高中數(shù)學教學課件《 均值不等式》

均值不等式第1課時均值不等式均值不等式服務員:電子秤壞了,但有一架臂長不等的天平.我有個好辦法!王大媽:我買這包糖.服務員:電子秤壞了,但有一架臂長不等的天平.我有個好辦法!王稱得a(kg)稱得a(kg)稱得b(kg)稱得b(kg)

服務員:把兩次稱得的質量平均一下肯定是您所買的糖的質量,絕對不會錯的!即:=糖果真正質量m嗯,我真聰明,這樣的難題都難不倒我!稱得b(kg)稱得a(kg)服務員:把兩次稱得的質量平均一下肯定是您王大媽:對不對,我會不會吃虧?讓我好好想一想!真后悔高中的時候沒讀好書啊……哦,這也難不倒我老人家,凡事多問是我?guī)资甑慕?jīng)驗!現(xiàn)在高中的同學們正在學習不等式比較大小,就麻煩他們吧！同學們,趕快幫我想一想,告訴我結果!王大媽:對不對,我會不會吃虧?讓我好好想一想!真后悔高中結論：物體的真實質量為：，而a,b的平均值為

思考：這兩者之間的關系如何？本節(jié)課我們來學習此內容結論：物體的真實質量為：，而a,b的平均值為思考1.了解算術平均值與幾何平均值的定義及它們的關系.2.理解均值不等式的證明過程，會用多種方法證明均值不等式.（重點）3.能利用均值不等式證明簡單不等式.（難點）1.了解算術平均值與幾何平均值的定義及它們的關系.定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取“=”）證明：探究點：均值不等式定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab證明：探究點：均1．指出定理適用范圍：2．強調取“=”的條件：均值定理：如果a,b∈R+，那么（當且僅當a=b時，等號成立）1．指出定理適用范圍：注意：1.均值不等式(1)均值不等式成立的條件:____________.(2)等號成立的條件:當且僅當______時取等號.a>0,b>0a=b注意：a>0,b>0a=b2.算術平均值與幾何平均值設a>0,b>0，則a,b的算術平均值為_________,幾何平均值為______，均值定理可表述為：________________________________________________.

兩個正實數(shù)的算術平均值大于或等于它的幾何平均值這個不等式，在證明不等式、求函數(shù)的最大值、最小值時有著廣泛的應用，因此我們也稱它為基本不等式.2.算術平均值與幾何平均值兩個正實數(shù)的算術平均值大于或等于它3.幾個重要的不等式

(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同號).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).2ab23.幾個重要的不等式2ab2從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結構間的不等關系.從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；把看做兩個正數(shù)a，b的等差中項，看做正數(shù)a，b的等比中項，那么上面不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

還有沒有其他的證明方法證明上面的基本不等式呢?引申：把看做兩個正數(shù)a，b的等差中項，看做正數(shù)a，b的等比中項，那幾何直觀解釋：令正實數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為和的兩條線段，然后比較這兩條線段的長.具體作圖如下：（1）作線段AB=a+b，使AD=a，DB=b；（2）以AB為直徑作半圓O；（3）過D點作CD⊥AB于D，交半圓于點C；幾何直觀解釋：令正實數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法（4）連接AC，BC，OC,則當a≠b時，OC>CD，即當a=b時，OC=CD，即aba+b2baODCBA注：“均值不等式的幾何解釋，我們通常將其說成“半徑不小于半弦”.所以當且僅當a=b時，不等式中的等號成立.（4）連接AC，BC，OC,則當a≠b時，OC>CD，即當a例．已知ab>0，求證：，并推導出式中等號成立的條件.例．已知ab>0，求證：，并推導出式中等證明：因為ab>0，所以，根據(jù)均值不等式得即當且僅當，即a2=b2時式中等號成立，因為ab>0，即a，b同號，所以式中等號成立的條件是a=b.證明：因為ab>0，所以，即當且僅變式練習（1）證明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:證明:（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.當且僅當a=b=c=d時，式中等號成立

原不等式得證.變式練習（1）證明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.（2）因為a>0,b>0,a+b=1，

當且僅當即a2=b2時式中等號成立.因為a＞0,b＞0,所以式中等號成立的條件是所以原不等式成立.（2）因為a>0,b>0,a+b=1，1.下列結論中不正確的是（）A.B.C.a2+b2≥2abD.B1.下列結論中不正確的是（）B2.若a＞b＞0,則下列不等式中總成立的是()C2.若a＞b＞0,則下列不等式中總成立的是()C3.已知x>0,y>0,z>0.求證：3.已知x>0,y>0,z>0.證明：因為x>0,y>0,z>0,當且僅當x=y=z時等號成立.證明：因為x>0,y>0,z>0,應用均值不等式需注意以下三點：（1）各項或各因式為正.（2）和或積為定值.（3）各項或各因式能取得相等的值，必要時做適當變形，以滿足上述前提，即“一正二定三相等”.應用均值不等式需注意以下三點：預備十二分的力量，才能希望有十分的成功.——張?zhí)最A備十二分的力量，才能希望有十分的成功.均值不等式第1課時均值不等式均值不等式服務員:電子秤壞了,但有一架臂長不等的天平.我有個好辦法!王大媽:我買這包糖.服務員:電子秤壞了,但有一架臂長不等的天平.我有個好辦法!王稱得a(kg)稱得a(kg)稱得b(kg)稱得b(kg)

服務員:把兩次稱得的質量平均一下肯定是您所買的糖的質量,絕對不會錯的!即:=糖果真正質量m嗯,我真聰明,這樣的難題都難不倒我!稱得b(kg)稱得a(kg)服務員:把兩次稱得的質量平均一下肯定是您王大媽:對不對,我會不會吃虧?讓我好好想一想!真后悔高中的時候沒讀好書啊……哦,這也難不倒我老人家,凡事多問是我?guī)资甑慕?jīng)驗!現(xiàn)在高中的同學們正在學習不等式比較大小,就麻煩他們吧！同學們,趕快幫我想一想,告訴我結果!王大媽:對不對,我會不會吃虧?讓我好好想一想!真后悔高中結論：物體的真實質量為：，而a,b的平均值為

思考：這兩者之間的關系如何？本節(jié)課我們來學習此內容結論：物體的真實質量為：，而a,b的平均值為思考1.了解算術平均值與幾何平均值的定義及它們的關系.2.理解均值不等式的證明過程，會用多種方法證明均值不等式.（重點）3.能利用均值不等式證明簡單不等式.（難點）1.了解算術平均值與幾何平均值的定義及它們的關系.定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取“=”）證明：探究點：均值不等式定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab證明：探究點：均1．指出定理適用范圍：2．強調取“=”的條件：均值定理：如果a,b∈R+，那么（當且僅當a=b時，等號成立）1．指出定理適用范圍：注意：1.均值不等式(1)均值不等式成立的條件:____________.(2)等號成立的條件:當且僅當______時取等號.a>0,b>0a=b注意：a>0,b>0a=b2.算術平均值與幾何平均值設a>0,b>0，則a,b的算術平均值為_________,幾何平均值為______，均值定理可表述為：________________________________________________.

兩個正實數(shù)的算術平均值大于或等于它的幾何平均值這個不等式，在證明不等式、求函數(shù)的最大值、最小值時有著廣泛的應用，因此我們也稱它為基本不等式.2.算術平均值與幾何平均值兩個正實數(shù)的算術平均值大于或等于它3.幾個重要的不等式

(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同號).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).2ab23.幾個重要的不等式2ab2從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結構間的不等關系.從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；把看做兩個正數(shù)a，b的等差中項，看做正數(shù)a，b的等比中項，那么上面不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

還有沒有其他的證明方法證明上面的基本不等式呢?引申：把看做兩個正數(shù)a，b的等差中項，看做正數(shù)a，b的等比中項，那幾何直觀解釋：令正實數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為和的兩條線段，然后比較這兩條線段的長.具體作圖如下：（1）作線段AB=a+b，使AD=a，DB=b；（2）以AB為直徑作半圓O；（3）過D點作CD⊥AB于D，交半圓于點C；幾何直觀解釋：令正實數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法（4）連接AC，BC，OC,則當a≠b時，OC>CD，即當a=b時，OC=CD，即aba+b2baODCBA注：“均值不等式的幾何解釋，我們通常將其說成“半徑不小于半弦”.所以當且僅當a=b時，不等式中的等號成立.（4）連接AC，BC，OC,則當a≠b時，OC>CD，即當a例．已知ab>0，求證：，并推導出式中等號成立的條件.例．已知ab>0，求證：，并推導出式中等證明：因為ab>0，所以，根據(jù)均值不等式得即當且僅當，即a2=b2時式中等號成立，因為ab>0，即a，b同號，所以式中等號成立的條件是a=b.證明：因為ab>0，所以，即當且僅變式練習（1）證明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:證明:（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.當且僅當a=b=c=d時，式中等號成立

原不等式得證.變式練