【名師導(dǎo)學(xué)】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 7.47 排列與組合的綜合應(yīng)用題 理

第47講排列與組合的綜合應(yīng)用題編輯ppt【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．進(jìn)一步理解排列、組合的概念，了解計(jì)數(shù)原理的思想，熟練掌握排列、組合計(jì)算公式．2．提升綜合應(yīng)用排列組合的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的思維能力和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．編輯ppt【基礎(chǔ)檢測(cè)】1．某校開(kāi)設(shè)10門(mén)課程供學(xué)生選修，其中A，B，C三門(mén)課程由于上課時(shí)間相同，至多選一門(mén)，學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修三門(mén)課程，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是()

A．120B．98C．63D．56B【解析】分兩類(lèi)：第一類(lèi)，A，B，C三門(mén)課都不選，有C73＝35種方案，第二類(lèi)，A，B，C中選一門(mén)，剩余7門(mén)課中選兩門(mén)，有C31C72＝63種方案，故共有35＋63＝98種方案．編輯ppt2．現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是()A．420 B．560C．840 D．20160C【解析】從下層8件中取2件，有C82種取法，放到上層時(shí)，若這兩件相鄰，有A51A22種放法，若這兩件不相鄰，有A52處放法，所以不同調(diào)整方法的種數(shù)是C82(A51A22＋A52)＝840.故選C.編輯ppt3．從0，1，2，3中任取三個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)是____(用數(shù)字回答)．10【解析】考慮三位數(shù)“沒(méi)0”和“有0”兩種情況．(1)沒(méi)0：2必填個(gè)位，A22種填法；(2)有0：0填個(gè)位，A32種填法；0填十位，2必填個(gè)位，A21種填法．所以，偶數(shù)的個(gè)數(shù)一共有A22＋A32＋A21＝10個(gè)．編輯ppt4．已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素，構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___．33【解析】若不考慮限定條件，確定的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為C11C21C31A33＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個(gè)數(shù)確定的相同的點(diǎn)有三個(gè)．故所求的個(gè)數(shù)為36－3＝33.編輯ppt【知識(shí)要點(diǎn)】1．求解排列與組合的綜合應(yīng)用題，通常有三條途徑：(1)以元素為分析對(duì)象，先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素，即優(yōu)元法；(2)以位置為分析對(duì)象，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置，即優(yōu)位法．這兩種方法都是直接法；(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出所有排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)，即間接法．2．解決排列與組合應(yīng)用題常用的方法有：直接計(jì)算法與間接計(jì)算法；分類(lèi)法與分步法；元素分析法與位置分析法；插空法與捆綁法等．編輯ppt3．解答組合應(yīng)用題的總體思路為：(1)整體分類(lèi)，從集合的意義講，分類(lèi)要做到各類(lèi)的并集等于全集，以保證分類(lèi)的不遺漏，任何兩類(lèi)的交集等于空集，以保證分類(lèi)的不重復(fù)，計(jì)算結(jié)果時(shí)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理．(2)局部分步，整體分類(lèi)以后，對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行局部分步，分步要做到步驟連續(xù)，以保證分步的不遺漏，同時(shí)步驟要獨(dú)立，以保證分步的不重復(fù)，計(jì)算結(jié)果時(shí)用分步計(jì)數(shù)原理．(3)辯證地看待“元素”與“位置”．排列、組合問(wèn)題中的元素與位置，沒(méi)有嚴(yán)格的界定標(biāo)準(zhǔn)，哪些事物看成元素或位置，要視具體情況而定．有時(shí)“元素選位置”，問(wèn)題解決得簡(jiǎn)捷；有時(shí)“位置選元素”，效果會(huì)更好．編輯ppt編輯ppt【解析】(1)無(wú)序不均勻分組問(wèn)題．先選1本有C61種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C52種選法；最后余下3本全選有C33種選法，故分配方式有C61C52C33＝60種．(2)有序不均勻分組問(wèn)題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，分配方式有C61C52C33A33＝360種．編輯ppt編輯ppt【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)分組問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無(wú)序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)；還要充分考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無(wú)序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù)．編輯pptC

【解析】由題意可知，先排工序A，有2種編排方法；再將工序B和C視為一個(gè)整體(有2種順序)與其他3個(gè)工序全排列共有2A44種編排方法．故實(shí)施順序的編排方法共有2×2A44＝96種．故選C.編輯ppt(2)某人從{O，P，Q，R}中選2個(gè)不同字母，從{0，2，5，6，8}中選3個(gè)不同數(shù)字組成車(chē)牌號(hào)，要求前三位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字0不能排在首位，O，Q不能同時(shí)選，字母O和數(shù)字0要求不能相鄰，那么滿足要求的車(chē)牌號(hào)有()A．528個(gè) B．504個(gè)C．456個(gè) D．288個(gè)C【解析】(1)不選數(shù)字0有(2C21＋1)C43A33A22＝240個(gè)，(2)選數(shù)字0不選字母O有C32C42C21A22A22＝144個(gè)，(3)選數(shù)字0也選字母O有C21C42C21(A22＋1)＝72個(gè)，所以共有240＋144＋72＝456個(gè)．編輯ppt(3)研究性學(xué)習(xí)小組有4名同學(xué)要在同一天的上、下午到實(shí)驗(yàn)室做A，B，C，D，E五個(gè)操作實(shí)驗(yàn)，每位同學(xué)上、下午各做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，且不重復(fù)，若上午不能做D實(shí)驗(yàn)，下午不能做E實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方式共有()A．144種 B．192種C．216種 D．264種D【解析】根據(jù)題意得，上午要做的實(shí)驗(yàn)是A，B，C，E，下午要做的實(shí)驗(yàn)是A，B，C，D，且上午做了A，B，C實(shí)驗(yàn)的同學(xué)下午不再做相同的實(shí)驗(yàn)，先安排上午，從4位同學(xué)中任選一人做E實(shí)驗(yàn)，其余三人分別做A，B，C實(shí)驗(yàn)，有C41A33＝24種安排方式．再安排下午，分兩類(lèi)：

編輯ppt①上午選E實(shí)驗(yàn)的同學(xué)下午選D實(shí)驗(yàn)，另三位同學(xué)對(duì)A，B，C實(shí)驗(yàn)錯(cuò)位排列，有2種方法，則不同的安排方式有N1＝1×2＝2種；②上午選E實(shí)驗(yàn)的同學(xué)下午選A，B，C實(shí)驗(yàn)之一，另外三位從剩下的兩項(xiàng)和D一共三項(xiàng)中選，但必須與上午的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目錯(cuò)開(kāi)，有3種方法，則不同的安排方式有：N2＝C31·3＝9種．于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264種．故選D.【點(diǎn)評(píng)】綜合應(yīng)用排列與組合知識(shí)求解的問(wèn)題的策略通常是“先選后排”和“邊選邊排”兩種方法．編輯pptD

【解析】從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的取法分為三類(lèi)；第一類(lèi)是取四個(gè)奇數(shù)，即C54＝5種取法；第二類(lèi)是取兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)，即C52C42＝60種取法；第三類(lèi)是取四個(gè)偶數(shù)，即C44＝1.故有5＋60＋1＝66種取法．故選D.編輯ppt(2)只用1、2、3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)共有()A．6個(gè) B．9個(gè)C．18個(gè) D．36個(gè)C【解析】對(duì)于1、2、3三個(gè)數(shù)組成一個(gè)四位數(shù)，其中必有一個(gè)數(shù)要重復(fù)，從三個(gè)中選一個(gè)有C31種，這樣重復(fù)的數(shù)有2個(gè)，利用插空法知共有A33種，因此共有3A33＝18個(gè)這樣的四位數(shù)．編輯ppt(3)由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．72 B．96C．108 D．144C【解析】先選一個(gè)偶數(shù)字排個(gè)位，有3種排法，①若5在十位或十萬(wàn)位，則1、3有三個(gè)位置可排，共有3A32A22＝24個(gè)，②若5排在百位、千位或萬(wàn)位，則1、3只有兩個(gè)位置可排，共3A22A22＝12個(gè)，算上個(gè)位偶數(shù)字的排法，共計(jì)3×(24＋12)＝108個(gè)．編輯ppt【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)由若干個(gè)數(shù)字組成滿足某條件的數(shù)的問(wèn)題通常應(yīng)用“特殊元素先排法”或“減去法”，思考這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意數(shù)字“0”是否參與、組成的數(shù)是多少位數(shù)、數(shù)字使用時(shí)是否可以重復(fù)這三個(gè)基本方面．編輯ppt30

編輯ppt【解析】根據(jù)A球所在位置分三類(lèi)：①若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A33＝6種不同的放法；②若A球放在5號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A33＝6種不同的放法；③若A球放在4號(hào)盒子內(nèi)，則B球可以放在2號(hào)、3號(hào)、5號(hào)盒子中的任何一個(gè)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，有A33＝6種不同的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A31A33＝18種不同的放法．綜上所述，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種．編輯ppt(2)如圖，花壇內(nèi)有5個(gè)花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數(shù)為()A．180 B．240C．360 D．420D編輯ppt【解析】本題中區(qū)域2，3，4，5地位相同(都與其他四個(gè)區(qū)域中的3個(gè)區(qū)域相鄰)，故應(yīng)先種區(qū)域1，有5種栽種方案，再種區(qū)域2，有4種栽種方案，接著種區(qū)域3，有3種栽種方案，種區(qū)域4時(shí)應(yīng)注意：區(qū)域2與4種同色花時(shí)，區(qū)域4有1種栽種方案，此時(shí)區(qū)域5有3種栽種方案；區(qū)域2與4種不同色花時(shí)，區(qū)域4有2種栽種方案，此時(shí)區(qū)域5有2種栽種方案，故共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420種栽種方案．編輯ppt(3)如圖，用四種不同顏色給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法共有()A．288種 B．264種C．240種 D．168種B編輯ppt【解析】分兩類(lèi)：第一類(lèi)：涂三種顏色，先涂點(diǎn)A，D，E有A43種方法，再涂B，C，F(xiàn)有2種方法，共有A43×2＝48種方法；第二類(lèi)：涂四種顏色，先涂點(diǎn)A，D，E有A43種方法，再涂點(diǎn)B，C，F(xiàn)有3C31種方法，共有A43·3C31＝216種方法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有48＋216＝264種不同涂法，故選B.【點(diǎn)評(píng)】本小題考查排列組合、計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．編輯ppt12

【解析】由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，當(dāng)組成的數(shù)字有三個(gè)1，三個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)4共有4種情況，當(dāng)有三個(gè)1時(shí)：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141；當(dāng)有三個(gè)2，3，4時(shí)：2221，3331，4441.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得到12種結(jié)果，故答案為12.編輯ppt(2)“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個(gè)數(shù)為_(kāi)___．1

359編輯pptB

編輯ppt【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)排列、組合的創(chuàng)新型問(wèn)題通常是新定義型問(wèn)題，分析求解的關(guān)鍵是由題意理解新定義的含義及設(shè)置的條件．編輯ppt1

920

編輯ppt編輯ppt①當(dāng)x＝5時(shí)，y＝5，10，15，20，25，30，35，40，45，此時(shí)有9個(gè)整點(diǎn)，同理，當(dāng)x＝10，15，20，25，30，35，40，45時(shí)，也分別有9個(gè)整點(diǎn)，所以，x＝5，10，15，20，25，30，35，40，45時(shí)，四棱柱下底面中包含的整點(diǎn)個(gè)數(shù)共有9×9＝81個(gè)．②當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，6，11，16，21，26，31，36，41，46，此時(shí)有10個(gè)整點(diǎn)，同理，當(dāng)x＝2，3，4，6，7，8，9，11，…，49時(shí)，也分別有10個(gè)整點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝1，2，3，4，6，7，8，9，11，…，49時(shí)，四棱柱下底面中包含的整點(diǎn)個(gè)數(shù)共有40×10＝400個(gè)．綜上，該四棱柱內(nèi)部(不含表面)中所包含的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2401－400－81＝1920.編輯ppt排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)解法主要有以下幾種：(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；(2)合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略；(3)排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；(4)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；(5)相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；(6)不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；(7)定序問(wèn)題除法處理的策略；(8)分排問(wèn)題直接處理的策略；(9)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；(10)構(gòu)造模型的策略．編輯ppt1．(2013全國(guó)大綱)6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有____種．(用數(shù)字作答)480【解析】先排另外四人，方法數(shù)是A44，再在隔出的五個(gè)位置安插甲乙，方法數(shù)是A52，根據(jù)乘法原理得不同排法共有A44A52＝24×20＝480種．【命題立意】本題考查排列知識(shí)，考查思維的全面性，屬中檔題．編輯ppt2．(2013浙江)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有____種．(用數(shù)字作答)480【解析】先在6個(gè)位置找3個(gè)位置，有C63種情況，A，B均在C的同側(cè)，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F(xiàn)有A33種情況，故共有4C63A33＝480種排法．

【命題立意】本題考查排列與組合知識(shí)，考查思維的全面性，屬中檔題．編輯ppt1．5本不同的書(shū)，全部分給四名學(xué)生，每人至少一本，不同分法的種數(shù)為()A．480 B．240C．120 D．96B【解析】先將5本書(shū)分成4組，有C52種方法，再將4組書(shū)分給4名同學(xué)有A44種，由分步計(jì)數(shù)原理知共有C52A44＝240種分法．編輯ppt2．將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，其中每個(gè)盒子都不空的放法共有()A．81種 B．256種C．18種 D．36種D【解析】必有一個(gè)盒子放2個(gè)小球，將4個(gè)小球分成3組，其中有2個(gè)小球?yàn)橐唤M，另外2個(gè)小球?yàn)槎M，共有6種分組方法．然后，每一種分組的小球放入3個(gè)不同盒子，按分步計(jì)數(shù)原理，有3×2×1種放法，共有6×(3×2×1)＝36種放法，故選D.編輯ppt3．6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品，已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為()A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或4D【解析】C62－13＝15－13＝2.①設(shè)僅有甲與乙、丙沒(méi)交換紀(jì)念品，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為2人；②設(shè)僅有甲與乙、丙與丁沒(méi)交換紀(jì)念品，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為4人．編輯ppt4．過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共有____條，以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐共有____個(gè)，過(guò)三棱柱任兩個(gè)頂點(diǎn)的異面直線共有____對(duì)．151236【解析】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線，共C62＝15條；不在同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)三棱錐，由排除法得C64－3＝12個(gè)三棱錐；每個(gè)三棱錐可確定三對(duì)異面直線，故有12×3＝36對(duì)異面直線．編輯ppt5．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，然后把它們由小到大排成一個(gè)數(shù)列．(1)這數(shù)列的第200項(xiàng)是____．(2)求這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的和為

．4

2531

399

860編輯ppt編輯ppt(2)數(shù)1出現(xiàn)在千位上的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A53，出現(xiàn)在百位上的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A53，出現(xiàn)在十位和個(gè)位上的四位數(shù)的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是A53.同理2，3，4，5，6每一個(gè)數(shù)在千、百、十和個(gè)位上出現(xiàn)的四位數(shù)的個(gè)數(shù)都是A53.于是這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的和是：(1＋2＋3＋4＋5＋6)×(103＋102＋10＋1)·A53＝21×1111×60＝1399860.編輯ppt6．有五張卡片，它們的正、反面分別寫(xiě)有0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成____個(gè)不同的三位數(shù)．432【解析】解法一(間接法)：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C53·23·A33(個(gè))，其中0在百位的有C42·22·A22(個(gè))，這是不符合題意的，故共有不同的三位數(shù)：C53·23·A33－C42·22·A22＝432(個(gè))．解法二(直接法)：第一類(lèi)：0與1卡片放首位，可以組成不同的三位數(shù)有C4222A22＝48(個(gè))；第二類(lèi)：0與1卡片不放首位，可以組成不同的三位數(shù)有(C412)(C4222A22)＝8×48＝384(個(gè))，故共有不同三位數(shù)：48＋384＝432(個(gè))．編輯ppt7．若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”，現(xiàn)從1，2，3