多邊形及其內(nèi)角和講義草稿

第十一章多邊形及其內(nèi)角和講義要點(diǎn)突破1一、多邊形的概念()在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的(三的整數(shù))條線段首尾順次相接而成的圖形叫做邊形。注意：(1)有幾條邊就是幾邊形；三角形、四邊形是最簡(jiǎn)單的多邊形。()多邊形相鄰兩邊組成的角是它的內(nèi)角，一個(gè)邊形有個(gè)內(nèi)角；()多邊形的邊和它鄰邊延長(zhǎng)線組成的角是它的外角，一個(gè)邊形有個(gè)外角，同一個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)角和外角是互為鄰補(bǔ)角。(4)連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是它的對(duì)角線，四邊形有兩條對(duì)角線，五邊形n(nB3)有五條對(duì)角線，邊形有2條對(duì)角線，從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有一條。(5)各個(gè)角相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形。(6)下面兩圖中，圖(1)任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線同一側(cè)，這樣的圖形我們稱為凸多邊形，而圖()就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺嬎谥本€，整個(gè)邊形不都在這條直線的同一側(cè)。我們稱這樣的多邊形為凹多邊形，今后我們課本提到的多邊形，如果不加特別說(shuō)明，一般指的是凸多邊形。典例剖析：例一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線？思路探索：過(guò)十二邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)可以畫條對(duì)角線，那么十二個(gè)頂點(diǎn)可以畫2條對(duì)角線，但每條對(duì)角線在每個(gè)頂點(diǎn)都數(shù)了一次，所以實(shí)際對(duì)角線的條數(shù)應(yīng)該為x:=(條)解析：十二邊形的對(duì)角線共有條。n(n13)規(guī)律總結(jié)：對(duì)于一個(gè)邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個(gè)公

式，以后只要用相應(yīng)的的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。課時(shí)達(dá)優(yōu)：、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共、如圖，在四邊形中，Z的對(duì)角是_邊的對(duì)邊是分）_z的對(duì)角是，邊的對(duì)邊是、從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，一共作了5條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是、從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，一共作了5條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是、正三角形的每個(gè)內(nèi)角為、一個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.、若過(guò)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，邊形沒(méi)有對(duì)角線，邊形有條對(duì)角線，則（、過(guò)邊形同一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線共有條，這些對(duì)角線把邊形分成個(gè)三角形；把在邊形邊上的任一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）與各頂點(diǎn)連接起來(lái)，這些連線把邊形分成個(gè)三角形；把邊形內(nèi)任一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接起來(lái)，這些連線把邊形分成個(gè)三角形。二、耐心選一選，你會(huì)開(kāi)心（每題5分，共30分）7、下列圖形中，是正多邊形的是（）、直角三角形、等腰三角形、長(zhǎng)方形、正方形8、下列圖形中，不是凸多邊形的是（）、過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成8個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）0、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于14°4，0這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（邊形的內(nèi)角和等于（邊形的內(nèi)角和等于（一）?i在平行四邊形中，/:N:N:N的值可能是（12、若多邊形內(nèi)角和增加36°0，則它的邊數(shù)（）、增加、增加、增加、不變?nèi)?、?xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）13、我們知道各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形，小明卻說(shuō)各邊都相等的多邊形就是正多邊形，各角都相等的多邊形也是正多邊形，他的話對(duì)嗎？為什么？14、試比較圖中兩個(gè)幾何圖形異同，請(qǐng)分別寫出兩個(gè)相同點(diǎn)和兩個(gè)不同點(diǎn)。例如，相同點(diǎn)：正五邊形有五條對(duì)角線。正方形、正五邊形的對(duì)角線相等；不同點(diǎn)：正方形有兩條對(duì)角線，正五邊形有五條對(duì)角線。正方形正五邊形正方形正五邊形相同點(diǎn)：（1）；（_2_）不同點(diǎn)：（1）；（_2_）5、一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后就一定是三角形嗎？畫出所有可能的圖形。6、動(dòng)腦筋完成下表名稱四邊形五邊形六邊形邊形圖形□OOO由一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角線條數(shù)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線把多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)圖形中對(duì)角線的條數(shù)要點(diǎn)突破2一、多邊形的內(nèi)角和證明思路：通過(guò)添加輔助線把多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題，如過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把多邊形分成一個(gè)三角形；也可過(guò)一邊上一點(diǎn)，連結(jié)各頂點(diǎn)，把多邊形分成（一）個(gè)三角形；或者過(guò)多邊形內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)各頂點(diǎn)，把多邊形分成邊形。注意：①要得到多邊形內(nèi)角和必須通過(guò)“三角形內(nèi)角和定理”來(lái)完成，就是把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形；②此公式可以已知邊數(shù)求內(nèi)角和，也可以已知內(nèi)角和求邊數(shù)。二、多邊形的外角和多邊形的外角和等于36°0注意：多邊形的外角和與它的邊數(shù)無(wú)關(guān)。證明思路：多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角和一個(gè)內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，因此多邊形的所有內(nèi)角和外角和為-°，由于多邊形的內(nèi)角和為一-°，所以多邊形的外角和為°。三、多邊形的內(nèi)角和外角和的作用由于多邊形的內(nèi)角和不隨邊數(shù)的多少而變化，，因此運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和和外角和定理可以進(jìn)行有關(guān)多邊形的角度計(jì)算或證明。典例剖析：例（年濱州）如圖所示，分別以邊形的頂點(diǎn)為圓4，以單位為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為個(gè)平方單位．思路探索：?jiǎn)为?dú)一個(gè)個(gè)求扇形的面積是不可能的，因?yàn)槊總€(gè)扇形圓心角不知道多少，由于所有扇形的圓心角的和正好是多邊形的外角和，而多邊形的外角和為36°0，因此所有扇形正好組成一個(gè)半徑的圓，所以圖中陰影部分面積之和為兀個(gè)平方單位。規(guī)律總結(jié)：有關(guān)多邊形問(wèn)題，常?？疾鞂?duì)角線的條數(shù)，多邊形的內(nèi)角和，外角和等知識(shí)，熟記其中蘊(yùn)含的規(guī)律性的東西，遇到這些問(wèn)題的時(shí)候就會(huì)迎刃而解。課時(shí)達(dá)優(yōu)：一、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）、二十邊形的外角和為、在四邊形中，若N=°,N：/：/=：:，則N=,/=。、一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的多邊形的內(nèi)角和是252°0，那么原多邊形的邊數(shù)是。。。。。。。。。。。。、如圖，則N+Z+Z+Z+Z+Z+Z的度數(shù)為。、多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于15°0，則從這個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有。。。條。。。、一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)等于其相鄰內(nèi)角度數(shù)的3，則這個(gè)多邊形是邊形。、耐心選一選，你會(huì)開(kāi)心（每題5分，共30分）、下列可能是邊形內(nèi)角和的是（）°°°°、A300、5B50、7C20、96D0、邊形的每個(gè)外角都為°,則邊數(shù)為（）9下列說(shuō)法：①四邊形的四個(gè)內(nèi)角，可以都是銳角；②四邊形的四個(gè)內(nèi)角，可以都是鈍角;③四邊形的四個(gè)內(nèi)角，可以都是直角；④四邊形的四個(gè)內(nèi)角，最多可以有兩個(gè)鈍角；⑤四邊形的四個(gè)內(nèi)角，最多可以有兩個(gè)銳角。其中正確的是（）TOC\o"1-5"\h\zA個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的（是正整數(shù)）倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A、n＋1、2n＋1B、2n＋2C、2n－2D1（十）邊形的內(nèi)角和比邊形的內(nèi)角和大（）ooOO??、、、、12、多邊形內(nèi)角中，銳角最少應(yīng)有（）、個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共4、分）13、若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為7：2，求這多邊形的邊數(shù)。14、已知五邊形內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：4：5：6，求該五邊形各外角對(duì)應(yīng)度數(shù)之比。15、一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為11°9，、則這個(gè)內(nèi)角是多少度？《3多邊形及其內(nèi)角和》自測(cè)題夯實(shí)基礎(chǔ)一、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）1、邊數(shù)最少的多邊形是___，_它_的_內(nèi)角和與外角和分別等于___°_和°__2邊形內(nèi)角和與外角和之比是：2則=.3四邊形的四個(gè)內(nèi)角之比是：：：4那么，這四個(gè)角分別是_4、兩個(gè)多邊形的邊數(shù)之比為1：2，內(nèi)角和度數(shù)之比為1：3，這兩個(gè)多邊形分別是___邊_形和___邊_形_。5若五邊形中，/=N=N,N的外角為°,/的外角與/互余，則N的度數(shù)是___°___6、一個(gè)多邊形恰好有三個(gè)角是鈍角，這個(gè)多邊形最多有條邊___二、耐心選一選，你會(huì)開(kāi)心（每題5分，共30分）7、四邊形具有而三角形不具有的性質(zhì)是（）A穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性、內(nèi)角和是°、無(wú)對(duì)角線8、下列結(jié)論正確的是（）A在平面內(nèi)，由四條線段組成的圖形叫四邊形.B由不在同一直線上的四條線段組成的圖形叫四邊形.內(nèi)、在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段組成的圖形叫四邊形．、、在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫四邊形9若邊形恰好有條對(duì)角線，則為（）TOC\o"1-5"\h\zA、4、5B、6內(nèi)、7、10、一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為20°0，0則這個(gè)內(nèi)角是（）°°°°AB、、11、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（）A三角形、四邊形、六邊形、八邊形12、一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為18°00，你知道原多邊形的邊數(shù)為（）A、11、12B、13內(nèi)、11或1、2或13綜合創(chuàng)新三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）3如圖，四邊形中，/■/OZ■/、/、/、z中哪個(gè)角是四邊形的外角？求出它的度數(shù).5已知，如圖，六邊形的各個(gè)角都相等，請(qǐng)判斷+與+的大小，并說(shuō)明你的理由．第一課時(shí)1、zDzAAD、A1B8、6230°、49、512、n6－3－n2－n1n、D（點(diǎn)撥：正多邊形的內(nèi)角和邊長(zhǎng)都相等）、（點(diǎn)撥：凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角都小于°）9（點(diǎn)撥：可以分成一個(gè)三角形）、（點(diǎn)撥：代入內(nèi)角和公式（一））、（點(diǎn)撥：平行四邊形的對(duì)角相等）、（點(diǎn)撥：正多邊形的邊數(shù)每增加一條邊，則內(nèi)角和增加、8°0）、、答3：他的話不正確，如菱形的各邊都相等，但不是正多邊形，矩形的各角都相等，但也不是正多邊形。、、相4同點(diǎn)：各邊都相等，外角和都相等；不同點(diǎn)：內(nèi)角和不相等，邊數(shù)不等。三角形由一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角

三角形由一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角線條數(shù)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線把多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)一圖形中對(duì)角線的條數(shù)n(n13)2第二課時(shí)：16、°°、、4、、八、（點(diǎn)撥：多邊形的內(nèi)角和是°的倍數(shù)）、（點(diǎn)撥：個(gè)外角和為°）、（點(diǎn)撥：要保證四邊形的內(nèi)角和為18°0，