2022年北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．2．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．5．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)7．已知變量x，y間存在線性相關(guān)關(guān)系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.58．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A． B．C． D．9．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．2610．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．11．已知集合，，則等于()A． B． C． D．12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖梯形為直角梯形，，圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形，向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是_____________14．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).15．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是_______．16．隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學(xué)生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀，合理制定學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進(jìn)行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.18．（12分）某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1,2,?,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e19．（12分）已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是，（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交（不含端點(diǎn)）且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.20．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為曲線上位于第一，二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時(shí)四邊形的面積.22．（10分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，對求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡單題目.2．B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.3．B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.4．A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時(shí)A,P位于同一水平線上，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長最小值，即計(jì)算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處，三角形周長最小，故此時(shí)M的坐標(biāo)為，所以斜率為，故選A．【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．5．A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí)，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．6．A【解析】試題分析：,,所以，即集合中共有3個(gè)元素，故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．7．A【解析】

計(jì)算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：線性回歸直線一定過中心點(diǎn)．8．B【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值．【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)的斜率最小，此時(shí)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．9．D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.10．B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長方體，由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

解不等式確定集合，然后由補(bǔ)集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型．12．A【解析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結(jié)合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出，最后根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：聯(lián)立解得或，即，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.14．（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.15．1【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用表示，利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】，解得＝1．故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16．3000【解析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求出，進(jìn)而可求出身高高于的高中男生人數(shù).【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）化簡得到，分類解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，故或或解得或，故不等式的解集?（2）畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知的最大值.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值是3.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18．（1）模型y=eλx+t的擬合程度更好；（2）（i）v=0.02x+3.84【解析】

（1）由相關(guān)系數(shù)求出兩個(gè)系數(shù)，比較大小可得；（2）（i）先建立U額R0關(guān)于x的線性回歸方程，從而得出y（ii）把y=90代入（i）中的回歸方程可得x值．【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識,考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性．解：（1）r1r2則r1<r（2）（i）先建立U額R0由y=eλx+t，得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關(guān)于x所以lny=0.02x+3.84（ii）下一年銷售額y需達(dá)到90億元，即y=90，代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90，所以所以x≈4.4998-3.84所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性19．（1）（2）【解析】

（1）由直線可得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由中點(diǎn)可得,且由斜率公式可得,由點(diǎn)在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解；（2）設(shè)直線,點(diǎn)到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點(diǎn)到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,可得,即,進(jìn)而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）直線與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因?yàn)榈街本€的距離分別是,由于直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當(dāng),即時(shí),，因此四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.20．（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由，得，∵∴或，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法，屬于中檔題.21．（1）；（2）面積的最小值為；四邊形的面積為【解析】

（1）將曲線消去參數(shù)即可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標(biāo)方程即可；（2）由（1）得曲線的極坐標(biāo)方程，設(shè)，，，利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根據(jù)題意知，進(jìn)而可得四邊形的面積.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)得曲線/r