第八章 J積分公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

第八章J積分

§8-1概述

對于脆性材料，比如玻璃，線彈性斷裂力學(xué)分析是有效。假如材料具備一定韌性，則在裂紋擴(kuò)展前，先在裂紋尖端出現(xiàn)塑性區(qū)。塑性區(qū)存在使線彈性斷裂力學(xué)分析失去一定準(zhǔn)確性。不過在塑性區(qū)尺寸遠(yuǎn)比裂紋尺寸為小小范圍屈服條件下，線彈性斷裂力學(xué)分析結(jié)果依然能夠作為近似解。假如裂尖塑性區(qū)與裂紋尺寸同一數(shù)量級，甚至超出了裂紋尺寸，線彈性斷裂力學(xué)分析就無效了。

工程上應(yīng)用中、低強(qiáng)度高韌鋼含裂紋構(gòu)件，甚至高強(qiáng)鋼中存在微小裂紋問題，都是大范圍屈服問題。對大范圍屈服問題，人們自然會想到用類似K理論方法，找到描述裂尖彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場強(qiáng)度參量，從而建立工程應(yīng)用判據(jù)。當(dāng)前用得最多參量是J

和COD

。

1968年Rice提出J積分概念后，Hutchinson，Rice等人導(dǎo)出了彈塑性材料裂尖應(yīng)力應(yīng)變場表示式，即HRR理論，使斷裂力學(xué)從線彈性發(fā)展到了彈塑性。有兩個幾何形狀和受力完全相同單位厚度板，各含有一個缺口，板1中缺口長為，此板總勢能為；板II中缺口長為，此板總勢能為。二板總勢能之差為：，這個差值是由引發(fā)。

§8-2J積分定義

定義：是缺口長度不一樣造成勢能差異率。這就是J形變功定義。能夠看到：1.

J

定義對材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系沒有任何要求，所以

J積分適合用于彈性體（線彈性體和非線性彈性體）和塑性體單調(diào)加載（無卸載）情況。非線性彈性體和塑性體曲線在加載時沒有區(qū)分，但卸載時塑性體不沿加載曲線回零（塑性變形不可逆），差能量成熱能放出。所以J只可用于塑性體單調(diào)加載情況。2.

因?yàn)椴辉试S卸載，J不再含有裂紋擴(kuò)展能量釋放率物理意義，而是功吸收率。

3.

從J定義可見，在線彈性范圍即J與G等價。所以J是G合理延伸，是一個既適合用于線彈性又適合用于彈塑性較普通參數(shù)。

4.

從J形變功定義，采取虛位移原理、格林公式和二元函數(shù)泰勒展開式，能夠?qū)С鯦線積分定義：

其中：為從缺口下表面上任一點(diǎn)沿逆時針方向繞過缺口頂端，而止于缺口上表面上任一點(diǎn)曲線；.為帶缺口變形體形變功密度，包含彈性應(yīng)變能和塑性形變功；：回路上對應(yīng)“表面力”矢量；：回路上各點(diǎn)位移矢量；ds：回路線元。

J一個主要性質(zhì)，就是J積分與積分路徑無關(guān)（Path-independent）。這稱為J積分守恒性。J積分守恒性前提是：①不允許卸載；②變形為小變形；③沒有體積力。

因?yàn)镴與路徑無關(guān)，所以可選擇一條輕易求積分路徑（比如沿試樣周圍，可能只有彈性應(yīng)力和應(yīng)變），簡單地求得J。

與靠近裂紋尖端處行為相關(guān)奇異場解是斷裂力學(xué)發(fā)展中關(guān)鍵問題。1968年Rice提出J積分概念后，Hutchinson、Rice等人，導(dǎo)出了彈塑性材料裂尖應(yīng)力應(yīng)變場表示式，即HRR

理論，使斷裂力學(xué)從線彈性發(fā)展到了彈塑性。

§8-3彈塑性裂紋尖端應(yīng)力場1.采取以下基本公式，導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)控制方程：

iAiry公式：

ii幾何方程：

iii物理方程：

n為硬化指數(shù)，n大硬化能力大；n小，硬化能力小 無量綱應(yīng)力：；無量綱應(yīng)變：， E：材料彈性模量。本節(jié)中有“一”者為有量綱量。與上式對應(yīng)多軸本構(gòu)關(guān)系是

其中導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)控制方程為：

邊界條件取： （這時裂紋表面無外荷載作用）

2.裂尖解結(jié)構(gòu)：如能從上式中解出，則問題得解。但當(dāng)前解不出該方程。故要抓主要矛盾，給予簡化：

（1）設(shè)出形式：因?yàn)榱鸭y總是從裂尖向外擴(kuò)展，所以裂尖附近是我們最關(guān)心。在線彈性斷裂力學(xué)中，當(dāng)時，裂尖應(yīng)力，而彈塑性解當(dāng)時，就應(yīng)該是線彈性解。所以，比照williams級數(shù)，能夠構(gòu)想上式解是一個無窮級數(shù)，級數(shù)第一項(xiàng)有奇異性。

當(dāng)只考慮裂尖附近行為時，

r小到一定范圍，級數(shù)第一項(xiàng)因?yàn)橛衅嫘裕绕鹌渌?xiàng)都大得多，其它項(xiàng)值都可忽略不計。所以，當(dāng)r

相當(dāng)小時，能夠?。浩渲蠯為修正幅值系數(shù)，它決定了應(yīng)力場強(qiáng)度。（2）簡化方程：分析方程中各項(xiàng)

r

冪次：雙調(diào)和項(xiàng)中r冪次為（S-4），后面非線性諸項(xiàng)r

冪次為[（S-2）n-2]。而要使應(yīng)力分量有奇異性，必須S<2，又n>1

故

所以，當(dāng)時，方程中非線性諸項(xiàng)值增大速度比雙調(diào)和項(xiàng)快，這時非線性項(xiàng)是方程主要部分，所以能夠把式中雙調(diào)和項(xiàng)略去。從物理意義上說，對任意S<2，總能選擇一個充分小裂尖鄰域，使此區(qū)域中彈性變形能與塑性變形功相比任意地微小，這么就能夠把式中代表彈性部分雙調(diào)和項(xiàng)略去。

所以，方程簡化為：將裂尖解形式代入上式，得到關(guān)于S

和微分方程為：其中“~”表示對應(yīng)量角度部分。邊界條件有二：

i處。這要求ii本問題關(guān)于x軸對稱，所以在處 ，.，。這要求

解上述方程是一個微分方程邊值問題。普通說對于任意S

，滿足邊界條件微分方程解不存在。只有當(dāng)S

取一些定值時，方程才有解。所以上述方程是一個關(guān)于

S

特征方程。（3）S取值范圍：

i∵從得到應(yīng)力場應(yīng)含有奇異性 ∴ S<2

ii用從得到應(yīng)力應(yīng)變場算出余能必須有界，則所以

用數(shù)值迭代法在S

取值范圍內(nèi)解此邊值問題，求出n為整數(shù)時

同時算出、、和值（見圖），圖中曲線是將最大值歸為1時相對值。這么，導(dǎo)出裂尖附近塑性解結(jié)構(gòu)是：4.常數(shù)K確實(shí)定

在裂尖塑性奇異解有效區(qū)域內(nèi)，以裂尖為圓心，作二分之一徑為r圓形積分路徑，進(jìn)行J積分，則從而其中

因?yàn)镴積分路徑無關(guān)性，J與圓路徑半徑r無關(guān)，所以計算出J表示式中無r。是n函數(shù)，能夠由數(shù)值方法解出，其值為n35913平面應(yīng)力In3.863.413.032.87平面應(yīng)變In5.515.014.604.40將上式代入裂尖解，得到裂紋尖端附近應(yīng)力、應(yīng)變場平面應(yīng)變解與平面應(yīng)力解相同。彈塑性裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場解是在1968年由Hutchinson,Rice和Rosenfild導(dǎo)出，所以稱為HRR應(yīng)力應(yīng)變場。

當(dāng)裂尖附近材料符合冪乘硬化律時，裂尖應(yīng)力場含有階奇性，裂尖應(yīng)變場含有階奇性，裂尖位移場沒有奇性。

當(dāng)時，，，就是線彈性裂尖場。

從HRR場應(yīng)力解可見，反應(yīng)裂尖附近不一樣點(diǎn)處應(yīng)力相對大小，與外載無關(guān)；而該應(yīng)力場總體強(qiáng)度是由單參數(shù)J唯一決定，J與外載相關(guān)。

§8-4J判據(jù)

對任何已知，裂紋尖端處應(yīng)力、應(yīng)變與J有唯一關(guān)系。而正是裂尖處應(yīng)力、應(yīng)變決定著裂紋起裂與擴(kuò)展。于是能夠斷定，正如線彈性斷裂能夠用K描述一樣，彈塑性斷裂這種受裂尖行為控制事件，必能用J描述。所以，在小變形范圍內(nèi)，在很靠近裂紋尖端地方，因?yàn)閼?yīng)力及應(yīng)變場和J之間一一對應(yīng)關(guān)系，J是靠近裂紋尖端處行為唯一有意義量度。這就對彈塑性裂紋尖端處行為，提出了合理單參數(shù)表示。從J控制裂紋擴(kuò)展這一概念出發(fā)，能夠引出一系列主要推論，比如J控制區(qū)概念，裂紋擴(kuò)展J判據(jù)概念等等。

彈塑性裂紋啟裂，能夠用單參數(shù)

J

來描述，對I型裂紋，J

寫成。

是一個與外載和裂紋長度

相關(guān)參數(shù)。當(dāng)

一定時，隨外載增加，

增大。當(dāng)

到達(dá)該材料臨界值

時，裂紋開始擴(kuò)展。臨界值

稱為延性斷裂韌度，它是一個材料常數(shù)，能夠經(jīng)過試驗(yàn)測出。這么，彈塑性裂紋啟裂條件是：

與K控制一樣，J控制也是有條件。為了清楚地討論，現(xiàn)引進(jìn)參數(shù)R來表示奇異場J主導(dǎo)區(qū)域尺寸或半徑。R數(shù)值隨平力、平變情況，載荷，硬化指數(shù)，幾何等原因而改變。找J控制適用范圍，就是找R上下限。1.HRR理論在有限應(yīng)變區(qū)內(nèi)不能用，R下限

HRR場推導(dǎo)中用了小變形和百分比加載條件，而彈塑性裂尖塑性區(qū)內(nèi)有一小區(qū)域（有限應(yīng)變區(qū)）內(nèi)變形很大，還有卸載發(fā)生，不滿足上述條件，J在該小區(qū)域內(nèi)失效。所以有限應(yīng)變區(qū)邊界是J控制區(qū)下限。1977年，McMeeking對小范圍屈服I型平面應(yīng)變問題，分析了大應(yīng)變（有限應(yīng)變）裂尖數(shù)值解和小應(yīng)變（百分比應(yīng)變）裂尖數(shù)值解結(jié)果，發(fā)覺當(dāng)時，有限應(yīng)變效應(yīng)就能夠忽略不計。上式中為材料流變應(yīng)力。所以，對I型平面應(yīng)變問題，J主導(dǎo)區(qū)下界為：

2.HRR理論在J主導(dǎo)區(qū)外不能用，R上限在裂尖塑性應(yīng)變百分比改變區(qū)內(nèi)，用以全量理論為基礎(chǔ)HRR裂尖奇異解代替級數(shù)全解描述裂尖應(yīng)力應(yīng)變場有一定誤差，這個誤差隨計算點(diǎn)距裂尖距離R增加而增大。當(dāng)該誤差增大到工程應(yīng)用上不能接收程度時，就到達(dá)了J主導(dǎo)區(qū)上限。

1979年Shih和German將用增量理論數(shù)值計算結(jié)果作為全解與HRR奇異解進(jìn)行了對比，發(fā)覺對彎曲型試樣，兩種解吻合區(qū)最大尺寸為0.07c，c為試樣韌帶長度。對拉伸型試樣，吻合區(qū)最大尺寸為0.01c。

所以，對彎曲型試樣，J主導(dǎo)區(qū)上界為：

故J

控制區(qū)有效范圍為由

可得

如c

小于此值，J

控制區(qū)上下限重合，實(shí)際上就不存在J

控制區(qū)。對中心裂紋拉伸板（CCP），韌帶尺寸限制為：這個問題很主要，它說明對不一樣類型試樣，要提出不一樣韌帶尺寸要求。

§8-5

測定

應(yīng)用斷裂力學(xué)，測定材料是一個難點(diǎn)。K有效要求：這一尺寸要求，對于高強(qiáng)度鋼，是輕易到達(dá)。比如，某.。其三點(diǎn)彎曲試樣取即可。但對于低強(qiáng)高韌鋼，則極難到達(dá)試樣尺寸要求。比如，某鋼，則

鋼則其三點(diǎn)彎曲試樣：。這么大尺寸試樣制造和試驗(yàn)都十分困難。不過因?yàn)檫@類鋼廣泛用于大型電站設(shè)備，其部件處于平面應(yīng)變狀態(tài)，需用進(jìn)行斷裂分析，所以迫切需要處理測定方法。1974年Landes和Beglay提出用小試樣（比常規(guī)斷裂力學(xué)試樣小一個數(shù)量級）測定材料想法。這個創(chuàng)造性構(gòu)想使J積分理論含有了實(shí)際意義，并使低強(qiáng)高韌鋼試樣小型化有了可能。

為何能夠從J測試而得到K呢？Landes-Beglay觀點(diǎn)是：用小試樣在EPFM（彈塑性）范圍內(nèi)測出與LEFM（線彈性）范圍相同，這么就可用EPFM內(nèi)由.換算出。不過K與J是二個不一樣概念：是裂紋擴(kuò)展時裂尖應(yīng)力場強(qiáng)度臨界值；是裂紋啟裂時裂尖應(yīng)力應(yīng)變場強(qiáng)度臨界值。所以只能說從工程角度看，這種近似是可取。

彈塑性裂尖場推導(dǎo)本與J無關(guān)，為何要與J相聯(lián)絡(luò)呢？其目標(biāo)是經(jīng)過J形變功定義測出

，從而導(dǎo)出裂紋擴(kuò)展判據(jù)。比如，由J形變功定義，能夠得出三點(diǎn)彎曲試樣式中U：恒位移條件下形變功，W：試樣寬度，a：裂紋長度，B：試樣厚度。

試驗(yàn)過程中因?yàn)樵嚇硬煌?，裂紋何時啟裂不易確定，當(dāng)前多采取多試樣法，將所得數(shù)據(jù)點(diǎn)外推，找到啟裂時。多試樣法關(guān)鍵點(diǎn)是：

加工一組（>5個）幾何形狀完全相同（a也一樣）試樣，分別加載到不一樣撓度，使各試樣裂紋擴(kuò)展量各不相同。用氧化法或二次著色法使穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展區(qū)留印，然后壓斷試樣，量出。又由統(tǒng)計儀求出對應(yīng)，再換算為，從而在圖上作得一系列點(diǎn)，由這些點(diǎn)回歸求出一條擬合曲線，就得到了J阻力曲線（Curve）。

將此曲線外推到=0處，得到是否就是啟裂時J值呢？不是。因?yàn)樵诹鸭y真正開始擴(kuò)展之前，還有一個裂尖鈍化（塑性變形）過程。所以從O點(diǎn)開始有一條鈍化直線，其方程為，鈍化線和J阻力曲線交點(diǎn)才是

。當(dāng)試驗(yàn)得到值滿足J控制條件時

方法用途有：i作為一個判據(jù)，評價冶金原因，熱處理和焊接影響，選擇材料。ii確定一個材料用于某一服役條件是否適當(dāng)。iii對作保守預(yù)計。測定中國家標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)是GB2038-91，美國家標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)是ASTME813-02。方法不適合用于含有極高撕裂抗力高延性、韌性材料，因?yàn)檫@種材料實(shí)際撕裂引發(fā)裂紋擴(kuò)展與嚴(yán)重裂紋頂端鈍化混在一起而區(qū)分不開。

由J積分預(yù)計