全等三角形證明經(jīng)典45題及答案

-.z.17．〔7分〕：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點，〔1〕求證：△AED≌△EBC．〔2〕觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形．〔直接寫出結(jié)果，不要求證明〕：18．〔7分〕如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．19、〔10分〕如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。20、〔10分〕如圖：AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，BE∥CF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。21、〔10分〕如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BD⊥AC。22、〔10分〕AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF23、〔12分〕如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。24.公園里有一條"Z〞字形道路ABCD，如下圖，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.25．：點A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．DBCcAFE26.：如下圖，ADBCcAFE27．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證:∠5=∠6．28．29．：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD．AACBDEF30AEBDCF如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求證：

〔1〕AD⊥AEBDCF31.：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．假設(shè)AB=5,求AD的長？DDCBAE32．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC33.如圖，給出五個等量關(guān)系：①②③④⑤．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論，推出一個正確的結(jié)論〔只需寫出一種情況〕，并加以證明．ABABCＤＥ求證：證明：34．在△ABC中，，，直線經(jīng)過點，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌②；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，說明理由.35．如下圖，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFAAEBMCF36．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：〔1〕AM=AN；〔2〕AM⊥AN。37．如圖,∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF38．如圖,AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由39、〔10分〕如圖,:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．40、(10分)：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．ADECADECBF41、(10分)如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CDACEDB42、(10分)如圖，ACACEDB43、(10分)如圖，AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求證：AE＝DE.AABECDABCDEF圖944．如圖9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90ABCDEF圖945、如圖2，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°．直線DE經(jīng)過△ABC內(nèi)部，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，試猜測線段AD、BE、DE之間滿足什么關(guān)系？證明你的結(jié)論17、證明：

〔1〕∵DC∥AB

∴∠CDE＝∠AED

∵DE＝DE，DC＝AE

∴△AED≌△EDC

∵E為AB中點

∴AE＝BE

∴BE＝DC

∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC

∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC

∴△AED≌△EBC〔2〕△EDC以及除△EDC、△EBC、△AED、△EDC外有一邊為DC的那個三角形〔具體請對照你的圖即知〕。〔1〕證明：∵DC=1/2AB，E為AB的中點，

∴CD=BE=AE．

又∵DC∥AB，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∴CE=AD，CE∥AD．

∴∠BEC=∠BAD．

在△BEC和△EAD中，

BE=EA∠BEC=∠EADEC=AD，

∴△BEC≌△EAD〔SAS〕．〔2〕解：與△AED的面積相等的三角形有：△AEC，△ECD，△AED．

故答案為：△AEC，△ECD，△ACD．18、證明：延長BA、CE，兩線相交于點F

∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC(ASA)

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF(ASA)

∴BD=CF

∴BD=2CE19、證明：∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF

∴△AED≌△BFC〔SAS〕．20、證明：∵BE∥CF，

∴∠CFM=∠BEM，

在△CFM和△BEM中，

∠CFM=∠BEM，∠BME=∠CMFBE=CF

∴△CFM≌△BEM，

∴BM=CM，

∴AM是BC的中線．21、三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以角ADB和角CDB相等，它們的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC22、23、24、解：能．

證明：連接EF

∵AB∥CD，〔〕

∴∠B=∠C〔兩線平行內(nèi)錯角相等〕．

∵M(jìn)是BC中點

∴BM=CM，

在△BEM和△CFM中，BE=CF()∠B=∠C(已證)BM=CM(中點定義)∴△BEM≌△CFM〔SAS〕．

∴CF=BE〔對應(yīng)邊相等〕．25、∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕

又∵BE=DF

∴△ABE≌△CDF〔SAS〕26、證明：連接AC

∵AB＝AD，BC＝DC、AC＝AC

∴△ABC≌△ADC〔SSS〕

∴∠ACB＝∠ACD

∵E是DC的中點，F(xiàn)是BC的中點

∴CE＝DC/2,CF＝BC/2

∴CE＝CF

∴△ACE≌△ACF〔SAS〕

∴AE＝AF27、∵∠1=∠2，∠3=∠4，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC〔ASA〕，

∴BC=CD。

∵CE=CE，

∴△DCE≌△BCE，

∴∠5=∠628、∵AB//DEBC//EF〔〕

∴∠A=∠EDF〔同位角相等〕

∠BCA=∠EFD〔同位角相等〕

∵AD=CF〔〕

∴AD+DC=CF+DC即AC=DF

∴:△ABC≌△DEF〔角邊角〕29、連接BC∵BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BDA=∠CEA=90度∵BA=CA,∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE∴∠B=∠C∵∠CBF=∠BCF在得到BF=CF又∵∠BEF=∠CDF=90度∴∠B=∠C30、證明：〔1〕∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，又AD=AD，

∴△ADE≌△ADF〔HL〕．

∴AE=AF，又∠DAE=∠DAF，

∴AD⊥EF．〔2〕成立．〔理由同上〕31、∵∠DAE+∠CAB=90，∠D+∠DAE=90，∠B+∠CAB=90

∴∠D=∠CAB，∠B=∠DAE

∵BC=AD

∴△ADE≌△ABC

∴AD=AB=532、∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠C

又∵M(jìn)E=MF，△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM

∴MB=MC33、此題主要考學(xué)生的創(chuàng)新思維能力．自己找條件和結(jié)論，自己證明．

由于①②⑤中所給的條件都屬于兩個全等三角形里的邊和角，可任選其中兩個當(dāng)條件，

第三個當(dāng)結(jié)論比擬簡便．解：：AD=BC，AC=BD，

求證：∠DAB=∠CBA．

證明：∵AD=BC，AC=BD，AB=AB，

∴△ADB≌△BCA．

∴∠DAB=∠CBA．34、如圖〔1〕所示，∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°又∵AC⊥BC∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°∴∠BCE=∠CAD∴在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB∴△ADC≌△CEB〔AAS〕∴AD=CE，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE如圖〔2〕所示解：∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠AEB=90°又∵AC⊥BC∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°又∵∠CBE+∠BCE=90°∴∠ACD=∠CBE在△ACD和△CBE中｛∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠AEB，AC=BC∴△ACD≌△CBE〔AAS〕∴AD=EC，CD=EB∴ED=CE-CD=AD-EB如圖〔3〕所示∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∵AC⊥BC∴∠ACD+∠BCE=90°又∵∠ACD+∠CAD=90°∴∠BCE=∠CAD∴在△ADC和△CEB中｛∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC∴△ADC≌△CEB〔AAS〕∴AD=CE，CD=EB∴DE=CD-CE=EB-AD35、1〕證明;∵AE⊥AB

∴∠EAB=∠EAC-∠CAB=90°∵AF⊥AC

∴∠CAF=∠BAF-∠CAB=90°∴∠EAC=∠BAF

∵AE=ABAF=AC

∴△EAC≌△FAB

∴EC=BF

∠ECA=∠AFB

(2)∵∠AFC+∠ACF=90°∴∠AFB+∠BFC+∠FCA=90°∵∠ECA=∠AFB(已證〕∴∠BFC+∠FCA+∠ECA=90°∴∠BFC+∠FCE=90°∴∠FMC=90°∴EC⊥BF36、證明：

〔1〕

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN〔2〕

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN37、連接BF,CE得到△ABF和△CDE，四邊形BCEF

在△ABF和△CDE中

,AB=DE

∠A=∠D

AF=CD

∴△ABF≡△CDE〔邊角邊〕

∴FB=CE

在四邊形BCEF中

FB=CE

BC=EF

∴四邊形BCEF是平行四邊形

即BC‖EF38、證明：

在AB上截取AF=AC，連接EF

∵AE平分∠CAB

∴∠CAE=∠FAE

又∵AE=AE，AF=AC

∴⊿CAE≌⊿FAE〔SAS〕

∴∠C=∠AFE

∵AC//BD

∴∠C+∠D=180o

∵∠AFE+∠BFE=180o

∴∠BFE=∠D

又∵∠FBE=∠DBE【BE平分∠DBA】

BE=BE

∴⊿FBE≌⊿DBE〔AAS〕

∴BF=BD

∴AB=AF+BF=AC+BD39、證明：∵AD是BC上的中線，

∴BD=DC．

又∵DF=DE〔〕，

∠BDE=∠CDF〔對頂角相等〕，

∴△BED≌△CFD〔SAS〕．

∴∠E=∠CFD〔全等三角形的對應(yīng)角相等〕．

∴CF∥BE〔內(nèi)錯角相等，兩直線平行〕．40、證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEC=∠AFB=90°，

∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，

DE=BFAB=CD

∴Rt△DEC≌Rt△BFA〔HL〕，

∴∠C=∠A，

∴AB∥CD．41、∵,∠3=∠4

∴OB=OC

在△AOB和△DOC中

∠1=∠2

OB=OC

∠AOB=∠DOC

△AOB≌△DOC

∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB

在△ACB和△DBC中

AC=DB

,∠3=∠4

BC=CB

△ACB≌△DBC

∴AB=CD42、〔1〕解：CE=DE，CE⊥DE．

理由如下：∵AC⊥AB，DB⊥AB，

∴∠A=∠B=90°，

在△ACE和△BED中，

∵AC=BEAE=BD∠A=∠B=90°，

∴△ACE≌△BED〔SAS〕，

∴CE=DE，∠C=∠BED，

∵∠C+∠AEC=90°，

∴∠BED+∠AEC=90°，

∴∠CED=180°-90°=90°，

∴CE⊥DE；43、證明：在△ABC和△DCB中，

AB=DCAC=DBBC=CB，

∴△ABC≌△DCB〔SSS〕．

∴∠ABC=∠DCB．