微積分-第十二章-無窮級數(shù)

000之間).

0

n!nnfx()n

()(介于xx與xx(1n

)!()其中

Rx()

n

xRxx()()若函數(shù)

()

在fxx0

的某鄰域內(nèi)有n

1

階導(dǎo)數(shù),

則在該鄰域內(nèi)有Taylor

公式()()'(

fxff

x

0)(

0))(n1f

(1n)200意階導(dǎo)數(shù),則冪級數(shù)若函數(shù)

0

n!xf

)()(在點xx0

f的某鄰域內(nèi)具有任n)()(在為則稱為

Maclaurin

級數(shù).

xx)(n

稱n0問題

(1)

Taylor

級數(shù)是否收斂?若收斂(2,其)

收斂域是什么?(3)

在收斂域內(nèi),和函數(shù)是否等于fx()?3間)之定理1

若函數(shù)fx()

的是Lagrange

余項.

0

n!xf

)(0

n()

在fxx0

的某鄰域內(nèi)任意階可導(dǎo),

則()n()f

(1n)nn

1）!

（其中

n

()xR

xx)(n

lim

xR(0,)fx()

n0二、Taylor

級數(shù)收斂的條件4f

(

n)

(

x)

Mx

x0

R

內(nèi)5定理2

若存在正常數(shù)M

使得

n,(x,

x

x0

R).

則f

(x)在的Taylor

級數(shù)收斂于f

(x).f

(

x)

在點

x0

的Taylor

級數(shù)展開式是唯一的.6nnn0xn

.n!f

(

n)

(0)f

(

n)

(

x)

M;n!f

(

n)

(0)(4)

寫出f

(x)

n0(3)

驗證

lim

R

(

x)

0

或xn

,并求出其收斂半徑R；(2)

寫出冪級數(shù)三、函數(shù)展成Taylor

級數(shù)的方法直接法求出f

(n)(0)；

0

(n

).(n

1)!

1n!x

n1

e

xn1n0n(0

1)e

x因為Rn

(

x)

(n

1)!

xx

，R

.

Taylor

級數(shù)為例1

將函數(shù)f

(

x)

ex

展開成

x

的冪級數(shù).解由

f

(

n)

(

x)

ex

f

(

n)

(0)

1x

(,

).7n!xn故

ex

n0f冪級數(shù).將例

sin)(2展開成2

sin)0()

fn1(2)n()2

f

(

n)2（

）n

n

)

，f解f

(n)nx

sin()x(

n2x

),f

()n且

x

si(n(x)

n

x

(,).(2n

1)!x2n1n故sin

x

(1)n08)1)1(

1

常用函數(shù)的Taylor

級數(shù)展開式(

x

);n!xn(2)

ex

n0(

x

);(2n)!(2n

1)!(4)

cos

x

(1)n0x

2nnn0x

2n1(3)

sin

x

(1)n

(

x

);910(1

x

1).(1

x

1);2n

1(1

x

1);n

1(5)

ln(1

x)

(1)(6)

arctan

x

(1)n0x2n1nn0xn1nCn

xnn0(7)

(1

x)

(sin

x

),n

!)2(n02.間接法利用常見函數(shù)的展開式,

通過

變量代換

四則運算,,恒等變形,

逐項求導(dǎo)及逐項積分等方法求函數(shù)的展開式.2n02

(1)

x

(1)1

xdxarctan

x

x21nn0xn

n

120n

11

xdxln(1

x)

n0xn1x

(1)n

(1

x

1)11.)01n1nx1

xxf

x

()()4(x

0.x

0.x

sin

x(3)

f

(x)

g(t

)dt,其中g(shù)(x)

例3

將下列函數(shù)展成Maclaurin

級數(shù),并

展開式成立的區(qū)間.(1)

f

(

x)

xex

2

;

(2)

f

(

x)

arctan

1

x

;1

x1213

1

11

1

12x

(,)

.xn!(

2

e

)'

x

(,)

.xn!xx

e

n12n1x

2n02n12

xe

x

n0

n!2nxn0

n!nx解

(1)

由

e

444100(1)4

1),1

(1

x

1).2n

1t

dtf

'(t

)dtx2n1n0(1)nx2nn0nx所以f

(x)且

f

(0)

.(2)

因為f

'(x)14015(1)(

x

).(2n

1)!(2n

1)dt(2n

1)!

f

(

x)

(2n

1)!(

x

0).(2n

1)!xsin

xn0x2n1n0

(1)n

xt

2nnn0x2n

1

g(

x)

(1)n

(2n

1)!x

0n0x2nn0x2n

(1)n

且(1)n

(3)由1(()21

.

1

2

12(

xx

).22

x)

12

xx1

xx1

x1

xxn1nn1n1n即

fx

(2)所以

fx

(4)由16x

0,

1.17(2

x)2(2)

f

(

x)

4

x1(1)

f

(x)

x

1

,

x

1

,并求f

(n)(1).例4

將下列函數(shù)在指定點處展成Taylor

級數(shù).3183(

n)3nf

(1)

.3nn!

n!(

n)

f

(1)

1

(

x

1)n3(1

x

1)x

14

xf

(

x)

x

1

1

(

x

1)n1

(

x

3

3)n0

3n1

(

x

1)

1

3

n0解(1)19

22(

)

)'2

1(11(2)'x

(0,

2).

n(

x

1)x

(2,

2).xnx

(0,

2)(

(

x

1)

)'x

(2,

2)x(2

x)2

2

x

n1n1n1n1n1

n0nn0n20nn0(3)

取特殊值可得數(shù)項級數(shù)

an

的和.n0間接求

分三步構(gòu)造冪級數(shù)(根據(jù)an

的特點);

求出和函數(shù)(采用恒等變形,逐項積分，逐項求導(dǎo),常用函數(shù)的Taylor

展開式).直接求

(

s

lim

sn

或用函數(shù)的Taylor

展開式)求數(shù)項級數(shù)

an

的和四、數(shù)項級數(shù)的求和.21;(1)(2)

(1)n02nnn1(1)n1

n

1n2n(2n

1)例5

求下列數(shù)項級數(shù)的和2

)

ln

2.

(1)n1n1(1)n1n1(1)n1

22n(1)n1n1

n(2n

1)

2(x

I

)(

x2

)nnx

2n1

n12n

1

2

xn1

2x

2nn(1)n1x2n2n

1(1)n1s(

x)

n1

n(2n

1)x

,則收斂域為I

1,1.解

(1)

令

s(

x)

22,

4

2

22

.27

3

27)"

n02n(1)n

1

2n2nn0n0

n0n0

(1)n

n(n

1)

1

n0n

n2

n

1(1

x)32

x2

x2

(

(1)n所以

(1)(2)

因為

(1)n

n(n

1)

xn

x2

(1)n

n(n

1)

xn

2230,.1

1,;(f2(x))

1

ln

1

x

1

arctan

x

x4 1

x

2f(1(x))

x

2級數(shù).練

習(xí)

題1.

將下列函數(shù)在指定點.(1)

3n1nn1nnn!2n221n

(

4

);(2)2.(1求)2421211141213(2x

31).(x

)1(1(8

x

1)1(4

x

1)nn0n