導數(shù)概念課件

第一節(jié)導數(shù)概念一、引例二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的連續(xù)性與可導性關(guān)系第一節(jié)導數(shù)概念一、引例1一、引例1、直線運動的速度設(shè)動點于時刻t在直線上的位置的坐標為s

s=f(t),一、引例1、直線運動的速度22、切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN.當N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.割線MN與x軸的夾角為；切線MT與x軸的夾角為；當時，.2、切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外3第一節(jié)導數(shù)概念課件4導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量x在x0處取得增量(點仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)的函數(shù)y取得增量;如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在x0點處可導,并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在x0點處的導數(shù)，記為,即也可記作或二、導數(shù)的定義導數(shù)的定義：也可記作5上面的導數(shù)定義也可取不同的形式，常見的有：和此為在x0點處的導數(shù)，得到的是導數(shù)值.如果函數(shù)f(x)在x0處有導數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在x0處可導，否則稱函數(shù)f(x)在x0處不可導.上面的導數(shù)定義也可取不同的形式，常見的有：和6記作或.如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)每點處都可導，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導.此時，對于任一，都對應(yīng)著f(x)的一個導數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導函數(shù).記作或.如果函7由導數(shù)定義求導數(shù)的幾個步驟：(1)求出對應(yīng)于自變量改變量的函數(shù)改變量(3)求時的極限，即(2)作出比值由導數(shù)定義求導數(shù)的幾個步驟：(3)求時的8根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)：例如求函數(shù)f(x)=C的導數(shù).常數(shù)的導數(shù)等于零.即根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)：例如求函數(shù)f(x)=C的導數(shù).9把以上結(jié)果中的a換成x得：一般，對于冪函數(shù)有：把以上結(jié)果中的a換成x得：一般，對于冪函數(shù)有：10第一節(jié)導數(shù)概念課件11第一節(jié)導數(shù)概念課件12即正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù).余弦函數(shù)的導數(shù)是負的正弦函數(shù).同理可得即正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù).余弦函數(shù)的導數(shù)是負的正弦函數(shù).同13第一節(jié)導數(shù)概念課件14即即15第一節(jié)導數(shù)概念課件16即即17例6用定義討論函數(shù)f(x)=在點x=0處的連續(xù)性與可導性.所以f(x)在點x=0處連續(xù).不存在，所以f(x)在點x=0處不可導.例6用定義討論函數(shù)f(x)=在點x=0處的連續(xù)性與可18設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱之為f(x)在點x0處的左導數(shù)，記作；如果存在，則稱之為f(x)在點x0處的右導數(shù)，記作.左導數(shù)和右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù).左、右導數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是：左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，19例7求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù).例7求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù).20三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義21曲線y=f(x)在點M處的切線方程為曲線y=f(x)在點M處的法線方程為曲線y=f(x)在點M處的切線方程為曲線y=f(x)在點M處22解：解：23在(4,8)點處曲線的切線與直線平行.在(4,8)點處曲線的切線與直線平行.24如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導，則它在x點處一定連續(xù).四、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系證明：如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導，則它在x點處一定連25例如函數(shù)f(x)=|x|在x=0連續(xù)但不可導.

又如函數(shù)在在x=0連續(xù)，但所以y在x=0處不可導.可導連續(xù)(可導一定連續(xù)),連續(xù)可導？(連續(xù)不一定可導),例如函數(shù)f(x)=|x|在x=0連續(xù)但不可導.26可導的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)一定有極限，所以f(x)在x0處可導就一定有極限.可導的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)一定有極限，所以f(x27例10討論函數(shù)在點x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可導性.f(x)=解：例10討論函數(shù)在點x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可28(2)在x=1處(2)在x=1處29第一節(jié)導數(shù)概念課件30(3)在點x=2處(3)在點x=2處31第一節(jié)導數(shù)概念課件32第一節(jié)導數(shù)概念課件33第一節(jié)導數(shù)概念一、引例二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的連續(xù)性與可導性關(guān)系第一節(jié)導數(shù)概念一、引例34一、引例1、直線運動的速度設(shè)動點于時刻t在直線上的位置的坐標為s

s=f(t),一、引例1、直線運動的速度352、切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN.當N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.割線MN與x軸的夾角為；切線MT與x軸的夾角為；當時，.2、切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外36第一節(jié)導數(shù)概念課件37導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量x在x0處取得增量(點仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)的函數(shù)y取得增量;如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在x0點處可導,并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在x0點處的導數(shù)，記為,即也可記作或二、導數(shù)的定義導數(shù)的定義：也可記作38上面的導數(shù)定義也可取不同的形式，常見的有：和此為在x0點處的導數(shù)，得到的是導數(shù)值.如果函數(shù)f(x)在x0處有導數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在x0處可導，否則稱函數(shù)f(x)在x0處不可導.上面的導數(shù)定義也可取不同的形式，常見的有：和39記作或.如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)每點處都可導，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導.此時，對于任一，都對應(yīng)著f(x)的一個導數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導函數(shù).記作或.如果函40由導數(shù)定義求導數(shù)的幾個步驟：(1)求出對應(yīng)于自變量改變量的函數(shù)改變量(3)求時的極限，即(2)作出比值由導數(shù)定義求導數(shù)的幾個步驟：(3)求時的41根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)：例如求函數(shù)f(x)=C的導數(shù).常數(shù)的導數(shù)等于零.即根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)：例如求函數(shù)f(x)=C的導數(shù).42把以上結(jié)果中的a換成x得：一般，對于冪函數(shù)有：把以上結(jié)果中的a換成x得：一般，對于冪函數(shù)有：43第一節(jié)導數(shù)概念課件44第一節(jié)導數(shù)概念課件45即正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù).余弦函數(shù)的導數(shù)是負的正弦函數(shù).同理可得即正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù).余弦函數(shù)的導數(shù)是負的正弦函數(shù).同46第一節(jié)導數(shù)概念課件47即即48第一節(jié)導數(shù)概念課件49即即50例6用定義討論函數(shù)f(x)=在點x=0處的連續(xù)性與可導性.所以f(x)在點x=0處連續(xù).不存在，所以f(x)在點x=0處不可導.例6用定義討論函數(shù)f(x)=在點x=0處的連續(xù)性與可51設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱之為f(x)在點x0處的左導數(shù)，記作；如果存在，則稱之為f(x)在點x0處的右導數(shù)，記作.左導數(shù)和右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù).左、右導數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是：左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，52例7求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù).例7求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù).53三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義54曲線y=f(x)在點M處的切線方程為曲線y=f(x)在點M處的法線方程為曲線y=f(x)在點M處的切線方程為曲線y=f(x)在點M處55解：解：56在(4,8)點處曲線的切線與直線平行.在(4,8)點處曲線的切線與直線平行.57如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導，則它在x點處一定連續(xù).四、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系證明：如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導，則它在x點處一定連58例如函數(shù)f(x)=|x|在x=0連續(xù)但不可導.

又如函數(shù)在在x=0連續(xù)，但所以y在x=0處不可導.可導連續(xù)(可導一定連續(xù)),連續(xù)可導？(連續(xù)不一定可導),例如函數(shù)f(x)=|x|在x=0連續(xù)但不可導.59可導的函數(shù)