2019-2020學年高一物理 力學專題提升 專題16 圓周運動中的臨界問題

2019-2020學年高一物理力學專題提升專題16圓周運動中的臨界問題【專題概述】物理中經(jīng)常會出現(xiàn)一些詞語，“物體恰好運動到最高點”；“恰好過最高點”“繩子剛好不拉斷”等等這些詞語，則表明有臨界狀況出現(xiàn)。水平面內(nèi)圓周運動的臨界極值問題通常有兩類，一類是與摩擦力有關的臨界問題，一類是與彈力有關的臨界問題.1.與摩擦力有關的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，靜摩擦力的方向一定指向圓心；如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連物體，其中一個在水平面上做圓周運動時，存在一個恰不向內(nèi)滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。2.與彈力有關的臨界極值問題壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。【典例精講】一、水平方向上的臨界問題：水平面內(nèi)的很多圓周運動都存在臨界狀態(tài)，解答此類問題的關鍵是發(fā)現(xiàn)臨界狀態(tài)，找到臨界條件。例如“剛好不發(fā)生相對滑動”的臨界條件是靜摩擦力等于最大靜摩擦力、“剛好不離開”的臨界條件是接觸面間正壓力等于零。下面是火車拐彎問題分析。在火車轉(zhuǎn)彎處，讓外軌高于內(nèi)軌，如圖所示，轉(zhuǎn)彎時所需向心力由重力和彈力的合力提供。設車軌間距為l，兩軌高度差為h，車轉(zhuǎn)彎半徑為r，質(zhì)量為M的火車運行時應當有多大的速度?據(jù)三角形邊角關系知sinθ=?，對火車的受力情況分析得tanθ=。因為θ角很小，所以sinθ≈tanθ，故?=，所以向心力F合=?Mg。又因為F合=M，所以車速v=。由于鐵軌建成后h、L、R各量是確定的，故火車轉(zhuǎn)彎時的車速應是一個定值，否則將對鐵軌有不利影響，如:（1）火車在彎道處的速度大于時，重力和支持力的合力不足以充當火車做圓周運動需要的向心力，火車要擠壓外側(cè)車軌，外側(cè)車軌受擠壓發(fā)生形變產(chǎn)生彈力，補充不足的向心力。（2）火車在彎道處的速度小于時，重力和支持力的合力大于火車做圓周運動需要的向心力，火車就要擠壓內(nèi)側(cè)車軌，內(nèi)側(cè)車軌受擠壓發(fā)生形變產(chǎn)生彈力，抵消一部分重力和支持力的合力。典例1：鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)、外軌高度差h的設計不僅與r有關，還與火車在彎道上的行駛速率v有關。下列說法正確的是（）A．速率v一定時，r越小，要求h越大B．速率v一定時，r越大，要求h越大C．半徑r一定時，v越小，要求h越大D．半徑r一定時，v越大，要求h越大【答案】AD二、豎直圓周運動的臨界問題在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體，按運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類。一類是無支撐(如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”；二是有支撐(如球與桿連接，在彎管內(nèi)的運動等)，稱為“桿(管道)約束模型”。物體在豎直平面內(nèi)做的圓周運動是一種典型的變速曲線運動，該類運動常有臨界問題，并常伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，現(xiàn)就兩種模型分析比較如下:1．車過拱橋問題分析如圖所示為汽車過拱橋的三種情境的比較分析:質(zhì)量為m的汽車在拱橋上以速率v前進，橋面的圓弧半徑為r，F(xiàn)N為橋面對汽車的支持力，其大小等于汽車對橋面的壓力。甲為凸形橋面，乙為凹形橋面，丙為水平橋面。對甲分析，因為汽車對橋面的壓力FN'=mg-m，所以有：（1）當v=時，汽車對橋面的壓力FN'=0；（2）當0≤v<時，0<FN'≤mg；（3）當v>時，汽車將脫離橋面、發(fā)生危險。對乙分析，當汽車過凹形橋面最低點時，汽車的支持力和重力的合力提供向心力。則有FN-mg=m?，F(xiàn)N=mg+m，支持力一定大于重力mg。對丙分析，汽車在水平橋面上勻速行駛，F(xiàn)N=mg。2．線球模型與桿球模型（1）過最高點的臨界條件由mg=m得v臨=；（2）過最高點時，v≥，F(xiàn)N+mg=m，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN；（3）不能過最高點，v<，在到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道。（1）當v=0時，F(xiàn)N=mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心；（2）當0<v<時，mg-FN=m，F(xiàn)N背向圓心，隨v的增大而減??；（3）當v=時，F(xiàn)N=0；（4）當v>時，F(xiàn)N+mg=m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大。典例2：如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g。今使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大?。ǎ〢．mgB．mgC．3mgD．2mg【答案】A典例3：如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面間的夾角為30°，g取10m/s2。則ω的最大值是()A．rad/sB．rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s【答案】C典例4：在光滑水平面上，有一轉(zhuǎn)軸垂直于此平面，交點O的上方h處固定一細繩，繩的另一端連接一質(zhì)量為m的小球B，繩長l>h，小球可隨轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，在光滑水平面上做勻速圓周運動，如圖所示。要使小球不離開水平面，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速的最大值是()A．B．πC．D．【答案】A【解析】當小球即將離開水平面時，F(xiàn)N=0，對小球受力分析如圖，則有mgtanθ=m(2πnm)2R，又R=htanθ，解得nm=。【總結(jié)提升】處理臨界問題的解題步驟況（1）判斷臨界狀態(tài)：有些題目中有“剛好”“恰好”正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點；若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止點”，而這些起止點往往就對應著臨界狀態(tài)；若題目中有“最|大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，這個極值點也往往對應著臨界狀態(tài)。（2）確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學形式表達出來。（3）選擇物理規(guī)律：當確定了物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，要分別對不同的運動過程或現(xiàn)象選擇相對應的物理規(guī)律，然后列方程求解。【專練提升】1.(多選)如圖所示，長為l的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，關于最高點的速度v，下列說法正確的是()A．v的極小值為B．v由零逐漸增大，向心力也增大C．當v由D．當v由逐漸增大時，桿對小球的彈力逐漸增大逐漸減小時，桿對小球的彈力逐漸增大【答案】BCD2.(多選)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶。如圖,某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧,當汽車行駛的速率為vc時,汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢。則在該彎道處,()A.路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低B.車速只要低于vc,車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動C.車速雖然高于vc,但只要不超出某一最高限度,車輛便不會向外側(cè)滑動D.當路面結(jié)冰時,與未結(jié)冰時相比,vc的值變小【答案】AC【解析】汽車在公路轉(zhuǎn)彎處做圓周運動,需要外力提供向心力,當汽車行駛的速率為vc時,汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢,即沒有指向公路兩側(cè)的摩擦力,此時的向心力由地面的支持力和重力的合力提供,故路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低,選項A正確;當車速低于vc時,車所需向心力減小,車可能只是具有向內(nèi)側(cè)滑動的趨勢,不一定能夠滑動,選項B錯誤;同理,當車速高于vc,且不超出某一最高限度,車輛可能只是有向外側(cè)滑動的趨勢,不一定能夠滑動,當超過最大靜摩擦力時,才會向外側(cè)滑動,故選項C正確;當路面結(jié)冰時,只是最大靜摩擦力變小,vc值不變,D錯誤。3.如圖所示為模擬過山車的實驗裝置，小球從左側(cè)的最高點釋放后能夠通過豎直圓軌道而到達右側(cè)．若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過豎直圓軌道，則小球通過豎直圓軌道的最高點時的角速度最小為()A.B．2C．D．【答案】：C4.(多選)如圖所示,半徑分別為R、2R的兩個水平圓盤,小圓盤轉(zhuǎn)動時會帶動大圓盤不打滑地一起轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的小物塊甲放置在大圓盤上距離轉(zhuǎn)軸R處,質(zhì)量為2m的小物塊乙放置在小圓盤的邊緣處。它們與盤面間的動摩擦因數(shù)相同,當小圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動時,兩物塊均相對圓盤靜止,下列說法正確的是()A.小物塊甲受到的摩擦力大小為mω2RB.兩物塊的線速度大小相等C.在角速度ω逐漸增大的過程中,物塊甲先滑動D.在角速度ω逐漸減小的過程中,摩擦力對兩物塊做負功【答案】.AD【解析】由題知兩個圓盤邊緣的線速度大小相等,則由v=ωr,可知兩圓盤角速度大小關系為ω甲∶ω乙=R∶2R=1∶2,又v甲=ω甲R,v乙=ω乙R,則v甲∶v乙=1∶2,B錯。因兩物塊隨盤轉(zhuǎn)動時,摩擦力提供向心力,則甲受到的摩擦力大小為Ff甲=F向甲=mR=mω2R,乙受到的摩擦力大小為Ff乙=F向乙=mω2R,在角速度ω逐漸增大的過程中,甲、乙兩物塊受到的靜摩擦力逐漸增大,又知Ffmax甲=μmg,Ffmax乙=2μmg,則乙先滑動,A正確,C錯誤。若角速度逐漸減小,則由v=ωr可知兩物塊的線速度也逐漸減小,動能減小,由功能關系知摩擦力做負功,故D對。5.(多選)如圖所示，細桿的一端與小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉(zhuǎn)動，細桿長0.5m，小球質(zhì)量為3kg，現(xiàn)給小球一初速度使它做圓周運動，若小球通過軌道最低點a的速度為va＝4m/s，通過軌道最高點b的速度為vb＝2m/s，取g＝10m/s2，則小球通過最低點和最高點時對細桿作用力的情況是()A．在a處為拉力，方向豎直向下，大小為126NB．在a處為壓力，方向豎直向上，大小為126NC．在b處為拉力，方向豎直向上，大小為6ND．在b處為壓力，方向豎直向下，大小為6N【答案】AD6.如圖甲所示,輕桿一端與一小球相連,另一端連在光滑固定軸上,可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動,到達某一位置開始計時,取水平向右為正方向,小球的水平分速度vx隨時間t的變化關系如圖乙所示。不計空氣阻力。下列說法中正確的是()A.t1時刻小球通過最高點,圖乙中陰影部分面積S1和S2相等B.t2時刻小球通過最高點,圖乙中陰影部分面積S1和S2相等C.t1時刻小球通過最高點,圖乙中陰影部分面積S1和S2不相等D.t2時刻小球通過最高點,圖乙中陰影部分面積S1和S2不相等【答案】A【解析】由0~t1時間vx逐漸減小,t1~t2時間內(nèi)vx逐漸增大,可知t1時刻小球通過最高點,又因為vx-t圖線與橫軸所圍面積表示水平位移,S1、S2的大小均等于桿長,所以S1、S2相等。7.(多選)如圖所示,飛車表演隊隊員騎摩托車在豎直的圓軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動,質(zhì)量為m的表演隊員隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),下列說法正確的是()A.表演隊員在最低點時對車座的壓力小于mgB.表演隊員在最低點時對車座的壓力大于mgC.車在最高點時表演隊員沒有保險帶可能不會掉下來D.表演隊員在最高點時對車座不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力【答案】BC8如圖，長均為的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為。重力加速度大小為。今使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為時，每根繩的拉力大小為（）。A:B:C:D:【答案】A9“太極球”是近年來在廣大市民中較流行的一種健身器材.做該項運動時,健身者半馬步站立,手持太極球拍,拍上放一橡膠太極球,健身者舞動球拍時,球卻不會掉落地上.現(xiàn)將太極球簡化成如圖所示的平板和小球,熟練的健身者讓球在豎直面內(nèi)始終不脫離板而做勻速圓周運動,且在運動到圖中的A、B、C、D位置時球與板間無相對運動趨勢.A為圓周的最高點,C為最低點,B、D與圓心O等高.設球的重力為1N,不計拍的