6對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”的認(rèn)識及思考課件

由NordriDesign提供至誠至理求真求新山東淄博市教學(xué)研究室朱恒杰2018年7月6日

對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”的認(rèn)識及思考由NordriDesign提供至誠至理山東淄博市教學(xué)研究室

本次課標(biāo)修訂（2017年版）是對2014年版的繼承和發(fā)展，在2014年版課標(biāo)基礎(chǔ)上，凝練提出了本學(xué)科的6個核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。如何理解和認(rèn)識這6個核心素養(yǎng)，結(jié)合昨天鮑教授和章建躍主編提出的要有具體樣例支撐、要注意數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)的思想（顯性化），以核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”為例，談一點(diǎn)我個人的粗淺認(rèn)識。本次課標(biāo)修訂（2017年版）是對2014年版的繼2數(shù)學(xué)抽象（內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)、水平）數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。數(shù)學(xué)抽象（內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)、水平）3數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)；養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。

數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和4水平素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學(xué)命題，能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題。能夠解釋數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的含義，了解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。能夠了解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法，體會其中的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，結(jié)合實(shí)際情境解釋相關(guān)的抽象概念。水平素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和5水平二能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題。能夠用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則；理解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論；能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證；能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，理解其中的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象。水平二能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁?水平三能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá)；能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論基礎(chǔ)上形成新命題；能夠針對具體問題運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題。能夠通過數(shù)學(xué)對象、運(yùn)算或關(guān)系理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)，能夠理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學(xué)知識體系。在現(xiàn)實(shí)問題中，能夠把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)；能夠感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，能夠用數(shù)學(xué)原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。水平三能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予7一、獲得數(shù)學(xué)的概念、或深化概念

1、函數(shù)概念（變量說、對應(yīng)說），擴(kuò)大認(rèn)知邊界（），深化對函數(shù)的理解和認(rèn)知；2、三角函數(shù)（初中直角三角形、高中單位圓），突出函數(shù)周期性的本質(zhì)；3、單調(diào)性（定義，

）一、獲得數(shù)學(xué)的概念、或深化概念）8

二、抽象結(jié)構(gòu)關(guān)系獲得結(jié)論二、抽象結(jié)構(gòu)關(guān)系獲得結(jié)論9

從結(jié)構(gòu)抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知識，是可以放在一起加以認(rèn)知的，并且還可以提高我們的認(rèn)知水平。所以，利用數(shù)學(xué)知識的這種內(nèi)在聯(lián)系特征，可以將高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸類和“濃縮”，減輕知識負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率。

數(shù)學(xué)對象不斷變化而關(guān)系（結(jié)構(gòu)）在抽象意義上基本不變，結(jié)論具有統(tǒng)一性（一般性）。

遷移（具體知識不好遷移，但抽象后）：

例2，球體與圓錐是同類知識（抽象結(jié)構(gòu)意義）

從結(jié)構(gòu)抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知10

雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，需要嚴(yán)格證明；但他提供探究的方向、研究的思路；也可能在未知的領(lǐng)域有創(chuàng)新性的發(fā)現(xiàn)。對象和關(guān)系的不斷抽象，而結(jié)論具有概括性或一致性，使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。

三、形成數(shù)學(xué)方法、思想、模型

例如，中點(diǎn)坐標(biāo)公式（簡單、以簡馭繁、大概念、統(tǒng)攝性）雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，需要嚴(yán)格證明；但他提供探究的方向、研究的112、梯形中位線（幾何對應(yīng)代數(shù)）2、梯形中位線（幾何對應(yīng)代數(shù)）123、圓臺中截面

除去具體屬性，數(shù)學(xué)的本質(zhì)更清楚、更簡單；數(shù)學(xué)內(nèi)在要求也是以簡馭繁、以少馭多、以“不變”應(yīng)“萬變”、舉一反三，形成觀念、思想、模式或結(jié)構(gòu)。（最后剩下典型的思想方法。“少則得，多則惑”，若滿腦子都是知識，這樣的學(xué)生可能學(xué)不好數(shù)學(xué)）。

四、數(shù)學(xué)抽象也是方法論，指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)3、圓臺中截面除去具體屬性，數(shù)學(xué)的本質(zhì)更清楚13

我們高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的基本觀點(diǎn)是：

1、復(fù)習(xí)內(nèi)容要集約化——呈現(xiàn)共性。按照同類為伍，近類為鄰的原則,用抽象的觀念合并同類項，突出主干知識，聚焦核心概念，以主干知識帶動全面復(fù)習(xí)，形成一、二、三輪復(fù)習(xí)由面到線、由線到點(diǎn)的“面—線—點(diǎn)”“瘦身”復(fù)習(xí)策略。2、復(fù)習(xí)方式要聚焦“類”教學(xué)，發(fā)掘“支撐思想”

——通性通法和典型方法——舉一反三、觸類旁通，實(shí)現(xiàn)能力遷移。我們高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的基本觀點(diǎn)是：14以上是粗淺看法，不對之處，請批評指正！

謝謝大家！以上是粗淺看法，不對之處，請批評指正！15由NordriDesign提供至誠至理求真求新山東淄博市教學(xué)研究室朱恒杰2018年7月6日

對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”的認(rèn)識及思考由NordriDesign提供至誠至理山東淄博市教學(xué)研究室

本次課標(biāo)修訂（2017年版）是對2014年版的繼承和發(fā)展，在2014年版課標(biāo)基礎(chǔ)上，凝練提出了本學(xué)科的6個核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。如何理解和認(rèn)識這6個核心素養(yǎng)，結(jié)合昨天鮑教授和章建躍主編提出的要有具體樣例支撐、要注意數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)的思想（顯性化），以核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”為例，談一點(diǎn)我個人的粗淺認(rèn)識。本次課標(biāo)修訂（2017年版）是對2014年版的繼17數(shù)學(xué)抽象（內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)、水平）數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。數(shù)學(xué)抽象（內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)、水平）18數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)；養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。

數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和19水平素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學(xué)命題，能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題。能夠解釋數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的含義，了解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。能夠了解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法，體會其中的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，結(jié)合實(shí)際情境解釋相關(guān)的抽象概念。水平素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和20水平二能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題。能夠用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則；理解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論；能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證；能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，理解其中的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象。水平二能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁?1水平三能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá)；能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論基礎(chǔ)上形成新命題；能夠針對具體問題運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題。能夠通過數(shù)學(xué)對象、運(yùn)算或關(guān)系理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)，能夠理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學(xué)知識體系。在現(xiàn)實(shí)問題中，能夠把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)；能夠感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。在交流的過程中，能夠用數(shù)學(xué)原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。水平三能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予22一、獲得數(shù)學(xué)的概念、或深化概念

1、函數(shù)概念（變量說、對應(yīng)說），擴(kuò)大認(rèn)知邊界（），深化對函數(shù)的理解和認(rèn)知；2、三角函數(shù)（初中直角三角形、高中單位圓），突出函數(shù)周期性的本質(zhì)；3、單調(diào)性（定義，

）一、獲得數(shù)學(xué)的概念、或深化概念）23

二、抽象結(jié)構(gòu)關(guān)系獲得結(jié)論二、抽象結(jié)構(gòu)關(guān)系獲得結(jié)論24

從結(jié)構(gòu)抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知識，是可以放在一起加以認(rèn)知的，并且還可以提高我們的認(rèn)知水平。所以，利用數(shù)學(xué)知識的這種內(nèi)在聯(lián)系特征，可以將高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸類和“濃縮”，減輕知識負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率。

數(shù)學(xué)對象不斷變化而關(guān)系（結(jié)構(gòu)）在抽象意義上基本不變，結(jié)論具有統(tǒng)一性（一般性）。

遷移（具體知識不好遷移，但抽象后）：

例2，球體與圓錐是同類知識（抽象結(jié)構(gòu)意義）

從結(jié)構(gòu)抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知25

雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，需要嚴(yán)格證明；但他提供探究的方向、研究的思路；也可能在未知的領(lǐng)域有創(chuàng)新性的發(fā)現(xiàn)。對象和關(guān)系的不斷抽象，而結(jié)論具有概括性或一致性，使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。

三、形成數(shù)學(xué)方法、思想、模型

例如，中點(diǎn)坐標(biāo)公式（簡單、以簡馭繁、大概念、統(tǒng)攝性）雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，需要嚴(yán)格證明；但他提供探究的方向、研究的262、梯形中位線（幾何對應(yīng)代數(shù)）2、梯形中位線（幾何對應(yīng)代數(shù)）273、圓臺中截面

除去具體屬性，數(shù)學(xué)的本質(zhì)更清楚、更簡單；數(shù)學(xué)內(nèi)在要求也是以簡馭繁、以少馭多、以“不變”應(yīng)“萬變”、舉一反三，形成觀念、思想、模式或結(jié)構(gòu)。（最后剩下典型的思想方法。“少則得，多則惑”，若滿腦子都是知識，這樣的學(xué)生可能學(xué)不好數(shù)學(xué)）。

四、數(shù)學(xué)抽象也是方法論，指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)3、圓臺中截面除去具體屬性，數(shù)學(xué)的本質(zhì)更清楚28

我們高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的基本觀點(diǎn)是：

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