高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品蘇教版第八單元第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式公開課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

第一節(jié)不等關(guān)系與不等式1.不等式定義：用不等號(hào)連接

式子叫做不等式.≠、＞、＜、≥、≤兩個(gè)數(shù)2.不等式基本性質(zhì)(1)a>bb<a;(2)a>b,b>ca>c;(3)a>ba+c>b+c;(4)a>b,c>0ac>bc;(5)a>b,c<0ac<bc;(6)a>b,c>da+c>b+d;(7)a>b>0,c>d>0ac>bd;(8)a>b>0,n∈N*,n>1an>bn,>.基礎(chǔ)梳理或代數(shù)式3.實(shí)數(shù)比較大小方法(1)a-b>0a>b;(2)a-b=0a=b;(3)a-b<0a<b.典例分析題型一用不等式表示不等關(guān)系【例1】某汽車企業(yè)因?yàn)榘l(fā)展需要需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超出1000萬元資金購置單價(jià)分別為40萬元、90萬元A型汽車和B型汽車.依據(jù)需要，A型汽車最少買5輛，B型汽車最少買6輛，寫出滿足上述全部不等關(guān)系不等式.分析設(shè)出未知數(shù)，依據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)不等關(guān)系，然后用不等式將它們正確表示出來.解設(shè)購置A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則

40x+90y≤1000,4x+9y≤100x≥5,即x≥5,y≥6,y≥6,x,y∈N*.x,y∈N*,學(xué)后反思

（1）將實(shí)際不等關(guān)系寫成對(duì)應(yīng)不等式時(shí)，應(yīng)注意實(shí)際問題中關(guān)鍵性文字語言與對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)符號(hào)之間正確轉(zhuǎn)換，這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系.常見文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系以下表：文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)大于>至多≤小于<最少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤（2）注意區(qū)分“不等關(guān)系”和“不等式”異同，不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)是“關(guān)系”，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式則是表現(xiàn)不等關(guān)系“式子”.對(duì)于實(shí)際問題中不等關(guān)系能夠從“不超出”、“最少”、“至多”等關(guān)鍵詞上去把握，并考慮到實(shí)際意義，本題中輕易忽略“x,y∈N*”.舉一反三1.用錘子以均勻力敲擊鐵釘入木板，伴隨鐵釘深入，鐵釘所受阻力會(huì)越來越大，使得每次釘入木板釘子長度后一次為前一次(k∈N*),已知一個(gè)鐵釘受擊三次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分鐵釘長度是釘長,請(qǐng)從這個(gè)實(shí)例中提煉出一個(gè)不等式組.解析:設(shè)鐵釘長度為1.依題意得，第二次釘子沒有完全入木板,第三次全部進(jìn)入木板，∴

(k∈N*).題型二不等式性質(zhì)應(yīng)用【例2】對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c，有以下命題：①若a>b,則ac<bc;②若ac2>bc2,則a>b;③若a<b<0,則a2>ab>b2;④若c>a>b>0,則>;⑤若a>b,>,則a>0,b<0.其中真命題個(gè)數(shù)是

.分析判斷命題真假，要緊緊圍繞不等式性質(zhì)，尤其注意條件與結(jié)論間聯(lián)絡(luò).解①中，c符號(hào)不確定，故ac，bc大小也不能確定，故為假.②中，由ac2>bc2知c≠0,又c2>0,則a>b,故為真.③中，由a<b,a<bb<0可得ab>b2,由a<0可得a2>ab,∴a2>ab>b2為真.④中，由a>b,得-a<-b,∴c-a<c-b,而c>a>b>0,∴0<c-a<c-b,∴>>0.又a>b>0,∴>為真.⑤中，由a>ba-b>0,>>0,又a-b>0,∴ab<0,而a>b,∴a>0,b<0為真.綜上可知真命題有4個(gè).學(xué)后反思(1)準(zhǔn)確記憶不等式性質(zhì)成立條件，是正確應(yīng)用性質(zhì)前提.(2)在不等式判斷中，舉反例推翻結(jié)論是慣用方法，如本例題①中,令c=0則結(jié)論錯(cuò)誤.舉一反三2.若a>b>0,c<d<0,e<0,求證：證實(shí)：∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴∴又∵e<0,∴,即題型三比較大小【例3】設(shè)x＜y＜0，試比較(x2+y2)(x-y)與(x2-y2)·(x+y)大小.解

∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,∴∴學(xué)后反思（1）作差法步驟：作差，變形，判斷差符號(hào)，結(jié)論.作商法步驟：作商，變形，判斷商與1大小關(guān)系，結(jié)論.分析作差，經(jīng)過分解因式判斷差符號(hào).（2）作差法目標(biāo)是判斷差符號(hào)，而作商法目標(biāo)是判斷商與1大小.兩種方法關(guān)鍵是變形，慣用變形技巧有因式分解、配方、有理化等.有時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化為易于比較大小兩個(gè)代數(shù)式來到達(dá)目標(biāo)，這也是一個(gè)變形技巧.(3)當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式正負(fù)不確定且為多項(xiàng)式形式時(shí)慣用作差法比較大小，當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式均為正且均為冪乘積式時(shí)，慣用作商法.舉一反三3.設(shè)a、b是不相等正數(shù)，,試比較A、G、H、Q大小.解析：∵a,b為不相等正數(shù),∴,即H<G.由,即G<A.由即A<Q.綜上可知，當(dāng)a、b是不相等正數(shù)時(shí)，H<G<A<Q.題型四利用不等式性質(zhì)求范圍【例4】(14分)設(shè)f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)取值范圍.分析易知1≤a-b≤2，2≤a+b≤4,只要將f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出來，再利用不等式性質(zhì)求解4a-2b取值范圍即可.解方法一：設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n為待定系數(shù)).……………………2′則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,…….4′于是得m+n=4,m=3,n-m=-2,解得n=1,………………….6′∴f(-2)=3f(-1)+f(1).……….9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,…….12′故5≤f(2)≤10.…………….14′方法二：由f(-1)=a-b,f(1)=a+b,得a=[f(-1)+f(1)],……3′b=[f(1)-f(-1)],……6′∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).…………9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,……….12′∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,∴5≤f(-2)≤10.…………..14′學(xué)后反思由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求g(x1,y1)取值范圍，可利用待定系數(shù)法處理，即設(shè)g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2（x1,y1)，用恒等變形求得p,q,再利用不等式性質(zhì)求得g(x1,y1)范圍.另外，本例也可用線性規(guī)劃方法來求解.舉一反三4.已知≤α<β≤，求,取值范圍.解析：∵,①,②①+②得-π<α+β<π，∴∵,∴.又,∴-π≤α-β<π,∴又α<β,∴,∴易錯(cuò)警示已知2<a≤3,1≤b≤2,求a+b,a-b,取值范圍.錯(cuò)解∵2<a≤3,1≤b≤2,∴3≤a+b≤5,∴1≤a-b≤1,∴2≤≤.錯(cuò)解分析在利用不等式性質(zhì)時(shí)忽略了性質(zhì)成立必要條件;另外，同向不等式相加，不等號(hào)方向不變，相減、相除則行不通.正解∵2<a≤3,1≤b≤2,∴3<a+b≤5.又-2≤-b≤-1,∴0<a-b≤2.又≤≤1,∴1<≤3.10.(·棗莊質(zhì)檢)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，求實(shí)數(shù)x取值范圍.解析：∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,又a≠0,∴|x-1|+|x-2|≤2,解得≤x≤11.已知m∈R,x∈R,試比較與大小.解析:方法一∴方法二：∵∴