。這里所指的“遞推”不是指演繹推理中遞推關(guān)系，而是在同數(shù)相加的計(jì)算中，基于已有的計(jì)算結(jié)果，結(jié)合相同加數(shù)個(gè)數(shù)的變化推算出新的得數(shù)。如這種訓(xùn)練結(jié)合20以內(nèi)的進(jìn)位加法進(jìn)行，使學(xué)生在熟練加法計(jì)算的同時(shí)，獲得對(duì)相同加數(shù)，相同加數(shù)個(gè)數(shù)等概念的初步理解。隨著學(xué)生認(rèn)數(shù)范圍的擴(kuò)展，這類鋪墊可以結(jié)合不同的基礎(chǔ)進(jìn)行。如學(xué)習(xí)兩位數(shù)加一位數(shù)之后安排：聯(lián)系進(jìn)位加法的學(xué)習(xí)，安排：除法學(xué)習(xí)的早期鋪墊，主要包括兩個(gè)方面：一是理解除法的上位概念平均分，二是積累把物體平分的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這兩個(gè)方面是相互聯(lián)系的，在實(shí)際教學(xué)中也可以結(jié)合在一起進(jìn)行。如教學(xué)時(shí)，可以呈現(xiàn)幾種不同的分法，如通過(guò)正反兩種例子的比較，幫助學(xué)生建立平均分的概念。進(jìn)一步，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖或操作學(xué)具，把物體拆分成相等的集合。如平分對(duì)兒童來(lái)說(shuō)是很生動(dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在平分活動(dòng)中，需要考慮三個(gè)因素，一是全體的大小，二是分為幾部分和每部分的大小，三是每部分必須相等。這些思考構(gòu)成了理解平均分的基礎(chǔ)。平均分通常有兩種含義：一是多個(gè)物體的平均分配，二是一個(gè)物體的平均分。前者是認(rèn)識(shí)除法的基礎(chǔ)，后進(jìn)是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的起點(diǎn)。一般在學(xué)習(xí)除法之前只講前者，對(duì)于基礎(chǔ)較好的班級(jí)，也可以適當(dāng)考慮后者。如讓學(xué)生判斷下圖中哪些是把長(zhǎng)方形平均分的？乘法是加法的重復(fù)，除法也可以看作減法的重復(fù)， 乘法和除法的實(shí)際計(jì)算結(jié)果可以由連加或連減導(dǎo)出，這些運(yùn)算之間的聯(lián)系，可以通過(guò)問(wèn)題情境的驅(qū)動(dòng)與形數(shù)結(jié)合的方式，讓學(xué)生感受和體會(huì)，如需要說(shuō)明的是，以上這些鋪墊訓(xùn)練都是結(jié)合不同學(xué)習(xí)階段的重要基礎(chǔ)進(jìn)行的， 這樣既可以鞏固當(dāng)前學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，又不會(huì)增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。換句話說(shuō)，我們所強(qiáng)調(diào)的早期鋪墊，側(cè)重于從知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的角度設(shè)計(jì)，而不是為了新知學(xué)習(xí)提前重新構(gòu)建一個(gè)基礎(chǔ)。二、表內(nèi)乘除法練習(xí)中的思考性訓(xùn)練采用橫排的方式學(xué)習(xí)乘法口訣，以“同數(shù)相乘”作為“幾”的口訣起始句，在學(xué)習(xí) 2～4的乘法口訣時(shí)，結(jié)合“乘加”、“乘減”的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)乘法口訣，理解乘法口訣的相互聯(lián)系，如8×3+8=8×□三八24□八3232學(xué)習(xí)7，8，9的口訣時(shí)，只剩下 6句。借助正方形格子圖的直觀引導(dǎo)學(xué)生編寫(xiě)同數(shù)相乘的口訣，先利用正方形內(nèi) 8行8列的格子引出 8×8＝64,八八64。再將其內(nèi)縮一行一列編“七七”的口訣，外擴(kuò)一行一列編“九九”的口訣。進(jìn)而以同數(shù)相乘的口訣為基礎(chǔ)，利用乘加、乘減計(jì)算推導(dǎo)出另外三句口訣。7×7+7＝568×8+8＝727×8+7＝637×7+7＝7×88×8+8＝8×97×8+7＝7×9七八56八九72七九638×8-8＝569×9-9＝729×8-9＝638×8-8＝8×79×9-9＝9×89×8-9＝9×7七八56八九72七九63在5～9的乘法口訣教學(xué)時(shí)，用口訣求積與用口訣求商相結(jié)合，相互促進(jìn)，進(jìn)一步理解乘除法的關(guān)系。乘、除法的問(wèn)題情境豐富多變，如乘法主要有四種情境，分別是等組、倍數(shù)比較、矩形隊(duì)列、搭配（笛卡爾積），這些情境為設(shè)計(jì)多樣的練習(xí)提供了資源。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)提供不同的問(wèn)題情境，豐富學(xué)生對(duì)乘、除法的理解，使學(xué)生有機(jī)會(huì)在學(xué)習(xí)乘、除法的過(guò)程中，培養(yǎng)靈活的思維能力，學(xué)習(xí)重要的數(shù)學(xué)思考。乘、除法聯(lián)系著許多重要的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，如倍數(shù)、比例、函數(shù)思想等等。這些知識(shí)可以整合在表格式的應(yīng)用問(wèn)題中加以滲透，如學(xué)習(xí) 4的乘法口訣時(shí)，可以安排：這里創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)量“共變”的情境，學(xué)生需要考慮變量之間是如何聯(lián)系的，初步體會(huì)函數(shù)關(guān)系，并可為理解比例關(guān)系打下基礎(chǔ)。乘、除法學(xué)習(xí)聯(lián)系廣泛，教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)有目的地開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)， 通過(guò)設(shè)計(jì)有針對(duì)性的練習(xí)，培養(yǎng)不同的數(shù)學(xué)能力。如同樣是形數(shù)結(jié)合，可以安排：兩個(gè)問(wèn)題情境都需要學(xué)生自己構(gòu)建算式，但側(cè)重的基礎(chǔ)和培養(yǎng)的能力不一樣。一個(gè)是乘法中較為基礎(chǔ)的等組情境，但因?yàn)樾枰臻g觀念而增加了思考性， 另一個(gè)乘法中的倍數(shù)比較，把計(jì)算建立在圖形合與分的基礎(chǔ)上。在乘、除法的學(xué)習(xí)中，對(duì)倍數(shù)概念進(jìn)行正向和逆向的應(yīng)用，可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。推理是人們獲得新知的重要手段。任何推理都由兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知判斷，即前提；另一部分是推出新的判斷，即結(jié)論。根據(jù)前提與結(jié)論不同的聯(lián)系方式，可以設(shè)計(jì)出不同形式和不同層次的乘法推理。如一對(duì)多的推理。每份量（1條裙子）聯(lián)系著已知條件（前提）與所求問(wèn)題（結(jié)論） ，根據(jù)條件與問(wèn)題之間的直接聯(lián)系構(gòu)建乘法算式。在學(xué)生發(fā)展的一定時(shí)候，可逐步抽象化，以圖形推算的形式呈現(xiàn)，并用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)系條件與問(wèn)題。如，三段推理。如果■＝★×4★＝▲×9那么■＝□個(gè)▲。由兩個(gè)條件作為前提，根據(jù)兩個(gè)條件之間的聯(lián)系，構(gòu)建新的條件（結(jié)論） 。對(duì)應(yīng)推理根據(jù)每份對(duì)應(yīng)量的差不變，感知“每份量的差×份數(shù)＝總數(shù)差”的數(shù)量關(guān)系。掌握這種數(shù)量關(guān)系，可以解決較復(fù)雜的問(wèn)題，如下面的差對(duì)應(yīng)問(wèn)題：關(guān)系推理。已知▲×●＝24如果▲-●＝5，那么▲+▲+●＝□如果▲-●＝2，那么▲+▲+●＝□根據(jù)數(shù)與數(shù)、式與式之間的關(guān)系，推算出圖形表示的數(shù)。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題之所以復(fù)雜， 是因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題所需要的條件不是直接知道的， 或者說(shuō)被隱蔽起來(lái)了。解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件之間的關(guān)聯(lián)并推導(dǎo)新條件，這往往需要推理能力的支持。即使是較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種能力也可能是解題的關(guān)鍵。如歸一問(wèn)題，解題時(shí)需要根據(jù)已知條件構(gòu)建出一個(gè)新的條件，即每個(gè)正方形表示 21÷3＝7?？傊?，乘、除法的學(xué)習(xí)，不只是掌握運(yùn)算技能，還要通過(guò)豐富多變的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，特別是要重視運(yùn)用抽象的推理解決問(wèn)題。帶余除法整數(shù)a除以整數(shù)

b，如果除盡，則余數(shù)為

0,

稱為整除。如果除不盡，余數(shù)不為

0,

就稱為帶余除法。帶余除法不僅是多位數(shù)除法的重要基礎(chǔ)，而且聯(lián)系著“周期性”等數(shù)學(xué)問(wèn)題，甚至許多數(shù)論中的一些問(wèn)題也與帶余除法有關(guān)。帶余除法的學(xué)習(xí)，深化了學(xué)生對(duì)除法意義的理解，極大地豐富了除法的應(yīng)用背景。學(xué)生在運(yùn)用帶余除法解決較復(fù)雜的問(wèn)題當(dāng)中，判斷、分析和推理等諸多數(shù)學(xué)能力得到發(fā)展。一、帶余除法的意義理解與新課教學(xué)帶余除法早期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)源于生活中對(duì)物體不能正好分成等組。如7個(gè)蘋(píng)果不能正好分給兩個(gè)小朋友，使每人一樣多。在學(xué)習(xí)帶余除法之前，這種經(jīng)驗(yàn)被用于學(xué)習(xí)平均分的概念。如讓學(xué)生通過(guò)具體的操作活動(dòng)，認(rèn)識(shí)平分一些物體，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一是正好分成等組的幾份，二是按等組分成幾份之后還有剩余，這與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘加時(shí)，通過(guò)圈點(diǎn)子的活動(dòng)構(gòu)建乘加的算式，進(jìn)一步豐富帶余除法學(xué)習(xí)之前的經(jīng)驗(yàn)積累。帶余除法不論是算理，還是求商和書(shū)寫(xiě)格式上都比表內(nèi)除法復(fù)雜。帶余除法教學(xué)的重點(diǎn)是意義理解，學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是求商，這些都聯(lián)系著“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律。教學(xué)時(shí)，要通過(guò)具體的操作活動(dòng)，讓學(xué)生理解帶余除法的意義，并通過(guò)不同層級(jí)的抽象，幫助學(xué)生建立“余數(shù)要比除數(shù)小”的觀念。新課教學(xué)可以分為兩個(gè)階段：第一階段，橫式計(jì)算，理解算式的意義。帶余除法的橫式包括被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)，與具體的操作活動(dòng)相聯(lián)系，每個(gè)數(shù)在操作活動(dòng)中都有明確的意義。如被除數(shù)是物體的總數(shù)，除數(shù)是每份數(shù)，商是份數(shù)，余數(shù)是分了之后剩余的數(shù)量。讓學(xué)生通過(guò)具體的操作活動(dòng)，不僅可以理解算式表示的意義，認(rèn)識(shí)余數(shù)的真實(shí)存在，而且通過(guò)把操作活動(dòng)與算式聯(lián)系起來(lái)思考，增進(jìn)對(duì)帶余除法意義的理解。如，帶余除法的學(xué)習(xí)，是建立在理解除法意義的基礎(chǔ)上的。根據(jù)已有的知識(shí)基礎(chǔ)，上面的問(wèn)題情境可以直譯成 20÷6＝□的算式，至于結(jié)果是多少，通過(guò)具體的操作活動(dòng)來(lái)解決。 對(duì)余下2個(gè)球的討論包含兩個(gè)方面：一是它表示的意義是什么？二是如何在算式中表示出來(lái)？前者側(cè)重于這 2個(gè)球能不能單獨(dú)裝一盒， 后者側(cè)重于這個(gè)“2”在算式中是否可以不寫(xiě)出來(lái)。需要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)這些問(wèn)題的討論并不是多余的，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的討論，打破了學(xué)生原有的“認(rèn)知平衡”是建立“余數(shù)要比除數(shù)小”的觀念起點(diǎn)。在構(gòu)建了帶余除法的算式之后，再回到具體的情境中，尋找算式的意義。也就說(shuō)，操作活動(dòng)的情境在這里起到了雙重作用，一是引出帶余除法的算式，二是幫助理解算式的意義。不過(guò)，意義的理解需要通過(guò)不斷豐富的活動(dòng)逐步清晰和完善，如大家來(lái)圈點(diǎn)子，要求每份一樣多，通過(guò)圈點(diǎn)子活動(dòng)，構(gòu)建帶余除法算式。23和19都是素?cái)?shù)，不能寫(xiě)成兩個(gè)因數(shù)相乘的積。因此，無(wú)論把幾個(gè)圈作一份，都會(huì)出現(xiàn)剩余。以 23為例，每份數(shù)與余數(shù)如下表：每份2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?數(shù)余1 2 3 3 5 2 7 5 3 ?數(shù)在各種圈法的比較中，獲得余數(shù)雖然變化無(wú)常，但都比除數(shù)小的感性認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步，通過(guò)把乘加式改寫(xiě)成帶余除式，加深對(duì)“余數(shù)必須小于除數(shù)”的理解。如這個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)的核心， 是溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系， 在實(shí)物操作與算式表達(dá)之間建立對(duì)應(yīng)。具體地說(shuō)，如果把圈點(diǎn)子、乘加算式、帶余除式看作三角形的 3個(gè)頂點(diǎn)，學(xué)生在這些頂點(diǎn)之間來(lái)回穿梭和轉(zhuǎn)譯的過(guò)程中，完成從實(shí)物操作到算式表示的水平數(shù)學(xué)化，從乘加到帶余除式的垂直數(shù)學(xué)化。脫離具體的問(wèn)題情境，乘加式子中的加數(shù)與兩個(gè)乘數(shù)比較，有三種情況：一是加數(shù)分別小于兩個(gè)乘數(shù)，可以改寫(xiě)成兩個(gè)帶余除式；二是加數(shù)小于其中一個(gè)乘數(shù)，只能改寫(xiě)成一個(gè)帶余除式；三是加數(shù)分別大于兩個(gè)乘數(shù)，不能改寫(xiě)成帶余除式。進(jìn)一步，可以通過(guò)改寫(xiě)算式的活動(dòng)，把學(xué)生的思維再次聚焦于除數(shù)與余數(shù)的比較上。如，你能把乘加式子改寫(xiě)成帶余除法式子嗎？4×6+2＝26

7

×4+3＝315×3+4＝19

3

×4+5＝17根據(jù)上面的式子想像圈點(diǎn)子的圖，每個(gè)算式都有兩種圖的表示，如 5×3+4＝19，可以理解為每份 5個(gè)，圈了3份還余4個(gè)，這種情況可以用帶余除法表示，但如果是每份 3個(gè)，圈成5份還余4個(gè)，由于余下個(gè)數(shù)比每份個(gè)數(shù)還要多，還可以再分，這種情況就不能用帶余除法表示。從算式返回到實(shí)物，為算式尋找意義，獲得對(duì)余數(shù)要比除數(shù)小的理性理解。第二階段，豎式計(jì)算，掌握試商方法。計(jì)算除法的關(guān)鍵是試商。表內(nèi)除法的商可直接從九九表中找到口訣，而帶余除法求商時(shí)，不能直接從九九表中找到，求商的過(guò)程比表內(nèi)除法復(fù)雜得多，試商時(shí)需要把除數(shù)與商相乘，再與被除數(shù)作比較，并思考余數(shù)與余數(shù)的大小關(guān)系。回到帶余除法的原型，本質(zhì)上就是把物體平分，最多可以分成幾份，這個(gè)思考過(guò)程也可以用不等式表示，如4×□＜39, □里最大能填幾？在實(shí)際的教學(xué)中， 這樣的思考常常作為帶余除法試商的階梯。但是，應(yīng)當(dāng)注意這種訓(xùn)練只是試商中的技巧，或者說(shuō)突破了試商中的關(guān)鍵思考，更為重要的是需要理解試商的意義究竟是什么。因此，回到具體情境中理解仍然是必要的。如39÷4＝9（堆）??3（個(gè)）與橫式相比，豎式計(jì)算的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生“冗余的數(shù)” ，如上式中的“ 36”。這個(gè)數(shù)在操作活動(dòng)中不象其它數(shù)那樣明確意義，一般留存在計(jì)算的思考過(guò)程中。但事實(shí)上對(duì)它的理解仍然是重要的。在具體情境中，它是被用來(lái)分到每份中的總數(shù)，在試商過(guò)程中，它是乘法口訣的積。需要強(qiáng)調(diào)的是，無(wú)論是帶余除法的意義還是試商，教學(xué)都不能止于形式化的模仿，而應(yīng)當(dāng)深入到意義的理解。而意義的獲得，有賴于在操作活動(dòng)、橫式表示、豎式求商之間建立聯(lián)系與對(duì)應(yīng)。不僅如此，學(xué)生對(duì)于“余數(shù)必須比除數(shù)小”的理解也應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷從感性到理性的抽象過(guò)程。二、帶余除法掌握水平的能力評(píng)定如何評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)能力？如何結(jié)合具體知識(shí)點(diǎn)評(píng)價(jià)學(xué)生的能力發(fā)展水平？特別是如何把學(xué)生知識(shí)掌握與能力發(fā)展水平評(píng)價(jià)應(yīng)用于改進(jìn)教學(xué)？這些問(wèn)題都是數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)需要認(rèn)真研究的問(wèn)題。作為對(duì)這些問(wèn)題的思考與實(shí)踐， 2010年1月，我們對(duì)使用浙教版《數(shù)學(xué)》的2409名學(xué)生進(jìn)行了“帶余除法”掌握水平的調(diào)查。調(diào)查分知識(shí)掌握程度檢測(cè)和數(shù)學(xué)能力水平檢測(cè)兩項(xiàng)，這里重點(diǎn)介紹能力測(cè)試與評(píng)價(jià)。聯(lián)系不同的知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下測(cè)試題。下列各題中，被除數(shù)最大是幾？最小是幾？□÷8＝6?□ □÷9＝7?□□÷8＝6?□ □÷9＝7?□解答此題的能力核心是對(duì)“余數(shù)要比除數(shù)小”規(guī)律的靈活運(yùn)用。每組被除數(shù)相同，而且是兩位數(shù)。被除數(shù)和商分別填幾？□÷3＝□?2 □÷6＝□?3□÷5＝□?2 □÷4＝□?3每組題的兩個(gè)式子同余，對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)是把兩個(gè)式子聯(lián)系起來(lái)考慮。在□里填數(shù)。這是“商×除數(shù)+余數(shù)＝被除數(shù)”關(guān)系以及估算等知識(shí)的綜合應(yīng)用。4.70以內(nèi)的數(shù)除以 7,余數(shù)是5。你能寫(xiě)出哪些數(shù)？解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是把題目轉(zhuǎn)譯成●÷ 7＝□?5,二是有序思考。一個(gè)兩位數(shù)除以8,商和余數(shù)相同，這樣的兩位數(shù)你能寫(xiě)出哪一些？有什么特點(diǎn)？此題區(qū)別于上題主要的數(shù)學(xué)能力是對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括。求各圖形所表示的數(shù)（相同的圖形表示相同的數(shù)）。26÷▲＝3?●50÷●＝▲?234÷▲＝4?●▲-●＝2▲＝□●＝□●＝□▲＝□解題的關(guān)鍵是思考數(shù)與數(shù)、式與式之間的聯(lián)系，這是數(shù)感的核心。一串圖形，按2個(gè)●，3個(gè)▲，1個(gè)★這樣排下去：●●▲▲▲★●●▲▲▲★●●▲▲▲★??第35個(gè)圖形是（ ），第50個(gè)圖形是（ ）。這是比較常見(jiàn)的周期問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定一個(gè)周期。浙教版《數(shù)學(xué)》把帶余除法安排在二年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)，共 3課時(shí)，分別是橫式計(jì)算，練習(xí)，豎式計(jì)算。測(cè)試在學(xué)生學(xué)完帶余除法之后一周內(nèi)進(jìn)行。各題通過(guò)率和標(biāo)準(zhǔn)差如下表：題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7通過(guò)率 76.35 74.80 95.72 89.87 74.47 89.74 92.15（%）標(biāo)準(zhǔn)差 0.42 0.43 0.20 0.30 0.43 0.30 0.25編制這組測(cè)試題圍繞的核心知識(shí)是帶余除法。解答上述各題需要的數(shù)學(xué)能力有別于一般的基礎(chǔ)訓(xùn)練，除了運(yùn)算求解之外，還有直覺(jué)猜想、歸納推理等多種數(shù)學(xué)能力。從解題的通過(guò)率來(lái)看，學(xué)生解答“帶余除法”的能力水平是比較高的，甚至超出了我們事先的預(yù)期。這對(duì)于我們的重要啟示是，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力發(fā)展?jié)摿κ呛艽蟮?，關(guān)鍵在于結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，設(shè)計(jì)出合適的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生的思維受到恰當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)。在這項(xiàng)測(cè)試中，我們也積累了評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一些經(jīng)驗(yàn)，特別是體會(huì)到根據(jù)核心知識(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握水平與能力發(fā)展水平，是一個(gè)值得投入精力不斷探索的方向。不過(guò)，如何根據(jù)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行科學(xué)細(xì)分和準(zhǔn)確刻畫(huà)，仍然是一個(gè)研究的難題，如果這個(gè)難題得以破解，學(xué)生能力評(píng)價(jià)對(duì)于改進(jìn)教學(xué)的重要作用會(huì)進(jìn)一步凸現(xiàn)出來(lái)。多位數(shù)認(rèn)識(shí)和加減運(yùn)算這里所指的多位數(shù)主要是三、四位數(shù)。一般來(lái)講，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)包括意義、讀寫(xiě)、組成、排序、分類等幾個(gè)方面。在不同的學(xué)習(xí)階段，根據(jù)數(shù)本身的特點(diǎn)和學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，教學(xué)應(yīng)當(dāng)在以上幾個(gè)方面有不同側(cè)重。三、四位數(shù)的認(rèn)識(shí)側(cè)重于數(shù)的意義、讀寫(xiě)、組成等方面，教學(xué)的核心任務(wù)是掌握數(shù)的構(gòu)造結(jié)構(gòu)并運(yùn)用這個(gè)結(jié)構(gòu)生成新的數(shù)，主動(dòng)認(rèn)識(shí)“成千上萬(wàn)”的數(shù)。同樣的，數(shù)的運(yùn)算在不同的學(xué)習(xí)階段也有不同側(cè)重。在之前的運(yùn)算教學(xué)中，主要是建立運(yùn)算定義，掌握基本算理，認(rèn)識(shí)運(yùn)算類型，學(xué)習(xí)運(yùn)算法則，而三、四位數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)當(dāng)側(cè)重于對(duì)類型的溝通和對(duì)法則的完善。在三、四位數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算中，對(duì)數(shù)的多元理解和表征，算法的多樣化以及運(yùn)用數(shù)概念和運(yùn)算靈活地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題等，都聯(lián)系著創(chuàng)新思維。一、三、四位數(shù)的認(rèn)識(shí)與簡(jiǎn)單的計(jì)算在認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)時(shí)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)數(shù)是學(xué)生認(rèn)數(shù)的重要方法， 比如，認(rèn)識(shí)5時(shí)，可以伸出 5個(gè)手指數(shù)一數(shù)。相比較而言，三、四位數(shù)數(shù)目比較大，離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活比較遠(yuǎn)，學(xué)生需要學(xué)習(xí)“結(jié)構(gòu)生成”的方法，以便能把握和運(yùn)用更加龐大的數(shù)。認(rèn)數(shù)與簡(jiǎn)單計(jì)算相結(jié)合數(shù)的運(yùn)算是建立在數(shù)概念發(fā)展的基礎(chǔ)上的， 有了數(shù)概念的擴(kuò)展才有相應(yīng)數(shù)運(yùn)算的存在。或者說(shuō)，數(shù)運(yùn)算算理形成最基本的出發(fā)點(diǎn)是數(shù)概念的基本單位及其組成，在此基礎(chǔ)上才有可能抽象和建立相應(yīng)的法則，這就是認(rèn)數(shù)與計(jì)算相結(jié)合的意義所在。通常對(duì)認(rèn)數(shù)與計(jì)算相結(jié)合的理解，主要體現(xiàn)為數(shù)意義的理解是學(xué)習(xí)計(jì)算的基礎(chǔ)，這里所指的認(rèn)數(shù)與簡(jiǎn)單的計(jì)算相結(jié)合，主要是計(jì)算支持意義理解。具體地說(shuō)，有兩種含義：一是通過(guò)整千數(shù)、整百數(shù)、整十?dāng)?shù)和一位數(shù)相加或乘法的運(yùn)算構(gòu)造三、四位數(shù)；二是緊密聯(lián)系數(shù)的意義學(xué)習(xí)三、四位數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，主要是不進(jìn)位加法和不退位減法。這里重點(diǎn)介紹第一種含義。（1）認(rèn)識(shí)三位數(shù)。在以100為單位的計(jì)數(shù)中，把整百數(shù)的認(rèn)識(shí)與整百數(shù)的加減以及 100乘幾相結(jié)合起來(lái)。如，實(shí)際上是把數(shù)數(shù)的活動(dòng)與加法或乘法計(jì)算聯(lián)系起來(lái)，擴(kuò)展了學(xué)生認(rèn)數(shù)的通道，可以豐富學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解。又如，400+100 ×5＝□+□＝□本質(zhì)上，運(yùn)算只是發(fā)生在百位上，對(duì)于學(xué)生理解整百數(shù)的意義與構(gòu)成可以起到促進(jìn)作用。相應(yīng)地，可以用類似的方法認(rèn)識(shí)其它的三位數(shù)，掌握三位數(shù)的組成和數(shù)位。如100×3＝30010×2＝201×4＝4（2）認(rèn)識(shí)四位數(shù)。首先是認(rèn)識(shí)1000。在認(rèn)識(shí)三位數(shù)的基礎(chǔ)上，可以用不同的計(jì)算單位數(shù)數(shù)，逐步逼近1000，不同的數(shù)數(shù)方法都可以用算式表征出來(lái)。其次是認(rèn)識(shí)了不同的計(jì)算單位之后，通過(guò)對(duì)這些單位的整理，引出個(gè)位到萬(wàn)位的數(shù)位順序表，并以此為“框架”，認(rèn)識(shí)更多、更大范圍的數(shù)。如，5000+400+60+7＝5467對(duì)照數(shù)位順序表認(rèn)識(shí)任意四位數(shù)，把撥珠記數(shù)與寫(xiě)數(shù)、讀數(shù)相結(jié)合，加減計(jì)算與讀數(shù)相結(jié)合。如在一定階段，可以把數(shù)與物質(zhì)實(shí)體相分離，擺脫具象（數(shù)位表、算盤(pán)）的支撐，在抽象的層面上理解數(shù)的意義和相應(yīng)數(shù)位上的運(yùn)算。這種練習(xí)，可以直接與數(shù)的組成相聯(lián)系，并在相互轉(zhuǎn)譯過(guò)程中獲得對(duì)數(shù)的多角度理解。理解數(shù)的意義也是形成運(yùn)算技能的基礎(chǔ)。整數(shù)加減法的計(jì)算法則是相同數(shù)位上的數(shù)相加減，其本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減運(yùn)算。從以意義理解為基礎(chǔ)到依據(jù)法則進(jìn)行計(jì)算是個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。在概括計(jì)算法則之前，應(yīng)當(dāng)不斷地把數(shù)的運(yùn)算與其意義相聯(lián)系。三、四位數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，由于這些計(jì)算不涉及進(jìn)位或退位，可以“孤立”地計(jì)算每個(gè)數(shù)位上的數(shù)，把每個(gè)數(shù)位上的運(yùn)算歸結(jié)到計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的相加減上來(lái)。如，從學(xué)習(xí)一個(gè)過(guò)渡到學(xué)習(xí)一類在整數(shù)運(yùn)算中，雖然數(shù)的概念不斷擴(kuò)展，但運(yùn)算方法和相應(yīng)的法則并沒(méi)有變化。教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生運(yùn)用運(yùn)算之間的互逆關(guān)系，理解不同數(shù)域范圍的計(jì)算有著相同本質(zhì)，這不僅有利提高教學(xué)效率，也有利于學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和掌握“類方法”，并發(fā)展學(xué)生的概括、類比、推理和遷移等多方面的數(shù)學(xué)能力，而這些數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，正是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)。（1）從表內(nèi)乘除法擴(kuò)展到整十?dāng)?shù)、整百數(shù)乘一位數(shù)與相應(yīng)的除法。如，觀察算式，找規(guī)律：5 ×3＝15 50 ×3＝150 500用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在 里填數(shù)?！?＝15007 ×9＝63 63 ÷7＝9 63在一定的抽象和方法層面，以上每組題都可以看作同一類。運(yùn)用已有知識(shí)并結(jié)合類比÷9＝7的方法探索新知識(shí)，使學(xué)生的思維從具象逐步向抽象提升，并聚集到“類”上來(lái)。2）從兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法與相應(yīng)減法擴(kuò)展到幾百幾十?dāng)?shù)加幾百幾十?dāng)?shù)，幾千幾百數(shù)和幾千幾百數(shù)的進(jìn)位加法與相應(yīng)的減法。如，47470用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在里填數(shù)。470029+4542-15＝這樣安排，把數(shù)本身的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算方法提煉為學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)和方法， 學(xué)生在經(jīng)歷“觀＝察發(fā)現(xiàn)——概括方法——遷移運(yùn)用”的過(guò)程中，完成對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，并獲得成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。二、三、四位數(shù)的進(jìn)位加法和退位減法進(jìn)位加法和退位減法有相對(duì)應(yīng)的類型和相似的學(xué)習(xí)層次。教學(xué)要區(qū)分不同類型并設(shè)計(jì)好層次，運(yùn)用知識(shí)的聯(lián)系在組合中引進(jìn)新知，通過(guò)比較突破難點(diǎn)。進(jìn)位加法。教學(xué)進(jìn)位加法，可以從組合中引進(jìn)，教學(xué)分三個(gè)層次：第一，把兩個(gè)四位數(shù)分解為一個(gè)幾千幾百數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)，再用幾千幾百數(shù)的進(jìn)位加法和100以內(nèi)進(jìn)位加法的計(jì)算，引出隔位進(jìn)位加法。4567 ＝4500+ 2815 ＝ +154500674567重點(diǎn)讓學(xué)生理解哪幾位上的數(shù)相加滿十后往哪里進(jìn)位。+2800+15+2815第二，從改變隔位進(jìn)位加法中一個(gè)加數(shù)某一位上的數(shù)字，引出連續(xù)進(jìn)位的加法。73008245674567在相似性的計(jì)算中，把思維集中于連續(xù)進(jìn)位與隔位進(jìn)位的比較，突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。+2815+2845第三，在一般連續(xù)進(jìn)位加法和遇“9”連續(xù)進(jìn)位加法的比較中，突破遇“9”連續(xù)進(jìn)位73827412加法的難點(diǎn)。95674567第一層次在組合中引進(jìn)，第二、三層次在比較中突破。+2845+2835以上我們可以看到，每一個(gè)例題總是放在一定的關(guān)系和一定的聯(lián)系中，并展示了教學(xué)7□□2的三個(gè)層次，使學(xué)生不僅掌握計(jì)算方法，并且在聯(lián)系與比較中，形成主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力。三位數(shù)進(jìn)位加法，難點(diǎn)是個(gè)位進(jìn)位后十位遇 9,又向百位進(jìn)位?？梢栽O(shè)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)，如作為對(duì)后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，還應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)加強(qiáng)幾百幾十?dāng)?shù)加兩位數(shù)的訓(xùn)練，其中一部分題目是兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)。如 480+56是67×8的計(jì)算過(guò)程。此外，還應(yīng)適當(dāng)安排一些四位數(shù)加幾百幾十?dāng)?shù)的練習(xí)題， 如安排1463+560之類的訓(xùn)練，為探索三位數(shù)乘一位數(shù)的算法作準(zhǔn)備，即289×7＝1463+560＝2023，計(jì)算時(shí)，先用7乘百位、個(gè)位得部分積 1463,再用7乘十位得到部分積 560,然后把兩個(gè)部分積相加。教學(xué)退位減法與進(jìn)位加法一樣，在組合中引進(jìn)，在比較中突破。教學(xué)的三個(gè)層是：第一，通過(guò)幾千幾百數(shù)退位減法和兩位數(shù)退位減法計(jì)算，引出隔位退位減法；第二，從改變隔位退位減法中被減數(shù)某一位數(shù)字，引出連續(xù)退位減法；第三，通過(guò)與一般連續(xù)退位減法的比較，突破某一位同數(shù)相減與被減數(shù)中間有 0的連續(xù)退位減法的難點(diǎn)。三、多位數(shù)認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的思考性訓(xùn)練三、四位數(shù)的加減法，如果把筆算定義為循規(guī)蹈矩的正規(guī)算法，那么與“正規(guī)算法”相比，學(xué)生在估算、簡(jiǎn)便運(yùn)算或用自己的方法計(jì)算的活動(dòng)中，更有利于加深他們對(duì)數(shù)的理解，計(jì)算的靈活性更高，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的價(jià)值更突出。如估算教學(xué)，要求學(xué)生做到：①探討估算的策略。②認(rèn)識(shí)何時(shí)適用估算。③對(duì)估算結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷。④掌握一些估算方法。顯然，這些要求比按標(biāo)準(zhǔn)程序計(jì)算對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)更大。再以算法多樣化為例，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生發(fā)展自己的計(jì)算策略，可以深化對(duì)運(yùn)算的理解，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算活動(dòng)中的創(chuàng)新思維。如，（1）討論386+275的不同計(jì)算方法。400+275-14380+270+11＝400+261＝650+1186-25＝6175×2+11＝161＝661＝661300+200+161300×2+61角度設(shè)計(jì)富有思考性的練習(xí)。1.結(jié)合數(shù)的大小比較如下圖所示，一個(gè)點(diǎn)子放在百位上表示 100,放在十位上表示 10,放在個(gè)位上表示 1。試用5個(gè)點(diǎn)表示三位數(shù)，并按從小到大的順序排列起來(lái)。百位十位個(gè)位這個(gè)練習(xí)著重于位值理解， 先通過(guò)有序思考構(gòu)建出不同的數(shù)， 并以圖示獲得大小比較的直觀理解。如，用“→”表示大于（ 232→223），找出字母所表示的數(shù)，并把它們從大到小排列起來(lái)。D只有射出的箭頭，最大。D＝643C只有射進(jìn)的箭頭，最小。C＝346A射出2個(gè)箭頭，B射出一個(gè)箭頭。A＞BA＝634B＝463D＞A＞B＞C這個(gè)練習(xí)以數(shù)的大小比較為基礎(chǔ)，能力核心是運(yùn)用推理思考數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。結(jié)合簡(jiǎn)單的計(jì)算如，將50,100,150,250,300,350 這六個(gè)數(shù)分別填入右圖中，使每行兩個(gè)數(shù)的和相等，同時(shí)使每列三個(gè)數(shù)的和相等。解題的關(guān)鍵是確定每行兩個(gè)數(shù)的和為 400,每列三個(gè)數(shù)的和為600,得到一種答案之后，通過(guò)變換得到多解。又如，B與C的和是多少？A與C的差是多少？解題時(shí)需要通過(guò)聯(lián)系兩個(gè)條件，發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系，并選擇這些關(guān)系作為解題的條件。結(jié)合進(jìn)位加法和退位減法結(jié)合三、四位數(shù)的進(jìn)位加法和退位減法，可以設(shè)計(jì)出不同難度的豎式數(shù)字謎題，這些題目結(jié)合了基本的運(yùn)算技能和一些推理的技巧。較簡(jiǎn)單的，如，較復(fù)雜的，如，8888+980很復(fù)雜的，如，按要求在方框里填數(shù)。（填1～9的數(shù)） （填0～9的數(shù)）①□□□

② □□□+ □□□ + □□□這個(gè)練習(xí)解題過(guò)程比較復(fù)雜，并涉及重要數(shù)學(xué)規(guī)律的運(yùn)用，可以設(shè)計(jì)系列的訓(xùn)練引導(dǎo)□□□ □□□□學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)。兩三位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 關(guān)于數(shù)感的定義有很多， 這些定義并沒(méi)有統(tǒng)一起來(lái)。在眾多定義中，我們比較認(rèn)同把數(shù)感理解為對(duì)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)意識(shí)以及靈活地解決計(jì)算問(wèn)題的能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算不能只局限于掌握某種方法和求得最后結(jié)果，而是應(yīng)當(dāng)把計(jì)算學(xué)習(xí)與發(fā)展思維聯(lián)系起來(lái)考慮， 在計(jì)算活動(dòng)中突出對(duì)數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的思考，探索算法的多樣化，培養(yǎng)思維的靈活性。我們以兩三位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算為例，通過(guò)對(duì)計(jì)算方法的改造和教學(xué)體系的調(diào)整，進(jìn)行探索和嘗試。一、兩位數(shù)乘一位數(shù)的類型與口算的可行性分析兩位數(shù)（不含整十?dāng)?shù)）乘一位數(shù)的題目共 648題。這些題目可分為 6種類型：編類型 題數(shù) 說(shuō)明號(hào)1十位積、個(gè)位積都不進(jìn)位34不進(jìn)位2十位積進(jìn)位，個(gè)位積不進(jìn)位92一次進(jìn)位3十位積不進(jìn)位，個(gè)位積進(jìn)位584十位積、個(gè)位積都進(jìn)位，乘積十位疊加33不進(jìn)位6二次進(jìn)位十位積不進(jìn)位，個(gè)位積進(jìn)位，乘積十位534疊加進(jìn)位6十位積、個(gè)位積都進(jìn)位，乘積十位疊加94三次進(jìn)位進(jìn)位我們認(rèn)為，計(jì)算的難易程度取決于進(jìn)位的次數(shù)，以上 6種類型，比較簡(jiǎn)單的是第 1-3類，最難的是第

6類。2008

年

10月下旬至

11月初，我們對(duì)杭州市

9個(gè)縣（市、區(qū)）

3－6

年級(jí)的

33所學(xué)校4471名學(xué)生進(jìn)行了兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算測(cè)試。

其中上城區(qū)的

2048名被試使用浙教版《數(shù)學(xué)》，其余

2423名被試使用其它版本教材。表一：

兩位數(shù)乘一位數(shù)口算速度

（每分鐘做對(duì)題數(shù)）統(tǒng)計(jì)表年級(jí) 三年級(jí) 四年級(jí) 五年級(jí) 六年級(jí)浙教版 11.03 10.64 14.00 14.19其它版 ∕ 9.70 10.8 12.8（注：測(cè)試時(shí)使用其它版本教材的三年級(jí)學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)）數(shù)據(jù)表明，學(xué)生口算兩位數(shù)乘一位數(shù)的速度，已經(jīng)超過(guò)了課程中更為基礎(chǔ)的其它學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求，如《課程標(biāo)準(zhǔn)》 （實(shí)驗(yàn)稿）對(duì) 20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法口算的要求是每分8～10題。測(cè)試時(shí)，以上 6種類型的題目打亂順序，隨機(jī)編排。我們對(duì)不同年級(jí)學(xué)生口算各種類型的正確率也作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：表二： 三至六年級(jí)兩位數(shù)乘一位數(shù)各種題型正確率統(tǒng)計(jì)表第1類第2類第3類第4類第5類第6類三年級(jí)88.44%87.32%72.46%68.70%66.78%64.29%四年級(jí)94.02%94.47%88.01%84.06%82.47%69.37%五年級(jí)94.67%97.92%93.76%90.47%79.20%68.11%六年級(jí)98.41%98.67%97.61%94.69%93.63%80.64%從以上數(shù)據(jù)中可以看出，不同年級(jí)的學(xué)生口算第1至第6類題型，通過(guò)率比較一致地呈現(xiàn)依次降低的趨勢(shì)。這說(shuō)明，依據(jù)進(jìn)位的次數(shù)區(qū)分題目的難易程度是比較科學(xué)的。相比較而言，第 6類的通過(guò)率比較低，可適當(dāng)增加兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法以及兩個(gè)一位數(shù)相乘再加上一位數(shù)（進(jìn)位）的乘加訓(xùn)練。二、兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法與訓(xùn)練形式兩位數(shù)乘一位數(shù)口算的難點(diǎn)在于兩個(gè)部分積十位上的疊加。同樣的題目選擇不同的起算點(diǎn)，口算的難易程度不一樣。兩種不同計(jì)算過(guò)程比較如下：個(gè)位算起的計(jì)算順序 十位算起的計(jì)算順序47 47（注：①、②、③、④表示口算時(shí)在頭腦中出現(xiàn)數(shù)字的順序。 ）× 3 × 3從個(gè)位算起，是把計(jì)算過(guò)程中第①次和第④次出現(xiàn)的數(shù)字相加，十位上疊加的兩個(gè)數(shù)是間隔的，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。從十位算起，把計(jì)算過(guò)程中第②次和第③次出現(xiàn)的數(shù)字相加，十位上疊加的兩個(gè)數(shù)字是相鄰的， 相對(duì)比較容易。比較兩種計(jì)算方法不同的心理運(yùn)演過(guò)程，不難得出，兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，從高位算起比較簡(jiǎn)單。浙教版《數(shù)學(xué)》設(shè)計(jì)了豐富多樣的計(jì)算訓(xùn)練形式，這些訓(xùn)練有別于常規(guī)的按標(biāo)準(zhǔn)程序計(jì)算，突出了計(jì)算過(guò)程中對(duì)數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的分析和思考，有利于加強(qiáng)計(jì)算活動(dòng)中的思考性和靈活性。突出位值理解的分解式訓(xùn)練在初學(xué)兩位數(shù)乘一位數(shù)的時(shí)，按照位值原則先對(duì)兩位乘數(shù)進(jìn)行拆分，用橫式表征計(jì)算過(guò)程，再與豎式計(jì)算聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生理解計(jì)算的步驟與方法。如橫式分解的計(jì)算過(guò)程，一頭聯(lián)系數(shù)與運(yùn)算的意義，另一頭聯(lián)系豎式的計(jì)算。如果不考慮起算點(diǎn)的問(wèn)題，橫式與豎式的計(jì)算存在著過(guò)程的對(duì)應(yīng)。教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生把豎式的計(jì)算步驟從橫式中找出來(lái)，這對(duì)于學(xué)生理解算理和算法都是有益的。降低口算認(rèn)知負(fù)荷的過(guò)渡性訓(xùn)練兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算，要用到乘法和加法兩種運(yùn)算，思考過(guò)程比較長(zhǎng)?？谒銜r(shí)可以把關(guān)鍵的步驟寫(xiě)下來(lái)，以降低計(jì)算過(guò)程中的認(rèn)知負(fù)荷。如58 ×3＝150+□

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×3＝□+□＝□進(jìn)一步，這種訓(xùn)練還可以不同的變化。如

＝□這些訓(xùn)練，既可以幫助學(xué)生理解乘除法之間的關(guān)系，又是含有括號(hào)的兩步混合運(yùn)算訓(xùn)練。以前面的橫式分解作為基礎(chǔ)，還可以進(jìn)行把加法算式轉(zhuǎn)化乘法算式的訓(xùn)練。如進(jìn)一步，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)兩個(gè)加數(shù)之間的關(guān)系，先找出公有的因數(shù)，再把加法算式轉(zhuǎn)化為乘法算式。如m+n=ab×c，m為幾百幾十?dāng)?shù)，n為兩位數(shù)。把 m,n分別分解為兩個(gè)因數(shù)， ab則為整十?dāng)?shù)與一位數(shù)之和，

c則是幾百幾十?dāng)?shù)與兩位數(shù)中相同的因數(shù)。

教學(xué)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先想口訣，確定一位乘數(shù)，兩個(gè)加數(shù)共同的因數(shù)就是一位乘數(shù)。如積是

32的口訣有四八

32,積是48的口訣是六八 48.兩個(gè)加數(shù)共同的因數(shù)就是 8,320+48＝46×8。提高計(jì)算技能的鋪墊性訓(xùn)練在兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算過(guò)程中，會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)部分積，在兩位數(shù)乘一位數(shù)較復(fù)雜的類型中（如第 5,6類），這兩個(gè)部分積分別是幾百幾十?dāng)?shù)和兩位數(shù)?？梢园才帕讼鄳?yīng)的訓(xùn)練。如教學(xué)時(shí)，這些訓(xùn)練既可以安排在兩位數(shù)乘一位數(shù)的學(xué)習(xí)之前，作為口算的基礎(chǔ)，也可以安排在兩位數(shù)乘一位數(shù)的學(xué)習(xí)之后，要求找出與各個(gè)式子相對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法算式。三、在兩、三位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算中突出思考性的實(shí)踐兩、三位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算中的思考性訓(xùn)練，可以安排一些數(shù)字謎題，如□□×□1-9的數(shù)字中選擇三個(gè)數(shù)學(xué)組成兩此外，還可以把計(jì)算活動(dòng)和探索規(guī)律結(jié)合起，如從□2位數(shù)乘一位數(shù)的算式，找出積最大和積最小的算式，探索其中的規(guī)律。教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生自己想三個(gè)數(shù)字，先組成六個(gè)算式并算出結(jié)果，再觀察積最大或積最小的算式數(shù)字是怎樣排列的。根據(jù)觀察的結(jié)果形成猜想，然后再舉例驗(yàn)證，從等差數(shù)列到任意三個(gè)數(shù)字。在實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生基于對(duì)數(shù)與數(shù)、式與式之間關(guān)系的思考，有許多創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的方法。 如用1,2,3 三個(gè)數(shù)字組成積最大的算式是 21×3，積最小的算式是23×1。進(jìn)而選擇3,6,9 這組數(shù)時(shí)，學(xué)生就把這三個(gè)數(shù)字分別與 1,2,3 對(duì)應(yīng)，迅速寫(xiě)出積最大的算式是 63×9，積最小的算式是 69×3。如前所述，“數(shù)感”主要表現(xiàn)為對(duì)數(shù)與數(shù)之間關(guān)聯(lián)意識(shí)，并根據(jù)需要靈活地進(jìn)行分解、組合。有良好的數(shù)感，有可能把運(yùn)算從“逐個(gè)計(jì)算”的機(jī)械操作變成有思維含量的“組塊計(jì)算”。如果在計(jì)算中將數(shù)字與數(shù)字之間按某種法則對(duì)應(yīng)稱為“逐個(gè)計(jì)算” ，那么運(yùn)算中將幾個(gè)數(shù)組成模塊之間按某種法則對(duì)應(yīng)稱為“組塊計(jì)算”?！敖M塊計(jì)算”對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展有一定作用。如37×3＝111 143 ×7＝1001以兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算作為基礎(chǔ)，三位數(shù)乘一位數(shù)也可進(jìn)行口算。可以把三位數(shù)拆137×3＝300+111＝411 286×7＝1001×2＝2002分成幾百幾十?dāng)?shù)加一位數(shù)或者是整百數(shù)加兩位數(shù)的形式， 如367×8＝360×8+7×8或者367×8＝300×8+67×8。相比較而言，這樣的計(jì)算更為簡(jiǎn)單： 367×8＝307×8+60×8,因?yàn)槿魏我粋€(gè)十位是 0的三位數(shù)乘一位數(shù)，計(jì)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)疊加進(jìn)位， 這種算法具有一般性，有的學(xué)生形象地把它稱作“踢十法” 。兩三位數(shù)乘一位數(shù)，如果教學(xué)不囿于算出正確的結(jié)果， 而是把重心轉(zhuǎn)向獲得結(jié)果的思考過(guò)程，那么就給學(xué)生靈活分析數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)創(chuàng)新思維留下了廣闊的空間。三位數(shù)除以一位數(shù)從教學(xué)序列上看，從三位數(shù)除以一位數(shù)筆算起，學(xué)生開(kāi)始真正學(xué)習(xí)多位數(shù)除以一位數(shù)。學(xué)生掌握了計(jì)算三位數(shù)除以一位數(shù)的方法，就能遷移到位數(shù)更多的多位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算中去。三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計(jì)算，主要由運(yùn)算順序的確定、分步運(yùn)算結(jié)果的定位、運(yùn)算最終結(jié)果的形成三個(gè)步驟構(gòu)成，計(jì)算過(guò)程可以看作由一位數(shù)除兩位數(shù)（或一位數(shù)）復(fù)合而成的。但是這種復(fù)合既不是幾個(gè)相互獨(dú)立的計(jì)算程序的疊加，更不像算完一個(gè)算式再算另一個(gè)算式那樣簡(jiǎn)單，因?yàn)閺?fù)合之后帶來(lái)了確定除的順序和商的定位等新情況，這些構(gòu)成了三位數(shù)除以一位數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，同時(shí)又是教學(xué)的重點(diǎn)。一、三位數(shù)除以一位數(shù)的類型分析根據(jù)豎式計(jì)算的內(nèi)部結(jié)構(gòu)， 可以把三位數(shù)除以一位數(shù)劃分成不同的類型， 以區(qū)分不同的學(xué)習(xí)難點(diǎn)和教學(xué)側(cè)重，并為設(shè)計(jì)教學(xué)思路提供可靠的依據(jù)。粗略地看，三位數(shù)除以一位數(shù)，可以分為被除數(shù)首位不夠除與夠除兩類，與此相對(duì)應(yīng)，商分別是兩位數(shù)和三位數(shù)。應(yīng)當(dāng)先學(xué)習(xí)首位夠除的還是首位不夠除的，不同教材編排的順序并不相同。這里從兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法入手，并聯(lián)系學(xué)生已有的基礎(chǔ)進(jìn)行分析。兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法（除數(shù)是 1的除外），首位夠除的共 360題，其中帶余除法有254題，約占70.6%；首位不夠除的共 360題，其中帶余除法有 302道，約占83.9%。兩類合計(jì)，涉及帶余除法的約占 77.2%左右。如果把首位夠除的第二次商考慮在內(nèi)， 帶余除法所占的比例會(huì)有增加。由此可以想見(jiàn)，在三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算中，出現(xiàn)帶余除法的比例也很高。此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了表內(nèi)帶余除法的豎式計(jì)算，可以作為學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)的直接基礎(chǔ)，試商的方法也可以較快地遷移過(guò)來(lái)。三位數(shù)除以一位數(shù)，被除數(shù)首位不夠除的共有 3600道題，其中能歸結(jié)為表內(nèi)除法的幾百幾十?dāng)?shù)或整百數(shù)除以一位數(shù)的有 58道題，如640÷8，300÷6，這些題目可以從“九九表”直接找到商。其余 3542題都是由幾百幾十?dāng)?shù)（或整百數(shù)）除以一位數(shù)與表內(nèi)除法（含帶余除法）組合而成。如738 ÷9 574 ÷6720 ÷9 540 ÷618 ÷9 34 ÷6被除數(shù)首位夠除的也有

3600題，這些題目也可以進(jìn)行類似的拆分。如738 ÷6 574 ÷5720 ÷6 550 ÷518 ÷6 24 ÷5在計(jì)算幾百幾十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的環(huán)節(jié)，首位不夠除都是“表內(nèi)”除法，而首位夠除的都是“表外”除法。從這樣的角度進(jìn)行比較，首位不夠除的這類題計(jì)算更為簡(jiǎn)單，應(yīng)當(dāng)安排在首位夠除的學(xué)習(xí)之前。從前面那樣的拆分過(guò)程中可以看出， 計(jì)算三位數(shù)除以一位數(shù)的關(guān)鍵是根據(jù)除數(shù)從被除數(shù)中分解出幾百幾十?dāng)?shù)（或整百數(shù)）和兩位數(shù)。特別地，拆分不僅是計(jì)算過(guò)程中重要的思考環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要訓(xùn)練，因?yàn)椴鸱值暮诵氖撬伎紨?shù)與數(shù)之間的關(guān)系。以 336÷□為例，如果除數(shù)是 6，分解為300÷6與36÷6；如果除數(shù)是 7，則分解為280÷7與567；如果除數(shù)是9，則分解為270÷9與66÷9，等等。二、三位數(shù)除以一位數(shù)的教學(xué)思路被除數(shù)首位不夠除如前所述，三位數(shù)除以一位數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵是把被除數(shù)進(jìn)行拆分， 把這個(gè)思考的過(guò)程設(shè)計(jì)成教學(xué)思路，就是 “在組合中引進(jìn)，在分解中展開(kāi)” 。例如，320÷4＝80與8÷4＝2都是學(xué)生熟悉的計(jì)算，把這兩個(gè)計(jì)算組合在一起，就不難得出 328÷4＝82。這就是“在組合中引進(jìn)”。320÷4＝把上面橫式的計(jì)算過(guò)程與豎式進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)橫式計(jì)算的三個(gè)步驟分別對(duì)應(yīng)于豎式8082中十位與個(gè)位的商以及最后結(jié)果。 因此，橫式計(jì)算的思考過(guò)程本質(zhì)上與豎式計(jì)算是一致的，4）328利用橫式記錄的組合過(guò)程可以加深對(duì)豎式計(jì)算程序的理解。教學(xué)的序列是，先出現(xiàn)被除數(shù)的百位和十位都能整除的，這種計(jì)算比較簡(jiǎn)單，不需要處理余數(shù)的問(wèn)題，這樣可以集中精力突破除的順序與商的定位問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)被除數(shù)的百位或十位除后帶余的。計(jì)算時(shí)先把被除數(shù)進(jìn)行拆分， “在分解中展開(kāi)”計(jì)算過(guò)程。如552÷8＝548÷7＝480÷8＝490÷7＝□□橫式突出了組合或分解的過(guò)程，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算的步驟和數(shù)的位值都很顯然，豎式計(jì)算是□□思考被壓縮的計(jì)算過(guò)程，它的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)約，缺點(diǎn)是不容易被學(xué)生理解。在學(xué)生學(xué)習(xí)的初始8）5527）548階段，可以讓橫式與豎式并列呈現(xiàn)，發(fā)揮橫式計(jì)算對(duì)豎式計(jì)算的支持作用。具體地說(shuō)，就是讓學(xué)生找出橫式的計(jì)算步驟與豎式計(jì)算過(guò)程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，重點(diǎn)突破除的順序問(wèn)題，并理解豎式計(jì)算過(guò)程中被隱藏的位值。在正式學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)之前，還需要先進(jìn)行鋪墊訓(xùn)練， 如，322＝280+552＝480+280÷7＝480÷8＝42÷7＝72÷8＝這種訓(xùn)練是“從組合中引進(jìn)”的重要基礎(chǔ)，計(jì)算之后可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察式與式之間的關(guān)系，學(xué)生經(jīng)歷的這種思考過(guò)程，可以為探索三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算方法積累思維經(jīng)驗(yàn)。在具體情境中引入新知的學(xué)習(xí)，是計(jì)算教學(xué)中普遍采用的方法。 但是，為什么要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境呢？情境的作用有很多，如讓學(xué)生感知新知應(yīng)用的具體場(chǎng)景，了解新知識(shí)學(xué)習(xí)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系等等。如果設(shè)計(jì)情境的目的只是停留在這些層面，那么情境在教學(xué)中所起的作用僅僅是引入新知的學(xué)習(xí)。下面這個(gè)學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)，除了作為“引子”之外，還有“弦外之音” ，即利用情境支持學(xué)生對(duì)算理的理解。如下圖：先算每輛車坐學(xué)生的人數(shù)，再算每輛車坐老師的人數(shù)，情境本身提示了兩步計(jì)算的思路。即使在計(jì)算出結(jié)果之后，也可以引導(dǎo)學(xué)生由算式再回到情境中去尋找具體的意義。被除數(shù)首位夠除被除數(shù)首位夠除的三位數(shù)除以一位數(shù)，以兩位數(shù)除以一位數(shù)商是兩位數(shù)的作為基礎(chǔ)，15 150著重講清要把十位上除得的余數(shù)與個(gè)位上的數(shù)合起來(lái)繼續(xù)除的道理。借助兩位數(shù)除以一位數(shù)與幾百幾十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的類比作為中介，從兩位數(shù)除以一位數(shù)過(guò)渡到三位數(shù)除以一位數(shù)。如，÷3＝類比著重突出兩位數(shù)與相應(yīng)的幾百幾十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的相似性，主要是引導(dǎo)學(xué)生理解30÷3＝10除的順序與商的定位方法相同。以這個(gè)類比作為過(guò)渡，進(jìn)一步學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)13算方法。如，3）4131361391，商的十位要補(bǔ)0的情況。如624÷6＝104。被除數(shù)首位夠除的，會(huì)出現(xiàn)十位上不夠商3）4103）417為了強(qiáng)化商中間用0來(lái)占位,可以指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)除數(shù)與被除數(shù)首位的大小來(lái)估計(jì)商的位數(shù)。33即被除數(shù)的首位大于除數(shù)，則商的位數(shù)與被除數(shù)的位數(shù)相同；被除數(shù)的首位小于除數(shù)，則1111商的位數(shù)比被除數(shù)的位數(shù)少 1。無(wú)論是“在組合中引進(jìn)”，還是“在分解中展開(kāi)”，目的都是為了幫助學(xué)生更好地理解算理和掌握算法。教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，如果學(xué)生對(duì)算法一知半解，那么他們?cè)趯?shí)際應(yīng)用過(guò)程中就會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤；如果學(xué)生對(duì)算理缺乏理解，那么計(jì)算時(shí)可能只是關(guān)注純粹的數(shù)字運(yùn)算，而不是數(shù)字的實(shí)際數(shù)值，并且在得到計(jì)算結(jié)果之后就會(huì)停步不前，不會(huì)去檢驗(yàn)計(jì)算過(guò)程的合理性。三、三位數(shù)除以一位數(shù)的思考性訓(xùn)練三位數(shù)除以一位數(shù)的思考題性訓(xùn)練，主要從兩個(gè)方面設(shè)計(jì)： 一是聯(lián)系不同的問(wèn)題情境，改變總是直接呈現(xiàn)算式進(jìn)行計(jì)算的面貌；二是把判斷與推理、數(shù)感訓(xùn)練等結(jié)合進(jìn)來(lái)，打破總是按規(guī)定程序進(jìn)行計(jì)算的格局。數(shù)形結(jié)合歸一思路的訓(xùn)練①如果 ＝295,那么 表示多少？②2.代數(shù)思維的訓(xùn)練①求圖形所表示的數(shù)。6×▲+120＝426852-●×8＝556●×4+●×3＝10512×▲-7×▲＝145②等量替換。3.問(wèn)題變式的訓(xùn)練①和倍問(wèn)題。八張卡片的和是（ 7+14）×4＝84，三張卡片之和為 84÷（1+2）＝28，和為28的一組分別有：12+9+7＝28,11+10+7＝28,11+9+8＝28,13+7+8＝28。②兩商之差問(wèn)題。一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊比一個(gè)立方體鐵塊重多少千克？探索規(guī)律的訓(xùn)練三個(gè)數(shù)字和為 9的共六組：0+1+8，0+2+7，0+3+6，1+2+6，1+3+5，2+3+4。再以0+1+89為例，810÷9＝90,801÷9＝89,180÷9＝20,108÷9＝12,81÷9＝9,18÷9＝2。90+89+20+12+9+2＝222。和為9的三個(gè)數(shù)字所組成的六個(gè)三位數(shù)，分別除以 9,所得商的和為222。數(shù)字謎的訓(xùn)練①橫式數(shù)字謎。5□3÷□＝□□，要使商是兩位數(shù)，余數(shù)是 0, □里的數(shù)怎樣填？被除數(shù)的個(gè)位是 3,7×9＝63,除數(shù)與商的十位分別是 7,9,513÷9＝57,553÷7＝79。②豎式數(shù)字謎?！酢?/p>

2

商的十位與除數(shù)相乘，積的末位是 2，有以下同種情況：×6＝12，3×4＝12，4×8＝32，6×7＝42，8×9＝72。除數(shù)與商的十位上的數(shù)列表如下：□）□□類別 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩商的十2 6 3 4 4 8 6 7 8 9位除數(shù) 6 2 4 3 8 4 7 6 9 8此題共73個(gè)解。兩位數(shù)乘兩位數(shù)實(shí)踐表明，面對(duì)一道計(jì)算題，如果不是教學(xué)了“正規(guī)”的方法，孩子們?cè)趯?shí)際計(jì)算時(shí)可能會(huì)創(chuàng)造出許多非正規(guī)的計(jì)算方法。從這個(gè)意義上說(shuō)，算法多樣本應(yīng)是計(jì)算的“固有”屬性，是計(jì)算的“應(yīng)然”。但是現(xiàn)在，算法多樣往往被描繪成教學(xué)的目標(biāo)， 成為計(jì)算教學(xué)的“美麗外衣”。兩位數(shù)乘兩位數(shù)，如果不考慮特殊的數(shù)字，并且僅就獲得計(jì)算的結(jié)果而言，豎式計(jì)算（即通常所說(shuō)的筆算）無(wú)疑是最優(yōu)的方法，但是學(xué)生一旦對(duì)這種計(jì)算方法形成熟練，就容易造成“認(rèn)知的被動(dòng)”和“理解的中止” 。在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，主要體現(xiàn)在算法多樣化上。一、算法多樣的基礎(chǔ)與序列設(shè)計(jì)在教學(xué)中，影響生成多樣算法的因素十分復(fù)雜， 已有的基礎(chǔ)當(dāng)然是最重要的。理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的基礎(chǔ)是什么？?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)算法多樣的基礎(chǔ)又是什么？這兩個(gè)看似不同的問(wèn)題，答案卻一致的，都是乘法分配律。如 23×19豎式計(jì)算的基本過(guò)程是用一個(gè)乘數(shù)（如19）的個(gè)位與十位分別與另一乘數(shù)相乘，再把兩次乘得的結(jié)果相加，其算理基礎(chǔ)就是23×19＝23×（10+9）。此外，23×19還可以有其它多樣的算法，如 23×19＝（20+3）×19，23×19＝23×（20－1），這些方法都聯(lián)系了乘法分配律。多數(shù)的教材都把乘法分配律的學(xué)習(xí)安排在兩位數(shù)乘兩位數(shù)之后， 并且沒(méi)有考慮到把乘法分配律作為理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理基礎(chǔ)。 新思維數(shù)學(xué)對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的序列進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，以“籃球場(chǎng)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題”為單元標(biāo)題，把長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與面積、乘法分配律與兩位數(shù)乘兩位數(shù)等不同領(lǐng)域的內(nèi)容整合在一起，從計(jì)算籃球場(chǎng)的周長(zhǎng)開(kāi)始，探索兩種計(jì)算方法，即長(zhǎng)2+寬×2與（長(zhǎng)+寬）×2，并以此作為學(xué)習(xí)乘法分配律的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)了乘法分配律之后，進(jìn)一步從計(jì)算籃球場(chǎng)面積的問(wèn)題情境中引出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算。二、算法多樣的展開(kāi)與概括通法在計(jì)算活動(dòng)的全過(guò)程中，無(wú)論對(duì)數(shù)的感受，發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，選擇計(jì)算方法，還是對(duì)計(jì)算結(jié)果的正確性進(jìn)行判斷，學(xué)生之間都會(huì)存在差異。算法多樣化體現(xiàn)了尊重個(gè)性差異和因材施教的原則。強(qiáng)調(diào)算法多樣化，不同于一題多解，不強(qiáng)求學(xué)生一定要按“標(biāo)準(zhǔn)程序”計(jì)算，而是鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，創(chuàng)造個(gè)性化的計(jì)算方法?；@球場(chǎng)長(zhǎng)28米，寬15米。計(jì)算面積的算式是 28×15＝□。教學(xué)時(shí)，可根據(jù)乘法結(jié)合律，引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)兩位數(shù)分解為兩個(gè)一位數(shù)的乘積。如15＝3×5 28 ＝4×728×15＝28×3×5 28 ×15＝15×4×7＝140×3 ＝60×7＝420 ＝420也可根據(jù)乘法分配律，把一個(gè)兩位數(shù)分拆為整十?dāng)?shù)與一位數(shù)的和。如15＝10+528＝30-228×15＝28×（10+5）28×15＝（30-2）×15＝280×10+280×5＝30×15-2×15＝420＝420與運(yùn)用結(jié)合律的計(jì)算方法相比較，運(yùn)用分配律的方法不受因數(shù)是否是合數(shù)的限制，更具普適性。在展開(kāi)多樣算法之后， 要引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分不同方法各自的適用場(chǎng)景， 完成對(duì)方法的優(yōu)化和概括通法（即常規(guī)算法）的過(guò)程。如 23×19的積與28×15的積哪個(gè)大，通過(guò)計(jì)算，使學(xué)生感受到“23”與“19”不能分解為兩個(gè)因數(shù)（除 1以外）的積，只能把其中一個(gè)乘數(shù)分拆為整十?dāng)?shù)與一位數(shù)進(jìn)行計(jì)算。如23×19＝23×10+23×9230+207437進(jìn)一步，探索豎式計(jì)算的方法。如：教學(xué)時(shí)，要防止計(jì)算只是停留于對(duì)數(shù)字的處理，注重橫式與豎式的比較，建立計(jì)算步驟的對(duì)應(yīng)，并形成相互聯(lián)系和解釋的回路，揭示乘法分配律的原理，使簡(jiǎn)約的豎式計(jì)算獲得清晰的解釋，幫助學(xué)生更好地理解計(jì)算的操作程序。筆算時(shí)，如果學(xué)生對(duì)位值與算理缺乏理解，錯(cuò)誤就不可避免。筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的難點(diǎn)是部分積的對(duì)位，有三種情況。如：① ② ③其中，①是一個(gè)乘數(shù)個(gè)位、十位分別與另一個(gè)乘數(shù)相乘，首位都進(jìn)位，部分積呈現(xiàn)階梯式；②是一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位與另一個(gè)乘數(shù)相乘首位進(jìn)位，而十位與另一個(gè)乘數(shù)相乘首位不進(jìn)位，呈齊頭式；③是一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位與另一個(gè)乘數(shù)相乘首位不進(jìn)位，而十位與另一個(gè)乘數(shù)相乘首位進(jìn)位，呈跨越式。相比較而言，跨越式是比較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)要適當(dāng)加強(qiáng)訓(xùn)練。三、從常規(guī)算法到靈活選擇方法兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算，僅僅是按常規(guī)算法正確地計(jì)算是不夠的，還應(yīng)以良好的數(shù)感為基礎(chǔ)“尋求簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑”。教學(xué)時(shí)要注重引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，靈活選擇計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)計(jì)算策略的“靈活性”和“創(chuàng)造性”。組塊計(jì)算的方法與價(jià)值將“25×4＝100”，“37×3＝111”等作為基本模塊，根據(jù)乘法分配律實(shí)施靈活計(jì)算。先以三位數(shù)乘一位數(shù)為例，如利用25×4＝100的模塊：325×4＝（300+25）×4250×7＝250×（4+3）＝1200+100＝1000+750＝1300＝1750又如，利用37×3＝111的模塊：437×3＝（400+37）×3381×6＝（370+11）×6＝1200+111＝2220+66＝1311＝2286再如，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的組塊計(jì)算：這些方法的優(yōu)點(diǎn)在于，計(jì)算以思考數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系作為起點(diǎn)，而不是遵循機(jī)械的操作程序，并且以乘法運(yùn)算律作為基礎(chǔ)，每一個(gè)計(jì)算步驟都是容易解釋的。應(yīng)當(dāng)指明，如果任意選擇兩個(gè)兩位數(shù)相乘，能運(yùn)用上述模塊的可能性是比較小的，這里主要是從增加計(jì)算過(guò)程思考性的角度，側(cè)重于靈活地選擇計(jì)算策略。進(jìn)一步說(shuō)，不管使用哪種計(jì)算方法，其合理性取決于問(wèn)題本身和所運(yùn)用的數(shù)字以及計(jì)算的目的。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的高位起算法傳統(tǒng)的筆算都是從低位算起的，并遵循某種固定的程序，掌握了這種操作程序，計(jì)算就可以按部就班地進(jìn)行下去。但同時(shí)，在計(jì)算的過(guò)程中，學(xué)生的思維似乎已經(jīng)中止，甚至把計(jì)算的活動(dòng)異化為不帶意義理解的數(shù)字操作。豎式計(jì)算法則的內(nèi)核是位值和運(yùn)算律，至于從低位算起還是高位算起則是可以選擇的。①豎式計(jì)算這種算法分三步：第一步，十位相乘的積是幾個(gè)百，個(gè)位相乘的積是幾個(gè)一；第二步，十位與個(gè)位交叉相乘積的和是幾個(gè)十；第三步，把前兩步得到的部分積相加。這種算法的優(yōu)勢(shì)在于，較大限度地減少了計(jì)算過(guò)程中的疊加，特別是第一步計(jì)算中的兩個(gè)積分別是幾千幾百數(shù)與幾十幾的數(shù)，不可能產(chǎn)生進(jìn)位，可以按照從左到右的順序直接寫(xiě)出結(jié)果。②橫式計(jì)算42002478 ×63＝4224+690＝4914480210橫式的計(jì)算與豎式計(jì)算方法是一樣的，當(dāng)學(xué)生掌握了高位算起豎式計(jì)算的操作程序之后，可以轉(zhuǎn)換到橫式的計(jì)算中來(lái)。在計(jì)算過(guò)程中，需要提醒學(xué)生把注意力集中于運(yùn)算而不是記憶結(jié)果上。教學(xué)時(shí)，可以要求學(xué)生適當(dāng)?shù)赜涗浿虚g環(huán)節(jié)的計(jì)算結(jié)果，這有利于減輕記憶的負(fù)擔(dān)，也有利于檢查最終的結(jié)果是否正確。如果一方數(shù)字相同，另一方數(shù)字之和為 10，則有更為簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法。 這里所說(shuō)的“一方”是指兩個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字，或兩個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字，或一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字。計(jì)算方法分兩步，第一步是把十位數(shù)字相乘的積加上相同數(shù)字乘 100作為最后結(jié)果的前兩位，第二步是個(gè)位數(shù)字相乘的積作為最后結(jié)果的末兩位。十幾乘十幾的速算方法13×19＝（13+9）×10+3×9＝24716×18＝（16+8）×10+6×8＝288計(jì)算方法是一個(gè)乘數(shù)與另一個(gè)乘數(shù)個(gè)位的和乘 10，得幾百幾十?dāng)?shù)，再把兩個(gè)個(gè)位上的數(shù)相乘，得到幾十幾或幾，然后把兩個(gè)部分積相加。這種計(jì)算方法可以擴(kuò)展到二十幾乘二十幾，十幾乘二十幾。26×27＝24×17＝4.九十幾乘九十幾的速算方法（26+7）×20＝（14+10）×97×98＝（97-2）×100+3×2）×100+9×691×94＝（91-6＝9506＝8554（98＝100-297＝100-3）（94＝100-691＝100-9）計(jì)算方法是，先把一個(gè)乘數(shù)與另一乘數(shù)補(bǔ)數(shù)的差乘100得幾千幾百的數(shù)，再把兩個(gè)乘數(shù)的補(bǔ)數(shù)相乘，然后兩個(gè)部分積相加。這種方法可以擴(kuò)展到九十幾乘八十幾，八十幾乘八十幾。93×86＝（93-14）×100+7×1487×84＝（87-16）×100+13×16＝7900+98＝7100+268＝7998＝7308對(duì)于一個(gè)具體題目，學(xué)生可以從不同的角度靈活選擇算法。如45×36＝45×（30+6）45×36＝（50-5）×36＝1350+270＝1800-180＝1620＝162045×36＝（40+5）×3645×36＝45×（37-1）＝1440+180＝1665-45＝1620＝162045×36＝（35+10）×3645×36＝45×（35+1）＝35×36+360＝1575+45＝1260+360＝1620＝162045×36＝1230+390＝1620再次強(qiáng)調(diào)，就一般的兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算而言， 豎式計(jì)算仍是常規(guī)而且重要的方法， 但是也應(yīng)當(dāng)注意，這種方法的特點(diǎn)是高度結(jié)構(gòu)化，而且依賴于數(shù)字空間排列。如果計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)從獲得最終的結(jié)果轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和創(chuàng)新思維，傳統(tǒng)的豎式計(jì)算并不是最合適的。三位數(shù)除以兩位數(shù)過(guò)去，對(duì)三位數(shù)除以兩位數(shù)筆算的熟練程度一直是衡量學(xué)生計(jì)算能力的重要標(biāo)準(zhǔn)， 現(xiàn)在，即使計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)趨向多元、方法更加多樣，但在三位數(shù)除以兩位數(shù)的計(jì)算中，筆算仍以其簡(jiǎn)潔性、精致性和嚴(yán)密性的特點(diǎn)取勝，是其他計(jì)算方法所不能替代的。一、三位數(shù)除以兩位數(shù)的試商方法在整數(shù)四則運(yùn)算中，三位數(shù)除以兩位數(shù)難度最大， 這種以縮略形式呈現(xiàn)的算法超出了一些學(xué)生的理解力，原因之一是因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中簡(jiǎn)化了中間環(huán)節(jié)的記錄。三位數(shù)除以兩位數(shù)與兩位數(shù)除以一位數(shù)比較， 除的順序和定位商的方法是一樣的， 也沒(méi)有添加新的運(yùn)算過(guò)程，但在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生掌握三位數(shù)除以兩位數(shù)的計(jì)算要比兩位數(shù)除以一位數(shù)難得多。三位數(shù)除以兩位數(shù)計(jì)算的難點(diǎn)是調(diào)商從計(jì)算過(guò)程的構(gòu)成上看，三位數(shù)除以兩位數(shù)的基礎(chǔ)主要是三個(gè)，一是從三位數(shù)中分解出幾百幾十?dāng)?shù)，二是轉(zhuǎn)化為幾百幾十?dāng)?shù)除以整十?dāng)?shù)，三是歸結(jié)為表內(nèi)除法（含帶余除法） 。如288÷32＝□9270÷30＝932）288÷2＝98如果除數(shù)變成“36”，分解、轉(zhuǎn)化與歸結(jié)就不一樣了，如36 ）288÷36＝□240 ÷30＝8÷6＝8從上面兩個(gè)例子的比較中可以知道，分解、轉(zhuǎn)化與歸結(jié)都不是孤立進(jìn)行的，而是相互聯(lián)系的有機(jī)整體，其能力的核心是分析數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。轉(zhuǎn)化的直接好處是把一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算與熟悉的表內(nèi)除法相聯(lián)系，但轉(zhuǎn)化也包含了復(fù)雜的思維過(guò)程，因?yàn)樵鯓愚D(zhuǎn)化并不是單獨(dú)由除數(shù)的十位來(lái)決定的，除數(shù)的個(gè)位也要參與其中，并可能直接影響到商數(shù)。這事實(shí)上構(gòu)成了計(jì)算三位數(shù)除以兩位數(shù)區(qū)別于兩位數(shù)除以一位數(shù)的難點(diǎn)所在，即調(diào)商。在不同階段學(xué)習(xí)不同的側(cè)重，分化學(xué)習(xí)難點(diǎn)根據(jù)試商的難易程度不同，三位數(shù)除以兩位數(shù)可以分成幾個(gè)教學(xué)階段。第一階段是三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)。可以由幾百幾十?dāng)?shù)除以整十?dāng)?shù)引入，主要是掌握商的定位方法。如，540人乘車去參加運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操表演，每輛車坐60人，要租幾輛車？每輛車坐40人，要租幾輛車？540里有9個(gè)60。540÷60＝540÷40＝?20被除數(shù)的前兩被除數(shù)的前兩位不夠除，看前三

13

位夠除，商 1寫(xiě)在十位上。上面的情境把形成計(jì)位，算商問(wèn)寫(xiě)在題個(gè)，位上提。出解題策略，對(duì)答案進(jìn)行有意義的解釋等這些解決問(wèn)940 ）540題的重要步驟整合在一起。如 540÷40，十位上商 1，就表示租 10輛車，可以坐 400人，還余下140人沒(méi)有座位。像這樣，利用具體的情境解釋算理，可以起到事半功倍的效果。第二階段，商是兩位數(shù)的除法（除數(shù)非整十?dāng)?shù)） ，進(jìn)一步掌握商的定位方法。2145）94590 商是兩位數(shù)，不同數(shù)位上的商有不同的位值，理解其意義是4545 關(guān)鍵。如果脫離具體情境的支持，估算也是一種重要的策略。0如計(jì)算945÷45，可以先思考 900÷45＝20，估計(jì)商比20大，再討論商“2”應(yīng)當(dāng)寫(xiě)在哪個(gè)數(shù)位上。第三階段，商是一位數(shù)，重點(diǎn)是試商。在前面的學(xué)習(xí)中，掌握了除的順序與商的定位9方法，本階段的學(xué)習(xí)可以把重點(diǎn)聚焦在試商，并突破調(diào)商的難點(diǎn)。分兩個(gè)層次：第一層次，32）288首位試商。按照“在組合中引進(jìn)，在分解中展開(kāi)”的思路，分析除的順序，重點(diǎn)講清“首位試商”的方法。如270÷30＝9288÷32＝9818÷2＝9270÷30＝□36）290288÷32＝918÷2＝□用除數(shù)首位的“3”去除被除數(shù)的前兩位“ 28”，商9，寫(xiě)在被除數(shù)的個(gè)位上面，一次定商。第二層次，次位調(diào)整。在首位試商的時(shí)候，除數(shù)的個(gè)位其實(shí)沒(méi)有參與運(yùn)算，這樣計(jì)算是“危險(xiǎn)”的，因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)商過(guò)大的情況，需要進(jìn)行調(diào)整。如324 ＞290這種方法稱之為“首位試商次位調(diào)整”的試商方法，即先用除數(shù)十位上的數(shù)去試商，再用除數(shù)個(gè)位上的數(shù)去調(diào)商。不同試商方法的比較三位數(shù)除以兩位數(shù)，還有一種重要的試商方法是“四舍五入”法，這種試商方法是先根據(jù)除數(shù)個(gè)位上的數(shù)字大小，對(duì)除數(shù)作“四舍五入”的處理，然后以整十?dāng)?shù)去除被除數(shù)。這種方法有時(shí)把除數(shù)看小了， 初商偏大要調(diào)小，有時(shí)則把除數(shù)看大了，初商偏小要調(diào)大?！笆孜辉嚿獭钡奶攸c(diǎn)是只用被除數(shù)前兩位除以除數(shù)十位上的數(shù)，把計(jì)算歸結(jié)為表內(nèi)除法（含帶余除法），得出初商比較快，而且只可能出現(xiàn)初商過(guò)大的情況， 不可能出現(xiàn)初商過(guò)小的情況，調(diào)商時(shí)一律只要將商調(diào)小，思考方向是單一的，這在初學(xué)時(shí)優(yōu)勢(shì)比較明顯。三位數(shù)除以兩位數(shù)商是一位數(shù)，能整除的共有

555題，其中除數(shù)為十幾的有

23題，其余的

532題采用“首位試商法”一次能定商的有

457題（如

295÷59），約占

85.7%，需要調(diào)商的有77題（如354÷59），約占14.3%，而且隨著除數(shù)的增大需要調(diào)商的比例越來(lái)越小。據(jù)測(cè)算，首位試商（除數(shù)是十幾的除外）的成功率高達(dá) 68.8%，如下表：總題量64800題商是一位有36000題商是兩位有28800題初商正確平調(diào)跳調(diào)初商正確平調(diào)跳調(diào)21932130011067226905990420060.93%36.11%2.96%78.78%20.80%0.42%927（注：平調(diào)是指1次調(diào)商，跳調(diào)是指2次以上調(diào)商）36）29054二、三位數(shù)除以兩位數(shù)試商的訓(xùn)練一般認(rèn)為，在衡量運(yùn)算能力的指標(biāo)體系中，正確、迅速和簡(jiǎn)捷是比較重要的三個(gè)方面。計(jì)算技能的熟練掌握需要經(jīng)歷認(rèn)知、聯(lián)系等階段，訓(xùn)練是必不可少的。教學(xué)需要設(shè)計(jì)豐富多樣的試商訓(xùn)練，突出關(guān)鍵并達(dá)到“基礎(chǔ)實(shí)、思維活、能力強(qiáng)”的目標(biāo)。1.試商的基本訓(xùn)練989如先判斷□里最大能填幾，再計(jì)算。38）32038