ch06部分習題解答

第六章部分習題解習題（3）un

n2n2

n1n1

n)n

n2

n1)

n1n)n∵Snk

k2

k1)

k1

k)]k

k1

k)n2n2n2

k1kn2

n

∴

Snn2

2n1

n)收斂，其和S 2利 收斂準則判別下列級數(shù)的斂散性2（1）k

；n證明：0, ，要

n

11n,P

k

n n1N11

n k∵0N，當nN時Pk

k

n∴

n1（2）2n1證：取01n有多大pn412k12k

1

1k

2n1

2n

故級2n1sin（3） n10npNSnpSnsin(n1)

2n1 1 2p

1

1)

1 2

2 只要2n1,n 1，取N

1 2

2∵0，N

1，當nN時2

n

1sin∴ n1

kuk

1ln2k1)ln[(11)(1 Sk

k 1)ln(11 2435

k 334

k1k∴

Sklim

k2

1ln2，故 k

1ln2k已知級數(shù)u1u2un(un0收斂，證明級數(shù)u1u3u5u2n1也收斂。un

SnS，且u1u2u3u4u2n1S

設u1u3u5u2n1的部分和為n，則nu1u3u5∵nu1u3u5u2n1u1u2u3u4u2n1S∴{n}單調(diào)增加且有上

n存在，u1u3u5u2n1收斂習題nnnn1nn lim1 nnnnnn

nn

，而n

（5）

11

n(r1

0r

limun

n

r

∴當0r1

n n1

r

n1∵當r1時，0 1，且11rn r ∴等比級數(shù)n1

收斂，從而nn1n

nnn（4）nn

2nnnn

1

，∴n

n2n

2n n101x1xunn

1dxn

xdx2x

1n2

1232

1收斂，301

n

dxn101（9）

(pp 解：設f(x) ，則f(x)在[2,)上非負、連續(xù)、單減，且f(n) xlnpln1p

ln1p

nlnp

,p∵

dx(1

p xlnp

0pln(lnx)

p pp

0p

(1)n（7）

n1

((1)n(1)n1

(1)n，(1)n23

n，而

n(1)n(1)n(1)n(1)n12∴（8）

nln2n

收斂，從而ln2

n

nn

ln2∵ n

limnln2

n

nnnn

故

nf(x

∵

ln2x

∴

0 又∵

),x

f(x)在(e2

lnn

ln2

ln2(n故 (n8)單調(diào)減少， n

n

(n8) 判別法可知，

nlnn

n3（9）

n3

n4解：n3

n

4nn ∵

n

n(n1)4(n

3n

(3)n

n4

n

1n

3)n4

4n3n3n3n3nn 收斂，從而n

4n

nun0，且級數(shù)n(unun1收斂，證明級數(shù)un也收斂。

解：設n(unun1)與un的部分和分別為n與Sn

n(unun1

nS

∵nu1u02u22u13u33u2nunnunu0(u1u2u3un1)nunuSn1∴Sn1nununlimSn1lim(nununuSun

n已知級數(shù)un(un0收斂，證明級數(shù)u2n證法1：∵unlimun0

取1NN，當nNun0n從而0un1u2un(nNn n又正項級數(shù)un收斂，∴由比較法可知u2n

證法2：設u收斂于Su2的部分和為n

∵正項級數(shù)un收斂它的部分和數(shù)列Sn有界∴SuuuS，S2(uu

)2S2 ∵nu2u2u2(uu

)2S2 nu2n證法3：∵unlimun0（1）當un0時，∵

un

un0n n而unu2n

n（2）當un0u20n

設un與vn都收斂，且unwnvn，證明wn

unwnvn0wnunvnun un與vn(vnun收斂，從而(wnun

un與(w