★數(shù)學(xué)建模-三角函數(shù)模型的應(yīng)用

★數(shù)學(xué)建模——三角函數(shù)模型的應(yīng)用課標(biāo)要求會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫(huà)事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.備考指導(dǎo)現(xiàn)在高考越來(lái)越重視情境應(yīng)用題,故三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用也會(huì)是命題的熱點(diǎn).復(fù)習(xí)時(shí)要理解實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì),通過(guò)題目已知條件建模,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題.主要考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng),對(duì)數(shù)形結(jié)合思想滲透較多.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量,如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān):(1)A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅,它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大距離;(2)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是,這是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間;(3)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式

給出,它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù);(4)ωx+φ稱為相位;x=0時(shí)的相位φ稱為初相.2.三角函數(shù)模型的建立

【知識(shí)鞏固】

×√√√×2.已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式f(t)=24sin160πt+115,其中f(t)為血壓,t為時(shí)間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(

)A.60 B.70

C.80

D.90CC第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1

已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí),小球離開(kāi)平衡位置的位移s(單位:cm)隨時(shí)間t(單位:s)的變化規(guī)律為(1)用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖;(2)小球在開(kāi)始振動(dòng)(t=0)時(shí)的位移是多少?(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次?解

(1)列表如下:描點(diǎn)、連線,圖象如圖所示.解題心得三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中,其中對(duì)彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問(wèn)題考查最多,解決這類問(wèn)題時(shí)尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng),離開(kāi)平衡位置的距離s(單位:cm)和時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為(1)作出它的圖象;(2)單擺開(kāi)始擺動(dòng)(t=0)時(shí),離開(kāi)平衡位置多少厘米?(3)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí),離開(kāi)平衡位置多少厘米?(4)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要多長(zhǎng)時(shí)間?解

(1)列表如下:能力形成點(diǎn)2三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2

某風(fēng)景區(qū)賓館的工作人員為了控制經(jīng)營(yíng)成本,減少浪費(fèi),合理安排入住游客的用餐,他們通過(guò)統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù),發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)賓館入住的游客人數(shù)會(huì)呈現(xiàn)周期性的變化,并且有以下規(guī)律:①每年相同的月份,入住賓館的游客人數(shù)基本相同;②入住賓館的游客人數(shù)在2月份最少,在8月份最多,相差約400人;③2月份入住賓館的游客約為100人,隨后逐月增加直到8月份達(dá)到最多.(1)若入住賓館的游客人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系可用函數(shù)y=f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)近似描述,求該函數(shù)的解析式;(2)請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)月要準(zhǔn)備不少于400人的用餐所需的食物?解

(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),x∈N*,且x≤12,由①可知,這個(gè)函數(shù)的周期是12.由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400;由③可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,8]上單調(diào)遞增,且f(2)=100,則f(8)=500.解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).因?yàn)?≤x≤12,且x∈N*,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月這5個(gè)月份要準(zhǔn)備不少于400人的用餐所需的食物.解題心得解決三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行:(1)認(rèn)真審題,理清問(wèn)題中的已知條件與所求結(jié)論;(2)建立三角函數(shù)模型,將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化;(3)利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決關(guān)于三角函數(shù)的問(wèn)題,求得數(shù)學(xué)模型的解;(4)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義,得出實(shí)際問(wèn)題的解;(5)將所得結(jié)論返回、轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的答案.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,某公園摩天輪的半徑為40m,圓心距地面的高度為50m,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每30min轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.(1)已知在時(shí)刻t(單位:min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度f(wàn)(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|<π),求1020min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度;(2)當(dāng)點(diǎn)P距離地面

以上時(shí),可以看到公園的全貌,轉(zhuǎn)一圈中有多長(zhǎng)時(shí)間可以看到公園的全貌?能力形成點(diǎn)3建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例3

已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(單位:米)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:時(shí))的函數(shù),記作y=f(t).下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=f(t)的函數(shù)解析式;(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放,請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)8:00至20:00之間,有多少時(shí)間可供沖浪愛(ài)好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?解題心得在處理曲線擬合和預(yù)測(cè)的問(wèn)題時(shí),通常需以下幾個(gè)步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù),繪出散點(diǎn)圖;(2)通過(guò)散點(diǎn)圖,作出“最貼近”的曲線,即擬合曲線;(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),求出擬合曲線的函數(shù)解析式;(4)利用函數(shù)解析式,根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè),以便為決策和管理提供依據(jù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某動(dòng)物種群數(shù)量在每年的1月1日低至700后增長(zhǎng),7月1日高至900,其數(shù)量在此兩值之間依正弦型曲線變化.(1)作出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t變化的圖象;(2)求出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式(其中t以年初以來(lái)的月為計(jì)量單位,并規(guī)定1月1日對(duì)應(yīng)的t=0).解

(1)種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示.(2)設(shè)表示該曲線的函數(shù)解析式為y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0≤t≤11).∵平均數(shù)量為800,最高數(shù)量與最低數(shù)量之差為200,數(shù)量變化周期為12個(gè)月,第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的應(yīng)用

典例

某帆板集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn),該海濱區(qū)域的海浪高度y(單位:米)隨著時(shí)間t(0≤t≤24,單位:時(shí))呈周期性變化,每天時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表:(1)作散點(diǎn)圖;