誤差-p1.2.1背景介紹Introduction

1.2

誤差

(Error

)§1.2.1

誤差的背景介紹

(Introduction)模型誤差(Modeling

Error):從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型觀測(cè)誤差(Measurement

Error):通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值方法誤差(截?cái)嗾`差Truncation

Error）:求近似解計(jì)算誤差

(舍入誤差Roundoff Error

):機(jī)器字長(zhǎng)有限計(jì)算方法實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型(數(shù)值)算法編程計(jì)算結(jié)果抽象：“去偽存真，去粗取精”模型誤差,觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差例：(截?cái)嗾`差)2!

3!n!

1

xn

,已知e

1

x

1

x2

1

x3

求e1的近似值，并估計(jì)誤差。解：利用展開式的前三項(xiàng)，取n=2，2

(01.)

(11)

1

2e1

截?cái)嗾`差分析,

xxn10

1Rn

(

x)

(n

1)!

e23!R

e1

0.5

1

1.7*101截?cái)嗾`差0

0

(f

(

n)

(

x

)n!n(

n1)

f

(

x0

)

f

'(

x0

)(

x

x0

)

x

)n1由Taylor公式：f2!

1

h

h2!例：eh試確定近似計(jì)算公式eh

+sin(h)

1

2的截?cái)嗾`差。

1

2h

1

h2

O(h3

)解：eh

sin(h)

1

2h

1

h2

1

h3

O(h3

)

O(h5

)2!

3!2!eh

+sin(h)的截?cái)嗾`差為O(h3

)。例：舍入誤差1.4921.066

1.590472設(shè)在一臺(tái)虛構(gòu)的4位數(shù)字計(jì)算機(jī)上計(jì)算1.4921.066

1.590舍入誤差為

0.000472舍入誤差分析例：考慮

簡(jiǎn)單程序format

longx=4/3-1y=3*xz=1-y舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大21

1x

1

11

6

3

x

131 1

2

1

1

1

31

2

12

4

1

x

47

3

3

4 5

60

方例3：3

1其解為在計(jì)算機(jī)上是否根據(jù)

數(shù)學(xué)公式編程就能得到正確結(jié)果?

1.00

1.83

0.5002

0.3330.500

0.333

x1

0.333

0.250

x

1.08

0.250 0.200

x3

0.783如果把系數(shù)舍入成三位數(shù)字1.09,

x2

0.488,

x3

1.49求解得

1.0

1.8

0.502

0.50

0.33

x1

0.33

0.25

x

1.1

0.33

0.250.20

x3

0.78如果把系數(shù)舍入成二位數(shù)字3

33.65求解得例：考慮

程序x=0.988:0.0001:1.012;y=x.^7-7*x.^6+21*x.^5-35*x.^4+35*x.^3-21*x.^2+7*x

-1;plot(x,

y)絕對(duì)誤差限。顯然有，*x

*

3.1416設(shè)

3.1415926，用四舍五入方法取4位小數(shù)得近似數(shù)求§1.2.2

誤差與有效數(shù)字(Error

and

Significant

Digits)絕對(duì)誤差

(

absolute

error

)

(x)

x

x*

其中x為精確值，x*

為x的近似值。102e

dx

0.743

0.006

x例如：x

x*

|

(x)|

的上限記為工程上常記為,稱為絕對(duì)誤差限(accuracy)，2|

e(

)

||

*

|

1

104相對(duì)誤差

(

relative

error

))|r

x的相對(duì)誤差限定義為)r

()(x)x*x*(

(x))2

2

2

(

(x)

(x)

0結(jié)論：近似數(shù)的相對(duì)誤差是近似數(shù)精確度的基本度量，一個(gè)近似數(shù)的相對(duì)誤差越小，說明近似數(shù)越精確相對(duì)誤差是個(gè)無名數(shù)，它沒有量綱。有效數(shù)字（significant

digits

）

*例：

3.1415926535

897932

;

*

3.1415問：

*有幾位有效數(shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。證明：

π*

0.31415

101

,and

|π

*

π

|

0.5

103

0.5

1014有4

位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第3

位。誤差限是第n位的n位有效數(shù)字。(a1

0,

ai

0,定義設(shè)近有效數(shù)字

（significant

digits

）（另一種定義）1.3計(jì)算機(jī)數(shù)系（補(bǔ)充）在實(shí)數(shù)系中，每一個(gè)實(shí)數(shù)可以有無窮位，不同的實(shí)數(shù)代表數(shù)軸上不同的點(diǎn)；3

1.732050808

在計(jì)算機(jī)數(shù)系中，每一個(gè)數(shù)只有有限位，只有部分有理數(shù)能被計(jì)算機(jī)數(shù)系中的數(shù)精確表示。3不能被計(jì)算機(jī)數(shù)系精確表示浮點(diǎn)數(shù)：允許小數(shù)點(diǎn)位置浮動(dòng)的數(shù)的表示法稱為數(shù)的浮點(diǎn)形式。尾數(shù)階碼基數(shù)a1≠0,(1)稱為x的規(guī)格化的浮點(diǎn)形式。(1)實(shí)數(shù)x的十進(jìn)制浮點(diǎn)形式為x=0.a1a2…ak…10c,ai{0,1,2,…,9},

c∈Z1

2

3

t1

jx

0.a

a

a

...a

2l其中a

1,

a

0,1

,

(

j

2,...,

t);2l

:指數(shù)部分；l：階碼，L

l

U

,a1a2a3...at：尾數(shù)。x的k位規(guī)格化十進(jìn)制機(jī)器數(shù)為y=

0.a1

a2...

ak10c,

y=fl(x)ai{0,1,2,…,9},

a10，Lc

U,k是機(jī)器的字長(zhǎng)；L、U

是常數(shù)。二進(jìn)制中具有t

位有效數(shù)字的實(shí)數(shù)都可以表示成：k

1k

1a

5a

5fl(

x)

(0.a

a

a

10k

)10c1

2

k

0.a

a

a

10c1

2

kx=0.a1a2…akak+1…10cx的k位十進(jìn)制機(jī)器數(shù)fl(x)可用兩種方法定義：截?cái)嗍絝l(x)=

0.a1a2...ak10c四舍五入式y(tǒng)=0.a1a2...akc

,

=2,8,10,16,ai{0,1,2,…,-1},

LcU,a1≠0F(,k,L,U)表示以上數(shù)集全體，它是計(jì)算機(jī)中使用的有限離散數(shù)集(機(jī)器數(shù)系）。F(,k,L,U)中的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)。F(10,4,-33,33)，

y=0.a1a2a3a410c一般數(shù)制情況：k位規(guī)格化機(jī)器數(shù)

3.14159260.1000

1033

F

(10,

4,

33,

33),

0.9999

1033但是例：

在機(jī)器數(shù)系

F(10,4,-33,33)中表示fl(∏

).采用截?cái)嗍絝l(

)

0.采用四舍五入式

fl(

)

0.若浮點(diǎn)數(shù)的階碼不在[L,U]內(nèi)，則出現(xiàn)上溢或下溢。例如在4位機(jī)器數(shù)系

F(10,4,-33,33)中輸入0.199

1035出現(xiàn)上溢。輸入0.28

1034出現(xiàn)下溢，計(jì)算機(jī)中數(shù)的計(jì)算特點(diǎn):= 0

10001

105=

0.1000

105

=

104加法先對(duì)階,單（雙）精度舍入，運(yùn)算,再規(guī)格化舍入乘法先運(yùn)算,再舍入；不在計(jì)算機(jī)數(shù)系中的數(shù)做四舍五入處理。例如:在四位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算機(jī)上計(jì)算1+

104解:

1+

104

=0.1000

101

+0.1000105=0.00001105+0.1000105

(對(duì)階)(運(yùn)算)(計(jì)算機(jī)舍入)nxx1

n1

dy

f

(x)

dx

f

(x)

dx自變量較小的變化引起的因變量變化。dy

f

(x)

f

(x)

f

(x)dx

x1

x2

xn1.4數(shù)值計(jì)算中的誤差估計(jì)1）函數(shù)的誤差2）算術(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差(1)和、差的誤差估計(jì)設(shè)u=x+y,當(dāng)x,y同號(hào)時(shí),u為兩數(shù)和;當(dāng)x,y異號(hào)時(shí),u為兩數(shù)差絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差限x

(u)

(x

y)

(x

y)

(x

y)

x

y

x

y此結(jié)論可推廣至有限個(gè)近似數(shù),即:和或差的絕對(duì)誤差限不超過各近似數(shù)絕對(duì)誤差限之和.相對(duì)誤差r

rrrxy

(

y)

(u)

(x

y)

(x

y)

(x)

(x

y)

x

yx

y相對(duì)誤差限r(nóng)rrxy

(

y)

(x

y)

(x)

x

y

x

y設(shè)x,y同號(hào)時(shí),則

r

(x

y)

max

r

(x)

,

r

(

y)

結(jié)論:和的相對(duì)誤差限不超過各數(shù)相對(duì)誤差限中的最大者.即:和的相對(duì)誤差不增長(zhǎng)(2)積、商的誤差估計(jì)積誤差估計(jì)

設(shè)函數(shù)

u=xy絕對(duì)誤差相對(duì)誤差商誤差估計(jì)絕對(duì)誤差

(xy)

y

(x)

x

(

y)er

(xy)

er

(x)

er

(y)設(shè)函數(shù)u

x

du

(ydx

xdy)/y2yyy

x

/

y

(

x

)

(

x

)x

y相對(duì)誤差

r

(

)

r

(

x)

r

(結(jié)論:積的相對(duì)誤差等于相對(duì)誤差的和,商的相對(duì)誤差等于相對(duì)誤差的差,連乘除相對(duì)誤差限可看做乘數(shù)和除數(shù)相對(duì)誤差限之和數(shù)值方法中參加運(yùn)算的數(shù)一般是近似值，計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)問題解嚴(yán)重失真。原因有二：?jiǎn)栴}本身的條件很壞，不管用什么方法都無法得到好結(jié)果；由于使用的算法不當(dāng)，產(chǎn)生了數(shù)值不穩(wěn)定。1.5設(shè)計(jì)算法的若干原則問1)良態(tài)與良態(tài)與

差很大，這29f

(解：（f

100/3）＝－

50

－5.6，

f（33）＝－28

,該函數(shù)是9313100**

400%.9

50

50

28)

22.4,

初始數(shù)據(jù)相對(duì)變化1%，計(jì)算結(jié)果相對(duì)變化400%！

！f

(x*

)

1%

,

f

(x

)

f

(x)

x*x

x

A

solution

existsThe

solution

is

uniqueThe

solution

depends

continuously

on

the

data,insome

reasonable

topology(穩(wěn)定的).2)

算法的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值穩(wěn)定性:一個(gè)算法如果初始數(shù)據(jù)有誤差，而在計(jì)算過程中舍3

113119

1fl(((fl(((

x

0.4000

100x

0.00004

104)

x

)

入誤差不增長(zhǎng)，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法是不穩(wěn)定的。F

(10,4,L,U

)按四舍五入方法處理數(shù)據(jù),有:11求

S

)

x

)＝0.50551042算法一算法二x

)＝0.5059

104算法一不穩(wěn)定,算法二穩(wěn)定算法二準(zhǔn)確,大數(shù)””小數(shù)3)在數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)問題(1)要避免兩個(gè)相近數(shù)作減法數(shù)值計(jì)算中，兩相近數(shù)相減會(huì)嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字rrrrx

y

(y)

(x

y)

(x)

x

y

x

y時(shí),

(x

y)

很大,

應(yīng)改變算法sin

x1xs)ixn(sinxsin

2

x

cos1x

cos1xs)ixsin

x

cos

cos1x x()(-

c當(dāng)x

y

cos1x化為當(dāng)x

接近零時(shí),計(jì)算計(jì)算化為1例1000i

1其中

0.1

.i

0.92.要防止大數(shù)“ ”小數(shù)在數(shù)值運(yùn)算中參加運(yùn)算的數(shù)有時(shí)數(shù)量級(jí)相差很大，而計(jì)算機(jī)位數(shù)有限，如不注意運(yùn)算次序就可能出現(xiàn)大數(shù)“

”小數(shù)的現(xiàn)象，影響計(jì)算結(jié)果的可靠性.在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算A

52492

i

,把運(yùn)算的數(shù)寫成規(guī)格化形式1000iA

0.52492

105

.i

1由于在計(jì)算機(jī)內(nèi)計(jì)算時(shí)要對(duì)階，若取

i

，0.9成的.掉”小數(shù)造i對(duì)階時(shí)

i

0.000，00在9五位10的計(jì)算機(jī)中表示為5機(jī)器0， 因此A

0.52492

105

0.000009

105

0.000009

105

0.52492

105

(符號(hào)Δ

表示機(jī)器中相等)結(jié)果顯然不可靠，這是由于運(yùn)算中出現(xiàn)了大數(shù)52492

“吃1000