二次函數(shù)壓軸題(含答案)

面積類1.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn).求拋物線的解析式.點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)(不與B,C重合)，過(guò)M作MN〃y軸交拋物線于N,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng).在(2)的條件下，連接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面積最大若存在，求m的值;若不存在，說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合.分析：已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為MN的長(zhǎng).設(shè)MN交x軸于D,那么△BNC的面積可表示為：S=S+S=MN(OD+DB)=MNOB,△BNCAMNCAMNBMN的表達(dá)式在(2)中已求得，0B的長(zhǎng)易知，由此列出關(guān)于SABNC.m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出厶BNC是否具有最大值.解答：解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3),貝U：a(0+1)(0-3)=3,a=-1；拋物線的解析式:y=-(x+1)(x-3)=-X2+2x+3.*(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,則有:

3k+b=0b=3'解得k=-1解得b=3故直線BC的解析式：y=-x+3.已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,MN〃y,則M(m,-m+3)、N(m,-m2+2m+3)；.?.故MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0VmV3).(3)如圖;VS=S+S=MN(OD+DB)=MN?OB,△BNC△MNC△MNB.?.s=(-m2+3m)?3=-(m-)2邏(0VmV3)；△BNCg.?.當(dāng)m二時(shí),.?.當(dāng)m二時(shí),2.如圖,與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).求拋物線的解析式;試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo);若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.?專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.分析：(1)該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可.首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)證明△ABC是直角三角形來(lái)推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo).AMBC的面積可由SAMB=BCXh表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M.解答：解：(1)將B(4，0)代入拋物線的解析式中，得：0=16a-X4-2，即：a二；拋物線的解析式為:y=X2-x-2.由(1)的函數(shù)解析式可求得：A(-1,0)、C(0，-2)；/.OA=1，OC=2，0B=4,即：OC2=OAOB，又：OC丄AB,.?.△OACs^oCB,得：ZOCA=ZOBC；.：ZACB=ZOCA+ZOCB=ZOBC+ZOCB=90°,.?.△ABC為直角三角形，AB%AABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：(,0).已求得：B(4,0)、C(0,-2),可得直線BC的解析式為：y=x-2；設(shè)直線l〃BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),可列方程：x+b=X2-x-2，即：X2-2x-2-b=0，且△=0；.?.4-4X(-2-b)=0,即b=-4；..直線1：y=x-4.所以點(diǎn)M即直線1和拋物線的唯一交點(diǎn)，有:x=2□即M(2,-3).y=x=2□即M(2,-3).y=_3i，解得:占4

過(guò)M點(diǎn)作MN丄x軸于N,Lmc=S梯形ocmn+、mnb—Lcb=X2X（2+3）+X2X3-X2X4=4.平行四邊形類如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=X2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)、B(0,-3),點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求AABM的面積.是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、M、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一兀二次方程一因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定??專題：壓軸題；存在型.分析：分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A(3,0)B(0,-3)分別代入y=X2+mx+n與y二kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t-3),則M(t,t2-21-3),用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=(t-3)-(t2-21-3)=-t2+31,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到黑0-9當(dāng)t=i=時(shí)，PM最長(zhǎng)為?=，再利用三角形的面積公式利用S=S+S計(jì)算即可；△ABM△BPM△APM由PM#OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，(t2-21-3)-(t-3)=3；當(dāng)卩在第三象限：PM=OB=3，t2-31=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.解答:解：(1)把A(3,0)B(0,-3)代入y=X2+mx+n,得nF-2r，所以拋物線的解析式是y=X2-2x-3.n=-3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把A(3,0)把A(3,0)B(0,-3)代入y二kx+b，得解得k=lb二-3'所以直線AB的解析式是y=x-3；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t-3),則M(t,t2-21-3),因?yàn)閜在第四象限,所以PM二(t-3)-(t2-21-3)二-t2+31,TOC\o"1-5"\h\z3Q-9當(dāng)t=-=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為，1Q97則S=S+S==-.△ABM△BPM△APM?4g存在，理由如下：?.?PM〃OB,.?.當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3.】】當(dāng)p在第一象限：PM=OB=3,(t2-2t-3)-(t-3)=3,解得q=￥，舍去)，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是聖佟當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3,t2-31=3,解得t=空亙(舍去)，t="一護(hù)［所以P點(diǎn)23_Vsl的橫坐標(biāo)是所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三里或'I巴如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(0,1),B(2,0),O(0,0),將此三角板繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AA，BzO.一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'、B'、B,求該拋物線的解析式；設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PB‘A，B的面積是川B，0面積4倍若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在(2)的條件下，試指出四邊形PB，A，B是哪種形狀的四邊形并寫出四邊形PB，A，B的兩條性質(zhì).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.?專題：壓軸題.分析：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A'(-1,0),B'(0,2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；利用S=S+S+S，再假設(shè)四邊形PB^A'B的面積是厶A'B'O面積四邊形PB‘A'BAB'0A‘APB7OAPOB的4倍，得出一元二次方程，得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；利用P點(diǎn)坐標(biāo)以及B點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形PB'A'B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可.解答：解：(l)AA'B'O是由AABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，又A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)，.?.A'(-1，0)，B'(0，2).方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c(aM0),???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'、B'、B,^0=a-b+c[■&=-!:「左亡，解得：*XI?.滿足條件的拋物線的解析式為y=-X2+x+2.t0=4a-l-2b+cc=2方法二:?.?A'(-1,0)，B'(0，2)，B(2，0)，設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-2)將B'(0,2)代入得出：2=a(0+1)(0-2),解得：a=-1,故滿足條件的拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-2)=-X2+x+2；(2)VP為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(x,y),則x>0,y>0,P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=-X2+x+2.連接PB,PO,PB',AS=S+S+S,四邊形PB'A'BAB'OA'APB'OAPOB=X1X2+X2Xx+X2Xy,=x+(-X2+x+2)+1,=-X2+2x+3.?.?A'O=1,Bz0=2,.?.△A'Bz0面積為:X1X2=1,假設(shè)四邊形PB'A'B的面積是AA'B'0面積的4倍，則4=-X2+2x+3,即X2-2x+1=0,解得：X]=x2=1,此時(shí)y=-12+1+2=2，即P(1,2).】存在點(diǎn)P(1,2),使四邊形PB'A'B的面積是AA'B'0面積的4倍.(3)四邊形PB'A'B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可.①等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；②等腰梯形對(duì)角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等.(10分)或用符號(hào)表示：ZB'A'B=ZPBA'或ZA'B'P=ZBPB'；②PA'=B'B；③B'P〃A'B；④B'A'=PB.-(10分)如圖，拋物線y=X2-2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x-5上.求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo);設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè))，試判斷△ABD的形狀；在直線l上是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在,求點(diǎn)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題..專題：壓軸題；分類討論.分析:先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱軸，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).則AB、AD、BD三邊的長(zhǎng)可得，然后根據(jù)邊長(zhǎng)確定三角形的形狀.若以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對(duì)角線、②AD為對(duì)角線兩種情況討論，即①A止PB、②A憶PD,然后結(jié)合勾股定理以及邊長(zhǎng)的等量關(guān)系列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo).解答：—V解：(1)T頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=-?=1，且頂點(diǎn)A在y=x-5上，.?.當(dāng)x=1時(shí)，y=1-5=-4,/.A(1，-4).(2)^ABD是直角三角形.將A(1,-4)代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4,.：c=-3,/.y=X2-2x_3,AB(0,-3)當(dāng)y=0時(shí)，X2-2x-3=0,x=-1,x=312.?.c(-1,0),D(3,0),BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+12=2,AD2二(3-1)2+42=20,BD2+AB2二AD2,/.ZABD=90°，即△ABD是直角三角形.(3)存在.由題意知：直線y=x-5交y軸于點(diǎn)E(0,-5),交x軸于點(diǎn)F(5,0)/.OE=OF=5,又OB=OD=3.?.△OEF與AOBD都是等腰直角三角形.?.BD〃l,即PA〃BD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交過(guò)P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G.設(shè)P(X],X]_5),則G(1,X]_5)則PG=|l-x|,AG=|5-x-4|=|1-x|111PA=BD=3l邁由勾股定理得：(1-x)2+(1-x)2=18,x2-2x-8=0,x=-2或411111/.P(-2,-7)或P(4,-1),存在點(diǎn)P(-2,-7)或P(4,-1)使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.周長(zhǎng)類如圖，Rt△AB0的兩直角邊OA、0B分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4),拋物線y=x2^bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且頂點(diǎn)在直線x二上.}求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若把AABO沿x軸向右平移得到厶DCE,點(diǎn)A、B、0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；在(2)的條件下，連接BD,已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；在(2)、(3)的條件下，若點(diǎn)M是線段0B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)0、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作〃BD交x軸于點(diǎn)N,連接PM、PN,設(shè)0M的長(zhǎng)為t,APMN的面積為S,求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題..】】專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)拋物線y冷經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,4),以及頂點(diǎn)在直線x=±，得出b,c即可；￥(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,4)、(2,0),利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x=5或2時(shí)，y的值即可.首先設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,求出解析式，當(dāng)乂=時(shí)，求出y即可；利用MN〃BD，得出AOMNs^OBD,進(jìn)而得出，得到0N=，進(jìn)而表示出APMNOB0D2的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可.解答:解：(1)T拋物線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,4).：c=4,?.?頂點(diǎn)在直線X?.?頂點(diǎn)在直線X二上，...b2a2x|'所求函數(shù)關(guān)系式為尸￡工"-工十4;在RtAABO中,OA=3,OB=4,.：AB=梓+°e'二5’(?.?四邊形ABCD是菱形，.?.BC=CD=DA=AB=5,.?.C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,4)、(2,0),當(dāng)x=5時(shí)，y=￡JJ當(dāng)x=2時(shí)，y=齊護(hù)-葺X2+4=0，.?.點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,則P為所求的點(diǎn),設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,:駕，解得則毎形PFO局（:駕，解得則毎形PFO局（PF+OM）?OF=5.43b=-f33當(dāng)5,y爲(wèi)TMN〃BD,.?.△OMNsAOBD,?.器罰冷得ON寺,設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F,S—NF?PF=X（-七）心-城S令嗨-X一（-￡t申，1t(OVt1t(OVtV4),).).a=-V0.：拋物線開(kāi)口向下，S存在最大值.)2+144由S=-t2巨t=-（tJ人亡出)2+144.?.當(dāng)t=時(shí)，s取最大值6如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.求點(diǎn)B的坐標(biāo)；求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、0、B的拋物線的解析式；在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、0、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題..專題：壓軸題；分類討論.分析：首先根據(jù)0A的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過(guò)B做x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形和0B的長(zhǎng)(即0A長(zhǎng))確定B點(diǎn)的坐標(biāo).已知0、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.根據(jù)(2)的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而0、B坐標(biāo)已知，可先表示出△0PB三邊的邊長(zhǎng)表達(dá)式，然后分①0P=0B、②0P=BP、③0B=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn).解答：解：(1)如圖，過(guò)B點(diǎn)作BC丄x軸，垂足為C,則ZBC0=90°,VZA0B=120°，AZB0C=60°，又*/0A=0B=4，A0C=0B=X4=2，BC=0Bsin60°=4X「=2-03,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-2l3)；(2)V拋物線過(guò)原點(diǎn)0和點(diǎn)A、B,.：可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,將A(4,0),B(-2.-W3)代入，得

16a+4b=0?，解得16a+4b=0?，解得十?.此拋物線的解析式為尸-冷?+耳lx（3）存在,,y),如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D,設(shè)點(diǎn),y),若OB=OP,EZPO化'則22+|y|2=42，解得y二±2'EZPO化'當(dāng)y=2i3時(shí)，在RtAPOD中,ZPDO=9Q°》/.ZPOD=6Q°,/.ZPOB=ZPOD+ZAOB=6Q°+12Q°=18Q°,即P、0、B三點(diǎn)在同一直線上，.?.y=2T3不符合題意，舍去，.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-^3）若0B=PB，則42+|y+2T3|2=42,解得y=-故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-213）,若OP=BP,則22+|y|2=42+|y+2l'3|2,解得y=-2'.：3,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-213）,綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2,-2匚虧）,在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)C(-1,0),如圖所示：拋物線y二ax2+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.求點(diǎn)B的坐標(biāo)；求拋物線的解析式；在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)，使厶ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形若存在,角形若存在,考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題..專題：壓軸題.分析：根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案.#解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸，垂足為D，VZBCD+ZACO=90°，ZACO+ZCAO=90°,；.ZBCD=ZCAO,（1分）又VZBDC=ZCOA=90°，CB=AC，.?.△BCD^ACAO,（2分）/.BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,1）；（4分）拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-3,1),則得到l=9a-3a-2,(5分)解得a=,所以拋物線的解析式為y=X2+x-2；(7分)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)匕，使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,(8分)過(guò)點(diǎn)P]作P$丄x軸，VCP=BC,ZMCP=ZBCD,ZPMC=ZBDC=90°,111/.△MPC^^DBC.(10分).?.CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得點(diǎn)P1(1,-1)；(11分)若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP2丄CA，且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形^ACP2,(12分)過(guò)點(diǎn)P2作P2N丄y軸，同理可證△AP2N^ACAO,(13分).?.NP2=0A=2,AN=OC=1,可求得點(diǎn)P2(2,1),(14分)經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P](1,-1)與點(diǎn)P2(2,1)都在拋物線y=X2+x-2上.(16分)9?在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(1,0),如圖所示，拋物線y二ax2-ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.求點(diǎn)B的坐標(biāo)；求拋物線的解析式；在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)，使厶ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.?專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.分析：首先過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸，垂足為D,易證得△BDC9AC0A，即可得BD=OC=1,CD=0A=2,則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1,過(guò)點(diǎn)匕作P1M丄x軸，②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP丄CA,且使得AP=AC,得到等腰直角三角形ACP,過(guò)點(diǎn)P作PN丄y軸，③若以AC為直22222角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作A?丄CA，且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,過(guò)點(diǎn)P3作P3H丄y軸，去分析則可求得答案.解答：解：(1)過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸，垂足為D,VZBCD+ZACO=90°,ZAC0+ZOAC=90°,.?.ZBCD=ZCAO,又VZBDC=ZCOA=90°,CB=AC,.?.△BDC^ACOA,/.BD=OC=1,CD=OA=2,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1)；V拋物線y=ax2-ax一2過(guò)點(diǎn)B(3,1),/.1=9a-3a-2,解得：a二,拋物線的解析式為y=X2-x-2；|假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)匕使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP】，過(guò)點(diǎn)匕作P$丄x軸，如圖(1),VCP=BC,ZMCP=ZBCD,ZPMC=ZBDC=90°,111.?.△MPC^ADBC,1；.CM=CD=2,PM=BD=1,1/.P1(-1,-1),經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P］在拋物線y=X2-x-2上;若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP2丄CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,過(guò)點(diǎn)P2作P2N丄y軸，如圖(2),同理可證厶APN^^CAO,2.?.NP=OA=2,AN=OC=1,2/.P2(-2,1),經(jīng)檢驗(yàn)P2(-2,1)也在拋物線y=X2-x-2上;若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作A?丄CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,過(guò)點(diǎn)匚作P3H丄y軸，如圖(3),同理可證厶APH^ACAO,3.?.HP=OA=2,AH=OC=1,3).?.P3(2,3),經(jīng)檢驗(yàn)P3(2,3)不在拋物線y=X2-x-2上;故符合條件的點(diǎn)有P1(-1,-1),P2(-2,1)兩點(diǎn).圖1圖2圖3綜合類如圖，已知拋物線y=X2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(5,0),另一個(gè)交點(diǎn)為A,且與y軸交于點(diǎn)C(0,5).求直線BC與拋物線的解析式；若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作皿“〃丫軸交直線BC于點(diǎn)N,求MN的最大值；在(2)的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S],AABN的面積為S?,且S1=6S2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題..專題：壓軸題.分析：(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)工的坐標(biāo)代入y=X2+bx+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；MN的長(zhǎng)是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長(zhǎng)和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30.再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的髙為BD,根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3lP,過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)E,在直線DE上截取PQ=BC,則四邊形CBPQ為平行四邊形.證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=TEBD=6,求出E的坐標(biāo)為(-1,0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析_葢_]式為y=-x-1,然后解方程組〈夕，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)..y=/_6k+5解答：解：(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=-x+5；{n=5將B(5，0)，C(0，5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=X2+bx+c,(Q[7_L^b-l-r=0fh=-A得，解得，所以拋物線的解析式為y=x2-6x+5；{c二5Ic=5設(shè)M(x,X2-6x+5)(1VxV5),則N(x，-x+5)，*/MN=(-x+5)-(X2-6x+5)=-X2+5x=-(x-)2^^，.?.當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值年；4VMN取得最大值時(shí)，x=，-x+5=-+5=，即N(,).解方程X2-6x+5=0，得x=l或5,A(1,0),B(5,0),?.AB=5-1=4,△ABN的面積S=X4X=5,2?平行四邊形CBPQ的面積S=6^=30.設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的髙為BD,則BC丄BD.?.?BC=5l2$BCBD=30,BD=3■一邁.過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)E,在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形.BC丄BD,Z0BC=45°,ZEBD=45°,△EBD為等腰直角三角形，BE=i^BD=6,B(5,0),?E(-l,0),

設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+t,將E(-l,0)代入，得1+t=0,解得t=-l直線PQ的解析式為y=-x-l.解方程組s2=3坯二一4'解方程組.?.點(diǎn).?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為P](2如圖，拋物線y=ax2+bx如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aM0)的圖象過(guò)點(diǎn)C(0,1),頂點(diǎn)為Q(2,軸正半軸上，且0D=OC.(1)求直線CD的解析式;《求拋物線的解析式；將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,△CEQs^CDO；在(3)的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，APCF的周長(zhǎng)是否存在最小值若存在，求出這個(gè)最小值;請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)D在x求證：?jiǎn)枺涸赑若不存在,考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.?專題：壓軸題.分析：利用待定系數(shù)法求出直線解析式；利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；關(guān)鍵是證明△CEQ與ACDO均為等腰直角三角形；如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C〃，連接CC〃，交0D于點(diǎn)F,交QE于點(diǎn)P,則厶PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，APCF的周長(zhǎng)等于線段CC〃的長(zhǎng)度.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)APCF的周長(zhǎng)最小.如答圖③所示，利用勾股定理求出線段CC〃的長(zhǎng)度，即APCF周長(zhǎng)的最小值.解答：解：(1)VC(0，1)，OD=OC,.：D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b(kMO),將C將C(0,解得：b=1,k=-1,直線CD的解析式為:y=-x+1.設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+3.將C(0,1)代入得：1=/r/