高等數(shù)學(xué)：第九章 常微分方程1 2課件

第九章常微分方程1第九章常微分方程1常微分方程在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對客觀事物運動的規(guī)律性進(jìn)行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。微分方程又分為常微分方程和偏微分方程，本章討論的是前者。2常微分方程在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，內(nèi)容十分豐富，作為一種有效的工具在電子科學(xué)、自動控制、人口理論、生物數(shù)學(xué)、工程技術(shù)以及其它自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用由于學(xué)時有限，高等數(shù)學(xué)中的常微分方程僅包含幾種特殊類型的一階微分方程的求解，可通過降階求解的高階微分方程，二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)和特殊情況下的求解方法。本章先從解決這類實際問題入手，引出微分方程的一些基本概念，然后著重討論一些特殊類型的微分方程的求解方法。3常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，內(nèi)容十重點五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程的求解可降階的高階方程的求解二階常系數(shù)齊次和非齊次線性方程的求解難點求解全微分方程求常系數(shù)非齊次線性方程的通解4重點五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程的求解可降階的高階方程的求解二階?；疽螈倜鞔_微分方程的幾個基本概念②牢固掌握分離變量法，能熟練地求解可分離變量的微分方程③牢固掌握一階線性微分方程的求解公式，會將Bernoulli方程化為一階線性方程來求解④掌握全微分方程的解法⑤會用降階法求解幾種特殊類型的高階方程⑥掌握二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)并能熟練地應(yīng)用特征根法、待定系數(shù)法求解二階常系數(shù)線性方程5基本要求①明確微分方程的幾個基本概念②牢固掌握分離變量法，能問題的提出解6問題的提出解6解代入條件后知7解代入條件后知7故開始制動到列車完全停住共需8故開始制動到列車完全停住共需8§1.基本概念1.微分方程：常微分方程：偏微分方程：例：例：y'+y=2x,未知函數(shù)為多元函數(shù).未知函數(shù)為一元函數(shù).表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(或微分)與自變量之間關(guān)系的方程式。yy"+x2=09§1.基本概念1.微分方程：常微分方程：偏微分方程：例：例方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)(或微分)的階數(shù).例：一般形式2.階：10方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)(或微分)的階數(shù).例：一般分類1:常微分方程,偏常微分方程.分類2:一階微分方程高階(n)微分方程yy"+x2=011分類1:常微分方程,偏常微分方程.分類2:一階微分方程高分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個微分方程與微分方程組.12分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個微分方程與微分3.解：F(x,y(x),y'(x),…,y(n)(x))0則稱y=y(x)為該方程在(a,b)上的一個解.若在(a,b)區(qū)間上存在函數(shù)y=y(x)及其n階導(dǎo)數(shù)，使得133.解：F(x,y(x),y'(x),…,y例如y=5x2是xy'=2y的解隱式解：(x,y)＝0例如x2+y2=C是ydy+xdx=0的解顯式解：

y=(x)14例如y=5x2是xy'=2y的解隱式解：(x,4.通解：例：

y=x2+C是方程y'=2x的通解.方程y"=1的通解.獨立：0yxy=x2+C不獨立：若n階常微分方程F(x,y(x),y’(x),…,y(n)(x))=0有解y=(x;c1,…,cn),

其中c1,…,cn是n個獨立的任意常數(shù)，則稱y是F=0的一個通解。是154.通解：例：y=x2+C是方程y'=2x的通解.方程5.特解：6.

c1,…,cn獨立：不包含任何常數(shù)的解.,’,…,(n-1)

關(guān)于c1,…,cn的雅可比行列式不為0，即7.通解代表著方程的大多數(shù)解，但不一定包含著原方程的一切特解。165.特解：6.c1,…,cn獨立：不包含任何常數(shù)的解.8.通積分：方程F(x,y,y‘,…,y(n))=0的通解以隱函數(shù)的形式Φ(x,y;c1,…,cn)=0,給出，把Φ(x,y;c1,…,cn)=0稱作方程的通積分。9.初值問題：求微分方程滿足某些條件的特解。即求出方程F(x,y,y‘,…,y(n))=0滿足初始條件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是已知常數(shù)。178.通積分：方程F(x,y,y‘,…,y(n)10.解初值問題的一般方法：先求其通解y=(x;c1,…,cn),

再解方程組對初值問題確定n個常數(shù),從而得到初值問題的特解1810.解初值問題的一般方法：先求其通解y=(x;c1,§2.初等積分法1.變量可分離的方程解法：分離變量法F(x,y,y')=0，

y'=f(x,y).考慮一階微分方程:若再解出y=(x,c),則它是方程的通解。求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)19§2.初等積分法1.變量可分離的方程解法：分離變量法F(x當(dāng)g(y)=0時,若g(y)=0有根y0,即g(y0)=0,則y(x)=y0是方程的特解。

若y(x)=y0不能包含在通解中，則稱其為奇解。

20當(dāng)g(y)=0時,若g(y)=0有根y0,即g(y0)例1.解方程解：yx021例1.解方程解：yx021例2.解方程解：y0時,或y=(x+C)2另外y=0也是解.(不在通解中，稱之為奇解)y=(x+C)2y0x22例2.解方程解：y0時,或y=(x+C)2另外y例3.解方程y'–2xy=0解：

y0時,ln|y|=x2+C,即另外y=0也是解(它包括在通解中).23例3.解方程y'–2xy=0解：y0時,ln|y|=x解：方程可化為

分離變量得

兩邊積分得

即原方程的通解為24解：方程可化為分離變量得兩邊積分得例：求解微分方程解：為所求解.25例：求解微分方程解：為所求解.25通解為解26通解為解26例

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度V是通過孔口橫截面的水的體積27例有高為1米的半球形容器,水從它的設(shè)在微小的時間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:28設(shè)在微小的時間間隔水面的高度由h降至即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為29即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為29解例

某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有

的,為了降低車間內(nèi)空氣中

的含量,用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含

的

的新鮮空氣,同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問鼓風(fēng)機(jī)開動6分鐘后,車間內(nèi)

的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后

時刻

的含量為在內(nèi),的通入量的排出量30解例某車間體積為12000立方米,開始的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)

的百分比降低到31的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的2.可化為變量分離方程的幾類方程

(1)對形如的方程令z=ax+by+c,則是z的函數(shù)322.可化為變量分離方程的幾類方程(1)對形如例：

令z=x+y+2,則解：

33例：令z=x+y+2,則解：33(2)對形如的方程其中f(x,y)是齊次函數(shù)。即對任意t≠0,f(tx,ty)≡f(x,y)。f(x,y)是齊次函數(shù)的充要條件是f(x,y)可以寫成h(y/x)的函數(shù)。對改寫成。令u=y/x,即得關(guān)于u的變量分離方程34(2)對形如的方程其中解法：令即y=ux則有從而變量可分離：換元法變量分離的方程35解法：令即y=ux則有從而變量可分離：換元法變量分離例2求解微分方程解36例2求解微分方程解36微分方程的解為37微分方程的解為37解令則代入化簡并分離變量兩邊積分換回原變量或例438解令則代入化簡并分離變量兩邊積分換回原變量或例438例1求解微分方程解微分方程的解為39例1求解微分方程解微分方程的解為39例3拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖40例3拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------由夾角正切公式得得微分方程41由夾角正切公式得得微分方程41分離變量積分得42分離變量積分得42平方化簡得拋物線43平方化簡得拋物線43(3)對形如的方程其中ai,bi,ci,i=1,2是常數(shù)。當(dāng)c1=c2=0時,右端是x,y的齊次方程，解法同(2)。當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,(i)若則有唯一解(x0,y0)。令u=x-x0,v=y-y0,則有關(guān)于u,v的齊次方程44(3)對形如當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,(ii)若①若a1·b1≠0，則存在常數(shù)k,使得(a2,b2)=k(a1,b1),此時令z=a1x+b1y,則有②若a1≠0,b1=0，則由Δ=0可推出b2=0,則變量分離的方程變量分離的方程45當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,②若a1≠0,b1=0，則由當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,(ii)若③若a1=b1=0，則有解法同(1)46當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,解法同(1)46解代入原方程得方程變?yōu)?7解代入原方程得方程變?yōu)?7方程變?yōu)榉蛛x變量法得得原方程的通解48方程變?yōu)榉蛛x變量法得得原方程的通解48利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為49利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為493.一階線性微分方程例如：線性非線性503.一階線性微分方程例如：線性非線性50(1)線性齊次方程得(C=C1)解法：結(jié)論：一階線性齊次微分方程的解包含了它的一切解。當(dāng)Q(x)0時，51(1)線性齊次方程得(C=C1)解法：結(jié)論：一階線性齊次微(2)線性非齊次方程解法：先求出的通解再令(其中u(x)待定)，為線性非齊次方程的解。常數(shù)變易法52(2)線性非齊次方程解法：先求出于是故即常數(shù)變易法代入方程得即通解特解53于是故即常數(shù)變易法代入方程得即通解特解53先解例1.解初值問題解：方程為54先解例1.解初值問題解：方程為54令為原方程的解.得代入原方程例1.解初值問題解：55令為原方程的解.得代入原方程例1.解初值問題解：55于是當(dāng)例1.解初值問題解：56于是當(dāng)例1.解初值問題解：56例2.解方程解：利用求解公式57例2.解方程解：利用求解公式575858非齊次線性方程的通解相應(yīng)齊方程的通解等于與非齊次方程的一個特解之和即非齊通解=齊通解+非齊特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。59非齊次線性方程的通解相應(yīng)齊方程的通解等于與非齊次方程的一個特例1解60例1解60解方程解相應(yīng)齊方程解得令例261解方程解相應(yīng)齊方程解得令例261代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為62代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為62例3解方程解這是一個二階線性方程由于其中不含變量y

若令化成一階線性方程其通解為即再積分即為原二階方程的通解63例3解方程解這是一個二階線性方程由于其中不含變量y若例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.解兩邊求導(dǎo)得解此微分方程64例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲所求曲線為65所求曲線為65一階線性微分方程的通解也可寫成方程令即化為一階線性微分方程注66一階線性微分方程的通解也可寫成方程令即化為一階線性微分方程注例3.Bernoulli方程(0,1)67例3.Bernoulli方程(0,1)67作變換z=y1,則化為線性方程例如：xy'+y=(xlnx)y268作變換z=y1,則化為線性方程例如：xy'+y=(x例5解69例5解69例6

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為70例6用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為70解分離變量法得所求通解為71解分離變量法得所求通解為71解代入原式分離變量法得所求通解為另解72解代入原式分離變量法得所求通解為另解72注利用變量代換將一個微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法如齊次型、可化為齊次型、一階線性方程、Bernoulli方程等.都是通過變量代換來求解方程的。將變換為也是經(jīng)?？梢钥紤]的73注利用變量代換將一個微分方程化為解：例：求微分方程的通解.74解：例：求微分方程方程整理變形為75方程整理變形為75求解微分方程的基本方法：解原方程化為原方程的通解為

利用變量代換將所求微分方程化為會解的微分方程。76求解微分方程的基本方法：解原方程化為原方程的通解為解代入原式得由分離變量法得得所求通解例6

解微分方程77解代入原式得由分離變量法得得所求通解例6解微分方程77例6

解微分方程另解78例6解微分方程另解78*例7

解微分方程解由分離變量法得得所求通解為79*例7解微分方程解由分離變量法得得所求通解為794.全微分方程與積分因子(1)全微分方程（恰當(dāng)方程）對于對稱形式的一階微分方程則稱上述微分方程為全微分方程或恰當(dāng)方程。(其中P(x,y),Q(x,y)是定義在一個區(qū)域D中的光滑函數(shù))，若存在一個可微函數(shù)u(x,y),使得u(x,y)=C是上述全微分方程的通積分，并且包含了方程的一切解。804.全微分方程與積分因子(1)全微分方程（恰當(dāng)方程）對于對稱若P(x,y)、Q(x,y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且全微分方程的判定：則方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程。例如方程原方程是全微分方程.81若P(x,y)、Q(x,y)在單連通解法:應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為

用直接湊全微分的方法.其中x0,y0是在G中適當(dāng)選定的點M0(x0,y0)的坐標(biāo)，起點坐標(biāo)選擇的不同，至多使u(x,y)相差一個常數(shù).82解法:應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為用直接湊全微分的方例1求解(5x4+3x

y2-y3)dx+(3x2y

-3x

y2

+y2)dy=0．解這里所以這是全微分方程．取(x0,y0)(0,0)，有于是，方程的通解為yxO(x,y)83例1求解(5x4+3xy2-y3)dx例1解是全微分方程,原方程的通解為84例1解是全微分方程,原方程的通解為84例2解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為85例2解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為85(2)積分因子a.定義：設(shè)方程不是全微分方程。若存在函數(shù)μ(x,y)≠0,使得是全微分方程，則稱μ(x,y)為方程的積分因子。86(2)積分因子a.定義：設(shè)方程不是全微分方程。若存在函數(shù)μ((2)積分因子b.積分因子滿足方程即87(2)積分因子b.積分因子滿足方程即87(2)積分因子c.若μ(x,y)=μ(x)，則?μ/?y=0,此時有其中命題1：μ(x)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一個積分因子。88(2)積分因子c.若μ(x,y)=μ(x)，則?μ/?y=(2)積分因子d.若μ(x,y)=μ(y)，則?μ/?x=0,此時有其中命題2：μ(y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一個積分因子。89(2)積分因子d.若μ(x,y)=μ(y)，則?μ/?x=解(1)方程ydx-xdy=0不是全微分方程．因為

例2通過觀察求方程的積分因子并求其通解:(1)ydx-xdy=0(2)(1+x

y)ydx+(1-x

y)xdy=090解(1)方程ydx-xdy=0不是全微解(2)將方程的各項重新合并，得(ydxxdy)xy(ydxxdy)0，再把它改寫成

例2通過觀察求方程的積分因子并求其通解:(1)ydx-xdy=0(2)(1+x

y)ydx+(1-x

y)xdy=0積分得通解91解(2)將方程的各項重新合并，得常見的全微分表達(dá)式92常見的全微分表達(dá)式92可選用的積分因子有93可選用的積分因子有93可積組合法原方程的通解為(公式法)例3解則原方程成為94可積組合法原方程的通解為(公式法)例3解則原方程成為94例4求微分方程解將方程左端重新組合,有原方程的通解為95例4求微分方程解將方程左端重新組合,有原方程的通解為95例5求微分方程解將方程左端重新組合,有可積組合法原方程的通解為96例5求微分方程解將方程左端重新組合,有可積組合法原方程的例6解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:97例6解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:97A用曲線積分法:解2整理得98A用曲線積分法:解2整理得98解2整理得B湊微分法:99解2整理得B湊微分法:99C不定積分法:原方程的通解為100C不定積分法:原方程的通解為100一階微分方程小結(jié)分離變量法常數(shù)變易法全微分方程一階微分方程101一階微分方程小結(jié)分離變量法常數(shù)變易法全微分方程一階微分方程15.可降階的二階微分方程二階方程F(x,y,y',y'')=0y''=f(x,y,y')(1).不顯含未知函數(shù)y的方程1025.可降階的二階微分方程二階方程F(x,y,y',y'解法:令y'=z,則則設(shè)其通積分為Φ(x,z,C1)=0再解一階微分方程Φ(x,y',C1)=0,求得y。關(guān)于z的一階微分方程103解法:令y'=z,則則設(shè)其通積分為Φ(x,z,C1)注:

y(n)=f(x,y(k),…,y(n-1))型104注:y(n)=f(x,y(k),…,y(n例2.解方程xy''=y'解:分離變量：積分得：lnp=lnx+lnC1所以p=C1x或解得令y'=p,則105例2.解方程xy''=y'解:分離變量：積分得例3解方程解令分離變量得即由由故106例3解方程解令分離變量得即由由故106(2).不顯含自變量x的方程解法：令y'=p,有則方程F(y,y',

y'')=0可化為F(y,y',

y'')=0是關(guān)于y的一階微分方程107(2).不顯含自變量x的方程解法：令y'=p,有則方設(shè)其通積分為G(p,y,C1)=0,則解一階微分方程G(y',y,C1)=0,求得y(x)。如何解方程F(y,y',

y'')=0解法：令y'=p,有108設(shè)其通積分為G(p,y,C1)=0,則解一階微分方程G(y例4.解方程2yy''+y'2=0不顯含自變量x解：設(shè)y'=p,則分離變量有積分得故109例4.解方程2yy''+y'2=0不顯含即再分離變量或即110即再分離變量或即110解原方程化為原方程通解為例3（可分離變量，齊次線性）（可分離變量，齊次線性）111解原方程化為原方程通解為例3（可分離變量，齊次線性）（可分解原方程降階為

例4112解原方程降階為例4112例4另解原方程降階為113例4另解原方程降階為113如一方程既屬于不含

x

型,又屬于不含

y型則一般而言若兩邊可消去p,作為不含

x型來解較簡單.若兩邊不可消去p,作為不含

y

型來解較簡單.注114如一方程既屬于不含x型,又屬于不含y型則一般而言若兩例5解方程解令若即積分得即或若則包含在通解中115例5解方程解令若即積分得即或若則包含在通解中115例6解方程解令116例6解方程解令116例7解一代入原方程得原方程通解為117例7解一代入原方程得原方程通解為117解二從而通解為解三原方程變?yōu)閮蛇叿e分,得原方程通解為118解二從而通解為解三原方程變?yōu)閮蛇叿e分,得原方程通解為118解法：特點：注：y(n)

=f(x)型119解法：特點：注：y(n)=f(x)型119例1解120例1解120例1解121例1解121例2解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為122例2解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為1恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程特點解法：類似于全微分方程可降低一階再設(shè)法求解這個方程.123恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程特點解法：類似于全微分方程可降低一階再設(shè)法求解這例8解將方程寫成積分后得通解124例8解將方程寫成積分后得通解124第九章常微分方程125第九章常微分方程1常微分方程在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對客觀事物運動的規(guī)律性進(jìn)行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。微分方程又分為常微分方程和偏微分方程，本章討論的是前者。126常微分方程在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，內(nèi)容十分豐富，作為一種有效的工具在電子科學(xué)、自動控制、人口理論、生物數(shù)學(xué)、工程技術(shù)以及其它自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用由于學(xué)時有限，高等數(shù)學(xué)中的常微分方程僅包含幾種特殊類型的一階微分方程的求解，可通過降階求解的高階微分方程，二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)和特殊情況下的求解方法。本章先從解決這類實際問題入手，引出微分方程的一些基本概念，然后著重討論一些特殊類型的微分方程的求解方法。127常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，內(nèi)容十重點五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程的求解可降階的高階方程的求解二階常系數(shù)齊次和非齊次線性方程的求解難點求解全微分方程求常系數(shù)非齊次線性方程的通解128重點五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程的求解可降階的高階方程的求解二階?；疽螈倜鞔_微分方程的幾個基本概念②牢固掌握分離變量法，能熟練地求解可分離變量的微分方程③牢固掌握一階線性微分方程的求解公式，會將Bernoulli方程化為一階線性方程來求解④掌握全微分方程的解法⑤會用降階法求解幾種特殊類型的高階方程⑥掌握二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)并能熟練地應(yīng)用特征根法、待定系數(shù)法求解二階常系數(shù)線性方程129基本要求①明確微分方程的幾個基本概念②牢固掌握分離變量法，能問題的提出解130問題的提出解6解代入條件后知131解代入條件后知7故開始制動到列車完全停住共需132故開始制動到列車完全停住共需8§1.基本概念1.微分方程：常微分方程：偏微分方程：例：例：y'+y=2x,未知函數(shù)為多元函數(shù).未知函數(shù)為一元函數(shù).表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(或微分)與自變量之間關(guān)系的方程式。yy"+x2=0133§1.基本概念1.微分方程：常微分方程：偏微分方程：例：例方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)(或微分)的階數(shù).例：一般形式2.階：134方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)(或微分)的階數(shù).例：一般分類1:常微分方程,偏常微分方程.分類2:一階微分方程高階(n)微分方程yy"+x2=0135分類1:常微分方程,偏常微分方程.分類2:一階微分方程高分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個微分方程與微分方程組.136分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個微分方程與微分3.解：F(x,y(x),y'(x),…,y(n)(x))0則稱y=y(x)為該方程在(a,b)上的一個解.若在(a,b)區(qū)間上存在函數(shù)y=y(x)及其n階導(dǎo)數(shù)，使得1373.解：F(x,y(x),y'(x),…,y例如y=5x2是xy'=2y的解隱式解：(x,y)＝0例如x2+y2=C是ydy+xdx=0的解顯式解：

y=(x)138例如y=5x2是xy'=2y的解隱式解：(x,4.通解：例：

y=x2+C是方程y'=2x的通解.方程y"=1的通解.獨立：0yxy=x2+C不獨立：若n階常微分方程F(x,y(x),y’(x),…,y(n)(x))=0有解y=(x;c1,…,cn),

其中c1,…,cn是n個獨立的任意常數(shù)，則稱y是F=0的一個通解。是1394.通解：例：y=x2+C是方程y'=2x的通解.方程5.特解：6.

c1,…,cn獨立：不包含任何常數(shù)的解.,’,…,(n-1)

關(guān)于c1,…,cn的雅可比行列式不為0，即7.通解代表著方程的大多數(shù)解，但不一定包含著原方程的一切特解。1405.特解：6.c1,…,cn獨立：不包含任何常數(shù)的解.8.通積分：方程F(x,y,y‘,…,y(n))=0的通解以隱函數(shù)的形式Φ(x,y;c1,…,cn)=0,給出，把Φ(x,y;c1,…,cn)=0稱作方程的通積分。9.初值問題：求微分方程滿足某些條件的特解。即求出方程F(x,y,y‘,…,y(n))=0滿足初始條件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是已知常數(shù)。1418.通積分：方程F(x,y,y‘,…,y(n)10.解初值問題的一般方法：先求其通解y=(x;c1,…,cn),

再解方程組對初值問題確定n個常數(shù),從而得到初值問題的特解14210.解初值問題的一般方法：先求其通解y=(x;c1,§2.初等積分法1.變量可分離的方程解法：分離變量法F(x,y,y')=0，

y'=f(x,y).考慮一階微分方程:若再解出y=(x,c),則它是方程的通解。求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)143§2.初等積分法1.變量可分離的方程解法：分離變量法F(x當(dāng)g(y)=0時,若g(y)=0有根y0,即g(y0)=0,則y(x)=y0是方程的特解。

若y(x)=y0不能包含在通解中，則稱其為奇解。

144當(dāng)g(y)=0時,若g(y)=0有根y0,即g(y0)例1.解方程解：yx0145例1.解方程解：yx021例2.解方程解：y0時,或y=(x+C)2另外y=0也是解.(不在通解中，稱之為奇解)y=(x+C)2y0x146例2.解方程解：y0時,或y=(x+C)2另外y例3.解方程y'–2xy=0解：

y0時,ln|y|=x2+C,即另外y=0也是解(它包括在通解中).147例3.解方程y'–2xy=0解：y0時,ln|y|=x解：方程可化為

分離變量得

兩邊積分得

即原方程的通解為148解：方程可化為分離變量得兩邊積分得例：求解微分方程解：為所求解.149例：求解微分方程解：為所求解.25通解為解150通解為解26例

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度V是通過孔口橫截面的水的體積151例有高為1米的半球形容器,水從它的設(shè)在微小的時間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:152設(shè)在微小的時間間隔水面的高度由h降至即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為153即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為29解例

某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有

的,為了降低車間內(nèi)空氣中

的含量,用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含

的

的新鮮空氣,同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問鼓風(fēng)機(jī)開動6分鐘后,車間內(nèi)

的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后

時刻

的含量為在內(nèi),的通入量的排出量154解例某車間體積為12000立方米,開始的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)

的百分比降低到155的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的2.可化為變量分離方程的幾類方程

(1)對形如的方程令z=ax+by+c,則是z的函數(shù)1562.可化為變量分離方程的幾類方程(1)對形如例：

令z=x+y+2,則解：

157例：令z=x+y+2,則解：33(2)對形如的方程其中f(x,y)是齊次函數(shù)。即對任意t≠0,f(tx,ty)≡f(x,y)。f(x,y)是齊次函數(shù)的充要條件是f(x,y)可以寫成h(y/x)的函數(shù)。對改寫成。令u=y/x,即得關(guān)于u的變量分離方程158(2)對形如的方程其中解法：令即y=ux則有從而變量可分離：換元法變量分離的方程159解法：令即y=ux則有從而變量可分離：換元法變量分離例2求解微分方程解160例2求解微分方程解36微分方程的解為161微分方程的解為37解令則代入化簡并分離變量兩邊積分換回原變量或例4162解令則代入化簡并分離變量兩邊積分換回原變量或例438例1求解微分方程解微分方程的解為163例1求解微分方程解微分方程的解為39例3拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖164例3拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------由夾角正切公式得得微分方程165由夾角正切公式得得微分方程41分離變量積分得166分離變量積分得42平方化簡得拋物線167平方化簡得拋物線43(3)對形如的方程其中ai,bi,ci,i=1,2是常數(shù)。當(dāng)c1=c2=0時,右端是x,y的齊次方程，解法同(2)。當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,(i)若則有唯一解(x0,y0)。令u=x-x0,v=y-y0,則有關(guān)于u,v的齊次方程168(3)對形如當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,(ii)若①若a1·b1≠0，則存在常數(shù)k,使得(a2,b2)=k(a1,b1),此時令z=a1x+b1y,則有②若a1≠0,b1=0，則由Δ=0可推出b2=0,則變量分離的方程變量分離的方程169當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,②若a1≠0,b1=0，則由當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,(ii)若③若a1=b1=0，則有解法同(1)170當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時,解法同(1)46解代入原方程得方程變?yōu)?71解代入原方程得方程變?yōu)?7方程變?yōu)榉蛛x變量法得得原方程的通解172方程變?yōu)榉蛛x變量法得得原方程的通解48利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為173利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為493.一階線性微分方程例如：線性非線性1743.一階線性微分方程例如：線性非線性50(1)線性齊次方程得(C=C1)解法：結(jié)論：一階線性齊次微分方程的解包含了它的一切解。當(dāng)Q(x)0時，175(1)線性齊次方程得(C=C1)解法：結(jié)論：一階線性齊次微(2)線性非齊次方程解法：先求出的通解再令(其中u(x)待定)，為線性非齊次方程的解。常數(shù)變易法176(2)線性非齊次方程解法：先求出于是故即常數(shù)變易法代入方程得即通解特解177于是故即常數(shù)變易法代入方程得即通解特解53先解例1.解初值問題解：方程為178先解例1.解初值問題解：方程為54令為原方程的解.得代入原方程例1.解初值問題解：179令為原方程的解.得代入原方程例1.解初值問題解：55于是當(dāng)例1.解初值問題解：180于是當(dāng)例1.解初值問題解：56例2.解方程解：利用求解公式181例2.解方程解：利用求解公式5718258非齊次線性方程的通解相應(yīng)齊方程的通解等于與非齊次方程的一個特解之和即非齊通解=齊通解+非齊特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。183非齊次線性方程的通解相應(yīng)齊方程的通解等于與非齊次方程的一個特例1解184例1解60解方程解相應(yīng)齊方程解得令例2185解方程解相應(yīng)齊方程解得令例261代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為186代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為62例3解方程解這是一個二階線性方程由于其中不含變量y

若令化成一階線性方程其通解為即再積分即為原二階方程的通解187例3解方程解這是一個二階線性方程由于其中不含變量y若例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.解兩邊求導(dǎo)得解此微分方程188例4如圖所示，平行與軸的動直線被曲所求曲線為189所求曲線為65一階線性微分方程的通解也可寫成方程令即化為一階線性微分方程注190一階線性微分方程的通解也可寫成方程令即化為一階線性微分方程注例3.Bernoulli方程(0,1)191例3.Bernoulli方程(0,1)67作變換z=y1,則化為線性方程例如：xy'+y=(xlnx)y2192作變換z=y1,則化為線性方程例如：xy'+y=(x例5解193例5解69例6

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為194例6用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為70解分離變量法得所求通解為195解分離變量法得所求通解為71解代入原式分離變量法得所求通解為另解196解代入原式分離變量法得所求通解為另解72注利用變量代換將一個微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法如齊次型、可化為齊次型、一階線性方程、Bernoulli方程等.都是通過變量代換來求解方程的。將變換為也是經(jīng)?？梢钥紤]的197注利用變量代換將一個微分方程化為解：例：求微分方程的通解.198解：例：求微分方程方程整理變形為199方程整理變形為75求解微分方程的基本方法：解原方程化為原方程的通解為

利用變量代換將所求微分方程化為會解的微分方程。200求解微分方程的基本方法：解原方程化為原方程的通解為解代入原式得由分離變量法得得所求通解例6

解微分方程201解代入原式得由分離變量法得得所求通解例6解微分方程77例6

解微分方程另解202例6解微分方程另解78*例7

解微分方程解由分離變量法得得所求通解為203*例7解微分方程解由分離變量法得得所求通解為794.全微分方程與積分因子(1)全微分方程（恰當(dāng)方程）對于對稱形式的一階微分方程則稱上述微分方程為全微分方程或恰當(dāng)方程。(其中P(x,y),Q(x,y)是定義在一個區(qū)域D中的光滑函數(shù))，若存在一個可微函數(shù)u(x,y),使得u(x,y)=C是上述全微分方程的通積分，并且包含了方程的一切解。2044.全微分方程與積分因子(1)全微分方程（恰當(dāng)方程）對于對稱若P(x,y)、Q(x,y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且全微分方程的判定：則方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程。例如方程原方程是全微分方程.205若P(x,y)、Q(x,y)在單連通解法:應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為

用直接湊全微分的方法.其中x0,y0是在G中適當(dāng)選定的點M0(x0,y0)的坐標(biāo)，起點坐標(biāo)選擇的不同，至多使u(x,y)相差一個常數(shù).206解法:應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為用直接湊全微分的方例1求解(5x4+3x

y2-y3)dx+(3x2y

-3x

y2

+y2)dy=0．解這里所以這是全微分方程．取(x0,y0)(0,0)，有于是，方程的通解為yxO(x,y)207例1求解(5x4+3xy2-y3)dx例1解是全微分方程,原方程的通解為208例1解是全微分方程,原方程的通解為84例2解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為209例2解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為85(2)積分因子a.定義：設(shè)方程不是全微分方程。若存在函數(shù)μ(x,y)≠0,使得是全微分方程，則稱μ(x,y)為方程的積分因子。210(2)積分因子a.定義：設(shè)方程不是全微分方程。若存在函數(shù)μ((2)積分因子b.積分因子滿足方程即211(2)積分因子b.積分因子滿足方程即87(2)積分因子c.若μ(x,y)=μ(x)，則?μ/?y=0,此時有其中命題1：μ(x)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一個積分因子。212(2)積分因子c.若μ(x,y)=μ(x)，則?μ/?y=(2)積分因子d.若μ(x,y)=μ(y)，則?μ/?x=0,此時有其中命題2：μ(y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一個積分因子。213(2)積分因子d.若μ(x,y)=μ(y)，則?μ/?x=解(1)方程ydx-xdy=0不是全微分方程．因為

例2通過觀察求方程的積分因子并求其通解:(1)ydx-xdy=0(2)(1+x

y)ydx+(1-x

y)xdy=0214解(1)方程ydx-xdy=0不是全微解(2)將方程的各項重新合并，得(ydxxdy)xy(ydxxdy)0，再把它改寫成

例2通過觀察求方程的積分因子并求其通解:(1)ydx-xdy=0(2)(1+x

y)ydx+(1-x

y)xdy