(新高考)高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷四（解析版A3版）

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（四）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依題意，其中滿足的有，，，所以，有個(gè)元素，故選B．2．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選B．3．已知直線，，平面，，，，，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，過直線作平面，交平面于直線，∵，∴，又，∴，又∵，∴；若，過直線作平面，交平面于直線，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，故“”是“”的充要條件，故選C．4．設(shè)約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)，則表示平面區(qū)域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖象可得，取點(diǎn)時(shí)，能使得取得最大值，又由，解得，所以的最大值為，故選D．5．從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A．300種 B．240種 C．144種 D．96種【答案】B【解析】分兩步：首先從4人中選1人去巴黎游覽，共有種，其次從剩余5人中選3人到其它三個(gè)城市游覽，共有種，共有種，故選B．6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，，因?yàn)椋?，，即?dāng)時(shí)，，取，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，，若，則，解得，故，即，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選B．7．在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，線段與交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)部活動(dòng)（不含邊界），且，其中、，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，，又，，，，，，則，即，即，因此，的取值范圍是，故選D．8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)從小到大組成數(shù)列，把數(shù)與的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，；數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為5的等差數(shù)列，；數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為15的等差數(shù)列，．對(duì)于A，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，正確；對(duì)于D，，，，錯(cuò)誤，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由可得，由，可得，所以直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，可得，圓心，，由，可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，因?yàn)?、分別為過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得，與已知圓相減可得，消去，可得，即，由，可得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確，故選BCD．10．在中，下列說法正確的是（）A．若，則B．存在滿足C．若，則為鈍角三角形D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，則，即，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，則，且，在上遞減，于是，即，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，在上遞減，此時(shí)：若，則，則，于是；若，則，則，于是，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，則，在遞增，于是，即，同理，此時(shí)，，所以D選項(xiàng)正確，故選ACD．11．在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．過去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標(biāo)志的是（）A．A地：中位數(shù)為2，極差為5 B．B地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C．C地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0 D．D地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3【答案】AD【解析】對(duì)A，因?yàn)锳地中位數(shù)為2，極差為5，故最大值不會(huì)大于．故A正確；對(duì)B，若B地過去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若C地過去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為1，總體方差大于0，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，利用反證法，若至少有一天疑似病例超過7人，則方差大于，與題設(shè)矛盾，故連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人，故D正確，故選AD．12．已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由函數(shù)解析式可得圖象如下：∴由圖知：，，而當(dāng)時(shí)，有，即或2，∴，而，知：，∴，，故選BCD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，則的角平分線所在直線的斜率為______．【答案】1【解析】由題意知，的半焦距，，，故，．設(shè)的角平分線與軸交于，由角平分線定理可知，故，解得，即，故的角平分線所在直線的斜率，故答案為1．14．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若，則函數(shù)的對(duì)稱中心為________，________．【答案】，2018【解析】因?yàn)?，所以，，由，即，解得，，由題中給出的結(jié)論，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為．所以，即．故，，，…，，所以SKIPIF1<0，故答案為，2018．15．函數(shù)，，有下列命題：①的表達(dá)式可改寫為；②直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；④滿足的的取值范圍是．其中正確的命題序號(hào)是__________．（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）【答案】①④【解析】，故①正確；當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而，故③錯(cuò)誤；由可得，解得，所以，解得，故④正確，故答案為①④．16．在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，為正四面體中心（滿足），若，則長(zhǎng)度為_________．【答案】【解析】將正四面體放在棱長(zhǎng)為4的正方體中，則，為正方體的中心，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，，，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，，同理，，因?yàn)?，所以，所以，即，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以平面，所以，在中，，故答案為．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知．（1）求；（2）若，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求它的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，，，．（2）由余弦定理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．18．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：，，，由余弦定理可知，，，側(cè)面，且面，，又，平面，平面．（2）由（1）知，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，為y軸，BA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得；同理，設(shè)平面的法向量為，，由，得，故，由題意二面角是銳二面角，故二面角的余弦值為．19．（12分）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的．魔方與華容道、獨(dú)立鉆石棋一起被國(guó)外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議，而魔方受歡迎的程度更是智力游戲界的奇跡．通常意義下的魔方，即指三階魔方，為的正方體結(jié)構(gòu)，由個(gè)色塊組成．常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．截至2020年，三階魔方還原官方世界紀(jì)錄是由中國(guó)的杜宇生在2018年11月24日于蕪湖賽打破的紀(jì)錄，單次秒．（1）某魔方愛好者進(jìn)行一段時(shí)間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度(秒)與訓(xùn)練天數(shù)(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：（天）（秒）現(xiàn)用作為回歸方程類型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)該魔方愛好者經(jīng)過長(zhǎng)期訓(xùn)練后最終每天魔方還原的平均速度約為多少秒(精確到)?參考數(shù)據(jù)（其中）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．（2）現(xiàn)有一個(gè)復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動(dòng)最外側(cè)的六個(gè)表面．某人按規(guī)定將魔方隨機(jī)扭動(dòng)兩次，每次均順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，記頂面白色色塊的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），每天魔方還原的平均速度約為秒；（2）分布列見解析，．【解析】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，可得，所以，因此關(guān)于的回歸方程為，所以最終每天魔方還原的平均速度約為秒．（2）由題意，可得隨機(jī)變量的取值為，可得，，，，所以的分布列為：所以．20．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，的面積，橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的最短距離為．（1）求橢圓的方程；（2）連接，直線分別交橢圓于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，的面積，所以，基底，又因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的最短距離為，設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，，則，對(duì)稱軸，所以在區(qū)間上遞增，則時(shí)，，即，又，解得，所以橢圓方程為．（2）設(shè)，由題意得，直線PA，PB的斜率存在，設(shè)，，由，得；由，得，所以，化簡(jiǎn)得，所以直線過定點(diǎn)．21．（12分）已知正三角形，某同學(xué)從點(diǎn)開始，用擦骰子的方法移動(dòng)棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)大于3，則按逆時(shí)針方向移動(dòng)：若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)不大于3，則按順時(shí)針方向移動(dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為：，，，例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．（1）擲骰子三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率，，；（2）記，，，其中，，求．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）；，所以；；；，所以；；；，所以．（2）∵，即，，又，∴時(shí)，，又∵，可得，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比